第七章第六节空间向量及其运算(理)

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2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：7.6空间向量及其运算

• 【归纳提升】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可判定两直线平行．
针对训练
• • 2．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B∥平面AC1D.
(3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH＝ BD，同理FG＝ BD， 2 2 → → 所以EH＝FG，即 EH 綊 FG，以四边形 EFGH 是平行四边形．所以 EG，FH 交于一点 M 且被 M 平分． 1→ 1 → → 1 → → 故OM＝2(OE＋OG)＝2OE＋2OG 11 → → 11 → → ＝22OA＋OB＋22OC＋OD 1 → → → → ＝4(OA＋OB＋OC＋OD)．
• •
1．空间向量的应用 (1)定义式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉或cos〈a，b〉＝，用于求两个向量的数量积或夹角； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系； (3)|a|2＝a·a，用于求距离等等．
2．用空间向量解决几何问题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a，b，c}； (2)用 a，b，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 3．三点共线的证法： → → (1)PA＝λPB(λ∈R)⇔P、A、B 三点共线； → → → (2)对于空间任一点 O，OP＝xOA＋yOB且 x＋y＝1⇒P、A、B 三点共线．
4．四点共面的证法：若 P、M、A、B 为空间四点，则： → → → (1)MP＝xMA＋yMB，x，y∈R⇒P、M、A、B 四点共面； → → → → (2)对空间任一点 O，OP＝xOM＋yOB＋zOC且 x＋y＋z＝1⇒ P、M、A、B 四点共面． 5．空间向量数量积不满足消去律和结合律，即以下两个结论是错误的． (1)a· b＝b· c，b≠0⇒a＝c； (2)(a· b)· c＝a· (b· c)．

高考理科第一轮复习课件(7.6空间向量及其运算)

【解析】∵ OP (1 t)OA tOB, ∴ OP OA t(OB OA), ∴ AP tAB, ∴A,B,P三点共线. 答案：②

考向 1
空间向量的线性运算
【典例1】(1)若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为

3
3
4.若 OP (1 t)OA tOB, 则下列结论中正确的序号是________.
①O,P,A,B四点一定共线； ②P,A,B共线； ③P,A,B不共线； ④O,P,A,B不共面.

试用a,b,c表示以下各向量： ① AP ； ② A1 N； ③ MP NC . 1

【思路点拨】(1)先将 AG 进行分解，求出x，y，z的值，再求

x+y+z的值.
(2)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合向量的线性
运算.
【规范解答】(1)如图, AG AP PG,
∵G是△PCD的重心, ∴ PG 2 PH (H为CD的中点),
3
2 ∴ AG AP PH 3
2 1 AP ［ (PC PD)］ 3 2 1 1 AP PC PD 3 3 1 1 AP (PA AC) (PA AD) 3 3 1 1 1 1 AP PA (AB AD) PA AD 3 3 3 3 1 2 1 AB AD AP, 3 3 3 1 2 1 4 x , y , z , x y z . 3 3 3 3

空间向量及其运算

(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题．本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程．这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
点击此处进入作业手册
(3)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量

高中数学第七章第六节_空间向量及其运算课件(理) 新人教版

向量m和n用该组基底表示出来，再求他们的数量积及自
身长度，最后利用公式cos〈m，n〉＝
.
2.在向量性质中|a|2＝a·a提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.
[特别警示] 求向量的数量积关键是求出两个向量的模和夹角.
在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝ 90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图).求B、D间的距离.
谢谢观赏
You made my day!我们还在路上……∴cos〈
〉＝
＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为 .
1.若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，
则
()
A.p＝3，q＝2
B.p＝2，q＝3
C.p＝－3，q＝－2
D.p＝－2，q＝－3
解析：＝(1，－1,3)，＝(p－2，－1，q＋1)，由题意知，存在实数λ，使＝λ ，即λ＝1，p＝3，q ＝2. 答案：A
〉＝120°，〈
〈
〉＝90°.
〉＝60°，
1
1
1
＝ 2 (－2×2·2 ＋2×2×2 ＋0)＝0，
∴
，即异面直线AM与BC所成角为90°. ┄┄┄12分
[自主体验] 直三棱柱ABC－A′B′C′中， AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、 E分别为AB、BB′的中点. (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
( ＋ )等于
()
A.
B.
C.
D.
解析：＋ ( ＋ )＝＋＝ . 答案：A

高考理科数学总复习《空间向量及运算》课件

π (4)错误．两异面直线夹角范围为(0，2 ]，两向量夹角范围[0， π]． (5)正确.A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝A→C＋C→D＋D→A＝A→D＋D→A＝0. (6)错误．充要条件应为 a 与 b 反向且|a|≥|b|.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
2.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B→A＋B→C＋D→D1＝(
)
→ A.D1B1
→ C.DB1
→ B.D1B
→ D.BD1
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 B→A＋B→C＋D→D1＝C→D＋B→C＋D→D1＝B→D＋D→D1＝B→D1，故选 D.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
3．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A，D→1C，A→1C1 是( )
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积：a·b＝|a||b|cos a，b ． (2)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos a，e e 为单位向量； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a． (3)向量的数量积满足如下运算律： ①(λ·a)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(4)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或ba11＝ab22＝ ab33(b1·b2·b3≠0)；
(5)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)； (6)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1， z2－z1)．

空间向量及其运算(内容详细,题目典型,适合新授课)

（3）.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即： (a b) a b （） a a a ( )a ( )a
四、空间向量加法与数乘向量运算律
化简( AB CD) ( AC BD)
解：方法一：将减法转化为加法进行化简 AB CD AB DC ( AB CD ) ( AC BD) AB DC AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD DA 0
五、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
你能对（3）（4）结论进行推广吗？
四、空间向量加法与数乘向量运算律
A1 A2 A2 A3 An 1 An _____ A1 An
(3) A1 A2 A2 A3 A3 A4 A1 A4
A1 An A2 A3
An－1
…
A 4 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
B
b
a
O
A
O′
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。
一、空间向量的基本概念
说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
一、空间向量的基本概念

(全国通用)高考数学一轮复习第七章立体几何第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算习题理【含答案】

第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则DE与D1F的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面且垂直D.既不平行也不垂直1.C【解析】建立空间直角坐标系后,求得=0,所以,即DE与D1F垂直且DE与D1F是异面直线.2.两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则是a∥b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.A【解析】a∥b且一个坐标为0是不能得到,所以必要性不满足,即是a∥b的充分不必要条件.3.已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N是BC的中点, =a,=b, =c,则=() A. a+b-c B.- a+b+cC. a-b+cD. a+b-c3.B【解析】∵点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点, +()++()+)=-,∵=a, =b, =c,∴=-a+b+c.4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是()A.B.C.D.4.D【解析】选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有=0;选项B,当四边形ABCD为正方形时,可得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有=0;选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有=0;选项D,由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即≠0.5.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点,则||为() A.B.C.D.5.D【解析】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,则F,C1(0,1,1),G.因为H是C1G的中点,所以H,所以=-,则||=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2),则a·b=;|a|=.6.226【解析】a·b=(-4)×(-6)+2×3+4×(-2)=22,|a|==6.7.已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,a),如果四边形ABCD为梯形,则实数a的值为.7.9【解析】因为=(4,-8,2), =(8,5,7), =(2,-4,10-a), =(10,1,a-1),四边形ABCD为梯形,则,解得a=9,此时不平行.8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1B1上任意一点,则DP与BC1始终.8.垂直【解析】因为=()·=()·=0,所以,即DP与BC1始终垂直.三、解答题(共20分)9.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,H为平面EDB内一点,=(2m,-2m,-m)(m<0),证明:HC1⊥平面EDB.9.【解析】设正方体的棱长为a,则=(a,a,0),所以=(2m,-2m,-m)·=0,=(2m,-2m,-m)·(a,a,0)=0,所以,又DE∩DB=D,所以HC1⊥平面EDB.10.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若ABCD是平行四边形.求证:MN∥平面PAD.10.【解析】取DP的中点E,连接AE,EN,则,所以,所以共面,且MN不在平面PAD上,所以MN∥平面PAD.[高考冲关]1.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),该四面体的体积为()A.B.C.1 D.21.A【解析】在空间直角坐标系中作出四面体的四个顶点,可知该四面体是棱长为的正四面体,所以体积为.2.(5分)设P(2,3,4)在三个坐标平面上的射影分别为P1,P2,P3,则向量:①(6,-3,-4);②(4,-3,-4);③(0,-3,4);④(2,-6,4).其中与平面P1P2P3平行的向量有().A.1个B.2个C.3个D.4个2.C【解析】由题意可知,P1,P2,P3的坐标分别为(2,3,0),(2,0,4),(0,3,4),可以求得平面P1P2P3的一个法向量为(6,4,3),①不与该法向量垂直,所以不与平面P1P2P3平行,②③④与该法向量垂直,所以与平面P1P2P3平行.3.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN 与平面BB1C1C的位置关系是() A.在平面上B.相交C.平行D.以上都不正确3.C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则点M a,,N,所以=-,0,-与平面BB1C1C的法向量=(0,a,0)垂直,且MN不在平面BB1C1C上,所以MN与平面BB1C1C的位置关系是平行.4.(5分)已知空间四边形ABCD中, =a-2c, =5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=.4.3a+3b-5c【解析】=3a+3b-5c.5.(5分)已知空间图形A-BCD,E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点,求证:EG,FH,MN交于一点且互相平分.5.【解析】设P1,P2,P3分别为EG,FH,MN的中点,又设=a, =b, =c,则)=)=(a+b+c).同理可证 (a+b+c),(a+b+c),∴P1,P2,P3三点重合.从而原命题得证.6.(10分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AA1的中点,点O是对角线BD1的中点.(1)求证:BD1⊥AC;(2)求证:OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.6.【解析】(1)以D为原点,DC,DA,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),M,O.∴=(-1,-1,1), =(1,-1,0),∴=(-1)×1+(-1)×(-1)+1×0=0,∴,即BD1⊥AC.(2) =(0,0,1), =(-1,-1,1),∵=0, =0,∴OM⊥AA1,OM⊥BD1,即OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.7.(10分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线CC1上是否存在一点N,使得MN⊥AB1?若存在,请你求出它的位置;若不存在,请说明理由.7.【解析】假设在直线CC1上存在一点N,使得MN⊥AB1.如图,建立空间直角坐标系,有A(0,0,0),B,M,0,N(0,1,z),B1,∴.∵,∴=-+2z=0,解得z=,N,即CN=时,AB1⊥MN.。

第七章第6讲空间向量及其运算

第6讲空间向量及其运算[学生用书P144])1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π2，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b . (2)两向量的数量积两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3， a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.5．空间位置关系的向量表示1．辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别．(2)共线向量定理中a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．(4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立． 2．建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直． (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．1．已知a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对C [解析] 因为c ＝(－4，－6，2)＝2a ，所以a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b .2．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|P A |＝|PB |，则P 点坐标为( )A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)C [解析] 设P (0，0，z )，则有（1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z ）2＝（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z ）2，解得z ＝3.3.教材习题改编在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋cA [解析] 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4.教材习题改编已知a ＝(2，4，x )，b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________．[解析] 因为a ＝(2，4，x )，|a |＝6，则x ＝±4，又b ＝(2，y ，2)，a ⊥b ，当x ＝4时，y ＝－3，x ＋y ＝1. 当x ＝－4时，y ＝1，x ＋y ＝－3. [答案] 1或－35．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y ，2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________．[解析] 因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. [答案] －3空间向量的线性运算[学生用书P145][典例引领]如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________．(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________．【解析】 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 【答案】 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→若本例条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD→＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值．[解] EO →＝ED →＋DO → ＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.用基向量表示指定向量的方法(1)应结合已知和所求向量观察图形．(2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．如图所示，在空间几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.[解] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 因为N 是BC 的中点，所以NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ ＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .共线、共面向量定理的应用[学生用书P146][典例引领]已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .【证明】 (1)连接BG (图略)，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD ．又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .(1)证明空间三点P 、A 、B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM→＝13(OA →＋OB →＋OC →)． (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解] (1)由题知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，所以MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ，所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内．空间向量的数量积与坐标运算[学生用书P146][典例引领](1)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i ＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则AB →·AP i →(i ＝1，2，…，8)的不同值的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B ．33 C.23D ．63(3)已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________．【解析】 (1)由题图知，AB 与上底面垂直，因此AB ⊥BP i (i ＝1，2，…，8)，AB →·AP i→＝|AB →||AP i →|cos ∠BAP i ＝|AB →|·|AB →|＝1(i ＝1，2，…，8)．故选A.(2)不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1，1，1)，又BB 1→＝(0，0，1)，所以cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33，所以BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫332＝63.(3)λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ>0，解得λ＝3.【答案】 (1)A (2)D (3)3(1)空间向量数量积计算的两种方法 ①基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．②坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ②|a |＝a 2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．[解] 因为A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →，所以a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 和b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)因为k a ＋b ＝k (1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝－52或k ＝2.利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)[学生用书P147]空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点．高考对空间向量解决此类问题有以下两个命题角度：(1)证明平行问题； (2)证明垂直问题．[典例引领](1)(2015·高考湖南卷节选)如图，已知四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A 1A ＝6，且A 1A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上．若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ .(2)如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .【证明】 (1)由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B 1(3，0，6)，D (0，6，0)，D 1(0，3，6)，Q (6，m ，0)，其中m ＝BQ ，0≤m ≤6.若P 是DD 1的中点，则P ⎝⎛⎭⎫0，92，3，PQ →＝(6，m －92，－3)．又AB 1→＝(3，0，6)，于是AB 1→·PQ →＝18－18＝0，所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ .(2)因为平面P AD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0).PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →，又因为FE →与FG →不共线，所以PB →与FE →，FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4.⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.[题点通关]角度一证明平行问题 1.如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．利用向量方法证明：直线MN ∥平面OCD ．[证明] 作AP ⊥CD 于点P ，连接OP ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则P ⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，O (0，0，2)，M (0，0，1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0，MN →＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2. 设平面OCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0，即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，得n ＝(0，4，2)．因为MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1·(0，4，2)＝0，所以MN →⊥n ，且MN ⊄平面OCD ，所以MN ∥平面OCD ．角度二证明垂直问题2．如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC . [证明] (1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)．于是AP →＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)，所以AP →·BC →＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)连接MB ，MC .由(1)知AP ＝5，又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，所以AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5，0)，所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125，则AP →·BM →＝(0，3，4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0，所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .[学生用书P360(独立成册)]1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2D [解析] 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直B [解析] 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点．所以AB ∥CD ．3．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B ．9 C.647D ．657D [解析] 由题意知存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ，即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)，由此得方程组⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y .解得x ＝337，y ＝177，所以λ＝997－347＝657.4．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定B [解析] 如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.5.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1，1，1)B ．⎝⎛⎭⎫1，1，12 C.⎝⎛⎭⎫1，1，32 D ．(1，1，2)A [解析] 设P (0，0，z )，依题意知A (2，0，0)，B (2，2，0)，则E ⎝⎛⎭⎫1，1，z2，于是DP →＝(0，0，z )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，z 2， cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝z 22|z |·z24＋2＝33. 解得z ＝±2，由题图知z ＝2，故E (1，1，1)．6．(2017·唐山统考)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC→1，N为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216a B ．66a C.156a D ．153a A [解析] 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a ，0，0)，C 1(0，a ，a )， N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z )，因为点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，所以(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，所以x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3. 所以M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3，所以|MN →| ＝⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32＝216a . 7．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，点Q 在平面yOz 上，则垂足Q 的坐标为________．[解析] 由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影，所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)． [答案] (0，2，3)8．在空间直角坐标系中，以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为__________．[解析] 由题意知AB →＝(6，－2，－3)， AC →＝(x －4，3，－6)．又AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可得x ＝2. [答案] 29．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．[解析] 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又因为a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°，所以两直线的夹角为60°. [答案] 60°10．已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a 、b 、c 表示向量MN →＝________．[解析] 如图所示，MN →＝12(MB →＋MC →)＝12[(OB →－OM →)＋(OC →－OM →)]＝12(OB →＋OC →－2OM →)＝12(OB →＋OC →－OA →)＝12(b ＋c －a )． [答案] 12(b ＋c －a )11.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长．[解] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14. (2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22.12．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． (1)求以AB ，AC 为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标． [解] (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32，所以以AB ，AC 为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1，所以向量a 的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．13．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [解析] ①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．14．已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________．[解析] 对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y2，所以当x＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.[答案] 1 2 2 2 15.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[证明] (1)设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，C (2a ，0，0)， B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)， E (a ，3a ，2a )．因为F 为CD 的中点，所以F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.AF →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a ，0，－a )．因为AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)因为AF →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a ，0)，ED →＝(0，0，－2a )，所以AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0，所以AF ⊥CD ，AF ⊥ED ．又CD ∩DE ＝D ，所以AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .16．如图，正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)AB ∥平面DEF ，理由如下：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，得EF ∥AB ．又因为AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，故DE →＝(0，3，1)．假设存在点P (x ，y ，0)满足条件，则AP →＝(x ，y ，－2)， AP →·DE →＝3y －2＝0，所以y ＝233.又BP →＝(x －2，y ，0)，PC →＝(－x ，23－y ，0)， BP →∥PC →，所以(x －2)(23－y )＝－xy ，所以3x ＋y ＝2 3.把y ＝233代入上式得x ＝43，所以BP →＝13BC →，所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE ，此时BP BC ＝13.。

7-6第六节空间向量及其运算(理)(2015年高考总复习)

答案 D
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2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中 → → → → 心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为( A．x＝1，y＝1 1 1 C．x＝2，y＝2 1 B．x＝1，y＝2 1 D．x＝2，y＝1 )
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高考这样考从高考内容上来看，空间向量的概念及其运算在高考题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考查，难度中等.
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备考这样做 1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算． 2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积.
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解析
①正确．②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋
yb就不成立．③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线 → → → 上，则MP＝xMA＋yMB不正确．
答案 B
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已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边
AB，BC，CD，DA的中点．
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大小和______ 方向的量叫做空间 (1)空间向量：在空间中，具有______ 模长度或________ 向量，其大小叫做向量的________ ．相同且模______ 相等的向量． (2)相等向量：方向________

第七章第六节空间向量及其运算

[归纳领悟归纳领悟] 归纳领悟用已知向量表示未知向量时要注意：用已知向量表示未知向量时要注意： 1．把要表示的向量置于封闭图形中，利用三角形法则或．把要表示的向量置于封闭图形中，多边形法则进行基向量代换．多边形法则进行基向量代换． 2．用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基．用基向量表示一个向量时，底的公共点出发的，一般考虑用加法，底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．
3．与向量 a＝(1，－．，－3,2)平行的一个向量的坐标是平行的一个向量的坐标是( ＝，－平行的一个向量的坐标是 1 A．( ，1,1) ． 3 1 3 C．(－，，－，－1) ．－ 2 2 B．(－1，－．－，－，－3,2) D．( 2，－，－ 2) ．，－3，－，－，－2
证明：解：(1)证明：分别延长 PE、PF、PG、PH 交对边于 M、N、证明、、、、、 Q、R 点．、因为 E、F、G、H 分别是所在三角形的重心．、、、分别是所在三角形的重心．所以 M、N、Q、R 为所在边的中点，顺次连接 M、N、Q、、、、为所在边的中点，、、、 R 得到的四边形为平行四边形，且有：得到的四边形为平行四边形，且有：
)
1 1 3 解析：可知－＝－，－1)．解析：可知－ a＝(－，，－． 2 2 2
答案：答案：C
4.如图所示，已知ABCD是平行四边形，如图所示，已知是平行四边形，如图所示是平行四边形 P点是点是ABCD所在平面外一点，连接所在平面外一点，点是所在平面外一点 PA、PB、PC、PD.设点、F、G、H 、、、设点设点E、、、分别为△ 分别为△PAB、△PBC、△PCD、、、、的重心． △PDA的重心．的重心 (1)试用向量方法证明、F、G、H四点共面；试用向量方法证明E、、、四点共面四点共面；试用向量方法证明 (2)试判断平面试判断平面EFGH与平面与平面ABCD的位置关系，并用向量方的位置关系，试判断平面与平面的位置关系法证明你的判断．法证明你的判断．

7-6第六节空间向量及其运算(理)练习题(2015年高考总复习)

第六节空间向量及其运算(理)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c ，故选A.答案 A2．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面解析 OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．答案 D3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657解析由于a ，b ，c 三向量共面．所以存在实数m ，n 使得c ＝m a ＋n b ，即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.故选D.答案 D4．正方体不在同一表面上的两个顶点为A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积为( )A ．8B ．27C ．64D ．128解析由于A ，B 是正方体上不共面的两个顶点，则A ，B 必为正方体一对角线的两顶点，由于|AB |＝(－1－3)2＋(2＋2)2＋(－1－3)2＝43，故正方体的边长为4，体积为43＝64.故选C.答案 C5．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．不确定解析方法1：如图所示，在空间四边形ABCD 中，连接对角线AC 、BD ，得三棱锥A —BCD ，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，∵正四面体的对棱互相垂直， ∴AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0，AD →·BC →＝0. ∴AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.故选B.方法2：在方法1的图中，选取不共面的向量AB →，AC →，AD →为基底，则原式＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB →＝0.故选B.答案 B6．如图所示，已知空间四边形OABC 中，|OB |＝|OC |，且∠AOB ＝∠AOC ，则OA →，CB →夹角θ的余弦值为( )A ．0 B.12 C.32D.22解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . 由已知条件∠AOB ＝∠AOC ，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝|a ||c |cos ∠AOC －|a ||b |cos ∠AOB ＝0， ∴cos θ＝0.故选A. 答案 A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是________．解析设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3，故P ⎝⎛⎭⎪⎫－13，83，3.由两点间距离公式可得|PD →|＝773. 答案7738．如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.解析如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，GF ，则EF →＝EG →＋GF →＝12(AB →＋DC →)， ∴λ＝12. 答案 129．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为__________．解析设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，sin 〈CM →，D 1N →〉＝459. 答案459三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)(a ＋c )与(b ＋c )所成角的余弦值．解 (1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，设(a ＋c )与(b ＋c )所成角为θ，因此cos θ＝5－12＋338·38＝－219.11．(2014·江门质检)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ ＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c.12．(2013·重庆卷)如图所示，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(Ⅰ)求P A 的长；(Ⅱ)求二面角B —AF —D 的正弦值．解 (Ⅰ)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O —xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F (0，－1，z 2)．又AF →＝(0,2，z 2)，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|P A →|＝2 3.(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD →＝(－3，3,0)，AB →＝(3，3,0)，AF →＝(0,2，3)．设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝18.故二面角B —AF —D 的正弦值为378.。

第7篇第6节空间向量及其运算课件理新人教A版课件

x1x2＋y1y2＋z1z2 ③夹角公式：cos〈a，b〉＝__x_12_＋__y21_＋__z_21__x_22_＋__y22. ＋z22
④模长公式：|a|＝ a·a＝___x_12＋__y_21_＋__z_21 _.
⑤数乘运算：λa＝____(_λ_x_1，__λ_y_1_，__λ_z1_)_ (λ∈R)． ⑥平行的充要条件：a∥b⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝ λz2(λ∈R)．
⑦垂直的充要条件：a⊥b⇔_x_1_x2_＋__y_1_y_2＋__z_1_z2_＝__0___.
1．设三棱锥OABC中，
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，
→ OC
＝c，G是
△ABC的重心，则O→G等于( )
A．a＋b－c
B．a＋b＋c
C．12(a＋b＋c)
D．13(a＋b＋c)
解析：如图所示，
O→G＝O→A＋A→G ＝O→A＋13(A→B ＋A→C )
(1)求空间向量数量积的方法 ①定义法．设向量a、b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ； ②坐标法．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b ＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
＝O→A＋13(O→B－O→A＋O→C－O→A) ＝13(a＋b＋c)．故选D. 答案：D
2．P－12，0，

3关于z轴的对称点为(

)
A．12，0，－

3

B．－12，0，－

3

C．12，0，

3

D．－12，0，

3

解析：关于z轴对称，横、纵坐标变为原来的相反数，竖坐标不变．故选C.
a·b ③cos〈a，b〉＝__|a_|_|b_| ____. ④a2＝a·a＝_|_a_|2_，|a|＝__a_2_. ⑤|a·b|___≤_|a||b|.

空间向量及其运算(含答案解析)

空间向量与立体几何知识梳理1、共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使___________推论：A 、P 、B 三点共线⇔______________________中点公式．1()2OP OA OB =+ 2、共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y使__________推论：空间一点P 位于平面ABC 内⇔_______________________________________3、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使________________________4、向量的数量积：______________________________________ 特别的，_______,__________⇔⊥=∙b a a a 数量积的运算律：（1）_____________________(2)___________________________(3)___________________________5、),,(),,,(321321b b b a a a ==，则______________;____________;__________==-=+λ如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DC 的中点.(1)求AE 与D 1F 所成的角；(2)证明AE ⊥平面A 1D 1F .●对应训练分阶提升一、基础夯实1.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) 例3图____________________==∙b aA.OC OB OA OM --=2B. 213151++= C.0=++MC MB MA D.0=+++OC OB OA OM2.与向量a =(12,5)平行的单位向量是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--135,1312 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312135,1312或 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛±±135,1312 3.若向量｛a ， b ，c ｝是空间的一个基底，向量m ＝a +b ，n ＝a -b ，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是( )A.aB.bC. cD.2a4. a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］ C.(0，π) D.［0，π］ 5.若a 与b 是垂直的，则a ²b 的值是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定6.向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( )A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对7. A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( )A.1B.2C.3D.48. m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( )A.0B.25C.221 D.8 9. a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( )A.0B.6C.-6D.±610. A (2，-4，-1)，B (-1，5，1)，C (3，-4，1)，令a ＝，b ＝，则a +b 对应的点为( ) A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)11. a ＝(2，-2，-3)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角为( )A.arc cos 85854B.8569arcsinC.85854arccos -π D.90° 12.若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则212121z z y y x x ==是a 与b 同向或反向的( )A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件二、思维激活13.已知向量a , b , c 满足a +b +c =0,|a |=3,| b |=1,| c |=4.则ab +bc +ca = .14.已知|a |＝22，|b |＝22，ab ＝-2，则a 、b 所夹的角为 . 15.已知空间三点A 、B 、C 坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P 在xOy 平面上且PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则P 点坐标为 .16.已知a ＝｛8,-1,4｝，b ＝｛2,2,1｝，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为 .三、能力提高17.已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且与α所成的角是30°，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 之间的距离.18.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、B 1C 1中点，若AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，试用向量法求： (1)CF E A 与1的夹角的大小.(2)直线A 1E 与FC 所夹角的大小.19.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、DC 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .20.如图所示,已知ABCD ,O 是平面AC 外的一点,OD OD OC OC OB OB OA OA 2,2,2,21111====,求证:A 1,B 1,C 1,D 1四点共面.第11课空间向量及其运算习题解答1.C 由向量共线定义知.2.C 设此向量为(x ,y ),∴⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 512122， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13513121351312y x y x 或 3.C4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.5. B 当a ⊥b 时，a ²b =0(cos 〈a , b 〉=0)6.C a =(1,2,-2)=-21²b ∴a ∥b . 7.C |AB |=222)21()11()11(++-+-=3.8.C ∵m ∥n ,故(8,3,a )=k (2b ,6,5)， ∴8=2bk ,3=6k ,a =5k ， ∴k =21 故a =25,b =8,∴a +b =25+8=221 9.B ∵a ⊥b ∴1²m +5²2-2(m +2)=0. ∴m =6.10.B CA =(-1,0,-2),CB =(-4,9,0)，∴a +b =(-5,9,-2).11.C cos(a ²b )=2222242)3()2(24322+∙-+-+⨯-⨯=-85854854-=. 12.A 若212121z z y y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立. 13.-13 ∵a +b +c =0,∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca )=0, ∴ab +bc +ca =-21(a 2+b 2+c 2)=-21(9+1+16)=-13. 14.π43 cos 〈a , b 〉=22222222-=∙-=∙-b a .∴a ,b 所夹的角为43π. 15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得. 16.95 S=|a ||b |sin 〈a , b 〉求得.17.如图，由AC ⊥α，知AC ⊥AB .过D 作DD ′⊥α，D ′为垂足，则∠DBD ′＝30°，〈BD CA ,〉＝１２０°，∴|CD |2= 2)(++=∙BD AB BD CA AB CA BD ∙+∙+∙++2222＝b 2+a 2+b 2+2b 2cos120°＝a 2+b 2.∴CD ＝22b a +点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.18.如图，建立空间坐标系，则D (0，0，0)、A (2，0，0)，B (2，2，0) 、C (0，2，0)、A 1(2，0，4)、B 1(2，2，4)、C 1(0，2，4).由题设可知E (2，1，0)，F (1，2，4).(1)令CF E A 与1的夹角为θ，则cos θ1716-=. ∴CF E A 与1的夹角为π-arccos 1716.(2)∴直线A 1E 与FC 的夹角为arccos 171619.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ，以i 、j 、k 的坐标向量建立空间直角坐标系D —xy z ，则AD ＝（－１，0，０），F D 1＝(0,21,-1)，AD ²F D 1＝(-1，0，0)²(0，21，-1)＝0，∴AD ⊥D 1F. 又AE ＝(0，1，21)，F D 1＝(0，21，-1)， ∴²D 1＝(0，1，21)²(0，21，-1)＝21-21＝0.∴A E ⊥D 1F ，又AE ∩AD ＝A ， ∴D 1F ⊥平面AD E.点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.20.证明：∵)(22)(2221111AD AB AC OA OC OA OC OA OC C A +==-=-=-= =2[])22()22(()(-+-=-+-=11111111)()(D A B A OD OB +=-+-∴A 1,B 1,C 1,D 1四点共面.本资料来源于《七彩教育网》。

空间直角坐标系空间向量及其运算

【名师说“法”】
空间共线向量定理、共面向量定理的应用
三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面
P→A＝λP→B
M→P＝xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝对空间任一点 O，O→P＝O→M＋
O→A＋tA→B
xM→A＋yM→B
三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面
[解析] 因为 α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此 (－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即 x＝－5.
[答案] －5
5．已知空间三点 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则A→B
与C→A的夹角 θ 的大小是________．
[解析] 由题意知A→B＝(－2，－1,3)，C→A＝(－1,3，－2)，故
[答案] C
角度二利用数量积求长度 2．如图，在 60°的二面角 α、l、 β 的棱上有两点 A，B，点 C，D 分别在 α，β 内，且 AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则 CD 的长度为 ______________．
2
O→M)＝12(O→B＋O→C－O→A)＝12(b＋c－a)．
[答案]
12(b＋c－a)
3．如图所示，已知空间四边形 OABC，其
对角线为 OB、AC，M、N 分别为 OA、BC 的中
点，点 G 在线段 MN 上，且M→G＝2G→N，若O→G＝
x
→ OA
＋
y
→ OB
＋
z
→ OC
，
则
x，y，z
的值分别为
平行于同一个__平__面____的向量
0
a＝b a的相反向量为－a
a∥b

[广东理数一轮]7.6空间向量及其运算

A
.P
B
.O

存在x,y∈R,使OP=OM +x MA +y MB
OP=(1-x-y)OM +x OA +y OB
OP=xOM +y OA +zOB
(X+y+z=1)
证明四点共面
空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组 x, y, z, 使得
p xa yb zc
→ ＝kAC →1，BN → ＝kBC →， [自主解答] (1)∵AM → ＝MA → ＋AB → ＋BN → ＝kC → → → ∴MN 1A＋AB＋kBC → → → → → → ＝k(C 1A＋BC)＋AB＝k(C1A＋B1C1)＋AB → → → → → → → ＝kB 1A＋AB＝AB－kAB1＝AB－k(AA1＋AB) → －kAA →1，＝(1－k)AB → 与向量AB → ，AA →1共面． ∴由共面向量定理知向量MN (2)当 k＝0 时，点 M、 A 重合，点 N、 B 重合， MN 在平面 ABB1A1 内，当 0＜k≤1 时，MN 不在平面 ABB1A1 内， → 与AB → 、AA →1共面，又由(1)知MN 所以 MN∥平面 ABB1A1.
[例题] (2014· 新乡模拟)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )
5 A. 5 2 5 C. 5
5 B. 3 3 D. 5
→ ＝a，CC →1＝b，CB → ＝c， [规范解答] 解法一：设CA → ⊥CC →1，CA → ⊥CB → ，CC →1⊥CB →， ∵CA ∴ a· b＝0，a· c＝0，b· c＝0. → ＝c－a，BB →1＝CC →1＝b， ∵AB →1＝AB → ＋BB →1＝c－a＋b. ∴AB →1＝b－c，又∵BC →1 · →1＝(b－c)· ∴BC AB (c－a＋b) ＝ b· c－a· b＋b2－c2＋a· c－b· c ＝b2－c2，∵CA＝CC1＝2CB， ∴|a|＝|b|＝2|c|， →1 · →1＝3|c|2. ∴BC AB

空间向量及其运算

空间向量及其运算空间向量及其运算最新考纲要求学生了解空间向量的概念，基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解和坐标表示，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能够运用向量的数量积判断向量的共线和垂直。

本节内容是空间向量的基础，包括空间直角坐标系、空间向量的基本定理、公式和四种运算等内容。

一般不单独命题，常以简单几何体为载体，以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明以及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力。

空间向量的相关概念包括零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量和共面向量等。

其中，共线向量定理指出，空间两个向量a与b(b≠)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb；共面向量定理的向量表达式为p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量；空间向量基本定理指出，如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫作空间的一个基底。

空间向量的数量积是指两个向量的模相乘再乘以它们的夹角的余弦值，记作a·b，其中a，b为非零向量。

空间向量数量积的运算律包括(λa)·b＝λ(a·b)、交换律：a·b＝b·a、分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c等。

空间向量的坐标表示及其应用是指将向量的坐标表示成有序实数组的形式，可以用于计算向量的模、夹角、共线关系和垂直关系等。

在应用中需要注意共线向量和共面向量的区别，平行于同一平面的向量为共面向量。

2.零向量不能作为基向量，因为它与任何一个非零向量共线，与任何两个非零向量共面。

3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体的“线线”夹角和“点点”距离都是固定的。

坐标系的位置不同只会影响计算的繁简，不会影响结果。

向量表示：对于向量a和b，有a·b、|a|、〈a，b〉的定义和计算公式。

空间向量及其运算

用空间向量解决立体几何问题时，一般可按以下程序思考：
①如何把已知条件转化为向量表示，待解决问题需要用到哪些向量？可用什么向量知识解决？
②考虑一些未知的向量能否用基向量表示．
③如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论.
例4、如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB,且与α所成角是30°. 如果AB=a,AC=BD=b,求C.D间的距离.
线 OB, AC ， M , N 分别是对边 OA, BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG 2GN ，用基底向量 OA,OB,OC 表示向量 OG
新疆王新敞
奎屯
3.1.3 两个向量的数量积
一、复习引入: 叙述空间向量基本定理.
设O,A,B,C是不共面的四点, 则对空间任一点 P, 都存在唯一的三个有序实数x,y,z, 使
2
2
三、课堂练习: 1.如图，在空间四边形ABCD中，E,F分别是 AD与BC的中点，求证： EF 1 (AB DC)
2
思考: 如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心. 则用: AB, AC, AD表示AG.
3.1.2空间向量及其运算
一、预习内容： ⑴怎样的向量叫做共线向量？ ⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？ ⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
练习:
1、已知平行六面体 ABCD ABCD中，
AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 ， BAA DAA 60 ，求 AC的长

空间向量及其运算(理科 )

空间向量及其运算（理科）一、学习目标：1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。

3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。

二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b1、±=a b2、λa =3、⋅a b =4、共线向量定理：（1）//a b ()≠⇔0b ⇔（2）//a b 222(0)x y z ≠⇔ （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是5、共面向量定理：6、空间向量分解定理：7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角；（2）两个向量b a ,数量积的定义：；（3）两个向量b a ,数量积的性质，，，。

（4）数量积满足的运算律：，，。

8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==，= ________，cos<b a ,>= ____________三、基础训练：（1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC ===a b c 点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = .（2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（）（A ）λa 与a 同向（B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a（3）设非零向量a ，b ，c ，,||||||=++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（）（A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3]（4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠=,BAA '∠=60DAA '∠=则AC '的长度为四、合作、探究、展示：例1、如图所示，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,,AB AD ==a b ,AA '=c P 是CA '的中点，M 是CD '的中点，N 是C D ''的中点，点Q 在CA '上，且:4:1,CQ QA '=用基底{a ，b ，c }表示以下四个向量：（1）;AP （2）;AM （3）;AN （4）AQ例2、棱长为1的正方体111111BB BD,,DD G F E 分别是，，中，D C B A ABCD -的中点。

第7章 §7.6 空间向量的概念与运算--新高考数学新题型一轮复习课件

新高考数学新题型一轮复习课件第七章§7.6　空间向量的概念与运算考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有和的量相等向量方向且模的向量相反向量方向且模的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相或的向量共面向量平行于的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使.(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在的有序实数对(x ，y )，使p ＝ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.a ＝λb 唯一x a ＋y b x a ＋y b ＋z c3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝ .(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉向量表示坐标表示数量积a·b_________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a |______________夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_______________________a1b1＋a2b2＋a3b3＝04.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)在空间直角坐标系中，在Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c ).( )(4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( )√×××1.若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是A.{a，a＋b，a－b}B.{b，a＋b，a－b}√C.{c，a＋b，a－b}D.{a＋b，a－b，a＋2b}∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面.∴A，B，D不正确.√由题意，根据向量运算的几何运算法则，3.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝____.∵l1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.10T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一空间向量的线性运算D1的中点，∵P是C∵N是BC的中点，∵M是AA1的中点，教师备选√用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.√√题型二空间向量基本定理及其应用(2)判断点M是否在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内.教师备选跟踪训练2　(1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件√√由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，可得P，A，B，C四点共面，故C正确；若P，A，B，C为空间四点，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.属于∴M，A，B，C四点共面.即点M∈平面ABC.例3　如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：题型三空间向量数量积及其应用则|a|＝|b|＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.教师备选√设正方体内切球的球心为O，则OM＝ON＝1，∵MN为球O的直径，又P在正方体表面上移动，由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.跟踪训练3　如图所示，在四棱柱ABCDAB1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)(2)求证：AC1⊥BD；＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝0.(3)求BD1与AC夹角的余弦值.。

第七章 第六节 空间向量及其运算(理)

2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：7.6空间向量及其运算

高考理科第一轮复习课件(7.6空间向量及其运算)

空间向量及其运算

高中数学 第七章 第六节_空间向量及其运算课件(理) 新人教版

高考理科数学总复习《空间向量及运算》课件

空间向量及其运算(内容详细,题目典型,适合新授课)

(全国通用)高考数学一轮复习第七章立体几何第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算习题理【含答案】

第七章第6讲 空间向量及其运算

7-6第六节 空间向量及其运算(理)(2015年高考总复习)

第七章 第六节 空间向量及其运算

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