人教版八年级下册数学专题19：动态几何之定值问题探讨

【中考攻略】专题19：动态几何之定值问题探讨

动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。

结合全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。

一、线段（和差）为定值问题：

典型例题： 例1：（黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．

（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ= 5

12（不需证明）． （2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

【答案】解：（2）图2中结论PR ＋PQ=12

5

仍成立。证明如下： 连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K 。

∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD=90°。

又∵CD=AB=3，BC=4，∴2 2 22BD CD BC 345=+=+=。

∵S △BCD =12BC•CD=12BD•CK ，∴3×4=5CK ，∴CK=125

。

∵S △BCE =

12BE•CK ，S △BEP =12PR•BE ，S △BCP =12

PQ•BC ，且S △BCE =S △BEP ＋S △BCP ， ∴12BE•CK=12PR•BE ＋12

PQ•BC 。 又∵BE=BC ，∴12CK=12PR ＋12

PQ 。∴CK=PR ＋PQ 。 又∵CK=125，∴PR ＋PQ=125

。 （3）图3中的结论是PR －PQ=125． 【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。

【分析】（2）连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K ．根据矩形的性质及勾股定

理求出BD 的长，根据三角形面积相等可求出CK 的长，最后通过等量代换即可

证明。

（3）图3中的结论是PR －PQ=125 。

连接BP ，S △BPE －S △BCP =S △BEC ，S △BEC 是固定值，BE=BC 为两

个底，PR ，PQ 分别为高，从而PR －PQ=125

。 例2：（江西省10分）如图，已知二次函数L 1：y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 左边），

与y 轴交于点C ．

（1）写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）研究二次函数L 2：y=kx 2

﹣4kx+3k （k≠0）．

①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；

②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由； ③若直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线()2

2y x 4x 3x 21=-+=--，

∴二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。

（2）①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：

对称轴为x=2；都经过A （1，0），B （3，0）两点。

②存在实数k ，使△ABP 为等边三角形．

∵()22y kx 4kx 3k k x 2k =-+=--，∴顶点P （2，－k ）．

∵A （1，0），B （3，0），∴AB=2

要使△ABP 为等边三角形，必满足|－k|=3，

∴k=±3。

③线段EF 的长度不会发生变化。

∵直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，

∴kx 2﹣4kx+3k=8k ，∵k≠0，∴x 2﹣4x+3=8。解得：x 1=﹣1，x 2=5。

∴EF=x 2﹣x 1=6。∴线段EF 的长度不会发生变化。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。

【分析】（1）抛物线y=ax 2+bx+c 中：a 的值决定了抛物线的开口方向，a ＞0时，抛物线的开口向上；a ＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。

（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。

②当△ABP 为等边三角形时，P 点必为函数的顶点，首先表示出P 点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的32

倍，由此确定k 的值。 ③联立直线和抛物线L 2的解析式，先求出点E 、F 的坐标，从而可表示出EF 的长，若该长度

为定值，则线段EF 的长不会发生变化。

例3：（山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．

（1）求证：∠APB=∠BPH ；

（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．