2020年海淀高三期中理科数学试卷
2020年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷
高三（上）期中数学试卷题号一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x +1≤0}，B ={x|x ≥a}，若A ∪B =R ，则实数a 的值可以为( )A. 2B. 1C. 0D. −22. 下列函数中，在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )A. y =xB. y =x 2C. y =x +√xD. y =|x −1|3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=a 3，且a 3≠0，则S4S 3=( )A. 1B. 53C. 83D. 34. 不等式1x >1成立的一个充分不必要条件是( )A. 0<x <12B. x >1C. 0<x <1D. x <05. 如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)的值为( )A. −35B. 35C. −45D. 456. 在四边形ABCD 中，AB//CD ，设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R).若λ+μ=32，则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A. 13B. 12C. 1D. 27. 已知函数f(x)=x 3+x 2−2|x|−k.若存在实数x 0，使得f(−x 0)=−f(x 0)成立，则实数k 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [0,+∞)D. (−∞,0]8. 设集合A 是集合N ∗的子集，对于i ∈N ∗，定义φi (A)={1,i ∈A0,i ∉A，给出下列三个结论：①存在N ∗的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈N ∗都满足φi (A ∩B)=0且φi (A ∪B)=1；②任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∩B)=φi(A)⋅φi(B)；③任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∪B)=φi(A)+φi(B)其中，所有正确结论的序号是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,x)，若a⃗//b⃗ ，则实数x=______ ．10.函数f(x)=x−√x−6的零点个数是______．11.已知数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=______，a5+a6+a7+a8=______．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量b⃗ 的始点和终点，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______．13.已知数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗都成立，则p的取值范围为______．14.已知函数f(x)=√2sinωx，g(x)=√2cosωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω=1时，△ABC面积的最小值为______；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和，a2=3，a3+a4=36(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若S n<121，求n的最大值．16.已知函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，求实数m的取值范围．17.已知函数f(x)=13ax3+x2+bx+c，曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y= x+1．(Ⅰ)求b，c的值；(Ⅱ)若函数f(x)存在极大值，求a的取值范围．18.在△ABC中，a=7，b=5，c=8．(Ⅰ)求sin A的值；(Ⅱ)若点P为射线AB上的一个动点(与点A不重合)，设APPC=k．①求k的取值范围；②直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得APPC=k．19.已知函数f(x)=lnx．e x(Ⅰ)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并说明理由；(Ⅱ)求证：f(x)<1．220.已知集合M⊆N∗，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a,b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．(Ⅰ)分别判断集合{2,4，6，8，10}和集合{1,2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；(Ⅱ)已知集合{a1,a2,a3,a4,a5}是“关联的”，且任取集合{a i,a j}⊆M，总存在M 的关联子集A，使得{a i,a j}⊆A.若a1<a2<a3<a4<a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；(Ⅲ)集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得x>n2−n+9．4答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．可以求出A={x|x≤−1}，根据A∪B=R即可得出a≤−1，从而得出a的值可以为−2．【解答】解：∵A={x|x≤−1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，∴a≤−1，∴a的值可以为−2．故选：D．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．【解答】解：由一次函数的性质可知，y=x在区间(0,+∞)上单调递增；由二次函数的性质可知，y=x2在区间(0,+∞)上单调递增；由幂函数的性质可知，y=x+√x在区间(0,+∞)上单调递增；结合一次函数的性质可知，y=|x−1|在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=a3，且a3≠0，∴3a 1+3d =a 1+2d ，化为：−2a 1=d ≠0． ∴S 4S 3=4a 1+4×32d 3a 1+3×22d=23×2a 1+3×(−2a 1)a 1−2a 1=83． 故选：C ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题． 解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 【解答】解：该不等式的解集为：(0,1)，则其一个充分不必要条件可以是：(0,12)； 故选：A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π2+α)的值． 【解答】解：角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)=cosα=35，故选：B ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．过C 作CE//AD ，又CD//AB.可得四边形AECD 是平行四边形．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R).可得μ=1，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又λ+μ=32，可得λ=12.即可得出结论．【解答】 解：如图所示，过C 作CE//AD ，又CD//AB ． ∴四边形AECD 是平行四边形． ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)． ∴μ=1，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又λ+μ=32，∴λ=12． 则|CD⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12．故选：B ．7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了函数与方程的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题． 存在实数x 0，使得f(−x 0)=−f(x 0)，转化为x 2−2|x|=k 有根，进而转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点． 【解答】解：∵f(x)=x 3+x 2−2|x|−k 且f(−x 0)=−f(x 0)，∴−x 03+x 02−2|x 0|−k =−(x 03+x 02−2|x 0|−k)整理得x 02−2|x 0|=k ，∴原题转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点， 画出y =x 2−2|x|的图象如下：x =1时y =−1，由图可知，k ≥−1． 故选A ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了命题正误的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对题目中给的新定义要充分理解，对于i ∈N ∗，φi (A)=0或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【解答】解：∵对于i ∈N ∗，定义φi (A)={1,i ∈A0,i ∉A，∴①例如A ={正奇数}，B ={正偶数}，∴A ∩B =⌀，A ∪B =N ∗，∴φi (A ∩B)=0；φi (A ∪B)=1，故①正确；②若φi (A ∩B)=0，则i ∉(A ∩B)，则i ∈A 且i ∉B ，或i ∈B 且i ∉A ，或i ∉A 且i ∉B ；∴φi (A)⋅φi (B)=0；若φi (A ∩B)=1，则i ∈(A ∩B)，则i ∈A 且i ∈B ；∴φi (A)⋅φi (B)=1；∴任取N ∗的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈N ∗都有φi (A ∩B)=φi (A)⋅φi (B)；正确，故②正确；③例如：A ={1,2，3}，B ={2,3，4}，A ∪B ={1,2，3，4}，当i =2时，φi (A ∪B)=1；φi (A)=1，φi (B)=1；∴φi (A ∪B)≠φi (A)+φi (B)；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A．9.【答案】6【解析】【分析】本题考查向量共线，考查计算能力．直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：由向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,x)，若a⃗//b⃗ ，可得x=2×3=6．故答案为：6．10.【答案】1【解析】【分析】本题考查方程的根与函数零点的关系，求函数的零点，就是确定方程的根，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．解方程，根据方程的根的个数，即可得出f(x)的零点个数．【解答】解：由题意可知x≥0时，f(x)=x−√x−6=0，可得(√x)2−√x−6=0，解得√x=−2(舍去)或√x=3，∴x=9；函数f(x)=x−√x−6的零点个数是1．故答案为：1．11.【答案】0 ；1【解析】【分析】本题考查数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题型．直接利用题目所给的数列的前n项和公式求出数列的首项和a5+a6+a7+a8的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=S1=log21=0．则a5+a6+a7+a8=S8−S4=log28−log24=1．故答案为：0；1．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的数量积与投影的应用，向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，转化为向量的投影值即可．【解答】解：由题意可知：a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >，其几何意义是b⃗ 在a⃗方向上的投影值，由图形可知：向量b⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，投影值最大，且最大值为3．故答案为：3．13.【答案】[ln33,+∞)【解析】【分析】本题考查的知识要点：利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．直接利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗都成立，故p≥(lnnn)max，设f(x)=lnxx ，则f′(x)=1x⋅x−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，解得x=e，0<x<e时，f′(x)>0,x>e时，f′(x)<0,故函数的单调增区间为(0,e)，函数的减区间为(e,+∞)，所以函数在x=e时函数取最大值，由于n ∈N ∗，当n =3时函数值为ln33，当n =2时函数值为ln22，易知ln33>ln22，所以p 的取值范围是[ln33,+∞)．故答案为：[ln33,+∞)．14.【答案】2π ；π2【解析】 【分析】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于一般题型．①直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积． ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值． 【解答】解：①当ω=1时，f(x)=√2sinx ，g(x)=√2cosx ，当△ABC 面积最小时， 如图所示：所以第一象限的两个交点间的距离为一个周期2π，△ABC 的高为√2⋅√22+√22⋅√2=2．所以：S △ABC =12⋅2π⋅2=2π． 当ω=1时，△ABC 面积的最小值为2π；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则2πω=2⋅(√2⋅√22+√2⋅√22)， 解得ω的最小值为π2． 故答案为：2π；π2．15.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，∵a2=3，a3+a4=36，∴3(q+q2)=36，解得q=3．又3a1=3，解得a1=1，∴a n=3n−1．(Ⅱ)S n=3n−13−1<121，3n<243，解得：n<5．∴满足S n<121，n的最大值为4．【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a3+a4=36，可得3(q+q2)=36，解得q.又3a1=3，解得a1，进而求得数列{a n}的通项公式．(Ⅱ)S n=3n−13−1<121，即可得出结论．16.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．=2sinx(12cosx−√32sinx)+√32=sinxcosx−√3sin2x+√3 2=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3)．所以函数的最小正周期为T=2π2=π．(Ⅱ)f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，所以f(x)max+m≤0，由于x∈[0,π2]，所以2x+π3∈[π3,4π3]．当2x+π3=π2时，即x=π12时，m+1≤0时，实数m的取值范围为(−∞,−1]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．(Ⅱ)利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．17.【答案】解：(Ⅰ)f ′(x)=ax 2+2x +b ，∵曲线y =f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y =x +1， ∴{f′(0)=1f(0)=1，解得：{b =1c =1； (Ⅱ)法一：由(Ⅰ)f(x)=13ax 3+x 2+x +1，①当a =0时，f(x)=x 2+x +1不存在极大值，不合题意， ②当a >0时，f ′(x)=ax 2+2x +1， 令ax 2+2x +1=0，(i)当△=4−4a ≤0即a ≥1时，不合题意， (ii)当△=4−4a >0即0<a <1时，方程ax 2+2x +1=0有2个不相等的实数根， 设方程两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， x ，f ′(x)，f(x)的变化如下：故f(x 1)为极大值；③当a <0时，△=4−4a >0恒成立， 设方程两根为x 1，x 2且x 1<x 2， x ，f ′(x)，f(x)的变化如下：故f(x 2)为极大值，综上，若函数f(x)存在极大值， 则a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)． 法二：f ′(x)=ax 2+2x +1， 若函数f(x)存在极大值，则{a ≠0△=4−4a >0，解得：a <1且a ≠0， 故a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)．【解析】本题考查了导数的几何意义，考查运用导数研究函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，结合切线方程得到关于b ，c 的方程组，解出即可；(Ⅱ)法一：求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数存在极大值，确定a 的范围即可，法二：结合二次函数以及极大值的定义判断即可．18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，a =7，b =5，c =8．利用余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于A ∈(0,π)，所以sinA =√1−(12)2=√32；(Ⅱ)①由APPC =k ．根据正弦定理CPsinA =APsin∠ACP ， 所以k =APCP =sin∠ACP sin∠A =sin∠ACPsin π3=2√33sin∠ACP ， 由于点P 为射线AB 上的一个动点(与点A 不重合)， 所以∠ACP ∈(0,2π3)，所以k 的取值范围为(0,2√33]． ②由于P 为射线AB 上的一个动点，所以k 的取值只要在区间(1,2√33)上即可， 故k =32时，满足条件．【解析】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值． (Ⅱ)①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围． ②根据共线的条件求出在区间(1,2√33)上即可．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．理由如下：由f(x)=lnxe x ，得f′(x)=1x−lnxe x；因为x∈(0,1)，所以1x>0，lnx<0，因此1x−lnx>0．又因为e x>0，所以f′(x)>0恒成立．所以f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x)max<12”.由题意可得，x∈(0,+∞)，因为f′(x)=1x−lnxe x，再令g(x)=1x−lnx，则g′(x)=−1x2−1x<0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．因为g(1)=1>0，g(e)=1e−1<0，所以存在唯一实数x0，使得g(x0)=0，其中x0∈(1,e)．x，f′(x)，f(x)变化如下表所示：所以f(x0)为函数f(x)的极大值．因为函数f(x)在(0,+∞)有唯一的极大值．所以f(x)max=f(x0)=lnx0e x0．因为1x0=lnx0，所以f(x)max=f(x0)=lnx0e x0=1x0⋅e x0．设m(x)=xe x,x∈(1,e)，m′(x)=(x+1)e x>0，故m(x)在(1,e)上单调递增，故m(x)>m(1)=e．因为x0∈(1,e)，所以f(x)max=1x0e x0<1e<12．所以f(x)<12．【解析】本题考查了函数单调性求法，函数极值与最值的求法，属于导数在函数中综合应用，属于综合题．(Ⅰ)对f(x)求导，判断f′(x)的符号，即可得函数的单调性；(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x)max<12”.求f(x)的最大值即可证明．20.【答案】解：(Ⅰ){2,4，6，8，10}是“关联的”，关联子集有{2,4，6，8}，{4,6，8，10}，{2,4，8，10}．{1,2，3，5，8}是“独立的”．(Ⅱ)记集合M的含有四个元素的集合分别为：A1={a2,a3,a4,a5}，A2={a1,a3,a4,a5}，A3={a1,a2,a4,a5}，A4={a1,a2,a3,a5}，A5={a1,a2,a3,a4}，所以，M至多有5个“关联子集”，若A2={a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A1={a2,a3,a4,a5}，不是“关联子集”，否则a1=a2，同理可得若A2={a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A3，A4不是“关联子集”，所以集合M没有同时含有元素a2，a5的“关联子集”，与已知矛盾．所以A2={a1,a3,a4,a5}一定不是“关联子集”，同理A4={a1,a2,a3,a5}一定不是“关联子集”，所以集合M的“关联子集”至多为A1，A3，A5，若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a3的“关联子集”，与已知矛盾；所以A1，A3，A5都是“关联子集”，所以有a2+a5=a3+a4，即a5−a4=a3−a2；a1+a5=a2+a4，即a5−a4=a2−a1；a1+a4=a2+a3，即a4−a3=a2−a1；所以a5−a4=a4−a3=a3−a2=a2−a1，所以a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．(Ⅲ)不妨设集合M={a1,a2,…,a n}(n≥5)，a i∈N∗，i=1，2，…，n，且a1<a2<⋯<a n，记T ={t|t =a i +a j ,1≤i <j ≤n,i ，j ∈N ∗}，因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有C n2=n(n−1)2个元素，假设结论错误，即不存在x ∈M ，使得x >n 2−n+94，所以任取x ∈M ，x ≤n 2−n+94，因为x ∈N ∗，所以x ≤n 2−n+84，所以a i +a j ≤n 2−n+84+n 2−n+84−1=n 2−n+82−1=n 2−n 2+3，所以任取t ∈T ，t ≤n 2−n 2+3，任取t ∈T ，t ≥1+2=3，所以T ⊆{3,4，…，n 2−n 2+3}，且T 中含有C n2=n(n−1)2个元素，(i)若3∈T ，则必有a 1=1，a 2=2成立，因为n ≥5，所以一定有a n −a n−1>a 2−a 1成立，所以a n −a n−1≥2， 所以a n +a n−1≤n 2−n+84+n 2−n+84−2=n 2−n 2+2，所以T ={t|3≤t ≤n 2−n 2+2,t ∈N ∗}，所以a n =n 2−n+84，a n−1=n 2−n+84−2，因为4∈T ，所以a 3=3，所以有a n +a 1=a n−1+a 3，矛盾； (ii)若3∉T ，则T ⊆{4,5，…，n 2−n 2+3}，而T 中含有C n 2=n(n−1)2个元素，所以T ={t|4≤t ≤n 2−n 2+3,t ∈N ∗}所以a n =n 2−n+84，a n−1=n 2−n+84−1，因为4∈T ，所以a 1=1，a 2=3， 因为n 2−n 2+2∈T ，所以n 2−n 2+2=a n−2+a n ，所以a n−2=n 2−n+84−2，所以a n +a 1=a n−2+a 3，矛盾，所以命题成立．【解析】本题属于信息题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，组合，属于高难题； (Ⅰ)根据题意即可求解；(Ⅱ)根据题意，A 1={a 2,a 3,a 4,a 5}，A 2={a 1,a 3,a 4,a 5}，A 3={a 1,a 2,a 4,a 5}，A 4={a 1,a 2,a 3,a 5}，A 5={a 1,a 2,a 3,a 4}，进而利用反证法和等差数列的定义求解； (Ⅲ)不妨设集合M ={a 1,a 2,…,a n }(n ≥5)，a i ∈N ∗，i =1，2，…，n ，且a 1<a 2<⋯<a n ，记T ={t|t =a i +a j ,1≤t <j ≤n,i ，j ∈N ∗}，进而利用反证法求解；。
2020-2021第一学期海淀区高三数学期中试题及答案
4 / 47 2 海淀区 2020~2021 学年第一学期期中练习高三数学参考答案2020.11一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACCDBCABAB二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
题号 （11）（12）（13） （14）（15）答案2-3253 41 2π 3 π32 三、解答题共 6 小题，共 85 分。
（16）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）由正弦定理得：b sin B =c .sin C因为 sin B = 2sin C ， 所以 b = 2c .因为 cos A = 3， 0 < A < π ，4所以 sin A =因为 S = ，= 7 .4所以 S = 1 bc sin A = 1 ⨯ 2c 2⨯ sin A = 2 2所以 c 2 = 4 .7 .所以 c = 2 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b = 2c .因为 cos A = 3，4所以 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = 4c 2 + c 2 - 4c 2 ⨯ 3= 2c 2 .4所以 a = 2c .所 以 a= .c（17）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n } 的公差为 d ，则 a n = a 1 + (n -1)d .数学答案 第 1 页（共 10 页）1- cos 2 A⎩ 因为 a 5 = 9 ， a 3 + a 9 = 22 ，⎧a 1 + 4d = 9, 所以 ⎨2a+ 10d = 22. ⎩ 1⎧a 1 = 1,解得： ⎨d = 2.所以 a n = 2n -1 .（Ⅱ）选择①②设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 .因为 S 3 = 7 ，所以 b 2 = S 3 - b 1 - b 3 = 2 . 所 以 q =b 2= 2 .b 1b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择①③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 . 所以 q 2 =b 3= 4 ， q = ±2 .b 1因为 b n +1 > b n ，数学答案 第 2 页（共 10 页）所以 q = 2 .b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择②③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 S 3 = 7 ， b 1 = 1，所以 1 + q + q 2 = 7 . 所以 q = 2 ，或 q = -3 .因为 b n +1 > b n ， 所以 q = 2 .b (1 - q n )所 以 S n = 11 - q= 2n -1 .因 为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .（18）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）因为e x > 0 ，由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) > 0 ，得2x 2 - 3x > 0 . 所以 x < 0 ，或 x > 3 .2所以 不等式 f (x ) > 0 的解集为{x x < 0, 或 x > 3}.2（Ⅱ）由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) 得： f '(x ) = e x (2x 2 + x - 3)数学答案 第 3 页（共 10 页）= e x(2x + 3)(x -1) .令f '(x) = 0 ，得x =1 ，或x =-3 （舍）.2f (x) 与f '(x) 在区间[0, 2] 上的情况如下：x0 (0,1)1(1, 2) 2f '(x)- 0 +f (x) 0 ↘-e ↗2e2所以当x = 1 时，f (x) 取得最小值 f (1) =-e ；当x = 2 时，f (x) 取得最大值f (2) = 2e2.（19）（本小题共14 分）解：（Ⅰ）因为所以所以y = sin x 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +3π] （k ∈Z ）.2 22kπ +π≤x +π≤ 2kπ +3π ， k ∈Z .2 6 22kπ +π≤x ≤ 2kπ +4π ， k ∈Z .3 3所以函数f (x) 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +4π] （k ∈Z ）.3 3（Ⅱ）因为所以因为所以f (x) = 2sin(x +π) ，6f (x -π) = 2sin x .6g(x) =f (x) f (x -π) ，6g(x) = 4sin(x +π)sin x6= 4(3sin x +1cos x)sin x2 2= 2 3 sin2x + 2 cos x sin x= 3 (1- cos 2x)+ sin 2x= 2sin(2x -π) +33 .因为0 ≤x ≤m ，所 以-π≤ 2x -π≤ 2m -π .3 3 3因为g(x) 的取值范围为[0, 2 + 3] ，数学答案第 4 页（共10 页）所以 sin(2x -π) 的取值范围为[-33,1].2所 以 π≤ 2m -π≤4π.2 3 3解得： 5π≤m ≤5π .12 6所以m 的最大值为5π. 6（20）（本小题共14 分）解：由 f (x) =ax3- 3ax2+ 2 + 4a 可得： f '(x) = 3ax2- 6ax = 3ax(x - 2) .（Ⅰ）当a =-1 时，f (3) =-2 , f '(3) =-9 .所以曲线y =f (x) 在点(3, f (3)) 处的切线方程为y =-9x + 25 .（Ⅱ）①当a = 0 时，f (x) = 2 在R 上不具有单调性．②当a > 0 时，令 f '(x) = 0 得 x1= 0, x2= 2 .f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)+ 0- 0+f (x)极大值极小值所以 a ≥ 2 .③当a < 0 时，f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)- 0+ 0-f (x)极小值极大值所以 a + 3 ≤ 0 ，即a ≤-3 .综上所述，a 的取值范围是(-∞, -3] [2, +∞) .（Ⅲ）先证明： f (x1) +f (x2 ) ≥ 4 .由（Ⅱ）知，当a > 0 时，f (x) 的递增区间是(-∞,0) ，(2, +∞) ，递减区间是(0, 2) .因为 x1+x2> 2 ，不妨设 x1≤x2，则 x2> 1.数学答案第 5 页（共10 页）m - 4 a< a n 0 2 2 2 ①若 x 1 ≤ 0 ，则 x 2 > 2 - x 1 ≥ 2 .所以 f (x 1) + f (x 2) > f (x 1) + f (2 - x 1) = 4 + 4a > 4 .②若 x 1 > 0 ，因为 x 2 > 1，所以 f (x 1) + f (x 2 ) ≥ f (2) + f (2) = 4 ，当且仅当 x 1 = x 2 = 2 时取等号. 综上所述，f (x 1) + f (x 2 ) ≥ 4 .再证明： f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .假设存在常数 m （ m ≥ 4 ），使得对任意 x 1 + x 2 > 2 ， f (x 1) + f (x 2) ≤ m .取 x = 2 ，且 x > 2 + ，则1 2f (2) + f (x ) = 2 + ax 3 - 3ax 2 + 2 + 4a= 2 + ax (x - 2)2 + a (x - 2)2 + 2 > a (x - 2)2 + 4 > m ，2 222与 f (x 1) + f (x 2) ≤ m 矛盾.所以 f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .（21）（本小题共 15 分）解：（Ⅰ）取i =1, j = 2 ，则存在a k （ 2 < k < 4 ），使得 a k = 2a 2 - a 1 ，即 a 3 = 2a 2 - a 1 .因为 a 1 = a = 3 ， a 2 = b = 5 ，所以 a 3 = 2a 2 - a 1 = 7 .（Ⅱ）假设{a n } 中仅有有限项为0 ，不妨设 a m = 0 ，且当 n > m 时，a n 均不为0 ，则m ≥ 2 .取i = 1, j = m ，则存在a k （ m < k < 2m ），使得a k = 2a m - a 1 = 0 ，与 a k ≠ 0 矛盾.（Ⅲ）①当a < b 时，首先证明数列{a n } 是递增数列，即证∀n ∈ N * ， a n < a n +1恒成立.若不然，则存在最小的正整数 n 0 ，使得a n ≥ a n +1 ，且 a 1 < a 2 <.显然 n 0 ≥ 2 .取 j = n 0 ,i = 1, 2, , n 0 -1，则存在a k （ n 0 < k < 2n 0 ），使得数学答案 第 6 页（共 10 页）。
海淀区2020届高三一模数学(理)试题及答案(官方word版)
是否n =n +1开 始n =1n >9结束输出S输入11主视图1俯视图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 函数()f x =A.[0,)+∞B.[1,)+∞C.(,0]-∞D.(,1]-∞2. 某程序的框图如图所示，若输入的i z =（其中i 为虚数单位），则输出 的S 值为A.1-B.1C.i -D.i3. 若,x y 满足 +20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12z x y=+的最大值为A.52B.3C.72D.44. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 C. D.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在极坐标系中，圆1:2cos C ρθ=与圆2:2sin C ρθ=相交于,A B 两点， 则AB = A.1 D.27. 已知函数sin(),0,()cos(), 0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能．．成立的是 A. ππ,44a b ==- B. 2ππ,36a b == C. ππ,36a b == D. 5π2π,63a b ==8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知向量(1,),(,9),t t ==a b 若a b P ，则__.t = 10. 在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为___. 11. 在三个数1231, 2, log 22-中，最小的数是__.12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为π3，则C 的离心率为__;若C 的一个焦点到l 的距离为2,则C 的方程为__.13. 如图,在 在三角形三条边上的6个不同的圆内填上数字1,2,3其中的一个.(i) 当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有___种； (ii) 当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有__种.14. 已知函数()f x ，对于给定的实数t ，若存在0,0a b >>，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得 |()()|2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t . （i ） 当()2f x x =时，(0)H =___；（ii ）当2()f x x =且[1,2]t ∈时，函数()H t 的值域为___.DABC三、解答题共6小题，共80分。
【解析】北京市海淀区2020届高三上学期期中考试数学试题
海淀区高三年级第一学期期中练习数学一、选择题1.已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A. 2 B. 1C. 0D. 2-【答案】D 【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果． 【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-， ∴a 的值可以为2-． 故选：D ．【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 2.下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ）A. y x =B. 2y x =C. y x =D.1y x =-【答案】D 【分析】结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．【详解】由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43S S =（ ） A. 1 B.53C. 83D. 3【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，33S a =Q ，且30a ≠，11332a d a d ∴+=+，可得120a d -=≠．∴()11143111434232282 3232332a da a S S a a a d ⨯++⨯-==⨯=⨯-+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.不等式11x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 102x << B. 1x > C. 01x <<D. 0x <【答案】A 【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】不等式11x >的解集为()0,1，则其一个充分不必要条件可以是10,2⎛⎫⎪⎝⎭； 故选：A ．【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题．5.如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2απ+的值为（ ）A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】B 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin()2απ+的值． 【详解】角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，所以3cos 5α=则sin()3cos 52παα==+； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v .若32λμ+=，则=CD ABu u u vu u uv （ ） A.13B.12C. 1D. 2【答案】B 【分析】作出草图，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．可得四边形AECD 是平行四边形． AC AE AD =+u u u r u u u r u u u r，根据() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．可得1,AE AB μλ==u u u r u u u r ，又32λμ+=，可得12λ=，据此即可得出结果．【详解】如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ． ∴四边形AECD 是平行四边形．AC AE AD ∴=+u u u r u u u r u u u r， 又() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．1,AE AB μλ∴==u u u r u u u r，又3122λμλ+=∴=,，则1==2CDAE AB AB u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (,1]-∞- C. [0,)+∞ D. (,0]-∞【答案】A 【分析】根据题意将存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立转化为()()00f x f x -=-有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22x x k -=有根，进而转化为22y x x =-与y k =的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．【详解】∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-． 故选：A ． 【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．8.设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ=I 且()1i A B ϕ=U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=I ()i A ϕg ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=U ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A 【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N Aϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N ∴=∅=I U ，()()01i i A B A B ϕϕ∴==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B ϕ=I ，则()i A B ∉I ，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=；若()1i A B ϕ=I ，则()i A B ∈I ，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B Ai B ϕϕϕ=⋅I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B ϕ=U （）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题9.已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = _____ 【答案】6 【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【详解】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=． 故答案为：6．【点睛】本题考查平行向量坐标运算公式的应用，考查计算能力．10.函数()6f x x =的零点个数是________ 【答案】1 【分析】首先求出函数()f x 的定义域为{}|0x x ≥，将原问题转化为260=，解方程，即可得出()f x 的零点个数．【详解】由题意可知()f x 的定义域为{}|0x x ≥，令()60f x x ==，可得260-=， 2=-（舍去）或3=，9x ∴=；所以函数()6f x x =的零点个数为1个． 故答案为：1．【点睛】本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点．11.已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a =____，5678a a a a +++=_____ 【答案】 (1). 0 (2). 1 【分析】直接利用数列的递推关系式11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥，求出数列的首项和5678a a a a +++的值．【详解】数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =， 则112log 10a S ===； 又567884567822,log 8log 41a a a a S S a a a a +++=-∴+++=-=； 故答案为：0,1．【点睛】本题考查了数列的数列的递推关系式11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b v的始点和终点，则a b ⋅v v的最大值为____________【答案】3 【分析】由图可知，要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果．【详解】由题意可知：则 cos cos ,a b a b a b b a b ⋅=⋅<⋅>=<>r r r r r r r r r，所以要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大， 由图形可知：当向量b AC =r u u u r 时，向量b r 在向量a r上的投影最大，即cos ,a b b a b ⋅=<>r r r r r 即a b ⋅r r的最大值为3． 故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力．13.已知数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意*n N ∈都成立，则p 的取值范围为__________ 【答案】ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．【详解】数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意的*n N ∈都成立， 则maxln n p n ⎛⎫⎪⎝⎭≥， 设()ln x f x x＝，则()21ln x xx f x x⋅-'＝ ， 令()21ln 0xf x x-'＝＝，解得x e =， 所以函数的单调增区间为()0,e ，函数的减区间为(),e +∞， 所以函数在x e =时函数取最大值， 由于n N ∈，所以当3n =时函数最大值为ln 33．所以p 的取值范围是ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．14.已知函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________. 【答案】 (1). 2π (2). 2π【分析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积； ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值．【详解】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==．所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22 22222⋅+⋅=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则22πω⎭⋅＝，解得ω的最小值为2π．故答案为：2π，2π．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题15.已知数列{}n a为各项均为正数的等比数列，n S为其n前项和，23a=，3436a a+=. ()1求数列{}n a的通项公式；()2若121nS<，求n的最大值.【答案】()113-=nna；()2 4【分析】（1）设等比数列{}n a的公比为q，由2343,36a a a=+=，可得123113,36.a qa q a q=⎧⎨+=⎩，即可求出结果．（2）3112131nnS-=<-，即可得出结论．【详解】解:()1在等比数列{}n a中，设{}n a公比为q.因为2343,36a a a=+=所以123113,36.a qa q a q=⎧⎨+=⎩所以23336q q+=.即2120q q+-=.则3q=或4q=-.因为0na>，所以0q>，所以3q=.因为213a a q ==， 所以11a =.所以数列{}n a 的通项公式1113n n n a a q --==()2在等比数列{}n a 中，因为()()1111nn a q S q q-=?-所以()13131132n nn S -==--因为121n S <， 所以()1311212nn S =-<. 所以3243n <. 所以5n <. 因为*n N ∈.所以4n ≤.即n 的最大值为4.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数π()=2sin cos()3f x x x ++. ()1求函数()f x 的最小正周期； ()2若()0f x m +≤对π[0,]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】()1π；()2(,1]-∞- 【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．【详解】解:()1因()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin sin 332x x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭12sin cos 222x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos 2x x x =-+1sin 222x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ== ()2“()0f x m +≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立”等价于“()max 0f x m +≤”因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=，即12x π=时()f x 的最大值为112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以10m +≤，所以实数m 的取值范围为(,1]-∞-.【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 17.已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0,(0))f 处切线方程为1y x =+()1求,b c 的值；()2若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.【答案】()111b c =⎧⎨=⎩；()2()(),00,1-∞⋃ 【分析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于,b c 的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定a 的范围即可． 【详解】解：()1()2'2f x ax x b =++因为()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+，所以()()0101f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩解得11b c =⎧⎨=⎩ ()2()32113f x ax x x =+++，①当0a =时，()21f x x x =++不存在极大值，不符合题意.②当0a >时，()221f x ax x =++.令2210ax x ++=.(i )当440a =-≤V ，即1a ≥时，不符合题意.(ii )当440a =->V ，即01a <<时，方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根. 设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以()1f x 为极大值.③当0a <时，440a =->V 恒成立.设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '变化如表所示:所以，()2f x 为极大值.综上，若函数()f x 存在极大值，a 的取值范围为()(),00,1-∞⋃.【点睛】本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是一道综合题． 18.在ABC ∆中，7,5,8a b c ===.()1求sin A 的值；()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设APk PC=. ①求k 的取值范围；②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得APk PC=. 【答案】()1()2①⎛ ⎝⎦；②答案不唯一，取值在区间⎛ ⎝⎭上均正确【分析】（1）利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值； （2）①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围；②根据共线的条件求出在区间1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上即可【详解】解:()1在ABC V 中，7,5,8,a b c ===根据余弦定理2222b c a cosA bc +-=所以2225871cos 2582A +-==⨯⨯因为()0,A π∈，所以sinA =2=()2①在ABC V 中，根据正弦定理，得sin sin CP APA ACP=∠sin sin sin sin3AP ACP ACP k ACPPC A π∠∠====∠ 因为点P 为射线AB 上一动点， 所以20,3ACR π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭所以k的取值范围为⎛ ⎝⎦②答案不唯一.取值在区间1,3⎛ ⎝⎭上均正确.【点睛】本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19.已知函数ln ()x xf x e=. ()1判断函数()f x 在区间(0)1，上的单调性，并说明理由； ()2求证：1()2f x <.【答案】()1单调递增，理由见解+析；()2证明见解+析 【分析】（1）因为()0,1x ∈，对()f x 求导，可证()0f x '>恒成立，即可证明结果； （2）证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”．求()f x 的最大值即可证明． 【详解】()1函数()f x 在区间()0,1上是单调递增函数. 理由如下:由()x lnx f x e=，得()1x lnxx f x e-'=因为()0,1x ∈，所以11,ln 0x x ><. 因此10lnx x->.又因为0x e >， 所以()0f x '>恒成立.所以()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.()2证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”由题意可得，(0,)x ∈+∞.因为()1xlnxx f x e-'=令()1lnx xg x -=，则()2110g x x x '=--<.所以()g x 在()0,∞+上单调递减 因为()()1110,10g g e e=>=-<， 所以存在唯一实数0x ，使得()00g x =，其中()01,x e ∈.()(),, x f x f x '的变化如表所示:所以()0f x 为函数()f x 的极大值. 因为函数()f x 在(0,)+∞有唯一的极大值. 所以()()00max ln ox x f x f x e==因为001lnx x =， 所以()()000max 0ln 1o x x x f x f x e x e === 因为()01,x e ∈ 所以()0max 01112x f x x e e =<< 所以()12f x <【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求函数极值与最值，熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题．20.已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集； ()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>. 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解+析； ()3证明见解+析【分析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<.记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈，进而利用反证法求解；【详解】解:()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，;{}1,2,3,5,8是“独立的”()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为:{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =.所以，M 至多有5个“关联子集”.若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a = 同理可得若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”. 所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾.所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集” 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”. 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A .若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 所以135,,A A A 都是“关联子集”所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-. 1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-. 所以12345,,,,a a a a a 是等差数列.()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<.记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈.因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素.假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+所以任取t T ∈，232n nt -≤+任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素. (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立.因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立.所以12n n a a --≥.所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=因为4T ∈，所以121,3a a ==.因为222n n T -+∈，所以2222n n n na a --+=+所以22824n n a n --+-=所以123n a a a a -+=+n ，矛盾. 所以命题成立.【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.- 21 -。
2019-2020学年海淀高三年级第二学期数学期中练习试题-附详细答案(理)
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2019.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}32<<x xB. {}32<≤x xC. {}322<≤-≤x x x 或D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0 B．1 C ．2 D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m 6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ，D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：乙丙0.0002甲①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ；(Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；ACP BD A DFEB G C(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）答案及评分参考 2019．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =-- , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分 （II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分所以sin B=sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a =， …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥， 又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分 ∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分H ADFEBGC又,BH DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0）， C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,6EB =<>==-θn ， …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为 …………………………14分 17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分 （Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP = ……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ ……………8分 设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤. ………………………13分 综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①② ………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分 由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分因为12k≤，得23434k≤+≤，有2331443k≤≤+，2OP≤≤. ………………………13分所求OP的取值范围是. ………………………14分20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)jk k k k k j======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)mb b b b b m==+==++====112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g bg b bg b b bg b b b bg b b b b b=-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()mg m g m b n++-=-，根据“数列A含有n项”及jb的含义知1mb n+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg①…………………7分另一方面，设整数{}12max,,,nM a a a=，则当m M≥时必有mb n=，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M≥≥≥-==+=所以()g m的最小值为(1)g M-. …………………9分下面计算(1)g M-的值：1231(1)(1)Mg M b b b b n M--=++++--1231()()()()Mb n b n b n b n-=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]Mk k M k=-+++-12312(23)()M Mk k k Mk k k k=-++++++++123()n Ma a a a b=-+++++123()na a a a n=-+++++…………………12分∵123100na a a a n++++-=，∴(1)100,g M-=-∴()g m最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B xx a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．2-【答案】D2．下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ） A ．y x = B ．2y x =C ．y x x =+D ．1y x =-【答案】D3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43S S =（ ） A ．1 B ．53C ．83D ．3【答案】C4．不等式11x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．102x << B ．1x > C ．01x <<D ．0x <【答案】A5．如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2απ+的值为（ ）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】B6．在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r .若32λμ+=，则=CDABu u u r u u u r （ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】B7．已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞【答案】A8．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i Aϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ=I 且()1i A B ϕ=U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=I ()i A ϕg ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=U ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A二、填空题9．已知向量()1,2,(3,)a b t ==r r ，且//a b r r，则t = _____ 【答案】610．函数()6f x x =的零点个数是________ 【答案】111．已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a =____，5678a a a a +++=_____ 【答案】0 112．如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b r的始点和终点，则a b ⋅r r的最大值为____________【答案】313．已知数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意*n N ∈都成立，则p 的取值范围为__________【答案】ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果． 【详解】数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意的*n N ∈都成立， 则maxln n p n ⎛⎫⎪⎝⎭≥， 设()ln x f x x＝，则()21ln x xx f x x ⋅-'＝ ， 令()21ln 0xf x x-'＝＝，解得x e =， 所以函数的单调增区间为()0,e ，函数的减区间为(),e +∞， 所以函数在x e =时函数取最大值， 由于n N ∈，所以当3n =时函数最大值为ln 33． 所以p 的取值范围是ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．14．已知函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.【答案】2π2π【解析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积；②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值． 【详解】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==．所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22 22222⋅+⋅=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则222222πω⎭⋅＝， 解得ω的最小值为 2π． 故答案为：2π， 2π． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题15．已知数列{}n a 为各项均未正数的等比数列，n S 为其n 前项和，23a =，3436a a +=.()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若121nS<，求n 的最大值.【答案】()113-=n n a ；()2 4【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由2343,36a a a =+=，可得123113,36.a q a q a q =⎧⎨+=⎩，即可求出结果． （2）3112131n n S -=<- ，即可得出结论．【详解】解:()1在等比数列{}n a 中，设{}n a 公比为q . 因为2343,36a a a =+=所以123113,36.a q a q a q =⎧⎨+=⎩ 所以23336q q +=.即2120q q +-=. 则3q =或4q =-. 因为0n a >， 所以0q >， 所以3q =. 因为213a a q ==， 所以11a =.所以数列{}n a 的通项公式1113n n n a a q --==()2在等比数列{}n a 中，因为()()1111nn a q S q q-=?-所以()13131132n nn S -==--因为121n S <， 所以()1311212nn S =-<. 所以3243n <. 所以5n <. 因为*n N ∈.所以4n ≤.即n 的最大值为4. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数π()=2sin cos()3f x x x ++.()1求函数()f x 的最小正周期；()2若()0f x m +≤对π[0,]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】()1π；()2(,1]-∞-【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果． 【详解】解:()1因为()2sin cos 32f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin sin 332x x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭12sin cos 2x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x =1sin 222x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ== ()2“()0f x m +≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立”等价于“()max 0f x m +≤”因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=，即12x π=时()f x 的最大值为112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以10m +≤，所以实数m 的取值范围为(,1]-∞-. 【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 17．已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+()1求,b c 的值；()2若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.【答案】()111b c =⎧⎨=⎩；()2()(),00,1-∞⋃ 【解析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于,b c 的方程组，解出即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定a 的范围即可． 【详解】解：()1()2'2f x ax x b =++因为()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+，所以()()0101f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩解得11b c =⎧⎨=⎩()2()32113f x ax x x =+++，①当0a =时，()21f x x x =++不存在极大值，不符合题意.②当0a >时，()221f x ax x =++.令2210ax x ++=.(i )当440a =-≤V ，即1a ≥时，不符合题意.(ii )当440a =->V ，即01a <<时，方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根. 设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以()1f x 为极大值.③当0a <时，440a =->V 恒成立.设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以，()2f x 为极大值.综上，若函数()f x 存在极大值，a 的取值范围为()(),00,1-∞⋃. 【点睛】本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是一道综合题． 18．在ABC ∆中，7,5,8a b c ===.()1求sin A 的值；()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设APk PC=. ①求k 的取值范围；②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得APk PC=.【答案】()1()2①⎛ ⎝⎦；②答案不唯一，取值在区间⎛ ⎝⎭上均正确 【解析】（1）利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值； （2）①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围；②根据共线的条件求出在区间1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上即可【详解】解:()1在ABC V 中，7,5,8,a b c ===根据余弦定理2222b c a cosA bc +-=所以2225871cos 2582A +-==⨯⨯因为()0,A π∈，所以sinA =2=()2①在ABC V 中，根据正弦定理，得sin sin CP APA ACP=∠sin sin sin sin3AP ACP ACP k ACPPC A π∠∠====∠ 因为点P 为射线AB 上一动点， 所以20,3ACR π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭所以k的取值范围为⎛ ⎝⎦②答案不唯一.取值在区间1,3⎛ ⎝⎭上均正确.【点睛】本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．已知函数ln ()xx f x e =. ()1判断函数()f x 在区间(0)1，上的单调性，并说明理由； ()2求证：1()2f x <.【答案】()1单调递增，理由见解析；()2证明见解析【解析】（1）因为()0,1x ∈，对()f x 求导，可证()0f x '>恒成立，即可证明结果； （2）证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”．求()f x 的最大值即可证明． 【详解】()1函数()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.理由如下:由()x lnx f x e=，得()1x lnxx f x e-'=因为()0,1x ∈，所以11,ln 0x x ><. 因此10lnx x->.又因为0x e >， 所以()0f x '>恒成立.所以()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.()2证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”由题意可得，(0,)x ∈+∞.因为()1xlnxx f x e-'=令()1lnx xg x -=，则()2110g x x x '=--<.所以()g x 在()0,∞+上单调递减 因为()()1110,10g g e e=>=-<， 所以存在唯一实数0x ，使得()00g x =，其中()01,x e ∈.()(),, x f x f x '的变化如表所示:所以()0f x 为函数()f x 的极大值. 因为函数()f x 在(0,)+∞有唯一的极大值. 所以()()00max ln ox x f x f x e == 因为001lnx x =， 所以()()000max 0ln 1o x x x f x f x e x e === 因为()01,x e ∈所以()0max 01112x f x x e e =<< 所以()12f x < 【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求函数极值与最值，熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题．20．已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集； ()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>. 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解析； ()3证明见解析【解析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<.记{}*,1,i j T t t a a i j j N ==+<<∈，进而利用反证法求解；【详解】解:()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，;{}1,2,3,5,8是“独立的”()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为:{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =.所以，M 至多有5个“关联子集”.若{}21345 ,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a =同理可得若{}21345 ,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”.所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾.所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集” 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”. 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A .若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；所以135,,A A A 都是“关联子集”所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-. 1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-. 所以12345,,,,a a a a a 是等差数列.()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<. 记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈.因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素.假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+所以任取t T ∈，232n nt -≤+任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素. (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立.因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立.所以12n n a a --≥.所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=因为4T ∈，所以121,3a a ==.因为222n n T -+∈，所以2222n n n n a a --+=+所以22824n n a n --+-=所以123n a a a a -+=+n ，矛盾. 所以命题成立. 【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.。
2020届海淀区高三期中数学试卷及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区高三数学第一学期理科期中试题
海淀区高三年级第一学期期中练习数学( 理科 ) 2020．11一、选择题：本大题共8 小题．每题 5 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的(1) 已知全集U= 1,2,3,4,5, 会合A= 1,4,5, 会合B= 2,3,4，那么会合1,5等于( )(A)A I( e B)(B) e (I B)U U(C) e (AU B)(D)AU( e B)U U(2) 若 a,b R, 则“a2f b2”是“ a f b ”的( )(A)充足而不用要条件(B)必需而不充足条件(C)充足必需条件(D)既不充足也不用要条件(3) 已知等比数列a n中，a1·a5=4，那么a1·a2·a3·a4·a5等于( )(A) ±64(B)64(C) ±32(D)32(4) 若函数f x a2 1的图像经过点(2，4)，则 f12的值是( )(A)1(B)3(C)2 (D)42 2(5)假如在一周内 ( 周一至周日 ) 安排三所学校的学生观光某展览馆，每日最多只安排一所学校，要求甲学校连续观光两天，其他两所学校均只观光一天，那么不一样的安排方法有()(A)50种(B)60种(C)120种(D)210种(6)已知对于 x 的方程x2kx k 3 0 k R 有两个正根．那么这两个根的倒数和的最小值是( )(A)-2(B)28(D)l(C)93(7)已知函数 f x 的图象以下图．，f 'x是函数 f x 的导函数,且 y f x 1 是奇函数, 那么以下结论中错误的选项是( )(A)f 1 x f x 1 0(B) f ' x x 1 ≥ 0(C) f x x 1 ≥O(D)lim f xf 0x 0(8) 已知等差数列a n 的通项公式 a n 2n 1 n 1,2,3,，Tn 1an 1 ,n 为奇数2T 1 a 1 ,T n（ n=2， 3， ）T n 1ana n1， n 为偶数22那么T 2n(A) 2n1(B)11 n 625， n=1（ C ）(D)3n 2 2n4n 2 3n 6, n 1二、填空题：本大题共 6 小题。
北京市海淀区一零一中学2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
北京市海淀区一零一中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}AB ，则a 的值为（ ）A. ﹣2或﹣1B. 0或1C. ﹣2或1D. 0或﹣2【答案】C 【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2.已知向量(1,2),b (m,4)a -=，且a∥b,那么2a-b= () A. （4，0） B. （0，4）C. （4，-8）D. （-4，8）【答案】C 【解析】因为向量()()1,2,,4m =-=a b ，且a ∥b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m m a b ⨯=-⨯∴=-∴-=---=-. 本题选择C 选项.3.已知3(,)22ππα∈，且tan α=，那么sin α=A. -B. -【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果．【详解】因为3(,)22ππα∈，sin tan cos ααα=>0，故3(,)2παπ∈即sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=3- 故选 ：B【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（ ）A. 10023-B. 10123-C. 10221-D.10223-【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C 【解析】【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 132x x x << B. 321x x x << C. 312x x x << D. 213x x x <<【答案】A【解析】【分析】在坐标系中作出函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的图象，将1x、2x、3x分别视为函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log1y x=+、3logy x=、2logy x=交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.【详解】作函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x、3x、2x，所以132x x x<<．故选A．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.设函数()f x=sin（5xωπ+）(ω＞0)，已知()f x在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D【解析】 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 二、填空题共6小题 9.已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________．【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案． 详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,a b ==，所以z =，则z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 10.已知函数()1cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____. 【答案】12π【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值. 【详解】()11cos cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ()26k k Z πϕπ-=∈，()122k k Z ππϕ∴=-∈，由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11.不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >- 【解析】 【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立. 【详解】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-.下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤.所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-.【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm . 【答案】(1).(2). 4【解析】 【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai的宽度为12i a +，()1A i +的长度为212i i a a ++=，所以，数列{}n a是以2为公比的等比数列， 由题意知4A纸的宽度为522a =，5a ∴=51214a a ∴===⎝⎭所以，0A纸的面积为(2221122S ==⨯=，又2n n S =，222111122n n n n n nS a S a +++⎛⎫∴==== ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S是以12为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于921121412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-.故答案为：642；5112. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q ，若OP aOA bOB =+，则+a b 的取值范围是_________.【答案】()0,1 【解析】 【分析】设OP kOQ =，可得出()0,1OP k OQ=∈，并设OQ OA OB λμ=+，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b 的取值范围.【详解】设OP kOQ =，可得出()0,1OP k OQ=∈，设OQ OA OB λμ=+，由于A 、B 、Q 三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOB λμλμ==+=+=+，则a k λ=，b k μ=，()()0,1a b k k k k λμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b 的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1.【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为1，即2211k kk +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题共6小题。
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（B）
（C）
（D）
（4）已知实数 ， ， 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）在 的展开式中，常数项为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）如图，半径为 的圆 与直线 相切于点 ，圆 沿着直线 滚动.当圆 滚动到圆 时，圆 与直线 相切于点 ，点 运动到点 ，线段 的长度为 ，则点 到直线 的距离为
（A）1
（B）
（C）
（D）
（7）已知函数 与函数 的图象关于 轴对称.若 在区间 内单调递减，则 的取值范围为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）若数列 满足 ，则“ ， ， ”是“ 为等比数列”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（10）形如 （ 是非负整数）的数称为费马数，记为 .数学家费马根据 , , , , 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出 不是质数，那么 的位数是
（参考数据： ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
①函数 的最大值为 ；
②函数 的图象的对称轴方程为 ；
③关于 的方程 最多有 个实数根.
其中，所有正确结论的序号是.
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题共14分）
（21）（本小题共14分）
已知数列 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数 ，使得 对任意的 成立，则称数列 具有性质 .
（Ⅰ）分别判断下列数列 是否具有性质 ；(直接写出结论)
； .
（Ⅱ）若数列 满足 ≥ ，求证：“数列 具有性质 ”是“数列 为常数列”的充分必要条件；
（Ⅲ）已知数列 中 ，且 .若数列 具有性质 ，求数列 的通项公式.
海淀区高三年级第二学期阶段性测试
数学
第一部分
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数 对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（2）已知集合 ， ，则集合 可以是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知双曲线 的离心率为 ，则 的值为
如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，
点 为 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小.
（17）（本小题共14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）从 ， ； ， 这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数 在 , 上的最小值，并直接写出函数 的一个周期.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.
（11）已知点 在抛物线 上，则抛物线 的准线方程为.
（12）在等差数列 中， ， ，则数列 的前 项的和为.
（13）已知非零向量 ， 满足 ，则 .
（14）在△ 中， ， ，点 在边 上， ， ，
则 ；△ 的面积为.
（15）如图，在等边三角形 中， .动点 从点 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到 点，记 运动的路程为 ，点 到此三角形中心 距离的平方为 ，给出下列三个结论：
（19）（本小题共15分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，
求曲线 在点 处的切线方程；
②求函数 的最小值；
（Ⅱ）求证：当 ， 时，曲线 与 有且只有一个交点．
（20）（本小题共14分）
已知椭圆 的离心率为 ， ， ， ，
△ 的面积为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 是椭圆 上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 .求证：△ 为等腰三角形.
（18）（本小题共14分）
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）.