最新二章控制系统的数学模型
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自动控制理论-第二章 控制系统的数学模型
a y+a
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
第二章控制系统的数学模型例题全
L ddt
Ac ost
L
Asint
A 2 S2
2
另一种解法：
设xt Acost, xs A s
s2 2
x0 Acost A t0
Lddt xt sx(s) x0
Lddt Acost
s s2
s
2
A
A 2
S2 2
7已知f t cost- cos2t,求Fs。 8已知f t 2e-tsin2t,求Fs。 9已知f t te-2t ,求Fs。 10已知f t t n ,求Fs。
dt
2已知Fs
ss
4
2
, 求f
t
。
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
f 0
lims Fs s
lims s
s
1 a
1
f
lims s0
s
1 a
0
• Using the laplace transform methodes solve the differential equations
第二章控制系统的数学模型 例题
1已知f t d Acost,求Fs。
dt
2已知f t 3t 4e2t ,求Fs。
3已知f t e3tsin4t,求Fs。
t
4已知f t Acostdt,求Fs。
0
5已知f t sint ,求Fs。
6已知f t 8e-100t - 5e-200t ,求Fs。
G1
-1
- G2
N1
C
G2
C 1 G 2 G 3
N1 1 G 2 G1G 2G3
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
第二章控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型§2.1引言●数学模型（1）描述系统输入、输出变量及内部各变量关系的数学表达式。
I—O—内部变量（2）系统中各物理量之间相互作用的关系及各自的变化规律用数学形式表达出来。
（3）是舍弃了各种事物的具体特点而抽象出它们的共同性质（即运动）来加以研究的工具。
●控制理论研究的问题是：（1）一个给定的控制系统，它的运动有何性质和特性—分析* 运动：泛指一切物理量随时间的变化（2）怎样设计一个控制系统，使其运动具有给定的性质和特性—综合和设计●工程角度上：控制理论要解决的问题（进一步解释）（1）不满足于求解方程c(t)=f(r(t) )—数学课程已有（2）提出更深入的问题a.这些曲线有何共同性质；b.系统参数值波动对曲线有何影响？c.如何修改参数甚至结构才能改进这些曲线，使之满足工程要求。
—建立控制系统的数学模型，也是研究和解决这些问题的第一步，故建立描述控制系统运动的数学模型是控制理论的基础。
数学模型的形式不只一种：它们各有特长和最适合的场合；它们彼此之间也有紧密的联系；各种数学描述方法的共同基础是微分方程；一元高次微分方程多元一次微分方程(状态方程)Laplace变换为工具——传函传函阵§ 2.2 基本数学模型例 用数学模型表示下图的RC 无源网络给定r u 为输入量,c u 为输出量解：由克希霍夫定律 ⎰+⋅=idt i R u C r 1 r c c u u dtdu RC =+ ⎰=idt u C c 1 令T RC =（时间参数），则微分方程为：r c c u u dtdu T =+ 线性定常系统在初始条件为零时，传递函数为：£{c(t)}/£{r(t)})()()(s U s U s U s T r c c =+⋅⋅ 1.1)(/)()(+==→s T s U s U s G r c 其形式和参数由系统的结构和参数决定，与r(t)无关。
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章 控制系统的数学模型
= Ur (s)
传递函数为: di + u ur= R · + L i c dt Uc (s) 1 = duc G (s) = i = C dt Ur (s) LCs2 + RCs + 1
电气系统三要素：电阻、电容、电感
+ ί(t) R –
u(t)= ί(t)· R
u (t )
ί(t) C
–
u(t) ί(t)= R
图2-9 速度控制系统
+
R1 R2 R2 R1 k2
ui
R1
k1 u 1
c
u2
功 ua 放
m
SM
ω
负 载
ut
TG
运算放大器
uu+ ii+
_ +
+
Add
uo
差模输入电压等于零
u+= u-
运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该 两点短路一样，称为虚短。
i+=i-=0
运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该 两点被断开一样，称为虚断。
Tm s m ( s ) m (t ) K1U a ( s )
Tm s 1 m ( s) K1U a ( s)
m ( s) K1 G ( s) U a ( s) Tm s 1
m ( s) K2 G ( s) M c ( s) Tm s 1
传递函数的性质（续）
（5）传递函数与微分方程有相通性;
b1s b2 C (s) G ( s) R( s ) a0 s 2 a1s a2
对角线相乘
a0 s 2 a1s a2 C ( s ) b1s b2 R ( s )
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
第二章 控制系统的数学模型
⇒
QQQr00(((sss)))−−=QQH0c1(((sss)))R=−=1Hcc122s(sHsH)12(s()s)
qc (t)
=
h2 (t) R2
Qc
(s)
=
H2 (s) R2
G(s)
=
Qc (s) Qr (s)
=
R1R 2C1C 2s 2
1 + (R1C1 + R2C2
机理分析法：
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导 来得到数学模型的方法 。
实验辨识法：
通过整理基于系统输入－输出的实验数据来 得到系统的数学模型。本章着重讨论机理分析 法。
建模特点：相似性、简化性、准确性。
数学模型类型： 经典控制理论: 微分方程（连续系统）、
差分方程（离散系统） 、传递函数、系 统方框图和信号流图； 现代控制理论：状态方程
注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则 无须第(4)步。
线性定常系统微分方程的一般形式
an
d nc(t) dt n
+
an−1
d n−1c(t ) dt n−1
+
...
+
a1
dc(t ) dt
+
a0c(t )
=
bm
d mr(t) dt m
+
bm −1
d m−1r(t ) dt m−1
d x(t ) + dt
Kx(t ) = f (t )
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)； 当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)； 如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性
第二章 控制系统的数学模型(fkt)
（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。
Υ1
+ +
Υ 1+Υ 2
R1 (s)
R1(s) R2 (s)
Υ3 Υ1
-
-
Υ 1-Υ 2+Υ 3 Υ2
Υ2
R2 (s)
图2-15比较点示意图
U i ( s) U o ( s) I ( s) R I ( s) U o ( s) sC
(1) (2)
U i (s) － U o ( s)
I(s)
U o ( s)
（d）
将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)， 图(d)为该一阶RC网络的方块图。
例2-9 画出下列R-C网络的方块图 解：（1）根据电路定理列 出方程，写出对应的拉氏 变换，也可直接画出该电 路的运算电路图如图(b)； （2）根据列出的4个式子作 出对应的框图； （3）根据信号的流向将各 方框依次连接起来。
R(s)
G(s) 比较点前移
＋
C(s) Q(s)
R(s)
＋
G(s)
C(s)
比较点后移 Q(s)
R(s)
＋
G(s) C(s)
R(s) G(s)
＋
C(s)
Q(s)
Q(s) G(s)
C ( s) R( s)G ( s) Q( s) Q( s ) [ R( s ) ]G ( s) G( s)
C ( s) G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) G ( s) R( s )
第二章 控制系统的数学模型
输出转速ω 既受ua控制，又受到ML 的影响。相当于具有
两个输人一个输出的线性系统，可以应用叠加原理进行分析。
如果忽略电枢电阻R 和电动机转动惯量J ，则Tm = 0 。
上式可变为 ω = cd ua 此时，电动机转速与电枢电压成正比。
2．1 控制系统微分方程的建立
三、系统的稳态数学模型
由直流电机例分析 如果电机处于平衡状态，则方程中各阶导数均为零。 此时微分方程变成代数方程，即
3.积分定理
若f(t) n重积分，各重积分在t=0 的值为0时，
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
4．位移定理 ⑴实位移定理（时间坐标中有一个位移）
该定理又称延迟定理。 ⑵复位移定理（在复数s坐标中有一位移）
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
5．终值定理 6．初值定理 Nhomakorabea2．1 控制系统微分方程的建立——例3
解 ua为给定输人，ML为干扰输人，ω 为输出。
据KVL 电枢回路方程：
据牛顿转动定律，电机转子的运动方程（动力学方程）：
当激磁磁通不变时，M与ia 成正比:
2．1 控制系统微分方程的建立——例3
将各式联立，消去中间变量M、ed、ia可得：
Ta ：电磁时间常数 Tm ：机电时间常数
4．整理微分方程，使其规范化，
将输出项放到方程左侧， 输人项放到方程右侧， 各阶导数项按阶次从高到低的顺序排列。
2．1 控制系统微分方程的建立
二、举例
例1：已知RLC 电路系
统如图所示，试列写其 输入—输出之间的微分 方程。
2．1 控制系统微分方程的建立
例2：带阻尼的弹簧系统( k-m-f )， 输入力x,输出位移y ， 试列写系统的微分方程。
两个输人一个输出的线性系统，可以应用叠加原理进行分析。
如果忽略电枢电阻R 和电动机转动惯量J ，则Tm = 0 。
上式可变为 ω = cd ua 此时，电动机转速与电枢电压成正比。
2．1 控制系统微分方程的建立
三、系统的稳态数学模型
由直流电机例分析 如果电机处于平衡状态，则方程中各阶导数均为零。 此时微分方程变成代数方程，即
3.积分定理
若f(t) n重积分，各重积分在t=0 的值为0时，
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
4．位移定理 ⑴实位移定理（时间坐标中有一个位移）
该定理又称延迟定理。 ⑵复位移定理（在复数s坐标中有一位移）
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
5．终值定理 6．初值定理 Nhomakorabea2．1 控制系统微分方程的建立——例3
解 ua为给定输人，ML为干扰输人，ω 为输出。
据KVL 电枢回路方程：
据牛顿转动定律，电机转子的运动方程（动力学方程）：
当激磁磁通不变时，M与ia 成正比:
2．1 控制系统微分方程的建立——例3
将各式联立，消去中间变量M、ed、ia可得：
Ta ：电磁时间常数 Tm ：机电时间常数
4．整理微分方程，使其规范化，
将输出项放到方程左侧， 输人项放到方程右侧， 各阶导数项按阶次从高到低的顺序排列。
2．1 控制系统微分方程的建立
二、举例
例1：已知RLC 电路系
统如图所示，试列写其 输入—输出之间的微分 方程。
2．1 控制系统微分方程的建立
例2：带阻尼的弹簧系统( k-m-f )， 输入力x,输出位移y ， 试列写系统的微分方程。
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
自动控制原理 第2章数学模型
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件 都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
自动控制理论第二章--线性系统的数学模型全
理
论 一.物理模型 、数学模型及数学建模
物理模型 ：
任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对
它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。
简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。
简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确
要求来确定出合理的物理模型。
2
第二章 线性系统的数学模型
自
动
控
制 理
物理模型的数学描述。是指描述系统
零初使条件是指当t≤0时,系统r(t)、c(t)以及它们的各阶
导数均为零。
传递函数
输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换
零初始条件
C(s) R(s)
26
第二章 线性系统的数学模型
自
动
控 线性系统微分方程的一般形式为:
制
理 论
制 理 论
F(s)
br (s p1)r
br 1 (s p1)r1
b1 (s p1)
ar 1 s pr1
an s pn
br
B(s)
A(s)
(s
p1
)r
s p1
br 1
d
ds
B(s) A(s)
(s
p1 ) r
s p1
br j
1 dj
j!
ds
j
B(s) A(s)
(s
p1
La
dia (t ) dt
Raia (t )
Ea
+
(1) -
La
if Ra
m
+ ia
Ea ——电枢反电势，其表达式为 Ua
Ea S M
负 载
jmfm
Ea Cem(t) (2) --
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13
•7）如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统 的输出或响应。 •8）如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出 量的实验方法，确定系统的传递函数。
•9) 传递函数与脉冲响应函数一一对应. 脉冲响应函数是指系统在单 位脉冲输入量作用下的输出。
(t
)
0
t0 t0
(t)d (t)
15
传递函数的零点和极点同时表示在复数平面上的图形, 叫
做传递函数的零极点分布图。
例如 :
j
x1
G(s)(s3)ss(222s2)
x -3 -2 -1 0
x -1
图2-4零极点分布图
图中零点用“o”表示, 极点用“×”表示。 传递函数的这种形式及零极点分布图在根轨迹法中使用较 多。
16
•(2) 时间常数表达式
传递函数:
G (s)C R ((s s))b a 0 0 s sm n b a 1 1 s sm n 1 1 b a m n 1 1 s s a b m n
n≥m
方框图 r(s)
G(s)
c(s)
C(s)=G(s)·R(s)
12
2.3.2传递函数的实际意义 1）现实的控制系统多是零初始条件。 2）在输入没加入之前，认为输入恒等于零。 3）对于非零初始条件所产生的影响，可用叠加原理来进行处理。
r(t) 输入量 c(t) 输出量
在零初始条件下:
•
c(0)c(0) c(n 1 )(0)0 n个
•
r(0)r(0) r(m 1 )(0)0 m个
拉氏变换:
[ a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n ] C ( s ) [ b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m ] R ( s )
2.3.3传递函数的性质
1) 传递函数是一种数学模型, 与系统的微分方程相对应。 2) 是系统本身的一种属性, 与输入量的大小和性质无关。 3) 只适用于线性定常系统. 4) 传递函数是单变量系统描述,外部描述。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的, 不能反映在非零初始条件下 系统的运动情况。 6) 一般为复变量 S 的有理分式, 即 nm。且所有的系数均为实数。
r1(t) c1(t) r2(t) c2(t)
r1(t)+r2(t) c1(t)+c2(t)
(2)齐次性：保持比例因子
ar(t) ac(t)
非线性系统
11
设单输入单输出线性定常系统:
a 0 c ( n ) a 1 c ( n 1 ) a n c b 0 r ( m ) b 1 r ( m 1 ) b m r
•式中, i、Tj称为时间常数; K 称为传递系数或静态增益。
由拉氏变换的终值定理, 当S→0时, 描述时域中t→∞时的性能, 此时 系统的传递函数就转化为静态放大倍数即
2
2.2.2实际物理系统线性微分方程的一般特征 • 线性定常方程形式：
a 0 c ( n ) a 1 c ( n 1 ) a n c b 0 r ( m ) b 1 r ( m 1 ) b m r
r(t) 输入量 c(t) 输出量
•从工程可实现的角度来说，该方程满足以下的要求： •1.方程的系数为实常数，由物理系统自身参数决定。 •2. 输出的阶次都高于或等于输入的阶次。 •3.方程两端各项的量纲都是一致的。
电荷q
速度v
角速度
电流I
10
2.3 控制系统的复域数学模型——传递函数
2.3.1传递函数的定义
•传递函数：在线性定常系统中, 当初始条件为零时, 输出量的拉普 拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比.
线性系统 ———— 满足叠加原理
激励 r(t)
物理系统
c(t) 响应
(1)叠加性：线性系统内各个激励产生的响应互不影响
G (s ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 a b m n - 1 1 s s b a m n K ( ( T 1 1 s s 1 1 ) )T 2 2 2 2 ( s s (2 2 2 2 T 2 2 s s 1 1 ) ) ( ( T ijs s 1 1 ) )（2-14）
二章控制系统的数学模型
2.1 数学模型的特点及类型 •系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。
若系统当前输出仅由当前的输入所决定，称为静态系 统或稳态系统。
若当前输出不仅由当前输入所决定，而且还受到过去 输入的影响，这样的系统称为动态系统。 •数学模型：描述系统动态特性及各变量之间关系的数学 表达式。
•式中,z1,z2,…,zm 是分子多项式等于零时的根, 同时使 G(s)=0, 故 称为传递函数的零点;
•p1,p2…,pn 是分母多项式等于零时的根, 同时使G(s)=∞, 故称为传 递函数的极点(又称特征根);
•kg=b0/a0, 称为传递系数或根轨迹增益。传递函数与它的零点、极 点和传递系数一一对应。
和分母多项式经分解后可写成各种形式。
•(1) 零极点表达式
（2-13）
G ( s ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 a b m n - 1 1 s s b a m n K g ( ( s s p z 1 1 ) )s s ( ( z p 2 2 ) ) ( ( s s z p m n ) )
•定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式， 就是相似系统，而在微分方程中占据相同位置的物理量， 叫做相似量。
9
表2-1 相似系统中的相似变量
弹簧阻尼系统 机械系统源自电系统力F转矩T
电压u
质量m
转动惯量J
电感L
黏性摩擦系数f 黏性摩擦系数f
电阻R
弹簧系数k
扭转系数k 电容的倒数1/C
位移x
角位移
1
当单位脉冲输入系统时，R(s)=L[(t)]=1
C(s)=G(s)C(s)=G(S)
（2-11） 因此系统的输出为
•反变换得脉冲响应：L-1[G(s)]=g(t)
r(t)
(t) 0
(t)
g(t)
G(s)
t 图2-3系统的脉冲响应
(2-12)
c(t) g(t)
0
t
14
2.3.4传递函数的微观结构
•线性定常系统的传递函数都是复变量 S 的有理分式, 其分子多项式
•7）如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统 的输出或响应。 •8）如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出 量的实验方法，确定系统的传递函数。
•9) 传递函数与脉冲响应函数一一对应. 脉冲响应函数是指系统在单 位脉冲输入量作用下的输出。
(t
)
0
t0 t0
(t)d (t)
15
传递函数的零点和极点同时表示在复数平面上的图形, 叫
做传递函数的零极点分布图。
例如 :
j
x1
G(s)(s3)ss(222s2)
x -3 -2 -1 0
x -1
图2-4零极点分布图
图中零点用“o”表示, 极点用“×”表示。 传递函数的这种形式及零极点分布图在根轨迹法中使用较 多。
16
•(2) 时间常数表达式
传递函数:
G (s)C R ((s s))b a 0 0 s sm n b a 1 1 s sm n 1 1 b a m n 1 1 s s a b m n
n≥m
方框图 r(s)
G(s)
c(s)
C(s)=G(s)·R(s)
12
2.3.2传递函数的实际意义 1）现实的控制系统多是零初始条件。 2）在输入没加入之前，认为输入恒等于零。 3）对于非零初始条件所产生的影响，可用叠加原理来进行处理。
r(t) 输入量 c(t) 输出量
在零初始条件下:
•
c(0)c(0) c(n 1 )(0)0 n个
•
r(0)r(0) r(m 1 )(0)0 m个
拉氏变换:
[ a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n ] C ( s ) [ b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m ] R ( s )
2.3.3传递函数的性质
1) 传递函数是一种数学模型, 与系统的微分方程相对应。 2) 是系统本身的一种属性, 与输入量的大小和性质无关。 3) 只适用于线性定常系统. 4) 传递函数是单变量系统描述,外部描述。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的, 不能反映在非零初始条件下 系统的运动情况。 6) 一般为复变量 S 的有理分式, 即 nm。且所有的系数均为实数。
r1(t) c1(t) r2(t) c2(t)
r1(t)+r2(t) c1(t)+c2(t)
(2)齐次性：保持比例因子
ar(t) ac(t)
非线性系统
11
设单输入单输出线性定常系统:
a 0 c ( n ) a 1 c ( n 1 ) a n c b 0 r ( m ) b 1 r ( m 1 ) b m r
•式中, i、Tj称为时间常数; K 称为传递系数或静态增益。
由拉氏变换的终值定理, 当S→0时, 描述时域中t→∞时的性能, 此时 系统的传递函数就转化为静态放大倍数即
2
2.2.2实际物理系统线性微分方程的一般特征 • 线性定常方程形式：
a 0 c ( n ) a 1 c ( n 1 ) a n c b 0 r ( m ) b 1 r ( m 1 ) b m r
r(t) 输入量 c(t) 输出量
•从工程可实现的角度来说，该方程满足以下的要求： •1.方程的系数为实常数，由物理系统自身参数决定。 •2. 输出的阶次都高于或等于输入的阶次。 •3.方程两端各项的量纲都是一致的。
电荷q
速度v
角速度
电流I
10
2.3 控制系统的复域数学模型——传递函数
2.3.1传递函数的定义
•传递函数：在线性定常系统中, 当初始条件为零时, 输出量的拉普 拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比.
线性系统 ———— 满足叠加原理
激励 r(t)
物理系统
c(t) 响应
(1)叠加性：线性系统内各个激励产生的响应互不影响
G (s ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 a b m n - 1 1 s s b a m n K ( ( T 1 1 s s 1 1 ) )T 2 2 2 2 ( s s (2 2 2 2 T 2 2 s s 1 1 ) ) ( ( T ijs s 1 1 ) )（2-14）
二章控制系统的数学模型
2.1 数学模型的特点及类型 •系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。
若系统当前输出仅由当前的输入所决定，称为静态系 统或稳态系统。
若当前输出不仅由当前输入所决定，而且还受到过去 输入的影响，这样的系统称为动态系统。 •数学模型：描述系统动态特性及各变量之间关系的数学 表达式。
•式中,z1,z2,…,zm 是分子多项式等于零时的根, 同时使 G(s)=0, 故 称为传递函数的零点;
•p1,p2…,pn 是分母多项式等于零时的根, 同时使G(s)=∞, 故称为传 递函数的极点(又称特征根);
•kg=b0/a0, 称为传递系数或根轨迹增益。传递函数与它的零点、极 点和传递系数一一对应。
和分母多项式经分解后可写成各种形式。
•(1) 零极点表达式
（2-13）
G ( s ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 a b m n - 1 1 s s b a m n K g ( ( s s p z 1 1 ) )s s ( ( z p 2 2 ) ) ( ( s s z p m n ) )
•定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式， 就是相似系统，而在微分方程中占据相同位置的物理量， 叫做相似量。
9
表2-1 相似系统中的相似变量
弹簧阻尼系统 机械系统源自电系统力F转矩T
电压u
质量m
转动惯量J
电感L
黏性摩擦系数f 黏性摩擦系数f
电阻R
弹簧系数k
扭转系数k 电容的倒数1/C
位移x
角位移
1
当单位脉冲输入系统时，R(s)=L[(t)]=1
C(s)=G(s)C(s)=G(S)
（2-11） 因此系统的输出为
•反变换得脉冲响应：L-1[G(s)]=g(t)
r(t)
(t) 0
(t)
g(t)
G(s)
t 图2-3系统的脉冲响应
(2-12)
c(t) g(t)
0
t
14
2.3.4传递函数的微观结构
•线性定常系统的传递函数都是复变量 S 的有理分式, 其分子多项式