离散数学---推理理论
离散数学16推理理论：直接证法
推理理论----直接证法一、推理理论1.定义1-8.1 设A和C两个命题公式，当且仅当A→C为重言式，即A ⇒ C.称C是A的有效结论，或C可由A 逻辑地推出.称已知的A为前提。
得到的C为前提的有效结论.实际上，推理的过程就是证明蕴含式的过程，即令H 1，H 2，…，H m 是已知的命题公式(前提)，若有H 1∧H 2∧....∧H m C ，则称C 是一组前提H 1，H 2，…H m 的有效结论，简称结论.1、真值表法（1）检查真值表中H1，H2,…Hm全部为“T”的所有行，看结论C是否也均为“T”，若C均为“T”，则结论有效.否则结论无效.（2）看结论C为“F”的所有行，检查每行前提H1，H2,…H m中是否至少有一个为F，若有“F”，则结论有效；若有均为“T”的行，则结论无效.二、推理方法例1 求证⌝P ∧ (P∨Q) ⇒Q.证明考察真值表P Q ⌝P P∨Q QF F T F FF T T T TT F F T FT T F T T 由真值表可以看出⌝P ∧ (P∨Q) ⇒Q.2、直接证法由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价或者蕴含公式，推演得到有效的结论.•规则P(引入前提规则)：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用.•规则T(引入结论规则)：在推导中，如果有一个或多个公式、重言蕴涵公式S，则公式S可以引入推导中.重要的重言蕴涵式(如教材第43页所示)I1.P∧Q⇒P I2. P∧Q⇒QI3. P⇒P∨Q I4. Q⇒P∨QI5. ⌝P⇒P→Q I6. Q⇒P→QI7. ⌝(P→Q)⇒P I8. ⌝(P→Q)⇒⌝QI9. P,Q ⇒P∧Q I10. ⌝P∧(P∨Q)⇒Q I11. P∧(P→Q)⇒Q I12. ⌝Q∧(P→Q)⇒⌝P I13. (P→Q)∧(Q→R)⇒P→RI14. (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)⇒RI15. A→B ⇒(A∨C)→(B∨C)I16. A→B ⇒(A∧C)→(B∧C)重要的等价公式:⌝⌝P⇔P对合律 E1P∧Q⇔Q∧P E3 P∨Q⇔Q∨P 交换律 E2结合律 EP∧(Q∧R)⇔(P∧Q)∧R4E5 P∨(Q∨R)⇔(P∨Q)∨RP∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)分配律 E6E7 P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)德-摩根定律 E⌝(P∧Q)⇔⌝P∨⌝Q8E9⌝(P∨Q)⇔⌝P∧⌝QP∨P⇔P E11 P∧P⇔P幂等律 E10P∨F⇔P E13 P∧T⇔P同一律 E12零律 EP∨T⇔T E15 P∧F⇔F14E16 P→Q⇔⌝P∨Q E17 ⌝(P→Q)⇔P∧⌝QE18 P→Q⇔⌝Q→⌝P E19 P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R E20 P ∆ Q ⇔(P→Q)∧(Q→P)E21 P ∆ Q ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q )E22 ⌝(P ∆ Q)⇔ P↔⌝Q吸收律 P∨(P∧Q)⇔P P∧(P∨Q)⇔P互补律 P∨⌝P⇔T P∧⌝P⇔FP ∆ Q ⇔(⌝P∨Q)∧(P∨⌝Q)例2 求证（P→Q）∧（Q→R）∧P ⇒ R.证明序号前提或结论所用规则（从哪几步得到）所用公式(1) P P(2) P→Q P(3) Q T (1)(2) I11(4) Q→R P(5) R T (3)(4) I11 •（注公式I11为： P ∧（P→Q）⇒ Q ）。
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
离散数学 命题逻辑推理
3.1 推理的形式结构
推理：从前提出发推导出结论思维过程， 前提 是已知的命题公式集合， 结论 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 什么样的推理是正确的有效的？ 定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假， 或当A1A2…Ak为真时B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正 确的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
10
推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B (6) 化简规则 AB ∴A (8) 假言三段论规则 AB BC ∴AC (5) 附加规则 A ∴AB (7) 拒取式规则 AB B ∴ A (9) 析取三段论规则 AB B ∴A
11
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
7
推理定律——重言蕴涵式
用定义构造推理过程，需要一些有用的推理定律 1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
0
1 1
0
0 1
1
0
不是重言式, 推理不正确
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
③ p
④ q ⑤ q→r
Hale Waihona Puke ②化简②化简 ①③假言推理
⑥ r
⑦ r∨s ⑧ ┐r→s
④⑤假言推理
⑥附加 ⑦置换
例题
例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表 示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。 所以a是无理数。 构造证明： （1）将简单命题符号化： 设 p：a是实数。 r：a是无理数。 （2）形式结构： 前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s 结论：r q：a是有理数。 s：a能表示成分数。
若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵 式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。
2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推 理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
–推理的形式结构 –自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P
本章小结
习题
作业
3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
(┐q∨p) ∨ q 1
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) (2) (A∧B) A (3) (A→B)∧A B (4) (A→B)∧┐B ┐A 附加律 化简律 假言推理 拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C) (7) (AB) ∧ (BC) (A C)
离散数学---推理理论
实例分析
西 华 大 学 制 作
判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张 红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。 前提：A1=P∨ P→ Q A2=Q 结论：A=P∧ P 问题：该结论是否有效结论。(该推理是否正确)。
P 0 0 1 1
自然推理系统P
西 华 大 学 制 作
自然推理系统
特点：可以从任意给定的前提出发，
形式系统
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演，
得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
§1.6 推理理论
西 华 大 学 制 作
一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法
一、有效论证与推理规则
西 华 大 学 制 作
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得 到有效结论的过程称为正确推理。 • 若AB是永真式，则记为AB； • 若A→B是永真式，则记为AB。 • 前提一致和不一致： • 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
西 (1)命题常元，命题变元：P,Q,R,…,Pi,Qi,…,1,0(T,F) 华 大 (2)命题联结词：、∧、∨、→、 学 (3)括号：(,) 制 2.合式公式：(略) 作
3.推理规则：
(1).前提引入规则(P规则)：在证明的任何步上，都可引入前 提； (2).结论引用规则(T规则)：在证明的任何步上，所得的结论 都可作为证明得前提； (3).置换规则：在证明的任何步上，命题公式的任何子命题 公式都可以用与之等价的命题公式置换。 (4).永真蕴涵规则：使用基本蕴涵式，常常将条件用‘，’
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
1.7推理理论(离散数学)PPT
例2. 构造下列推理的证明
前提：p∨q, p→ r, s→t, s→r, t
结论：qБайду номын сангаас
①s→t
前提引入
② t
前提引入
③ s
①②拒取式
④ s→r
前提引入
⑤r
③④假言推理
⑥p→ r
前提引入
⑦ p
⑤⑥拒取式
⑧p∨q
前提引入
⑨q
⑦⑧析取三段论
例3. 构造下列推理的论证
前提：p→q, r→ q, r∨s, s→ q
称(A1∧A2∧…∧Ak)→B 为由前提A1,A2,…,Ak推结论 B 的推理的形式结构.
说明：
同用“A B”表示“AB”是重言式类似,用 “AB”表示“AB”是重言式.因而,若由前提 A1,A2,···,Ak推结论B的推理正确,也记
(A1∧A2∧…∧Ak)B.
于是,判断推理是否正确的方法就是判断重言蕴涵 式的方法.比如真值表法,等值演算法,主析取范式 法等.
8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D). 构造性二难
推理规则
（1）前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为
后继证明的前提。
（3）置换规则 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都
可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又 一个公式。
①p∨ s
前提引入
②s
附加前提引入
③p
①②析取三段论
④p→ (q→r)
前提引入
⑤q→r
③④假言推理
⑥q
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
四、归谬法
若A1∧A2∧…∧An 是可满足式，则称A1 ,A2,…,An 是相 容的，
离散数学27谓词演算的推理理论
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误.
（1） 1．x (F(x) G(x)) P
2．F(y) G(y)
US(1)
3．x F(x)
P
4．F(y)
ES(3)
5．G(y)
T(2)(3) I
6．xG(x)
UG(5)
（2） 1．xy F(x, y)
P
2．y F(z, y)
US(1)
3．F(z, c)
ES(2)
4．x F(x, c)
UG
5．yx F(x, y)
EG
*在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
15
六、例题
希望在应用上述规则时，千万注意条件，否则会 犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例 子。
例：证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的，张三是人，所以张三要死。” 首先将命题符号化：
EG(5)
*以上结论显然错的，其原因是违背条件（1），2步与4步中 的c不应相同。
9
四、存在量词指定规则
又如，在实数集中，xy(x>y)是真命题，请看下 面推导：
1．xy(x>y)
P
2．y（z>y）
US(1)
3．z>c
ES(2)
4．x(x>c)
UG(3)
而x(x>c)是假命题。
*结论是错的，其原因是违背了（3），对2使用ES规
解： F（x）：x为学术会成员。G（x）：x是专家。
H（x）：x是工人。
R（x）：x是青年人。
前提：x (F(x) G(x) H(x)), x (F(x) R(x))
结论：x (F(x) R(x) G(x))
离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 方法四 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做） P 系统中构造证明 ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
推理理论中的推理规则(离散数学)
推理理论中的推理规则（离散数学）推理理论是一个研究推理方法与规则的学问，其中推理规则是重要的一部分。
推理规则是指在一定的条件下，由一个或多个命题出发，推出另一个命题的规则。
在离散数学中，推理规则包括一些基础的规则和一些复杂的规则。
1. 充分必要条件充分必要条件是指一个命题P能成立的充分必要条件是命题Q 成立。
即P⇔Q。
这里的充分必要条件是指两个命题是等价的，即当且仅当P成立时Q成立，Q成立时P也成立。
例如，一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两个相等的角。
2. 反证法反证法是一种常用的推理规则，它常用于证明一个命题的反命题成立。
即假设命题P不成立，通过推理得到矛盾，从而证明了P成立。
例如，证明“所有偶数都不是素数”这个命题可以采用反证法，假设有一个偶数是素数，然后推导出矛盾，从而证明“所有偶数都不是素数”。
3. 等价变形等价变形是指在推理过程中将命题变形成等价的命题。
例如，将P∧Q推导为Q∧P是一种等价变形。
等价变形可以通过逻辑符号的转换、语法规则的变换等方式实现。
4. 全称推理全称推理是指从一个全称命题出发，推出另一个全称命题。
例如，从“对于任意一个自然数n，n+1>n”这个全称命题可以推出“对于任意一个自然数m，m+2>m”。
5. 假言推理假言推理是指从一个条件命题和它的前件出发，推出它的后件的命题。
例如，从“如果今天下雨，那么他就不去逛公园。
今天不下雨”这两个命题可以推出“他会去逛公园”。
6. 假命题推理假命题推理是指从一个假命题出发进行推理，最终得到矛盾。
例如，从假设“1=2”出发，我们可以通过推导得到矛盾，并证明1不等于2。
7. 归谬法归谬法是指从前提推导出矛盾的方法，一般用于证明前提错误的情况。
例如，如果要证明“所有汉语拼音都是辅音加韵母”这个命题是错误的，可以通过归谬法证明，即找出一个汉语拼音不符合这个规则。
8. 消解法消解法是推理中常用的一种方法，可用于在两个命题中推导得到新的命题。
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
离散数学第二章命题演算的推理理论命题演算的公理系统
Q用(PP)代入
(11) (P(PP))
(10)(8)分离
(12) (P(PP))((PP) P)
(3)式中Q用PP代入
(13) (PP) P
(12)(11)分离
例2(p19)
已知公理： A P(Q P)
B (P(Q R))((PQ)(PR)) C (P(QR))(Q(PR)) D P(PQ) E (PQ)(QP)
2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法
2．1 命题演算的公理系统
给出若干条永真公式(称为公理)， 再给出若干条由永真公式推出永真公式
的推理规则， 由它们出发推出一切永真公式的系统。
✓ 了解公理系统的构成规则和推理形式， ✓ 培养读者构造公理系统及利用该公理系统进
行推理的能力。
定理3 (p18,拒取式) (PQ)(QP)
分析：由公理14，(PQ)(QP)， 可以得到 (PQ)(QP) 下面就是要建立(PQ)与(PQ)之间的联系。 如果 (PQ) (PQ)， 则由传递性知道结论成立。 下面先证明(PQ) (PQ)。
证明：先证 (PQ) (PQ)
(1)PP
定理1
(2)QQ
(((PQ)(QP))((PQ)(QP)))
(8)式中P用PQ，Q用PQ，R用QP代入
(10)((PQ)(QP))((PQ)(QP)) (9)(7)分离
(11)(PQ)(QP)
(10)(4)分离
例 （同定理3）
已知公理 A: PP B: (PQ) (QP) C: (PQ) ((RP) (RQ)) D: (PQ) ((QR) (PR))
与有关
常用推理定律(详见耿素云《离散数学》)
• P(P∨Q)
数学中的离散数学与逻辑推理
数学中的离散数学与逻辑推理数学是一门既严谨又抽象的学科，它在解决实际问题时常常需要运用离散数学与逻辑推理。
离散数学是数学的一个分支，关注的是离散对象及其关系，而逻辑推理是基于定义和规则进行思维的过程。
本文将介绍离散数学和逻辑推理在数学中的重要性，并探讨它们的应用。
1. 离散数学的基本概念离散数学是研究离散对象及其关系的数学学科。
离散对象是离散集合中的元素，常常用来表示有限或可列的对象。
离散数学研究的内容包括图论、递归论、组合数学等，这些内容在现实世界中都有广泛的应用。
2. 离散数学在图论中的应用图论是离散数学的一个重要分支，研究的是图及其性质。
图由节点和边组成，用来表示不同对象之间的关系。
图论在网络规划、路径优化、社交网络分析等领域有着广泛的应用。
例如，在网络规划中，通过构建图模型，可以找到最优的路径，提高网络传输效率。
3. 逻辑推理的基本原理逻辑推理是一种思维过程，通过运用逻辑原理和规则，从前提出发推导出结论。
逻辑推理主要包括命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，谓词逻辑则研究量化的命题。
4. 数学中的逻辑推理数学是严密的推理和证明的学科，逻辑推理在数学中起着至关重要的作用。
数学家通过逻辑推理来建立定理和证明定理的正确性。
数学中的推理过程需要遵循严格的逻辑规则，以确保结论的正确性。
逻辑推理在代数学、分析学、几何学等各个数学分支中都有广泛的应用。
5. 数学中的应用举例离散数学和逻辑推理在数学中有着广泛的应用。
以密码学为例，密码学是研究如何保护信息安全的学科，其中离散数学和逻辑推理起着重要作用。
通过数论和逻辑推理，可以设计出安全性较高的密码算法，以确保信息的机密性。
6. 离散数学与逻辑推理对于数学教育的重要性离散数学和逻辑推理在数学教育中扮演着重要角色。
通过学习离散数学和逻辑推理，学生能够培养严密的思维能力和逻辑思维能力，提升数学解决问题的能力。
离散数学和逻辑推理也有助于学生理解抽象概念和证明思路，为后续学习打下坚实的基础。
离散数学 推理理论
作业：P46(1)a, b (2)a,c (3)a,c (4)c
结束
T规则：由前提得出的阶段性有效结论（由一个或多 个公式重言蕴含着的公式）也可以在证明中使用。
P43两个表要熟练
例2：用推理规则证明下列各式。
1 . 证明: (P∨Q) ∧(P R) ∧(Q S) S ∨ R
(1) P∨Q
Ｐ
(2)E Ｐ
证法2见书P44
(4) P S
T (7) E
(9) C ( D E)
T (8) E
(10) D E
T (5) (9) I
(11) (D∧ E) (12) F (D∧ E) (13) F (14) BF (15) A(BF)
T (10) E P T (11) (12) I CP CP
3 . 半反证法
当结论是析取式，具有形式P∨Q时，我们把其中一析取 项的否定（ P或 Q）作为假设前提，并和其它前提 一起共同得出另外一析取项（ Q或P） 。 即要证S P∨Q，可通过证明( S ∧ P ) Q 半反证法的正确性证明：
Ｔ (1) I Ｔ (2) (3) I Ｐ
(6) P (7) ( P ∧S)
Ｔ (4) (5) I Ｐ
(8) P ∨ S (9) S
Ｔ (7) E Ｔ (6) (8) I
例3：公安人员破案问题。
一公安人员审查某工厂失窃案，他认为下列情况 是真的： (1)有两个怀疑对象，保管员小王和材料科长老李； (2)值班员小张工作一贯负责； (3)失窃案发生的那天白天，老李去兄弟厂开会； (4)如果晚上仓库上锁，就不会发生失窃案； (5)如果晚上仓库未上锁或灯未亮，则值班员小张失职。 请问谁是盗窃犯？
数学中的离散数学与逻辑推理
数学作为一门科学，是以逻辑思维为基础的。
离散数学作为数学的一个分支，与逻辑推理紧密相关。
离散数学研究的是离散对象和离散结构，而逻辑推理则是运用逻辑规则进行思维和推理的过程。
它们之间的相互影响使得数学在离散领域中能够更好地发展，并为人们的思维方式提供了重要的逻辑基础。
离散数学研究的对象包括集合、序列、关系、函数等。
在这些离散对象中，逻辑推理的运用是不可或缺的。
逻辑推理通过推理规则和推理方法来判断语句的正确性，从而进行问题的分析和解决。
逻辑规则像是思考的引擎，推动着思维的发展。
而离散数学的研究，则为逻辑推理提供了丰富的实例和背景。
通过离散数学的研究，我们可以借助逻辑推理来解决各种离散问题，揭示离散对象的性质和规律。
更具体地说，离散数学通过逻辑推理的方式帮助我们分析和解决一些常见的问题。
例如，在图论中，我们需要研究图的连通性、最短路径等问题。
而在解决这类问题时，离散数学的概念、定理和方法都需要运用到逻辑推理中。
我们可以通过逻辑推理来证明一个图是否连通，通过逻辑推理来寻找图中的最短路径。
逻辑推理帮助我们建立了问题的逻辑模型，而离散数学则为逻辑推理提供了实际问题的具体背景。
此外，离散数学与逻辑推理的结合还在计算机科学中发挥了重要的作用。
计算机科学是一门应用离散数学的学科，而逻辑推理则是计算机中的核心思维方式。
计算机中运行的程序需要经过逻辑推理的分析，才能确保其正确性。
而离散数学所研究的数据结构、算法等概念，也为逻辑推理提供了丰富的实例和应用场景。
通过离散数学和逻辑推理的结合，计算机科学得以高速发展，为我们提供了便捷的计算和处理方式。
总的来说，数学中的离散数学与逻辑推理密不可分。
离散数学为逻辑推理提供了实际问题的具体背景，而逻辑推理则在离散数学的研究和应用中发挥了重要的作用。
它们彼此相互促进，推动着数学领域的发展。
同时，离散数学和逻辑推理的结合也为计算机科学等应用学科提供了强有力的支撑。
因此，深入研究和理解离散数学和逻辑推理的关系，对于我们发展数学思维和解决实际问题有着重要的意义。
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西 华 大 学 制 作
一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法
一、有效论证与推理规则
西 华 大 学 制 作
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得 到有效结论的过程称为正确推理。 • 若AB是永真式，则记为AB； • 若A→B是永真式，则记为AB。 • 前提一致和不一致： • 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
例如
推理证明的方法
西 华 大 学 制 作
前提的合取→结论 是永真式
演绎证明 直接证明法 附加前提证法 (CP)
推理证明
归纳证明
间接证明法 归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
附加前提证法 (CP)
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A→B
前提： A1，A2，…，An ，A 结论： B
理由 E 或 I 或 P 或 …的合取 或 cp .. ..
注意：1)并非B1B2B3 2)Bi的获取：前提、中间结论
西 华 大 学 制 作
构造下列的推理的证明： 前提：P∨Q,P→ R,S→M,S→R, M 结论：Q。 证： ① M P
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
S→M S S→R R P→ R P P∨Q Q
归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A A
( 前提： A1，A2，…，An ，A A) 结论： 0 （F）
例： 前提：R→Q，R∨S ，S→Q，P→Q 结论： P
西 华 大 学 制 作 证明： ① ( P) ② P ③ P→Q ④ Q ⑤ R→Q ⑥ R ⑦ R∨S ⑧ S ⑨ S→Q ⑩ Q ⑾ F 否定结论引入（CP规则） ①E P ②③I P ④⑤I P ⑥⑦I P ⑧⑨I ④ ⑩的合取
化简式 附加式 假言推理 拒取式 析取三段式 假言三段式 等价三段式 二难推论
(A→B) ∧ B A的证明 西 华 大 学 制 作
A 0
B 0
(A → B)
∧
B → A
1
1
1 1
1
0
1 1
1
0 1
1
0 1
0
0 0
0 1
1 1 0 1
1
0 0
(A→B) B的证明
法一、真值表法： 西 华 大 学 制 作
?第三种方法?
法二、利用等值演算法证明： 证： (A →B)→ B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
(A →B)→ B
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0
( A∨B) → B ( A∨B) ∨ B ( A∨B) ∨ B A∨(B∨ B) A∨T T 所以,(A→B) B
学 制 作 则前提为:
解：将已知事实符号化： 设 P:张三盗窃录像机； Q:李四盗窃录像机; R:作案时间发生在午夜前； S:李四证词正确； M:午夜时灯光未灭。
① M (1) P∨Q, ② S→M (2)P→ R, ③ S (3)S→M, ④ S→R (4)S→R, ⑤ R (5) M。 ⑥ P→ R 结论未定。 ⑦ P ⑧ P∨Q P ⑨ Q 所以，可以得出是李四盗了录像机。
P P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式
⑦ ⑧ I析取三段式
前提：p ((r∧s)q)，p，s 结论：q。 西 证明： 华 大 学 ⑪ p p规则 制 ⑫ 作 p ((r∧s)q) p规则 ⑬ (r∧s)q ⑪⑫I ⑭ s p规则 ⑮ s ∨ r ⑭I ⑯ (r∧s) ⑮E ⑰ q ⑬⑯I
实例分析
西 华 大 学 制 作
判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张 红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。 前提：A1=P∨ P→ Q A2=Q 结论：A=P∧ P 问题：该结论是否有效结论。(该推理是否正确)。
P 0 0 1 1
P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式 P ⑦ ⑧ I析取三段式
一公安人员审查一件案件。一致的事实如下： (1).张三或李四盗窃了录像机； (2).如果张三盗窃了录像机，则作案时间不能在午 夜前； 西 (3).如果李四证词正确，则午夜时屋内灯光未灭； 华 (4).如果李四证词不正确，则作案时间在午夜前； 大 (5).午夜时屋内灯灭了。
例： 前提：P,P →(Q → R ∧ S) 结论：Q → S
西 华 大 学 制 作
证明： (1) P cp规则 (2) P →(Q → R ∧ S) cp规则 (3) Q → R ∧ S (1)(2)I (4) Q cp规则 (5) R ∧ S (3)(4)I (6) S (5)I 课堂作业： 前提：P∧Q→R，S ∨P，Q 结论： S→R
基本蕴涵式证明的另一种方法
西 华 大 学 制 作
(A→B) B的证明 (A→B) B的证明 证明： (A→B) ( A∨B) A∧ B A∧ B B (简化式）
推理过程的证明形式
西 华 大 学 制 作
规范化的形式： 序号 公式 ① B1 ② B2 ③ B3 ……
自然推理系统P
西 华 大 的前提出发，
形式系统
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演，
得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
Q 0 1 0 1
(P∨ P →Q) ∧Q →P ∧ P
1 1 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
所以，结论A是有效结论；该推理是正确的。而前提是不一 致的。
基本蕴涵式
名称
西 华 大 学 制 作
蕴涵关系式
A∧BA (A→B) A AA∨B AA→B (A→B) ∧AB (A→B) ∧ B A (A∨B) ∧ AB (A→B) ∧(B→C) A→C (AB) ∧(BC) AC (A→B) ∧(C→D) ∧(A∨C) B∨D A∧BB (A→B) B BA∨B BA→B
西 (1)命题常元，命题变元：P,Q,R,…,Pi,Qi,…,1,0(T,F) 华 大 (2)命题联结词：、∧、∨、→、 学 (3)括号：(,) 制 2.合式公式：(略) 作
3.推理规则：
(1).前提引入规则(P规则)：在证明的任何步上，都可引入前 提； (2).结论引用规则(T规则)：在证明的任何步上，所得的结论 都可作为证明得前提； (3).置换规则：在证明的任何步上，命题公式的任何子命题 公式都可以用与之等价的命题公式置换。 (4).永真蕴涵规则：使用基本蕴涵式，常常将条件用‘，’