高中数学必修五学案：线性规划的整数解和非线性规划问题(解析版)

高中数学必修五学案：线性规划的整数解和非线性规划问题

（解析版）

学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.

2.会求一些简单的非线性规划的最优解.

知识点一 非线性约束条件

思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2＋(y －b )2≤r 2的可行域.

答案

梳理 非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件.

知识点二 非线性目标函数

思考 在问题“若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≥6，x ≤4，

y ≤4，求 ＝y －1

x －1

的最大值”中，你能仿照目标函数 ＝

ax ＋by 的几何意义来解释 ＝

y －1

x －1

的几何意义吗？ 答案 ＝y －1

x －1的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率.

梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.

1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点.(√)

2.目标函数 ＝x 2＋y 2的几何意义为点(x ，y )到点(0,0)的距离.(×)

3.目标函数 ＝ax ＋by (b ≠0)中， 的几何意义是直线ax ＋by － ＝0在y 轴上的截距.(×)

类型一 生活实际中的线性规划问题

例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数) 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题

解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件，y 件，获取的利润为 百元， 则 ＝2x ＋y (百元)，⎩⎪⎨⎪⎧

6x ＋2y ≤24，x ＋y ≤5，

5y ≤15，

x ，y ∈N ，

即⎩⎪⎨⎪⎧

3x ＋y ≤12，

x ＋y ≤5，y ≤3，x ，y ∈N ，

作出可行域，如图阴影部分中的整点，

由图可得O (0,0)，A (0,3)，B (2,3)，C ⎝

⎛⎭⎫

72，32，D (4,0).

平移直线y ＝－2x ＋ ，又x ，y ∈N ，所以当直线过点(3,2)或(4,0)时， 有最大值.

所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大. 反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.

跟踪训练1 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多

少才是最好的选择？ 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题

解 设桌子、椅子分别买x 张，y 把，目标函数 ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，

即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧

50x ＋20y ≤2000，

y ≥x ，y ≤3

2x ，

x ∈N ，y ∈N .

由⎩

⎪⎨⎪

⎧

50x ＋20y ＝2000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧

x ＝2007

，

y ＝2007，

所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫

2007，2007.

由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2000，y ＝32x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝25，y ＝752，

所以B 点坐标为⎝

⎛⎭⎫25，75

2. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O ()0，0为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，

由图形可知，目标函数 ＝x ＋y 在可行域内经过点B ⎝

⎛⎭⎫25，75

2时取得最大值， 但注意到x ∈N ，y ∈N ，故取⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝25，

y ＝37.

故买桌子25张，椅子37把是最好的选择. 类型二 非线性目标函数的最值问题 命题角度1 斜率型目标函数

例2 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，

3x －y －3≤0.

试求 ＝y ＋1

x ＋1的最大值和最小值.

考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值

解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于 ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)

x －(－1)

，

故 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，

由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，

又∵B (0,2)，C (1,0)，∴ max ＝ MB ＝3， min ＝ MC ＝1

2.

∴ 的最大值为3，最小值为1

2.

引申探究

1.把目标函数改为 ＝3y ＋1

2x ＋1

，求 的取值范围.

解 ＝3

2·y ＋13x ＋12，其中 ＝y ＋13x ＋1

2

的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝⎛⎭⎫－12，－13连线的斜率.

由图易知， NC ≤ ≤ NB ，即29≤ ≤14

3

，