圆的知识在生活中的应用及问题解析

圆的知识在生活中的应用及问题解析

问题1.如图把一块直径为a 的圆形桌布铺在一张对角线为a 的正方形桌面上,若桌布的四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度为_______。

解析：本质是已知圆的直径，求其内接正方形外四个弓形的高。

设正方形为ABCD ，对角线交点O 。O 也是圆的圆心。过O 做平行于AD 的半径，交CD 于H ，交圆于F 。HF 的长度即为所求。

Rt △ABD 中AB=AD=22a ，易求OH=12AD=24a ，又OF=OD=2a

∴HF=OF-OH=2a -24a =224a .

问题2.如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm 。

解析：本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，

弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．

解答：解：弧长：=4π，

圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．

点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓

住两者之间的两个对应关系：

（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；

（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的

关键．

问题3.小明不慎把家、里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是________。

解析分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小。也可利用“三点确定一个圆”。

解答：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故填②．

点评：解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．

问题4.北京市一居民小区计划将小区内的一块平行四边形ABCD场地进行绿化，

如图阴影部分为绿化地，以A，B，C，D为圆心且半径均为3m的四个扇形的半径

等于图中⊙O的直径，已测得AB=6m，则绿化地的面积为______m2。

解答：由题意可知，以A，B，C，D为圆心的四个扇形的和为一半径为3m的圆，可得圆的面积=9πm2；⊙O的直径为3m，则⊙O的面积=9

4

πm2．则绿化地的面积=

9π+9

4

π=45

4

πm2。

点评：此题主要考查圆的面积的计算，求得以A，B，C，D为圆心的四个扇形的圆心角和为360°是关键

问题5.如图，某博物馆有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监控器多少台？

解析：65°是圆周角,说明对应的圆心角（即监控器监控的对面边缘弧的度数）是130°,要想覆盖到360°,至少需要3个,因此需要3盏。

问题6.有一木质圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔，现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定D点的位置，并分别说明理由（图中点O为圆心）

解析:

方法一：如图①，作TH的垂线L交TH于点D,点D就是TH的中点。

依据是垂径定理。

方法二：如图②，分别过点T、H作HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F,过点O、F作直线L交HT于点D，点D就是HT的中点。

由作图可知，Rt△HOC≌Rt△TOE,易得HF=TF。又OH=OT,所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD。

方法三：如图③，（原理同方法二）

问题7.用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）。将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求。图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径。

解析：连结OA、OE，设，如图

∴四边形ACDB是矩形

PA=8 PE=6

在Ｒt△OAP中，由勾股定理得

即

解得OA=10

答：这种铁球的直径为20cm。

问题8.（1）如图①所示是一个半径

3

2

，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，

AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，

求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；

（2）如图②所示是一个底面半径为2

y

，母线长为1的圆锥和它的侧面展开图，

PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；

（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．

问题探究：

（1）如图①所示是一个半径为

3

2

，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂

蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；

（2）如图②所示是一个底面半径为2

y

，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一

只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；

（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．