希尔伯特23个问题

连续统假设提示：本条目的主题不是连续体假设。

在数学中，连续统假设（英语：Continuum hypothesis，简称 CH）是一个猜想， 也是希尔伯特的 23 个问题的第一题，由康托尔提出，关于无穷集的可能大小。

其为：在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。

康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小， 也证明了整数集的基数绝对小 于实集的基数。

康托尔也就给了出连续统假设，就是说，在无限集中，比自然数 集{0，1，2，3，4......}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。

而连续 统就是实数集的一个旧称。

更加形式地说，自然数集的基数为 为 。

而连续统假设的观点认为实数集的基数。

由是，康托尔定义了绝对无限。

等价地，整数集的序数是 出不存在一个集合 使得("艾礼富数")而实数的序数是，连续续假设指假设选择公理是对的， 那就会有一个最小的基数 连续统假设也就等价于以下的等式：大于， 而连续统假设有个更广义的形式，叫作广义连续统假设（GCH），其命题为：对于所有的序数 ,库尔特·哥德尔在 1940 年用内模型法证明了连续统假设与 ZFC 的相对协调性， 保罗·柯恩在 1963 年用力迫法证明了连续统假设不能由 ZFC 推导。

也就是说连 续统假设成立与否无法由 ZFC 确定。

作为希尔伯特第一问题主条目：希尔伯特的 23 个问题1900 年, 大卫· 希尔伯特以 “连续统假设是否成立” 作为 “希尔伯特第一问题” 。

Kurt Godel 和 Paul Cohen 确定了连续统假设在 ZFC 系统下，加上了选择公理， 也不能证明或证否。

Cohen 的结果并没有被广泛认同作为连续统假设问题的解决，而希尔伯特的问题 依然为当代研究的热门课题。

(见 Woodin 2001a).集合的大小主条目：基数 要正式地列出这个猜想， 我们需要一些定义：假如两个集合 S 与 T 之间存在着一 个双射，我们会说这两个集合拥有相同的基数。

直观的意思是在“T 的每个元素 只能配上仅仅一个 S 的元素，反之亦然”这个前提下，把 S 与 T 的元素拿出来配 对是可能的。

因此，集合{蕉, 苹果, 橙}与集合{黄, 红, 绿}拥有相同基数。

当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。

当考 虑所有有理数的集合时， 有些门外汉可能会天真地认为有理数理所当然地多于整 数，而有理数又显然少于实数，因此把连续统假设证否。

但透过简单集合论的方 法， 我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有着一样 的大小， 而它们都被称为可列集。

对角论证法则证明了整数集跟连续统 （实数集） 的基数并不一样。

连续统假设亦指出，实数集中每一个子集，要么和整数集有相同的基数，要么和 实数集有相同的基数。

证明或证否的不可能性（在 ZFC 系统下）康托尔相信连续统假设是对的，花了很多年尝试证明它，结果徒劳无功。

它成为 了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在 1900 年巴黎的国际数学家大会上 宣布此事。

在那个时候，还没有公理化集合论的概念。

库尔特·哥德尔在 1940 年指出连续统假设不能在 ZFC 系统下证否，即使接受了 选择公理为前提。

这个定理称为哥德尔定理。

Paul Cohen 在 1963 年证明了连续 统假设同样不能在 ZFC 下被证明。

因此，连续统假设“逻辑地独立于”ZFC。

这 些结果都是以 ZFC 的公设系统本身并不存在自相矛盾（相容性）为假设大前提， 而这个大前提是被广泛接受为对的。

连续统假设并非被证明跟 ZFC 互相独立的第一个命题。

哥德尔不完备定理一个立 即的结论在 1931 年被发表，那是“‘存在着一个正式命题表达 ZFC 的相容性’ 乃独立于 ZFC”。

有别于纯粹数学的，这个一致的命题乃是有着在数学之上的特 性。

连续统假设和选择公理乃是最先被证明跟 ZF 集合论独立的命题。

在 Paul Cohen 在 1960 年代发展出力迫法以前，这些独立性的证明并没有完成。

连续统假设与数学分析、 点集拓扑学和测度论中很多的命题有紧密关系。

由于其 独立性，很多这些范畴中的猜想也就被证明了其独立性。

支持和反对连续统假设的辩论哥德尔相信连续统假设是错的，而他对于连续统假设相容性的证明，只表示了 ZF 系统的公理有缺陷。

哥德尔是一个柏拉图主义者，因此独立于一个命题的可 证性而宣称其正确或错误，对他来说并无问题。

Paul Cohen 也倾向于反对连续 统假设。

历史上，喜欢一个“丰富”而且“大”的全集的数学家倾向反对连续统假设；而 喜欢一个“整齐”而且“可控制”的全集的数学家则倾向支持连续统假设。

对于 能推导出连续统假设的可建造公理， 一直以来也有一些支持与反对的争论。

最近， Matthew Foreman 更指出本体论的多元主义对支持连续统假设有利(Maddy 1988, p. 500)。

这是因为在各种模型里面，支持连续统假设的模型往往会存在更多集 合。

另一个观点是对于集合的幼稚概念并不足够明确地使我们能分辨究竟连续统假 设是对是错。

这个观点被“连续统假设对于 ZFC 系统的独立性”所支持，由于这 些公理足够建立集合与基数的基本特性。

要反对这一观点，要是能展示一条既能 被直观所支持、又能从证明或证否面解决连续统假设的新公理，那就很足够了。

尽管可建造公理能解决连续统假设， 但它比较起连续统假设的反题并不显得更直 观地正确。

至少有另外两个可推导出连续统假设的公理被提出， 即使它们目前还没有被数学 社群所广泛接受。

1986 年， 在 Chris Freiling 展示了一个反连续统假设的论点， 透过显示连续统的反题跟 Freiling 对称公理──一个跟概率有关的命题──等 价。

Freiling 相信这条公理 “直观正确” 但其它人反对。

， 一个由 W. Hugh Woodin 发展的困难论点同样反连续统假设，并自 2000 年开始获得了值得考虑的注意。

Foreman (2003) 并没有完全反对 Woodin 的论点但敦促小心谨慎。

广义连续统假设广义连续统假设（Generalized continuum hypothesis，简称 GCH）是指： 若一个无限集 的基数在另一个无限集 与其幂集 定与 或其幂集 相同。

之间，则 的基数必CH 与 GCH 都独立于 ZFC，不过 Sierpiński 证明了 ZF+GCH 可以推导出选择公理， 换句话说，不存在 ZF+GCH 但 AC 不成立的公设系统。

任何的无限集合 A 和 B，假如存在一个由 A 到 B 的单射，那就存在一个由 A 的子 集到 B 的子集的单射。

因此对于任何有限的序数 A 和 B， . 假如 A 和 B 是有限集合，那我们可以得到更强的不等式：GCH 意味着这个严格的不等式对无限序数和有限序数都成立。

希尔伯特第二问题希尔伯特第二问题， 即关于一个公理系统相容性的问题， 也就是判定一个公理系 统内的所命题是彼此相容无矛盾的， 希尔伯特希望能以严谨的方式来证明任意公 理系统内命题的相容性。

库尔特·哥德尔在 1930 年证明了哥德尔不完备定理，粉碎了希尔伯特的梦想。

希尔伯特第三问题维基百科，自由的百科全书 跳转到： 导航, 搜索 希尔伯特第三问题是希尔伯特的 23 个问题中认为最容易解决的一个。

此题是问： “已知两个多面体有相同体积， 能否把其中一个多面体分割成有限块再将之给合 成另一个？”根据高斯之前的作品，希尔伯特断定此为不可以的。

这个猜想在几 年内被他的学生马克斯· 德恩以一反例证明了是不可以的了。

但其二维空间的情 况却可能（参见华勒斯·波埃伊·格维也纳定理）。

希尔伯特第四问题希尔伯特第四问题为大卫·希尔伯特于 1900 年提出的一则几何学基本问题，主 旨是建立所有度量空间使得所有线段为测地线[1]。

由于希尔伯特对于这个问题的 定义过于含糊，所以此问题未能有一确实定义性的解答。

乔治·哈梅尔(Georg Hamel)提出一个解答。

[来源请求]希尔伯特第五问题希尔伯特第五问题， 即是否所有连续群都是可微群的问题。

它由德国著名数学家 大卫· 希尔伯特在 1900 年的国际数学家大会提出，是当时他提出的 23 个问题之 一。

1953 年日本数学家山边英彦证明了这个问题的答案是肯定的。

希尔伯特第六问题希尔伯特第六问题即公理化物理。

虽然物理学并非数学， 但是两者之间的关系密 切， 许多物理学上的概念可借由数学来明确化，而数学上有一些东西的灵感也是 来自于物理学的研究，微积分就是最著名的例子，因此希尔伯特认为能使用数学 上公理化的概念来将物理学给公理化，而后来也确实有人进行这项工作，并且也 获得了成功，凡举古典力学、机率论、热力学、狭义相对论乃至于量子力学都有 人进行公理化的工作。

希尔伯特第七问题希尔伯特第七问题是一个有关无理数及超越数的问题，包括以下二个问题： 1. 在等腰三角形中， 若底角和顶角的比值为无理数的代数数，则底边和侧边 长度的比值是否恒为超越数？ 2. 若 b 是无理数、a 是非 0、1 的代数数，那么 否恒为超越数？ 第二个问题已于 1934 年由阿勒克山德·格尔丰德（Aleksandr Gelfond）证明， 西奥多·施奈德（Theodor Schneider）也在 1935 年独立证明此问题，他们证明 的结果即为格尔丰德－施奈德定理。

在第二个问题成立后，也意味着第一个问题成立。

（例如 、 = ）是希尔伯特第八问题希尔伯特第八问题是希尔伯特的 23 个问题之一，它包含了几个数论上悬而未决 的问题，这些问题看似简单，但事实上若要证明是非常困难的。

它包含了以下几 个问题：  黎曼猜想：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点(在此情况下是指 s 不为-2、-4、 -6‧‧‧等点的值)的实数部份是½。

哥德巴赫猜想：任一大于 2 的偶数，都可表示成两个质数之和。

孪生素数猜想： 是否有无穷多个相差 2 的素数， 例如 3,5； 5,7； 11,13； ...。

虽然这些问题的研究已有进展，但这些问题现在尚未解决。

希尔伯特第九问题希尔伯特第九问题是希尔伯特的 23 个问题的一个问题，要在一般代数数域中找 到可以对应 k 阶范式剩余的互反律，[1]其中 k 为质数，而范式剩余是利用希尔伯 特符号计算。

进展在此问题的求解上， 已有一些进展， 但还没完全解决。

埃米尔· （1924; 1927; 阿廷 1930）发现了处理代数数域下阿贝尔扩展的阿廷互反律。