双星及三星系统和万有引力综合问题(精选.)

（10）双星及三星系统和万有引力综合问题

一、双星系统

在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L ，质量分别为M 1和M 2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。 特点：（1）向心力相同由双星之间的引力提供21n n F F = （2）周期相同：21T T = （3）角速度相同：21ωω=

解题思路：双星之间的万有引力提供向心力 研究M 1 12122

1R M L M GM ω= 研究M 2

2222

21R M L

M GM ω= 两式相除得

1

2

21M M R R =(半径与质量成反比) 又 L R R =+21 得L M M M R 2121+=

，L M M M R 2

11

1+=，()L M M G L T 2112+==πω， r v ω=（线速度与半径成正比）

等效模型：中心天体质量M 1+M 2，一卫星围绕其做圆周运动，半径为L 。（方便计算

两卫星总质量和双星周期）即()L T

m L m M M G 22

2

214π=+ 例题1：经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”是由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如右图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力的作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知( ) A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2 B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2

引力距离

轨道半径

C ．m 1做圆周运动的半径为52

L

D ．m 2做圆周运动的半径为5

2

L

例题2：双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )

A ．

n 3

k 2T B ．

n 3

k T C ．

n 2k T

D ．

n k T

例题3：我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S 1到C 点的距离为r 1,S 1和S 2的距离为r,万有引力常量为G.由此可求出S 2的质量为

例题4：两颗靠得很近的天体组合为双星，它们以两者连线上的某点为圆心，做匀速圆周运动，以下说法中正确的是( )

A ．它们做圆周运动的角速度大小相等

B ．它们做圆周运动的线速度大小相等

C ．它们的轨道半径与它们的质量成反比

D ．它们的轨道半径与它们的质量的平方成反比

例题5：天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算

这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）23

24GT r

二、三星问题

（1）三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。

运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：

()

r v m r T m r m ma r Gm r Gm n 2222

2

22242====+πω

两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

（2）如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：

r

v m r T m r m ma L Gm n 2222

22430cos 2====⨯⨯︒πω

其中L ＝2r cos 30°︒=30cos 2r L 。

三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 例题5：如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则( )

A ．甲星所受合外力为5GM 2

4R 2 B ．乙星所受合外力为GM 2

R 2 C ．甲星和丙星的线速度相同 D ．甲星和丙星的角速度相同

例题6：宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则( )

A ．每颗星做圆周运动的线速度为

Gm R B ．每颗星做圆周运动的角速度为

3Gm R 3

C．每颗星做圆周运动的周期为2π

R3 3Gm

D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关三、万有引力的综合问题

1.2014年8月11日，天空出现了“超级月亮”，这是月球运动到了近地点的缘故。然后月球离开近地点向着远地点而去，“超级月亮”也与我

们渐行渐远。在月球从近地点到达

远地点的过程中，下面说法正确的

是()

A．月球运动速度越来越大

B．月球的向心加速度越来越大

C．地球对月球的万有引力做正功

D．虽然离地球越来越远，但月球的机械能不变

2.2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙—2251”卫星和美国“铱—33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是

A．甲的运行周期一定比乙的长

B．甲距地面的高度一定比乙的高

C．甲的向心力一定比乙的小

D．甲的加速度一定比乙的大

3.如图，地球赤道上山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地球做

匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运

动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则

A．v1>v2>v3B．v1

C．a1>a2>a3D．a1

4.2013年12月2日1时30分，搭载嫦娥三号探测器的长征三号乙火箭点火升空。假设为了探测月球，载着登陆舱的探测飞船在以月球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1登陆舱随后脱离飞船，变轨到离月球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2。最终在月球表面实现软着陆、无人探测及月夜生存三大创新。若以R表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响。则下列有关说法正确的是()

A．月球表面的重力加速度g月＝

4π2r1

T12

B．月球的第一宇宙速度为

2πRr13

T1

C．登陆舱在半径为r2轨道上的周期T2＝

r23

r13T1 D．登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上的线速度之比为

m1r2

m2r1

5.如图所示，飞行器P绕某星球做

匀速圆周运动。星球相对飞行器的

张角为θ。下列说法正确的是()

A．轨道半径越大，周期越长

e

p