离散数学---推理理论
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
西 (1)命题常元，命题变元：P,Q,R,…,Pi,Qi,…,1,0(T,F) 华 大 (2)命题联结词：、∧、∨、→、 学 (3)括号：(,) 制 2.合式公式：(略) 作
3.推理规则：
(1).前提引入规则(P规则)：在证明的任何步上，都可引入前 提； (2).结论引用规则(T规则)：在证明的任何步上，所得的结论 都可作为证明得前提； (3).置换规则：在证明的任何步上，命题公式的任何子命题 公式都可以用与之等价的命题公式置换。 (4).永真蕴涵规则：使用基本蕴涵式，常常将条件用‘，’
P P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式
⑦ ⑧ I析取三段式
前提：p ((r∧s)q)，p，s 结论：q。 西 证明： 华 大 学 ⑪ p p规则 制 ⑫ 作 p ((r∧s)q) p规则 ⑬ (r∧s)q ⑪⑫I ⑭ s p规则 ⑮ s ∨ r ⑭I ⑯ (r∧s) ⑮E ⑰ q ⑬⑯I
学 制 作 则前提为:
解：将已知事实符号化： 设 P:张三盗窃录像机； Q:李四盗窃录像机; R:作案时间发生在午夜前； S:李四证词正确； M:午夜时灯光未灭。
① M (1) P∨Q, ② S→M (2)P→ R, ③ S (3)S→M, ④ S→R (4)S→R, ⑤ R (5) M。 ⑥ P→ R 结论未定。 ⑦ P ⑧ P∨Q P ⑨ Q 所以，可以得出是李四盗了录像机。
§1.6 推理理论
西 华 大 学 制 作
一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法
一、有效论证与推理规则
西 华 大 学 制 作
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得 到有效结论的过程称为正确推理。 • 若AB是永真式，则记为AB； • 若A→B是永真式，则记为AB。 • 前提一致和不一致： • 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
?第三种方法?
法二、利用等值演算法证明： 证： (A →B)→ B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
(A →B)→ B
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0
( A∨B) → B ( A∨B) ∨ B ( A∨B) ∨ B A∨(B∨ B) A∨T T 所以,(A→B) B
Q 0 1 0 1
(P∨ P →Q) ∧Q →P ∧ P
1 1 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
所以，结论A是有效结论；该推理是正确的。而前提是不一 致的。
基本蕴涵式
名称
西 华 大 学 制 作
蕴涵关系式
A∧BA (A→B) A AA∨B AA→B (A→B) ∧AB (A→B) ∧ B A (A∨B) ∧ AB (A→B) ∧(B→C) A→C (AB) ∧(BC) AC (A→B) ∧(C→D) ∧(A∨C) B∨D A∧BB (A→B) B BA∨B BA→B
基本蕴涵式证明的另一种方法
西 华 大 学 制 作
(A→B) B的证明 (A→B) B的证明 证明： (A→B) ( A∨B) A∧ B A∧ B B (简化式）
推理过程的证明形式
西 华 大 学 制 作
规范化的形式： 序号 公式 ① B1 ② B2 ③ B3 ……
自然推理系统P
西 华 大 学 制 作
自然推理系统
特点：可以从任意给定的前提出发，
形式系统
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演，
得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
化简式 附加式 假言推理 拒取式 析取三段式 假言三段式 等价三段式 二难推论
(A→B) ∧ B A的证明 西 华 大 学 制 作
A 0
B 0
(A → B)
∧
B → A
1
1
1 1
1
0
1 1
1
0 1
1
0 1
0
0 0
0 1
1 1 0 1
1
0 0
(A→B) B的证明
法一、真值表法： 西 华 大 学 制 作
P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式 P ⑦ ⑧ I析取三段式
一公安人员审查一件案件。一致的事实如下： (1).张三或李四盗窃了录像机； (2).如果张三盗窃了录像机，则作案时间不能在午 夜前； 西 (3).如果李四证词正确，则午夜时屋内灯光未灭； 华 (4).如果李四证词不正确，则作案时间在午夜前； 大 (5).午夜时屋内灯灭了。
实例分析
西 华 大 学 制 作
判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张 红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。 前提：A1=P∨ P→ Q A2=Q 结论：A=P∧ P 问题：该结论是否有效结论。(该推理是否正确)。
P 0 0 1 1
例： 前提：P,P →(Q → R ∧ S) 结论：Q → S
西 华 大 学 制 作
证明： (1) P cp规则 (2) P →(Q → R ∧ S) cp规则 (3) Q → R ∧ S (1)(2)I (4) Q cp规则 (5) R ∧ S (3)(4)I (6) S (5)I 课堂作业： 前提：P∧Q→R，S ∨P，Q 结论： S→R
理由 E 或 I 或 P 或 …的合取 或 cp .. ..
注意：1)并非B1B2B3 2)Bi的获取：前提、中间结论
西 华 大 学 制 作
构造下列的推理的证明： 前提：P∨Q,P→ R,S→M,S→R, M 结论：Q。 证： ① M P
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
S→M S S→R R P→ R P P∨Q Q
归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A A
( 前提： A1，A2，…，An ，A A) 结论： 0 （F）
例： 前提：R→Q，R∨S ，S→Q，P→Q 结论： P
西 华 大 学 制 作 证明： ① ( P) ② P ③ P→Q ④ Q ⑤ R→Q ⑥ R ⑦ R∨S ⑧ S ⑨ S→Q ⑩ Q ⑾ F 否定结论引入（CP规则） ①E P ②③I P ④⑤I P ⑥⑦I P ⑧⑨I ④ ⑩的合取
例如
推理证明的方法
西 华 大 学 制 作
前提的合取→结论 是永真式
演绎证明 直接证明法 附加前提证法 (CP)
推来自百度文库证明
归纳证明
间接证明法 归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
附加前提证法 (CP)
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A→B
前提： A1，A2，…，An ，A 结论： B
3.推理规则：
(1).前提引入规则(P规则)：在证明的任何步上，都可引入前 提； (2).结论引用规则(T规则)：在证明的任何步上，所得的结论 都可作为证明得前提； (3).置换规则：在证明的任何步上，命题公式的任何子命题 公式都可以用与之等价的命题公式置换。 (4).永真蕴涵规则：使用基本蕴涵式，常常将条件用‘，’
P P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式
⑦ ⑧ I析取三段式
前提：p ((r∧s)q)，p，s 结论：q。 西 证明： 华 大 学 ⑪ p p规则 制 ⑫ 作 p ((r∧s)q) p规则 ⑬ (r∧s)q ⑪⑫I ⑭ s p规则 ⑮ s ∨ r ⑭I ⑯ (r∧s) ⑮E ⑰ q ⑬⑯I
学 制 作 则前提为:
解：将已知事实符号化： 设 P:张三盗窃录像机； Q:李四盗窃录像机; R:作案时间发生在午夜前； S:李四证词正确； M:午夜时灯光未灭。
① M (1) P∨Q, ② S→M (2)P→ R, ③ S (3)S→M, ④ S→R (4)S→R, ⑤ R (5) M。 ⑥ P→ R 结论未定。 ⑦ P ⑧ P∨Q P ⑨ Q 所以，可以得出是李四盗了录像机。
§1.6 推理理论
西 华 大 学 制 作
一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法
一、有效论证与推理规则
西 华 大 学 制 作
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得 到有效结论的过程称为正确推理。 • 若AB是永真式，则记为AB； • 若A→B是永真式，则记为AB。 • 前提一致和不一致： • 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
?第三种方法?
法二、利用等值演算法证明： 证： (A →B)→ B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
(A →B)→ B
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0
( A∨B) → B ( A∨B) ∨ B ( A∨B) ∨ B A∨(B∨ B) A∨T T 所以,(A→B) B
Q 0 1 0 1
(P∨ P →Q) ∧Q →P ∧ P
1 1 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
所以，结论A是有效结论；该推理是正确的。而前提是不一 致的。
基本蕴涵式
名称
西 华 大 学 制 作
蕴涵关系式
A∧BA (A→B) A AA∨B AA→B (A→B) ∧AB (A→B) ∧ B A (A∨B) ∧ AB (A→B) ∧(B→C) A→C (AB) ∧(BC) AC (A→B) ∧(C→D) ∧(A∨C) B∨D A∧BB (A→B) B BA∨B BA→B
基本蕴涵式证明的另一种方法
西 华 大 学 制 作
(A→B) B的证明 (A→B) B的证明 证明： (A→B) ( A∨B) A∧ B A∧ B B (简化式）
推理过程的证明形式
西 华 大 学 制 作
规范化的形式： 序号 公式 ① B1 ② B2 ③ B3 ……
自然推理系统P
西 华 大 学 制 作
自然推理系统
特点：可以从任意给定的前提出发，
形式系统
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演，
得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
化简式 附加式 假言推理 拒取式 析取三段式 假言三段式 等价三段式 二难推论
(A→B) ∧ B A的证明 西 华 大 学 制 作
A 0
B 0
(A → B)
∧
B → A
1
1
1 1
1
0
1 1
1
0 1
1
0 1
0
0 0
0 1
1 1 0 1
1
0 0
(A→B) B的证明
法一、真值表法： 西 华 大 学 制 作
P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式 P ⑦ ⑧ I析取三段式
一公安人员审查一件案件。一致的事实如下： (1).张三或李四盗窃了录像机； (2).如果张三盗窃了录像机，则作案时间不能在午 夜前； 西 (3).如果李四证词正确，则午夜时屋内灯光未灭； 华 (4).如果李四证词不正确，则作案时间在午夜前； 大 (5).午夜时屋内灯灭了。
实例分析
西 华 大 学 制 作
判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张 红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。 前提：A1=P∨ P→ Q A2=Q 结论：A=P∧ P 问题：该结论是否有效结论。(该推理是否正确)。
P 0 0 1 1
例： 前提：P,P →(Q → R ∧ S) 结论：Q → S
西 华 大 学 制 作
证明： (1) P cp规则 (2) P →(Q → R ∧ S) cp规则 (3) Q → R ∧ S (1)(2)I (4) Q cp规则 (5) R ∧ S (3)(4)I (6) S (5)I 课堂作业： 前提：P∧Q→R，S ∨P，Q 结论： S→R
理由 E 或 I 或 P 或 …的合取 或 cp .. ..
注意：1)并非B1B2B3 2)Bi的获取：前提、中间结论
西 华 大 学 制 作
构造下列的推理的证明： 前提：P∨Q,P→ R,S→M,S→R, M 结论：Q。 证： ① M P
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
S→M S S→R R P→ R P P∨Q Q
归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A A
( 前提： A1，A2，…，An ，A A) 结论： 0 （F）
例： 前提：R→Q，R∨S ，S→Q，P→Q 结论： P
西 华 大 学 制 作 证明： ① ( P) ② P ③ P→Q ④ Q ⑤ R→Q ⑥ R ⑦ R∨S ⑧ S ⑨ S→Q ⑩ Q ⑾ F 否定结论引入（CP规则） ①E P ②③I P ④⑤I P ⑥⑦I P ⑧⑨I ④ ⑩的合取
例如
推理证明的方法
西 华 大 学 制 作
前提的合取→结论 是永真式
演绎证明 直接证明法 附加前提证法 (CP)
推来自百度文库证明
归纳证明
间接证明法 归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
附加前提证法 (CP)
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A→B
前提： A1，A2，…，An ，A 结论： B