p14_6一维无限深势阱中的粒子的波函数
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx
在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， ∞
∞
由于A不恒为零，所以ka = nπ。
k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) n称为量子数。
可 得
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
n2
(n = 1，2，3，…)O
要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值，
或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。
n能=量1最状低态的称状为态基，态最，低也能就量是为粒子E1
2h 2 2ma2
h2 8ma2
x a 其他态称
为激发态， E2称为第 一激发态。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
ψ(x) = Asinkx，
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题
∴ n = 2,6,10...... 时概率密度最大
nhπ 6 × 10 = =1时 (3) n=1时： E = =1 2mL L
2 2 2 2 2 −38
A 例题3 例题3 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ ( x ) = 方向运动， 1 + ix
( n = 1,2,3,...)
E n=4
p2 E = 2m p= nπh nh 2 mE = = a 2a
n=3 n=2 n=1
h 2a λ= = p n
二者是一致的。 二者是一致的。
( n = 1, 2, 3,...)
o a
x
例题2 粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限 的一维无限深势 例题2 P516例1：粒子质量为m, 在宽度为 的一维无限深势 中运动，试求( 粒子在0 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并 ≤ / 区间出现的概率。 求粒子处于n=1 状态的概率。 在哪些量子态上， 求粒子处于 1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上， 状态的概率 (2)在哪些量子态上 Ｌ/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量 补充 。 /4处的概率密度最大 (3)求 =1时粒子的能量(补充 处的概率密度最大？ =1时粒子的能量 补充)。 2 nπ x 由题得： 解:(1) 由题得： 概率密度 |ψ | = sin
2 2 2 2 0
2
2
2
2
0
0
k
0
2
2
2 k
0
k
k
k
0
h ∴λ = = p
hc 2E m c + E
2 k 0
波函数薛定谔方程一维无限深势阱
En
En1
En
(2n 1)
h2 8ma 2
En En
2n 1 n2
n
En 0 En
能量可认为是连续的。经典物理可以看成是量子物
理在量子数n时的极限。
*五、一维方势垒 隧道效应
设想一维方势垒如图。一粒子处于 x < 0 的区域内，其
能量小于势垒高度Ep0。
经典物理：粒子不可能越过势垒进入 x>0 的区域。
15-8波函数 薛定锷方程一维无限深势阱
仙女座
背景 二十世纪20~30年代，经过德布罗意、薛定
谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立 了描述微观粒子运动规律的量子力学。
德布罗意
海森伯
狄拉克
波恩
一、物质波波函数
微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述 其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。 波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示!
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
Ψ(x,y, z, t) Aei A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
y(
x,
t
)
Acos(2t x2xt
00
)
也可用复数形式来表示：
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
现的概率为：dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx ③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)2dv 1 （归一化条件） 对于一维： Ψ(x,y, z, t) 2 dx 1
大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子ppt课件
ih
n (x,t) t
En
n
( x, t )
中，可得粒子的能级
En
n2
π2h2 2mL2
（1）当n=1时，对应基态的能量为
E1
h2 2mL2
当n=5时为第4激发态，对应的能量为
E5
52 E1
25h2 2mL2
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
（2）波函数的模平方即粒子的几率密度为
(x) 2 dx 1
定态波函数为
(
x)
2 sin nπ x, LL
0,
第12章 量子力学基础
C 2 L
0 x L 0 x, x L
12.4 一维无限深势阱中的粒子
粒子在阱内的波函数为
V(x)
i Et
i (x,t) (x)e h
2
sin
i
kxe h
Et
L
∞
∞
1 2i
2
(eikx
eikx
0a
R
B
2
(k 2 k'2 )2 sinh 2 k'a
A (k 2 k'2 )2 sinh 2 k'a4k 2k'2
透射系数
T
C2 A
4k 2k'2
(k 2 k'2 )2 sinh 2 k'a4k 2k'2
RT 1
表明：粒子入射到势垒上时，有被反射的几率， 亦有穿过势垒透射几率——隧道效应（势垒贯穿）
U
(
x)
U0 0,
,
0 xa x 0, x a
U=U0
E<U0 U= 0
大学基础物理学答案(习岗)第10章
129第十章 量子物理基础本章提要1． 光的量子性· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。
· 在任何温度下都能全部吸收照射到其表面上的各种波长的光（电磁波），的物体称为绝对黑体，简称黑体。
· 单位时间内从物体单位表面积发出的、波长在λ附近单位波长间隔内电磁波的能量称单色辐射本领（又称单色辐出度），用)(T M λ表示· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率称为辐射出射度，用则M 表示，M 与)(T M λ的关系为0()d M M T λλ∞=⎰2． 维恩位移定律在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ， T 和λm 满足如下关系：λm T b =其中，b 是维恩常量。
该式称维恩位移定律。
3． 斯忒藩—玻尔兹曼定律· 黑体的辐射出射度M 与温度T 的关系为4T M σ=其中，σ为斯忒藩—玻尔兹曼常量。
该结果称斯忒藩—玻尔兹曼定律。
· 对于一般的物体4T M εσ=ε称发射率。
4． 黑体辐射· 能量子假说：黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，满足条件E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。
这种能量分立的概念被称为能量量子化，130每一份最小的能量E hv =称为一个能量子。
· 普朗克黑体辐射公式（简称普朗克公式）为112)(/52-=kT hc e hc T M λλλπ其中，h 是普朗克常量。
由普朗克公式可以很好地解释黑体辐射现象。
· 光子假说：光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。
一个光子具有的能量为νh E =动量为 λh p =5． 粒子的波动性· 实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 与和它相联系的波的频率ν、波长λ满足关系2E mc h ν==λh p m u ==这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。
量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。
n能=量1最状低态的称状为态基，态最，低也能就量是为粒子E1
2h 2 2ma2
h2 8ma2
பைடு நூலகம்
x a 其他态称
为激发态， E2称为第 一激发态。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
ψ(x) = Asinkx，
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大。
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx
在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， ∞
∞
由于A不恒为零，所以ka = nπ。
k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) n称为量子数。
可 得
En
kn2h 2 2m
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数一维无限深势阱是量子力学中常用的模型之一，它能够帮助我们理解粒子在一维空间中的运动以及对应的能级和波函数。
首先，我们来看一下什么是一维无限深势阱。
这是一个理想化的模型，由两堵非常高的无限高势垒所夹，其中粒子的运动只能在这一段距离内进行，并且在势垒外是无法找到粒子的。
这种模型可以用来描述电子在原子中的运动，或者光子在光导纤维中的传播。
在量子力学中，波函数是描述粒子性质的数学函数。
对于一维无限深势阱模型，波函数可以通过解薛定谔方程获得。
薛定谔方程可以用来描述波函数随时间的演化，它是量子力学的基本方程之一。
对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以简化为亥姆霍兹方程的形式。
亥姆霍兹方程是一个常微分方程，它的解由定态波函数给出。
定态波函数允许我们计算粒子在一维无限深势阱中的能量和波函数。
解一维无限深势阱的亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能量的解，这些能量称为能级，用n来表示。
每个能级都对应着一个定态波函数，这些波函数描述了粒子在势阱内的运动方式。
对于一维无限深势阱，能级的表达式为En = (n^2 *h^2)/(8*m*L^2)，其中n为能级的序数，h为普朗克常数，m为粒子的质量，L为势阱的宽度。
对应于每个能级，还有一个对应的波函数。
波函数用Ψ(x)来表示，描述了在不同位置概率密度的分布。
在一维无限深势阱中，波函数能够取到零点以外的任意位置。
波函数的形式为Ψn(x) = sqrt(2/L) * sin(n * π * x / L)，其中x为位置，L为势阱的宽度，n为能级的序数。
通过求解亥姆霍兹方程，我们可以得到多个能级和对应的波函数，它们描述了粒子在一维无限深势阱中的运动和性质。
这些能级和波函数不仅在理论计算中起到了重要作用，而且在实验中也得到了验证。
总之，一维无限深势阱模型是量子力学中研究粒子运动和性质的重要工具。
通过解亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能级和对应的波函数，这些能级和波函数描述了粒子在势阱中的行为。
02-08 g一维无限深方势阱中粒子的波函数
将方程写成 ''( x) k2 (x ) 0
•通解
(x ) A coskx B sinkx
式中 A 和 B 是待定常数
5. 由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是 (x ) A coskx B sinkx
1)解的形式
x 0 (0) 2(0) 0 A 0
解的形式为 ( x) B sin kx
三维方势肼
U→∞ U(x) U→∞
E
U=0
0 ax
无限深方势阱 （ potential well ）
U→∞ U(x) U→∞
E
U=0
0 ax
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零 在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
二.薛定谔方程和波函数
粒子在阱内自由运动 不能到阱外
3)本征函数系 •由归一性质 定常数 B
a
( x) *( x)dx 1
0
得
B
a
B2sin 2kxdx 1
0
2
a
•本征函数 (x ) 2sin nπ x
n
aa
(n 1,2,3,)
6. 波函数
考虑到振动因子
e
i
Ent
谢谢
1.x
阱内 U(x) 0 ( 0 x a) 阱外 U(x) ( x 0 x a)
2. 哈密顿量
3. 定态薛定谔方程 阱外：
U(x) 0
0
ax
阱内：
4. 分区求通解 1)阱外
根据波函数有限的条件 阱外
2(x) 0 x a, x 0
2)阱内
为了方便将波函数脚标去掉
金属中的电子
现代物理(量子力学习题)
思考题 （程守诛 江之永 《普通物理学》）1两个相同的物体A 和B,具有相同的温度，如A 物体周围的温度低于A ，而B物休周围的温度高于B.试问:A 和B 两物体在温度相同的那一瞬间．单位时间内辐射的能量是否相等？单位时间内吸收的能量是否相等？2绝对黑体和平常所说的黑色物体有何区别？绝对黑体在任何温度下，是否都是黑色的？在同温度下，绝对黑体和一般黑色物休的辐出度是否一样？ 3你能否估计人体热辐射的各种波长中，哪个波长的单色辐出度最大？4有两个同样的物体，一个是黑色的，一个是白色的且温度相同．把它们放在高温的环境中，哪一个物体温度升高较快？如果把它们放在低温环境中．哪一个物体温度降得较快？5 若一物体的温度（绝对温度数值）增加一倍．它的总辐射能增加到多少倍？ 6在光电效应的实验中，如果：(1)入射光强度增加1倍；(2)入射光频率增加1倍，按光子理论，这两种情况的结果有何不同？；7已知一些材料的逸出功如下：钽4.12eV ,钨4.50eV ,铝 4.20eV ,钡2. 50eV ，锂2. 30eV .试问：如果制造在可见光下工作的光电管，应取哪种材料？8在彩色电视研制过程中．曾面临一个技术问题：用于红色部分的摄像管的设计技术要比绿、蓝部分困难，你能说明其原因吗？·9光子在哪些方面与其他粒子（譬如电子）相似？在哪些方面不同？ 10用频率为v 1的单色光照射某光电管阴极时，测得饱和电流为I 1，用频率为v 2的单色光以与v1的单色光相等强度照射时，测得饱和电流为I2,:若I2>I1,v 1和v 2的关系如何？11用频率为v1的单色光照射某光电管阴极时，测得光电子的最大动能为E K1 ；用频率为v 2的单色光照射时，测得光电子的最大动能为E k2 ,若E k1 >E k2，v 1和v 2哪一个大？12用可见光能否观察到康普顿散射现象？13光电效应和康普倾效应都包含有电子与光子的相互作用，这两过程有什么不同？14在康普顿效应中，什么条件下才可以把散射物质中的电子近似看成静止的自由电子？15在康普顿效应中，反冲电子获得的能量总是小于入射光子的能量 这是否意味着入射光的光子分成两部分，其中的一部分被电子吸收．这与光子的粒子性是否矛盾？16 (1) 氢原子光谱中．同一谱系的各相邻谱线的间隔是否相等？(2) 试根据氢原子的能级公式说明当量子数n 增大时能级的变化情况以及能级间的间距变化情况．17了由氢原子理论可知．当氢原子处于 n=4的激发态时，可发射几种波长的光？18如图所示．被激发的氢原子跃迁到低能级时，可发射波长为λ1、 λ2、 λ3的辐射．问三个波长之间的关系如何？19设实物粒子的质量为m, 速度为v, 由德布罗意公式mV h mc hv /,2==λ得 V c v /2=λλ根据Vv=得Vc=显然以上的结论是错误的，试问错误的根源何在？8-20为什么说不确定度关系与实验技术或仪器的改进无关？习题1、估测星球表面温度的方法之一是：将星球看成黑体，测量它的辐射峰值波长。
一维定态的简并问题
一维定态的简并问题
一维定态的简并问题是一个涉及到量子力学和量子统计力学的概念。
在这个问题中，我们考虑一个粒子在一维无限深势阱中的定态，也就是粒子在一维空间中被限制在了一个特定的区域内。
根据量子力学的原理，粒子的能量是由其动能和势能共同决定的。
在一维无限深势阱中，粒子的势能是无限大的，因此其能量是由动能决定的。
当粒子处于定态时，其能量是确定的，而动能也是确定的，因此粒子的波函数在一维空间中是有规律的。
然而，当粒子处于不同的量子态时，其波函数可能会表现出不同的规律性。
在某些情况下，不同的量子态可能会有相同的能量，这就是所谓的能级简并。
在一维无限深势阱中，能级简并通常出现在高激发态，因为高激发态的粒子具有更多的动量和能量，因此其波函数在一维空间中的规律性更加复杂。
简并问题在一维定态中是存在的，但并不是所有的一维定态都会有简并现象。
有些一维定态是没有简并的，也就是说它们的能量是唯一的，不会出现能级简并的情况。
这种现象被称为非简并性定理。
这个定理在一维无限深势阱中成立，但在其他情况下可能不成立。
总之，一维定态的简并问题是一个涉及到量子力学和量子统计力学的概念。
在这个问题中，我们需要考虑粒子在一维空间中的运动和能量分布，以及不同量子态之间的相互作用和简并现象。
一粒子在一维无限深势阱中动量在基态平均值
一、背景介绍量子力学是描述微观世界的理论体系，它与经典力学有着本质的区别。
在量子力学中，粒子的性质通常通过波函数来描述，而不再是经典力学中的位置和动量。
一维无限深势阱是量子力学中简单而重要的模型之一，它可以帮助我们理解粒子在有限范围内运动的行为。
二、基态与概率分布在一维无限深势阱中，粒子的波函数必须满足边界条件，因此只能存在离散的能量本征态，即量子力学中的基态、一级激发态、二级激发态等。
基态对应能量最低的状态，它的波函数形式通常为正弦函数。
具体来说，一维无限深势阱中粒子的基态波函数为：\[\Psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\]其中，L为无限深势阱的长度。
基态波函数的平均动量可以通过其动量算符的期望值来计算。
动量算符为\(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\)，基态波函数的平均动量可以表示为：\[\langle p \rangle = \int_{-L/2}^{L/2}\Psi^*(x)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x)dx\]通过对波函数进行数值计算，我们可以得到基态波函数中动量的平均值。
三、动量平均值的物理解释在一维无限深势阱中，粒子受到势阱的束缚，因此其动量不会是一个确定的值，而是存在一定的不确定性。
基态波函数中动量的平均值表征了粒子运动的一种特定方式。
从物理学角度来看，动量的平均值可以被解释为粒子在基态波函数对应的空间范围内运动的动量加权平均值。
由于基态波函数对应的是粒子能量最低的状态，因此动量的平均值也会相对较小。
四、动量平均值的计算结果经过数值计算，我们可以得到一维无限深势阱中基态波函数的动量平均值。
以长度L为1为例进行计算，基态波函数的动量平均值为0。
这意味着，在基态下，粒子的运动状态呈现出较小的动量。
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。
在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。
研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。
下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。
一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。
在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。
1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。
二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。
这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。
波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。
2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。
三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。
量子力学01一维无限深方势阱中的粒子
定态方程
2 2 [ V (r )] E (r ) E E (r ) 2m
V ( r ) 不显含t时的形式，是我们后
面讨论大多数物理问题的情况，为 方便，通常将略去 E (r ) 中的下标E。
4
简短回顾（3）
力学量算符
动量算符
动能算符
ˆ i p
2 1
e
a 2 x 2 / 2
E1 3 / 2 1 ( x) 2a axea x 1/ 4 E2 5 / 2 2 ( x)
1
0
/2
2 2
n
0
x
1/ 4
a 2 2 a 2 x 2 / 2 (2a x 1)e 2
20
四、方势垒的反射与透射(1)
经典粒子
2 ˆ T 2 , 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2 2 ˆ T ˆ V 哈密顿算符 H V (r ) 2m ˆ 能量算符 E i t
角动量算符
ˆ ˆ l r p ir
18
三、一维谐振子(4)
2
4、能量本征态（1） n d / 2 H n ( ) (1) n e e , n 0,1,2, . 因为 ( ) Ae H ( ) ， n d A 要根据 ( )的归一化条件确定，即 其中， * 2 2 ( ) ( ) d | A | H ( ) e d 1 n 1, m n n 由于 H m ( )H n ( )e d 2 n! mn mn 0, m n 得到 A An [a /( 2n n!)]1 2 a m 能量本征态 a x / 2
量子力学 一维无限深势阱
５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。
一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。
波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。
在一维无限深势阱中运动的粒子例题
在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱宽度为a，如果粒子的状态由波函数Ψ(x) =Ax(a-x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量的平均值。
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2011-04-16 20:59提问者采纳
首先得先知道坐标怎么定的，从波函数的对称性考虑，势阱应该是x=0到a处先求归一化常数A
积分（0到a）|Ψ(x)|^2 dx=积分（0到a）A^2 x^2(a-x)^2 dx=A^2*a^5/30==1 A^2=30/a^5
算出|Ψ(x)|^2 就是概率密度，阱外都是0
<E>=积分（0到a）Ψ*(x) H Ψ(x) dx
H是哈密顿算符，这里就是-h^2/(2*pi)^2/2m d^2/dx^2
<E>=积分（0到a）Ax(a-x) 2A h^2/(2*pi)^2/2m dx=A^2*h^2/(2*pi)^2/m *[积分（0到a）x(a-x)dx ]
=5h^2/(2 pi)^2/m/a^2
Ψ*(x) 指共轭函数，在这里就是本身。
基本概念要知道，对归一化波函数|Ψ(x)| ^2 就是概率密度。
力学量的平均值<F>=积分(Ψ*(x) F Ψ(x) dx)，F是力学算符。
一维无限深梯形势阱中微观粒子波函数和能级的数值解和变分解_罗强_姜玉梅_苏垣昌_
槡
2 sin ( nπx / a) ， 其在端点 x = 0 处的一 a
nπ 2 ． 在 Numerov 算法中待求 阶导数为 y' n（ 0） = a a 本征函数 y（ x +h） 在 x 处的泰勒展开式为
槡
y（ x + h） =
Σ n
2 2
（ 4）
式递推公式， 因此为了启动 Numerov 算法， 两个初始 条件 y0 和 y1 是必需的． 通常 y0 可以由边界条件来 y1 的选取往往是随意的， 确定， 而为了克服这种随 意性， 我们将介绍一种所谓的正弦规则 ． 在将边值问题转化为初值问题的过程中， 自然 “减少 ” 一个条件． 为了补偿这一条件， 通 而然地会 常都会直接或间接地引入在初值处的一阶导数 ． 我 们 知 道， 一维无限深方势阱中粒子的本征函数 为 y n（ x ） =
2 /3 ［7 ］
其中 h 为差分步长． 可见， 式（ 6 ） 是一个典型的 3 点
2 2 1 /3 3π 2 /3 F － 0 n ． 2466 ， ( ) m 2槡 2 = En 2 2 2 π （ n －n c ） F 2 2 + － + 0 9 ． 8644 （ n n ） ． 4158 ( ) c m 2 ma2
运用最小二乘法对表 1 和表 2 中的数据分别进 0 ． 490 4 则 有 n c = 9 ． 590 2 F 和 nc 行 幂 函 数 拟 合， = 0 ． 325 7 a1． 469 1 ， 其 中 相 关 系 数 分 别 为 0 ． 999 97 和 0 ． 999 96 ， 可见采用幂函数拟合的合理性和精确 性． 由此我们得到了 n c 关于 a 和 F 的关系式为 n c = [ 0 ． 325 7 F0． 490 4 a1． 469 1 ] （ 10 ） 其中 [ ……] 表示高斯取整函数． 特别地， 由式 （ 10 ） 可得当 F = 1 、 a = 10 时 n c = 9 ， 这与之前的论述
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2n nπ 2 1 2 a x)dx A 1 A sin xdx A (1 cos 2 a 2 a 0 0
2 2
a
a
因此
波函 ( x) 2 sin nπ x 概率密 n a a 数为 度为 可见：粒子在势阱中出现 的概率因地而异，在阱壁 处的概率为零；概率密度 分布还随量子数改变。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 V ( x) 0 (0 x a) 在一维势阱中运动，势函数为 ( x 0或x a) 由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维 无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞ 由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外， 所以定态波函数ψ(x) = 0 (x > a，x < 0)。 粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为
h 2 d 2 E 0 (0 ≤ x ≤ a) 2 2m dx
2
∞
x 方程可 d k 2 0 O a 设 k 2mE / h 简化为 dx 2 其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 波函数为ψ(x) = Asinkx。 由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 V ( x) 0 (0 x a) 在一维势阱中运动，势函数为 ( x 0或x a) 由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维 无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx ∞ ∞ 在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， 由于A不恒为零，所以ka = nπ。 k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) n称为量子数。 可 E kn h π h n 2 (n = 1，2，3，…) O n 2m 2ma 2 得 要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值， 或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。 2 2 2 h h n = 1状态称为基态，也就是粒子E 1 2 2ma 8ma 2 能量最低的状态，最低能量为
2 2 2 2
a 其他态称 为激发态， E2称为第 一激发态。
x
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
2 2 kn h π 2h 2 2 n (n = 1，2，3，…) ψ(x) = Asinkx， En 2 2m 2ma
nπ 能量En对应 ( x) A sin k x A sin x (0 ≤ x ≤ a) n n 的波函数为 a 可得 根据归一化条件
粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。 在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大。
A 2/ a
可见：波函数的归一化常数与能级的级 次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。
| n ( x) |2 2 2 nπ sin x a a
这些结果与经典力学根本 不同，按照经典力学的观 点，粒子在势阱内各处出 现的概率应该相等。
能级个 数不妨 取4。
一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。 在两壁处，波函数恒为零。 量子数n也是波腹的个数， 波腹之间有n - 1个波节。