【全国百强校】江西省吉安市第一中学2015-2016学年高二下学期第一次段考文数试题(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数212i i-=+（ ） A ．i B ．i - C ．4355i -- D ．4355i -+【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，()()()()212251212125i i i ii i i i ---===++-，故选A ． 考点：复数的运算．2.已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．14 B ．18C ．4D ．8 【答案】B考点：基本不等式的应用．3.已知,a b R ∈，则a b >是11()()22ab<的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．必要D ．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据指数函数1()2xy =为单调递减函数，则当a b >时，11()()22ab<成立的；当11()()22a b <时，a b >是成立，所以a b >是11()()22a b <的充要条件，故选C ． 考点：充要条件的判定及指数函数的性质．4．下列参数方程（t 为参数）中，与方程2y x =表示同一曲线的是（ ）A. 2x t y t =⎧⎨=⎩ B ．2tan tan x t y t ⎧=⎨=⎩C. x ty =⎧⎪⎨⎪⎩2tan tan x t y t =⎧⎨=⎩ 【答案】 【解析】试题分析：由题意得，A ，C ，D 项中0y ≥，而题设中函数y 的值域为全体实数，故A 项中的方程与方程2y x =表示的不是同一曲线，均可排除，通过B 项中的方程组可求得y 和x 的关系式为2y x =符合题意，故选B ． 考点：抛物线的参数方程．5.函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，且对任意x R ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集 为（ ）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．R 【答案】B考点：函数单调性的应用．6.已知函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极大值-3，则ab 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得2()1222f x x ax b '=--，因为()f x 在1x =处有极大值3-，所以(1)12220(1)4223f a b f a b '=--=⎧⎨=--+=-⎩，解得3,3a b ==，所以9ab =，故选D ． 考点：用导数在函数的极值（点）的应用．7.用反证法证明命题：“已知a b 、是自然数，若3a b +≥，则a b 、中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（ ）A ．a b 、至少有二个不小于2B ．a b 、中至少有一个不小于2C ．a b 、都小于2D ． a b 、中至少有一个小于2 【答案】C 【解析】试题分析：根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“已知a b 、 是自然数，若3a b +≥，则a b 、中至少有一个不小于2”的否定为“a b 、都小于2”，故选C ． 考点：反证法．8.若直线l 的参数方程为1324x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B考点：参数方程与直角坐标方程的互化．9.不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(][),12,-∞+∞ B ．(][),25,-∞+∞ C ．[]1,2 D ．(][),14,-∞-+∞【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，因为31(3)(1)4x x x x +--≤+--=，不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，所以234a a -≥，解得4a ≥或1a ≤-，故选D ． 考点：绝对值不等式的解法．【方法点晴】本题主要考查了绝对值不等式的解法及成成立问题的求解，着重考查了绝对值三角不等式x a x b a b +-+≤-，同时考查了等价转化思想与恒成立问题的求解方法，属于中档试题，本题的解答中，利用绝对值三角不等式31(3)(1)4x x x x +--≤+--=，把不等式的恒成立，转化为234a a -≥，即可求解参数的取值范围．10.设01x <<，,a b 为常数，则221a b x x+-的最小值是（ ） A ．2()a b - B ．2()a b + C ．22a b + D ．22a b - 【答案】B考点：基本不等式的应用．11.已知抛物线244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，则点(3,)M m 到F 的距离MF 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，抛物线的普通方程为24y x =，则其准线方程为1x =-，根据抛物线的定义可得，点M 到焦点F 的距离等于点M 到抛物线的准线的距离，所以点(3,)M m 到F 的距离MF 33142p=+=+=，故选D ． 考点：抛物线的参数方程；抛物线的定义．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的参数方程、抛物线的定义的应用，着重考查了学生对抛物线等基础知识的掌握和灵活应用能力、以及等价转化的思想的应用，属于基础题，本题解答的关键在于利用抛物线的定义，把抛物线上点M 到焦点F 的距离等价转化为点M 到抛物线的准线的距离，利用02p MF x =+，即可求解．12.设直线2:a l x c =-与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的两条渐近线交于,A B 两点，左焦点(,0)F c -在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．)+∞ 【答案】B考点：双曲线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、准线方程、渐近线方程的形式，同时考查了圆内的点满足的不等式关系和双曲线离心率本身的范围，着重考查了学生的推理、运算能力和灵活应用知识的能力，本题的解答中求出双曲线的渐近线的方程及准线方程，求得交点,A B 的坐标，再利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出,,a b c 满足的不等式，得到b a <，即可求出离心率的取值范围．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各自解出的概率分别是111,,534，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是________．【答案】35【解析】试题分析：由题意得，三维同学都未接触的概率为1112(1)(1)(1)5345---=，所以发扬团队精神，此题能解出的概率是23155-=． 考点：相互独立事件中概率的乘法公式．14.若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[3,)+∞考点：绝对值不等式的意义；不等式的有解问题．15.在极坐标系(,)(0,02)ρθρθπ>≤<中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为________．【答案】3)4π【解析】试题分析：由题意得，将2sin ρθ=与cos 1ρθ=-消去ρ，得2sin cos 1θθ=-，所以sin 21θ=-，因为02θπ≤<，及sin 0,cos 0θθ≥≤，所以2πθπ<<，所以22πθπ<<，所以33224πθθπ=⇒=，将34θπ=代入2sin ρθ=，得32sin 4πρ=⨯=，所以曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为3)4π．考点：极坐标的应用．【方法点晴】本题主要考查了极坐标系中曲线与曲线的交点的极坐标分求解，属于基础题，此类问题的解答可直接代入计算，亦可先把曲线方程化为直角坐标方程，联立方程组，求出其焦点的坐标，再化为极坐标，体现了转化与化归的数学思想方法的应用，属于基础题，本题的解答中将2sin ρθ=与cos 1ρθ=-消去ρ，得2sin cos 1θθ=-，即可曲求解θ的值，再代入任意一个方程，即可求解出ρ的值，得到交点的极坐标．16.给出下列四个命题：①命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+>”；②在空间中，m n 、是两条不重合的直线，αβ、是两个不重合的平面，如果,n αβαβ⊥=，m n ⊥，那么m β⊥；③将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位，得到函数sin(2)6y x π=-的图象；④函数()f x 的定义域为R ，且21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为(,1)-∞．其中真命题的序号是________． 【答案】③④考点：命题的真假判定．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定与应用，着重考查了分段函数的解析式的而求解和三角函数的图象变换、直线与平面位置关系的判定、全称命题与存在性命题的关系的综合应用，训练了函数的零点的判定方法，属于中档试题，本题④的解答中，由分段函数的解析式得到函数在0x >的部分是将(1,0]x ∈-的部分，周期性向右平移1个单位长度得到的，确定方程()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为(,1)-∞是解答的一个难点，充分体现了转化的思想方法和数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（满分10分）设函数()f x（1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围． 【答案】（1）(][),23,-∞-+∞；（2）3a ≤．考点：函数的定义域及其求法；绝对值不等式的应用． 18.（满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求PA PB +．【答案】（1）22(5x y +=；（2）考点：极坐标方程与普通方程的互化；直线参数方程参数的几何意义． 19.（满分12分）命题:p 关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+<的解集是空集，命题:q 已知二次函数2()2f x x mx =-+ 满足33()()22f x f x +=-，且当[]0,x a ∈时，最大值是2，若命题“p 且q ”为假，“p 或q ”为真， 求实数a 的取值范围．【答案】1(,1](0,)(3,)3a ∈-∞-⋃⋃+∞． 【解析】试题分析：先求出命题p 与命题q 分别为真命题时，实数a 的取值范围，再根据“p 或q ”为真，进行分类讨论求解实数a 的取值范围．考点：命题真假判定与应用．20.（满分12分）通过随机调查某校高三100名学生在高二文理分科是否与性别有关，得到如下的列联表：（单位：人）（1）从这50名女生中按文理采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中文科生与理科生各多少人？（2）从（1）中抽到的5名学生中随机选取两名访谈，求选到文科生、理科生各一名的概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“文理分科与性别”有关？【答案】（1）文科生3人，理科生2人；（2）35；（3）有99%的把握认为“文理分科与性别”有关．【解析】试题分析：（1）女生中按文理采取分层抽样，比值为3:2，可得样本中文科生与理科生的人数；（2）列出基本事件的总数，利用古典概型的概率公式，即可求解概率；（3）计算统计量2K，然后与临界值比较，即可得出结论．考点：抽样方法；古典概型及其概率的计算；独立性检验．21.（满分12分）已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率e = （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在y 轴上是否存在一个定点T ，使得 无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2212x y +=；（2）存在一个定点(0,1)T 满足条件． 【解析】试题分析：（1）由题设可知1b =，利用e =，即可求得椭圆的标准方程；（2）先猜想T 的坐标，再进行验证，若直线l 的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．试题解析：（1）则由题设可求得1b =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又e =a =C 的方程是2212x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为22116()39x y ++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由22221116()39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果 存在，只能是(0,1)．．．．．．．．．7分 事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点(0,1)T ； 当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，考点：椭圆的标准方程及其简单几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题；【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单几何性质、直线与圆锥曲线的综合应用、向量的坐标运算等知识的应用，着重考查了转化与化归的思想和分类讨论思想应用，属于中档试题，本题的解答中，当直线l 的斜率存在，代入椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．22.（满分12分） 已知函数()(0)b f x ax c a x=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-． （1）用a 表示出,b c ；（2）若()ln f x x ≥在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）112b a c a=-⎧⎨=-⎩；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】 试题分析：（1）通过函数的导数，利用导数数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出,b c 即可；（2）利用()ln f x x ≥，构造函数()()ln g x f x x =-，问题可转化为()()ln 0g x f x x =-≥在[1,)+∞上恒成立，考点：函数的恒成立；利用导数在闭区间上函数的最值；领用导数研究曲线上某点切线方程．【方法点晴】本题主要考查了函数与导数的关系、曲线切线方程的求解、函数恒成立问题等知识综合应用能力，思维量与运算大，属于难题，需要仔细审题、认真解答，同时着重考查了转化与化归思想及分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用()ln f x x ≥，构造函数()()ln g x f x x =-，问题可转化为()()ln 0g x f x x =-≥在[1,)+∞上恒成立，利用导数求出函数[1,)+∞上最小值大于0，即可求出a 的取值范围．。