圆的知识在生活中的应用及问题解析
六年级上册数学教案-5圆整理和复习｜人教新课标
六年级上册数学教案－5 圆整理和复习｜人教新课标教学内容本节课主要对六年级上册数学“圆”这一章节进行整理和复习。
复习内容包括圆的定义、性质、圆的周长和面积的计算方法，以及与圆相关的实际问题。
还将对学生在学习过程中可能遇到的问题进行解答和讨论。
教学目标1. 理解并掌握圆的基本概念和性质，能够运用圆的知识解决实际问题。
2. 掌握圆的周长和面积的计算方法，能够正确计算给定圆的周长和面积。
3. 培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
教学难点1. 圆的性质及其在实际问题中的应用。
2. 圆的周长和面积公式的推导过程。
3. 圆与生活的联系，如何将理论知识运用到实际生活中。
教具学具准备1. 教具：圆规、直尺、量角器、计算器。
2. 学具：练习本、铅笔、橡皮、彩色笔。
教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生回顾圆的相关知识，激发学生的学习兴趣。
2. 复习：带领学生复习圆的定义、性质，巩固基础知识。
3. 案例分析：分析典型的与圆相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
4. 练习：布置一些与圆相关的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 讨论与解答：针对学生在练习过程中遇到的问题进行讨论和解答，帮助学生克服困难。
板书设计1. 圆的定义和性质2. 圆的周长和面积的计算方法3. 与圆相关的实际问题4. 练习题及答案解析作业设计1. 基础题：计算给定圆的周长和面积。
2. 提高题：解决与圆相关的实际问题。
课后反思本节课通过整理和复习，帮助学生巩固了圆的相关知识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的问题。
同时，要注重培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
在今后的教学中，应继续关注学生对圆的理解和应用，引导学生将所学知识运用到实际生活中，提高学生的数学素养。
同时，还要关注学生的学习兴趣，创设有趣的教学情境，激发学生的学习积极性，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
六年级上册数学《圆的认识》教案
六年级上册数学《圆的认识》教案一、教学目标1. 让学生通过观察、实践、探究等活动，掌握圆的基本概念、特征和性质。
2. 培养学生运用圆的知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作、交流、归纳总结的能力，提高学生的数学思维水平。
二、教学内容1. 圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆。
2. 圆的特征：圆心、半径、直径。
3. 圆的性质：圆周率、圆的周长和面积的计算方法。
4. 圆在实际生活中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：圆的定义、特征和性质。
2. 难点：圆的周长和面积的计算方法，以及圆在实际生活中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的知识。
2. 运用直观演示法，让学生清晰地了解圆的特征和性质。
3. 采用案例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
4. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的圆形物品，引导学生关注圆的特点，激发学生学习兴趣。
2. 自主探究：让学生通过观察、实践，总结圆的定义、特征和性质。
3. 讲解与演示：教师讲解圆的基本概念，演示圆的周长和面积的计算方法。
4. 案例分析：分析实际生活中的圆形问题，引导学生运用圆的知识解决问题。
5. 小组讨论：让学生围绕圆的知识展开讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
6. 总结与反思：教师引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。
7. 作业布置：布置有关圆的练习题，巩固所学知识。
8. 课后辅导：针对学生作业中出现的问题，进行个别辅导，提高学生的数学水平。
六、教学评价1. 评价内容：学生对圆的基本概念、特征和性质的理解，以及运用圆的知识解决实际问题的能力。
2. 评价方法：课堂提问、作业批改、小组讨论、课后访谈等。
3. 评价指标：理解程度、应用能力、创新能力、合作意识、学习态度等。
七、教学资源1. 教材：六年级上册数学教材。
2. 教具：圆形的实物模型、圆规、直尺、画笔等。
《圆的认识》数学课堂教案
《圆的认识》数学课堂教案一、教学目标：1. 让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，掌握圆的定义、圆的性质和圆的画法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
3. 发展学生的空间观念，提高学生的动手操作能力。
二、教学内容：1. 圆的定义：圆是平面上所有点到一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的性质：（1）圆心到圆上任意一点的距离等于圆的半径。
（2）圆上任意两点之间的线段都是圆的直径。
（3）圆的直径等于两倍的半径。
（4）圆周率（π）是圆的周长与直径的比值。
3. 圆的画法：（1）使用圆规和直尺画圆。
（2）确定圆心、半径和直径。
（3）连接圆心和圆上任意一点，得到半径。
（4）用圆规画出圆的轮廓。
三、教学重点与难点：重点：圆的定义、性质和画法。
难点：理解圆的性质，熟练掌握圆的画法。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的性质。
2. 运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
3. 利用实物模型和多媒体辅助教学，增强学生的直观感受。
4. 开展实践活动，提高学生的动手操作能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过展示生活中常见的圆形物体，引导学生发现圆的特点，激发学生学习兴趣。
2. 探究圆的定义：让学生尝试用自己的语言描述圆的特点，总结出圆的定义。
3. 学习圆的性质：引导学生发现圆的性质，并通过实际操作验证。
4. 教授圆的画法：讲解圆的画法步骤，并示范操作。
5. 巩固练习：让学生独立完成圆的画法练习，教师巡回指导。
6. 总结与拓展：总结本节课所学内容，提出拓展问题，激发学生课后思考。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂表现、练习完成情况和小组合作情况评价学生在圆的认识方面的掌握程度。
2. 关注学生在解决问题时的思维过程和方法，鼓励创新和发散思维。
3. 结合学生的自我评价和同伴评价，全面了解学生的学习效果。
七、教学准备：1. 准备圆形的实物模型，如硬币、圆桌等，以便学生直观地认识圆。
华东师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(基础)
中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°． 要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． （2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（ ）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】 连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（ ）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm【答案】 解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ， ∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=， ∴在Rt △AOM 中，AM =22OA OM -=2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙O 于点D ，连接CD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，直径AB ＝6，求线段BC 的长．【思路点拨】要证明DC 是⊙O 的切线，因为点D 在⊙O 上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ．∵ AD ∥OC ，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠A ，∴ OA ＝OD ，∴ ∠3＝∠A ，∴ ∠1＝∠2．∵ OD ＝OB ，OC ＝OC ．∴ △COD ≌△COB ，∴ ∠CDO ＝∠CBO ＝90°，∴ CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接BD ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°．在△DAB 和△BOC 中，∵ ∠ADB ＝∠OBC ，∠A ＝∠2，∴ △DAB ∽△BOC ，∴AD BD OB BC =， ∴ OB BD BC AD =． 在Rt △DAB 中，由勾股定理得22226242BD AB AD =-=-=．∴ 342622BC ⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．【答案与解析】证法1：连接OE 、DE(如图(1))．∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．∵ G 是AD 的中点，∴ EG ＝12AD ＝DG ． ∴ ∠1＝∠2．∵ OE ＝OD ，∴ ∠3＝∠4．∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG ＝∠ODG ＝90°．∴ GE 是⊙O 的切线．证法2：连接OE 、ED(如图(2))．在△ADC 中，∠ADC ＝90°，∴ ∠A+∠ACD ＝90°．又∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．在△AED 中，∠AED ＝90°，G 是AD 中点，∴ AG ＝GE ＝DG ，∴ ∠A ＝∠AEG ．又∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠ACD ．又∵ ∠A+∠ACD ＝90°，∴ ∠AEG+∠OEC ＝90°．∴ ∠OEG ＝90°，∴ OE ⊥EG ．∴ GE 是⊙O 的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】 解：（1）图1：∵点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN ，又∵∠APN=∠BPM ，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n 中，．4．如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积.【答案】256π； 【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD． 答案：256π． 【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=35，求tan∠PCB的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE ∥PC ，∴∠PCB=∠CBE ，∵sin ∠BAC==， ∴=， ∵AB=AC ，∴tan ∠CBE===，∴tan ∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例2】【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+．又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解 （1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例1】【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（ ） Ａ．22 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B ；解：过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝2，∠C ＝190452⨯=°°， ∴ 2sin 45222AB AC '==⨯=°．。
小学数学《圆的认识》教案
小学数学《圆的认识》教案一、教学目标1. 让学生通过观察和操作，体验圆的特征，理解圆的概念。
2. 学会用圆规画圆，发展学生的动手操作能力和创新能力。
3. 体会数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点1. 教学重点：圆的特征，圆的画法。
2. 教学难点：理解圆心、半径、直径的概念及它们之间的关系。
三、教学准备1. 圆规、直尺、铅笔、橡皮等画图工具。
2. 圆形物品（如硬币、圆桌、圆环等）。
3. 教学课件或黑板。
四、教学过程1. 导入：引导学生观察周围的圆形物品，让学生说说对圆的认识。
2. 新课导入：介绍圆的定义，讲解圆心、半径、直径的概念。
3. 实践操作：让学生用圆规和直尺画圆，观察圆的特征。
4. 小组讨论：让学生分组讨论，总结圆的特点。
5. 讲解例题：通过例题讲解，让学生掌握圆的画法和应用。
6. 巩固练习：布置一些有关圆的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调圆的特征和画法。
五、课后作业1. 画出几个不同大小的圆，并测量它们的半径和直径。
2. 观察生活中常见的圆形物品，记录下来，下节课分享。
3. 家长协助孩子用圆规和直尺在家中画一个圆形，测量其半径和直径。
六、教学策略1. 采用直观演示法，让学生通过观察实物和图形，加深对圆的认识。
2. 运用实践操作法，让学生动手画圆，提高学生的动手能力。
3. 采用小组合作法，鼓励学生互相讨论，培养学生的团队协作能力。
4. 利用启发引导法，激发学生的思维，提高学生的解决问题的能力。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握程度。
3. 学生互评：鼓励学生互相评价，培养学生的评价能力和团队意识。
八、教学拓展1. 邀请家长参与课堂，共同探讨生活中的圆形物品，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2. 组织学生进行圆的知识竞赛，激发学生的学习兴趣和竞争意识。
九年级《圆》经典例题分析总结
《圆》经典例题分析总结经典例题透析1．垂径定理及其应用在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等.举一反三：【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸2．圆周角及其应用圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中.2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于( )A.30°B.60°C.75°D.90°举一反三：【变式1】如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.【变式2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，BC=4cm.(1)说明AC⊥OD；(2)求OD的长.3．切线的性质及判定涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题.3．如图所示，直线MN是⊙O的切线，A为切点，过A的作弦交⊙O于B、C，连接BC，证明∠NAC=∠B.举一反三：【变式1】如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.【变式2】如图所示，AB是⊙O的直径，是⊙O的切线，C是切点，过A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明EC=CF.4．如图所示，EB、BC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.答案：99°.解析：由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.举一反三：【变式1】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D.求证：DE∥OC；4．两圆位置的判定在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考查基础知识，而且考查综合运用能力.5．填空题(1)已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.(2)两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______________.【变式2】已知两圆的圆心距为3，的半径为1.的半径为2，则与的位置关系为________.【变式3】在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条5．弧长的计算及其应用6．如图所示，在正方形铁皮下剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之问的关系为( )A. B. C. D.6．图形面积的计算及其应用与圆有关的图形面积计算问题有圆的面积、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积.考查题型以选择题、填空题、解答题为主，考查重点是对有关公式的灵活运用.其中是不规则图形面积的计算，应首先将其转化为规则图形，然后再进行.7．沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A. B.72 C.36 D.727．圆与其他知识的综合运用8．如图所示，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，渔船如果不改变方向，继续向东航行，有没有触的礁危险？思路点拨：若渔船在向东航行的过程中的每一位置到A点的距离都大于7海里，则不会进入危险区域，所以只要计算航线上到A点最近的点与A点的距离.解：过点A作AD⊥BC交直线BC于D，设AD=x海里.∵∠ABD=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°，∴AB=2x，AC=2CD.∴，，∴，.∵，∴，.即.这就是说当渔船航行到点D时，在以A为圆心、以7海里为半径的圆形暗礁内.所以，若不改变航向继续向正东航行，有触礁的危险.总结升华：解这类实际问题，只需求其最小值或最大值，与已知数据进行比较，从而得出正确的结论.9．小明要在半径为1 m、圆心角为60°的扇形铁皮中剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮，小明在扇形铁皮上设计如图1和图2所示的甲、乙两种剪取方案，请你帮小明计算一下，按甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并估算哪个正方形的面积较大.(估算时取1.73，结果保留两个有效数字).思路点拨：要比较甲、乙两方案剪取的正方形的面积大小，关键在于求出边长.解：方案甲：如图，连接OH，设EF=x，则OE=2OF，，∴.在Rt△OGH中，OH2=GH2+OG2，即，解得.方案乙：如图所示，作于M，交于N，则M、N分别是和的中点，，连接.设，则，在中，，即，∴.若取，则，.∴x2>y2，即按甲方案剪得的正方形面积较大.总结升华：此类问题是生活中的一个实际问题，解决此类问题时，应先将实际问题转化为数学问题.10．已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.思路点拨：如图所示，连接OD，因为DE是⊙O的切线，故∠ODE=90°，又OA=OD，故∠A=∠ODA，∠OAP+∠OPD=90°，∠ODA+∠ADC=90°，故∠OPD=∠ADC=∠EDP，△DEP是等腰三角形.解：(1)在BF上取点P，连AP交⊙O于点D，过D作⊙O切线，交OF于E，如图即为所求.(2)∠EDP=∠DPE，或ED=EP或△PDE是等腰三角形.(3)根据题意，得△PDE是等腰三角形，∴∠EDP=∠DPE，∴，在Rt△OAP中，，∴，自变量x的取值范围是且.。
小学六年级数学上册《圆》教材分析
第五单元圆一、教学内容1．圆的认识2．圆的周长3．圆的面积4．扇形的认识二、教学目标1．使学生认识圆，学会用圆规画圆，掌握圆的基本特征。
2．使学生会利用直尺和圆规，在教师指导下设计一些与圆有关的图案。
3．使学生通过实践操作，理解圆周率的意义，理解和掌握圆的周长计算公式，并解决一些相应的实际问题。
4．引导学生探索并掌握圆的面积计算公式，并解决一些简单的实际问题。
5．使学生认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。
6．使学生经历尝试、探究、分析、反思等过程，培养数学活动经验，在解决一些与圆有关的数学问题的过程中，提高问题解决的能力。
7．使学生在推导圆的周长与面积的计算公式过程中体会和掌握转化、极限等数学思想。
8．通过生活实例、数学史料，感受数学之美，了解数学文化，提高学习兴趣。
三、主要变化与具体编排（一）主要变化1．改变圆的各部分名称的引入方式。
实验教材在引入圆时，先让学生利用圆形杯盖、圆柱体物体、三角板上的圆孔描出圆，再把圆剪下来，通过多次对折等方式引出圆心、半径、直径等概念；在认识了圆的半径和直径的特点之后，再专门教学用圆规画圆的方法。
考虑到学生在生活中已经具备初步的用圆规画圆的知识，本次修订时，对于“你能想办法在纸上画一个圆吗”这一问题，教材同时给出了用杯盖、三角尺上的圆孔、圆规画圆的方法，符合真实的学情。
接下来，利用圆规画圆的方法引出圆心、半径、直径等概念，水到渠成，这样的引入方式也能更好地体现圆“一中同长”的本质特征。
接下来，通过让学生用圆规画几个大小不同的圆，探讨直径、半径的特点，在这一过程中，使学生进一步熟练掌握用圆规画圆的方法。
2．增加圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小的内容。
“圆，一中同长也”，这是《墨子》中对圆的定义。
只要确定了“中”和“长”，圆的位置与大小就确定下来了。
解析几何中圆的解析式（x-a）2+(y-b)2=r2中也很好地体现了这一点。
圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小这一事实，过去虽然没在教材中明确指出，但实际上学生已经在自觉应用了。
六年级《圆的认识》教案(详案)
六年级《圆的认识》教案(详案)教学内容：本节课的主题是“圆的认识”，我们将通过一系列的活动和练习，让学生深入了解圆的性质、直径和半径的概念，以及圆的周长和面积的计算方法。
教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解圆的定义，掌握直径和半径的概念，学会计算圆的周长和面积。
2. 过程与方法：学生通过观察、实践、探究等活动，培养观察能力、动手能力和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：学生培养对几何图形的兴趣，培养合作意识和创新精神。
教学重点：1. 圆的定义和性质。
2. 直径和半径的概念及计算方法。
3. 圆的周长和面积的计算方法。
教学难点：1. 圆的周长和面积的计算方法的灵活运用。
2. 对圆的性质的理解和应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 圆形的教具或实物。
3. 计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察教室里的圆形物品，如钟表、篮球等，引发学生对圆的兴趣。
2. 学生分享对圆的认识，教师总结并板书圆的定义。
二、探究圆的性质（10分钟）1. 学生分组，每组领取一套圆形教具。
2. 学生通过观察和动手操作，发现圆的性质，如圆的对称性、周长与直径的关系等。
3. 各组汇报发现，教师点评并总结。
三、学习直径和半径（10分钟）1. 教师介绍直径和半径的概念，引导学生理解直径是通过圆心，并且两端都在圆上的线段，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。
2. 学生通过动手操作，理解直径和半径的关系。
3. 教师讲解直径和半径的计算方法，学生练习计算。
四、计算圆的周长和面积（10分钟）1. 教师讲解圆的周长和面积的计算方法，学生跟随老师一起动手计算。
2. 学生独立完成练习题，教师点评并解答疑问。
五、总结与拓展（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学内容，学生分享学习收获。
2. 教师提出拓展问题，如“圆在实际生活中的应用”，引导学生思考。
教学反思：通过本节课的教学，学生对圆的定义、性质、直径和半径的概念及计算方法有了深入的理解。
六年级上册数学教案-第五单元第1课时圆的认识人教版
六年级上册数学教案第五单元第1课时圆的认识人教版一、教学内容今天我要给大家讲解的是人教版六年级上册的第五单元第一课时，主要内容是圆的认识。
我们将会学习圆的定义、特点、直径、半径等基本概念，并通过实例了解圆在实际生活中的应用。
二、教学目标通过本节课的学习，我希望同学们能够掌握圆的基本概念和性质，能够运用圆的知识解决一些实际问题，提高大家的数学应用能力。
三、教学难点与重点重点是圆的定义和性质，难点是理解圆的直径和半径的概念，以及如何运用圆的知识解决实际问题。
四、教具与学具准备我已经准备好了圆形教具和一些实际物品，如硬币、瓶盖等，让大家能够更直观地理解圆的概念。
五、教学过程1. 实践情景引入：我会拿出一个硬币，让大家观察硬币的形状，引导学生发现硬币是一个圆形。
2. 圆的定义：我会给出圆的定义，即所有点到圆心的距离都相等的图形叫做圆。
3. 圆的直径和半径：我会解释直径和半径的概念，直径是通过圆心，并且两端都在圆上的线段，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。
4. 实例讲解：我会用实际的硬币和瓶盖等物品，让大家观察和测量它们的直径和半径，加深大家对圆的性质的理解。
5. 随堂练习：我会给出一些练习题，让大家测量身边的物品的直径和半径，巩固所学知识。
6. 圆的应用：我会给大家一些实际问题，如计算圆的周长和面积，让大家运用所学知识解决。
六、板书设计板书设计如下：圆的定义：所有点到圆心的距离都相等的图形圆的直径：通过圆心，两端在圆上的线段圆的半径：连接圆心和圆上任意一点的线段七、作业设计1. 请同学们测量身边的一个圆形物品，记录下它的直径和半径。
答案：例如，我测量了一个硬币，直径是2厘米，半径是1厘米。
2. 计算圆的周长和面积。
答案：假设圆的直径是10厘米，那么周长是31.4厘米，面积是78.5平方厘米。
八、课后反思及拓展延伸通过本节课的学习，我发现同学们对圆的概念有了更深入的理解，大家在实例测量和问题解决方面表现出色。
六年级上册数学《圆的认识》教案
六年级上册数学《圆的认识》教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生通过观察、实践，掌握圆的定义、特点和基本概念。
2. 学会用圆规和直尺画圆，能准确地画出指定大小的圆。
3. 理解圆的周长、直径和半径之间的关系，并能进行相关的计算。
过程与方法：1. 培养学生动手操作、观察、思考、交流的能力。
2. 培养学生利用数学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。
2. 培养学生合作、交流的良好学习习惯。
二、教学内容：1. 圆的定义：圆是平面上所有点到一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的特点：圆没有边界，圆的每一条直径都穿过圆心，圆的周长和直径的比值是一个常数，称为圆周率。
3. 圆的画法：用圆规和直尺画圆，圆规的两脚间距离即为圆的半径。
4. 圆的周长和直径：圆的周长等于圆周率乘以直径，即C=πd。
圆的直径是圆的半径的两倍，即d=2r。
三、教学重点与难点：重点：圆的定义、特点和画法，圆的周长和直径的计算。
难点：圆的周长和直径的计算公式的理解和应用。
四、教学准备：1. 圆规、直尺、铅笔、橡皮等绘图工具。
2. 圆形物品（如硬币、瓶盖等）供观察和操作。
3. 教学课件或黑板。
五、教学过程：1. 导入：引导学生观察周围的圆形物品，引发对圆的兴趣。
2. 基本概念：讲解圆的定义，通过实物演示和图示帮助学生理解。
3. 画圆实践：学生分组，利用圆规和直尺画圆，观察圆的特点。
4. 圆的周长和直径：讲解圆的周长和直径的计算公式，引导学生进行实际测量和计算。
5. 巩固练习：布置一些有关圆的练习题，让学生独立完成，检查学习效果。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调圆的定义、特点和计算方法。
7. 作业布置：布置一些有关圆的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式自主学习。
2. 利用多媒体课件和实物展示，直观地展示圆的特点和画法，提高学生的学习兴趣。
六年级上册数学教学设计-第5单元圆1.利用圆设计图案∣人教新课标
六年级上册数学教学设计第5单元圆 1.利用圆设计图案∣人教新课标当我站在六年级的讲台上，面对着一双双好奇而渴求知识的眼睛，我知道我肩负着传递知识、启迪思维的重任。
今天，我要教授的是人教新课标六年级上册数学第5单元——“圆”的第一节课程：“利用圆设计图案”。
一、教学内容我手中的教材翻到了第100页，章节是“圆的认识”。
我详细地向学生们介绍了圆的定义、特点以及圆心和半径的概念。
我通过图示和实例，让他们理解圆在实际生活中的应用，如圆形桌面、轮子等。
二、教学目标我希望通过这节课，学生们能够掌握圆的基础知识，能够用圆设计出简单的图案，并培养他们的观察能力和创新能力。
三、教学难点与重点我明确告诉学生们，本节课的重点是圆的认识和应用，难点是理解圆的无限性质和实际应用。
四、教具与学具准备我准备了一些圆形物品，如圆桌、轮子等，以及彩笔、剪刀、纸张等学具，以便学生们在实践中学习和理解。
五、教学过程我以一个圆形桌面为例，引入了圆的概念，然后让学生们观察周围环境中存在的圆形物品。
接着，我带领学生们通过实践，用彩笔在纸张上绘制出各种图案，并用剪刀剪下来，贴在黑板上，一起讨论这些图案的特点和美感。
六、板书设计我在黑板上画了一个大的圆形，并在圆心处写上了“圆心”，在圆周上标出了几个点，并连接起来，写上了“半径”。
我还画了一些利用圆设计的图案，旁边写上了“创新”和“观察”。
七、作业设计我布置了一项作业：请学生们观察生活中的圆形物品，并用彩笔画下来，写上对圆的认识和感受。
八、课后反思及拓展延伸我鼓励学生们在课后继续观察和思考圆形物品，鼓励他们创新，用圆设计出更多的图案。
我也反思了这节课的教授方式，思考如何更好地引导学生理解和应用圆的知识。
这就是我今天要教授的课程。
我相信，通过这样的教学，学生们不仅能够掌握圆的知识，更能够培养他们的观察能力和创新能力。
重点和难点解析在上述教学设计中，有几个关键的细节是值得我们重点关注的。
它们分别是：一、实践情景引入的细节我以一个圆形桌面为例，引入了圆的概念。
初中数学《圆》教学反思
初中数学《圆》教学反思以下是作者帮大家整理的初中数学《圆》教学反思（共含19篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。
篇1：初中数学圆教学反思一、联系生活，体现生活数学。
数学来源于生活，并应用于生活。
我引导学生说出身边的物体哪些是圆形的，让学生初步了解圆形的。
课末引导学生开展游戏活动选择汽车，不但调动了学生的积极性，加深了学生对圆的认识，而且拉近了数学与生活的距离，使学生深刻体会到身边有数学，伸出手就能触摸到数学，从而对数学产生亲切感，增强学生对学习数学的兴趣和提高学生应用数学的能力。
二、自主探索，培养创新精神。
在教学中，学生是学习的主体，教师要设计一些具有探索性和开放性的问题，给学生提供自主探索的机会，引导学生开展合作型的探究性活动，让学生在观察、实验、讨论、交流、合作学习中，理解新知识，使所有学生都能获得成功感，树立自信心。
如教学圆心、直径、半径，不急于传授，通过引导学生动手操作折圆，发现圆中心的一点，比一比、量一量、画一画，发现圆的一些特征；通过观察、比较，自主看书，发现同圆中，所有半径都相等，所有直径也相等，半径是直径的一半，直径是半径的2倍，教师适时引导，使学生懂得归纳知识的一般方法，同时学会了观察、实验、操作、发现等学习方法，并伴随新知识的获得，体验到了成功的快乐，增强了克服困难的勇气和毅力。
篇2：初中数学《圆》教学反思最近我们在学习《圆》这一单元，圆是一个美丽的图形，与之前学习的长方形正方形，以及五年级学习的平行四边形、梯形等有很大差异，因为圆是曲线图形，在研究其周长和面积的时候，牵涉到圆周率一个比较陌生的概念。
所以本单元的学习还是有一定难度的，如何激发学生的学习兴趣，这是值得我思考和应对的问题，在教学过程中，我有几点做法，我认为是可以在以后教学工作中所借鉴的：在初步认识圆的定义概念的那节课，因为圆的学习是借助于圆规进行的，学生可以比较轻松的利用圆规进行画圆的操作，也能较好的区分圆心、定义、概念等，在课本59页，单独一页是让学生利用圆规创造漂亮的图案。
人教版九年级数学上册第二十四章：圆(教案)
-圆与直线、圆与圆的位置关系：识别并理解相离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，以及对应的几何特征和计算方法。
-实际应用题：运用圆的相关知识解决实际问题，如计算弓形面积、弧长和扇形面积等。
-弓形面积和弧长的计算：这部分涉及到圆的扇形和弓形的相关计算，学生需要理解并掌握相应的计算公式。
-解决实际应用题：将圆的知识应用于解决综合性问题，如涉及多个圆或圆与其他几何图形的组合问题。
举例：在讲解圆与圆的位置关系时，难点在于如何通过比较两圆半径之和与圆心距离的大小来判断它们的位置关系。教师需要通过图示和具体例子来帮助学生理解和记忆这个判定方法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的基本性质和圆的方程这两个重点。对于难点部分，如圆的一般方程推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆相关的实际问题，如圆的面积和周长的计算。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用绳子画圆，演示圆的基本原理。
《圆的认识》小学数学教案
《圆的认识》小学数学教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：让学生了解圆的定义、特点和基本概念，能够用圆规和直尺画圆，掌握圆的周长和直径的计算方法。
1.2 过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生探究圆的性质和特点的能力，提高学生的动手能力和合作意识。
1.3 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和好奇心，使学生感受到数学与生活的紧密联系，培养学生的空间想象能力和创新思维。
第二章：教学内容2.1 圆的定义与特点引导学生观察生活中的圆形物体，如硬币、车轮等，让学生初步感知圆的特点。
通过讲解，让学生了解圆的定义，即所有点到圆心的距离都相等的图形。
2.2 画圆讲解圆规的使用方法，让学生动手尝试画圆，并观察圆的特点。
引导学生发现圆的半径与圆的大小有关，培养学生动手操作的能力。
2.3 圆的周长和直径第三章：教学重点与难点3.1 教学重点：圆的定义与特点，画圆的方法，圆的周长和直径的计算方法。
圆的周长与直径的关系，圆周率的含义。
第四章：教学过程4.1 导入新课通过展示生活中的圆形物体，引导学生关注圆的特点，激发学生学习兴趣。
4.2 探究与讲解让学生动手画圆，观察圆的特点，讲解圆的定义。
接着讲解圆的周长和直径的计算方法，让学生进行实际操作。
4.3 巩固练习设计一些有关圆的练习题，让学生巩固所学知识，提高学生的应用能力。
第五章：课后作业设计一些有关圆的练习题，让学生巩固所学知识，提高学生的应用能力。
作业要求学生在规定时间内完成，培养学生的自律意识。
第六章：教学评价6.1 评价目标：评估学生对圆的定义、特点、画圆方法以及圆的周长和直径计算方法的掌握程度。
6.2 评价方法：通过课堂提问、学生作业、小组讨论和实践活动等方式进行综合评价。
6.3 评价内容：考察学生能否正确描述圆的定义，能否使用圆规画出规定大小的圆，以及能否计算圆的周长和直径。
第七章：教学反思反思本节课的教学效果，包括学生对圆的概念的理解程度、画圆技能的提升以及学生对圆周长和直径计算方法的掌握情况。
五年级下册数学圆的知识
五年级下册数学圆的知识点总结归纳一、圆的基本概念圆的定义：平面上所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径。
例子：以点O为圆心，3厘米为半径画一个圆。
这个圆就是所有到点O的距离为3厘米的点的集合。
圆的各部分名称：圆心（O）、半径（r）、直径（d）、弦（连接圆上任意两点的线段）、弧（圆上任意两点间的部分）、圆周（圆的边界）。
例子：在圆上取两个点A和B，连接AB，则AB是圆的一条弦；如果AB经过圆心O，则AB是圆的一条直径；圆上A到B的部分叫做弧AB。
二、圆的性质圆的对称性：圆是中心对称图形，也是轴对称图形，其对称中心是圆心，对称轴是任何经过圆心的直线。
例子：无论我们如何旋转一个圆，或者沿任何经过圆心的直线折叠，它都能完全重合，这体现了圆的对称性。
半径、直径与弦的关系：在同一个圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，直径是半径的两倍（d = 2r）。
例子：如果我们有一个半径为5厘米的圆，那么它的直径就是10厘米。
圆周率π：圆的周长与直径的比值是一个固定的数，这个数叫做圆周率，通常用希腊字母π表示。
例子：虽然我们不能精确计算π的值，但我们可以用近似值3.14来计算圆的周长和面积。
三、圆的周长和面积圆的周长公式：C = 2πr 或 C = πd，其中r是圆的半径，d是圆的直径。
例子：一个半径为5厘米的圆，其周长C = 2π× 5 ≈31.4厘米。
圆的面积公式：S = πr²，其中r是圆的半径。
例子：一个半径为5厘米的圆，其面积S = π×5²≈78.5平方厘米。
四、圆的实际应用车轮的设计：车轮是圆的，这是因为圆的滚动特性可以使车辆平稳前进。
如果车轮不是圆的，那么车辆在行驶过程中会上下颠簸。
例子：自行车的车轮、汽车的轮胎都是圆形的，它们能够平稳地在地面上滚动，使车辆能够平稳地前进。
圆形的建筑：在建筑设计中，圆形元素常常被使用，因为它具有美感和稳定性。
火车转弯(圆周运动)问题_带解析带答案
火车转弯（圆周运动）问题圆周运动专题二题号-一- -二二总分得分一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1.高速公路的拐弯处，通常路面是外高低，如图所示，在某路段车向左转弯，司机左侧的路面比右侧路面低一些！|车的运动可看作是做半径为R的圆周运动［］外路面高度差为h,路基的水平宽度为已知重力加速为g,要使车轮与路面之间的横向摩擦力日即垂直于前进方向的摩擦力口等于零，则汽车转弯时的车速应等于（）A. @B. @C. @D. B【答案】D【解析】解：路面的斜角为作出车的受力图由数学知识得：lanO =如图，支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：=—故选：D由题意知汽车转弯时所需的心力完全由重力和支持力的合力提供，根据受分析计算即可得出结论.类似于火车拐弯问题，知道按条件转弯时，向心力由重力和支持力的合力提供.图a 圏b 罔匚A. 如图a，汽车通过拱桥的最高点处于失重状态置B. 如图b，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对外侧车轮的轮缘会有挤压作用C. 如图c，钢球在水平面做圆周运动，钢球距悬点的距离为LI则圆锥摆的周期2.如图所示的圆周运动，下列说法不正确的是（）T = 2n I--「 诃D. 如图d,在水平公路上行驶的汽车，车轮与路面之间的静摩擦力提供转弯所需的 向心力【答案】C 【解析】【分析】根据加速度的方向确定汽车在最高点处于超重还是失重；根据合力提供向心力得出角速度的表达式，从而进行判断；抓住重力不变结合平行四边形定则比较支持力和向心力 ，结合半径不同分析角速度的关系；当火车转弯的速度超过规定速度 ，支持力和重力的合力不够提供向心力，会挤压外轨。
此题考查圆周运动常见的模型 ，每一种模型都要注意受力分析找到向心力 ，从而根据公式判定运动情况，如果能记住相应的规律，做选择题可以直接应用，从而大大的提高做题的 速度,所以要求同学们要加强相关知识的记忆。
【解答】A. 汽车在最高点 化=平•知墜卫目，故处于失重状态，故A 正确；B. 火车转弯超过规定速度行驶时 ，外轨对轮缘会有挤压作用，故B 正确；C. 圆锥摆，重力和拉力的合力 2 啊歸 =『卜=上刃口可,则圆锥摆的周期，故C 错误；D.在水平公路上行驶的汽车，车轮与路面之间的静摩擦力提供转弯所需的向心力 ，故D 正确。
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圆的知识在生活中的应用及问题解析问题1.如图把一块直径为a 的圆形桌布铺在一张对角线为a 的正方形桌面上,若桌布的四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度为_______。
解析：本质是已知圆的直径，求其内接正方形外四个弓形的高。
设正方形为ABCD ，对角线交点O 。
O 也是圆的圆心。
过O 做平行于AD 的半径，交CD 于H ，交圆于F 。
HF 的长度即为所求。
Rt △ABD 中AB=AD=22a ，易求OH=12AD=24a ，又OF=OD=2a∴HF=OF-OH=2a -24a =224a .问题2.如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm 。
解析：本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．解答：解：弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．问题3.小明不慎把家、里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是________。
解析分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小。
也可利用“三点确定一个圆”。
解答：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故填②．点评：解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．问题4.北京市一居民小区计划将小区内的一块平行四边形ABCD场地进行绿化，如图阴影部分为绿化地，以A，B，C，D为圆心且半径均为3m的四个扇形的半径等于图中⊙O的直径，已测得AB=6m，则绿化地的面积为______m2。
解答：由题意可知，以A，B，C，D为圆心的四个扇形的和为一半径为3m的圆，可得圆的面积=9πm2；⊙O的直径为3m，则⊙O的面积=94πm2．则绿化地的面积=9π+94π=454πm2。
点评：此题主要考查圆的面积的计算，求得以A，B，C，D为圆心的四个扇形的圆心角和为360°是关键问题5.如图，某博物馆有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监控器多少台？解析：65°是圆周角,说明对应的圆心角（即监控器监控的对面边缘弧的度数）是130°,要想覆盖到360°,至少需要3个,因此需要3盏。
问题6.有一木质圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔，现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定D点的位置，并分别说明理由（图中点O为圆心）解析:方法一：如图①，作TH的垂线L交TH于点D,点D就是TH的中点。
依据是垂径定理。
方法二：如图②，分别过点T、H作HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F,过点O、F作直线L交HT于点D，点D就是HT的中点。
由作图可知，Rt△HOC≌Rt△TOE,易得HF=TF。
又OH=OT,所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD。
方法三：如图③，（原理同方法二）问题7.用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）。
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径。
解析：连结OA、OE，设，如图∴四边形ACDB是矩形PA=8 PE=6在Ｒt△OAP中，由勾股定理得即解得OA=10答：这种铁球的直径为20cm。
问题8.（1）如图①所示是一个半径32，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；（2）如图②所示是一个底面半径为2y，母线长为1的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．问题探究：（1）如图①所示是一个半径为32，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；（2）如图②所示是一个底面半径为2y，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．问题9.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．解答：（1）如图，⊙O即为所求作的花园的位置．（2）∵∠BAC=90°，∴BC是直径．∵AB=8米，AC=6米，∴BC=10米∴△ABC外接圆的半径为5米（5分）∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．（6分）问题10.在白须岩上有一灯塔P，在它周围3海里内有暗礁．第二天，有一艘轮船由南向北航行，在A处测得灯塔P在北偏西15°方向上，20分钟后，轮船在B处测得灯塔P在北偏西30°方向上，若轮船仍按12海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？解析：根据题意，可画出所示的示意图，则AB=12×=4(海里)，过点P作PC⊥AB，垂足为C，由题中分别在A点、B点测得的方位角可知∠PAB=15°，∠PBC=30°，所以∠APB=∠PBC-∠PAB=30°-15°=15°，所以∠PAB=∠APB，所以PB=AB=4(海里)．在Rt△BPC中，因为∠PBC =30°，所以PC =PB =×4=2(海里)＜3(海里)．也就是说，C点距灯塔P只有2海里，而灯塔P周围3海里内有暗礁，所以该船继续向北航行有触礁的危险．问题11.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,根据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30度方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响。
（1）该城市是否会受到台风的影响？请说明理由。
（2）若受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=220，∴AD=12AB=110，∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，BA C∴受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160． ∵110＜160，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A 为圆心，160为半径作⊙A 交BC 于E 、F ．则AE=AF=160．∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=222160110 =6015 ∴台风影响该市的持续时间t=6015÷15=415（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（110÷20）=6.5（级）．问题12.公路MN 与小路PQ 在点P 处交汇，角QPN=30度，点A 处有一所学校，AP=160m ，假设拖拉机行驶时，周围100m 内受噪声影响，那么拖拉机在公路M N 上沿PN 方向行驶时，学校是否受到噪音影响?请说明问题。
如果学校受到影响，已知拖拉机速度为18km/h,那么学校受到影响的时间有多长？解析：作AB ⊥MN,垂足为B.在Rt ΔABP 中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160, ∴ AB=AP=80.（在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半）∵点A 到直线MN 的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响.如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,∴BC=60.同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),∴CD=120(m).拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/st=120m÷5m/s=24s.问题13.一个钟面上分针长6厘米从上午1时到下午8时分针尖端走了____厘米。
解析：从上午8点到下午1点，共5个小时，所以分针走了5周，5×2×π×6=60π厘米。
问题14.某钟面上的分针长是5厘米，从2时到3时，分针扫过的面积是_____平方厘米．解析：从2时到3时钟面上的分针走一圈，扫过的面积是一个圆的面积，分针长5厘米即分针扫过的圆半径为5厘米。
解答：S=πR2=π×52=25π（平方厘米）；答：分针扫过的面积是25π平方厘米。
问题15.如图，把Rt△ABC 的斜边AB放在直线L上，按顺时针方向转动两次，使它转到△A''B''C''的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到A'的位置时：（1）点A经过的路线有多长？（2）点A经过的路线与直线l所围成的面积是多少？问题16.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_______米。