数学模型姜启源-第二章(第五版)
第姜启源数学模型复习总结
第四版姜启源数学模型复习总结第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。
建模的一般方法及其在建模中的应用。
建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。
建模的全过程（框图）4个环节的含义。
模型的特点（技艺性）。
模型分类（表现特征），建模中的能力培养。
数学建模实例的建模思想及其步骤§1 数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。
抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。
数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
§2 建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。
§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位置用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）矩形椅子问题：（1）用θ表示椅子对角线AC 与x 轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是θ的连续函数。
设相邻的,A B 两点到地面的的距离之和为()f θ，,C D 两点到地面的距离之和为()g θ，令()()()h f g θθθ=-，则()h θ是θ的连续函数。
（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0θ=时，(0)0,g(0)0f >=，(0)(0)(0)0h f g =->。
（3）将椅子旋转π，则,A B 旋转到原来,C D 的位置，,C D 旋转到,A B 的位置，即AB 与CD 的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0f g g ππ===>，因此()()()g(0)f(0)0h f g πππ=-=-<， 即连续函数()h θ在[0,]π两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*θ使*()0h θ=,即**()()f g θθ=。
姜启源数学模型第五版第二章
分析与建模
甲的无差别曲线
如果甲占有(x1,y1)与占有
y
(x2,y2)具有同样的满意程度, y0
即p1, p2对甲是无差别的.
y1
将所有与p1, p2无差别的点 连接起来, 得到一条无差别 y2
曲线MN.
O
.M
M1
p1
p3(x3,y3)
. .p2
N1
N
x1
x2
x0 x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.
参数估计 • 根据测试数据对模型作拟合.
• 调查交通工程学的相关资料：
司机反应时间c1约为0.7~1s， 系数c2约为0.01( mh2/km2)
城市通行能力模型
道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. 通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷. 饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度.
3个参数之间的基本关系 q vk
交通流的主要参数及基本规律 q vk
速度v 与密度k 的关系 车流密度加大 司机被迫减速
数据分析、机理分析 线性模型 v v f (1 k / k j )
vf ~畅行车速(k=0时) kj~阻塞密度(v=0时)
流量q与密度k 的关系 q v f k(1 k / k j )
Ta~内层玻璃的外侧温度
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
k1
T1
Ta d
k2
Ta
Tb l
k1
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
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《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
作业数学建模,姜启源版
实验一动力系统一、实验目的与要求掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势.通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型.1、用Excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证；2、用Excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析；3、用Excel求解动态系统模型并估计均衡点；4、用Excel分析多元动态系统模型.二、实验内容Example 1.1 P9 研究课题第一题随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车.你把选择范围缩小到以下几种车型：2007Toyota Camry混合动力汽车2007Saturn混合动力汽车2007Honda Civic混合动力汽车2007Nissan Altima 混合动力汽车2007Mercury Mariner混合动力汽车.每年公司都向你提供如下的“优惠价”.你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款.采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车.混合动力汽车“优惠价”（美元）预付款（美元）利率和贷款持续时间Saturn 22045 1000 年利率5.95%，60个月Honda Civic24350 1500年利率5.5%，60个月Toyota Camry26200 750年利率6.25%%，60个月Mariner27515 1500年利率6%%，60个月Altima24900 1000年利率5.9%%，60个月解答如下，对五家公司分别建立动力系统模型：Saturn:Δb n=b n+1-b n=0.0595b n-6000b n+1= b n+0.0595b n-6000b0=21045Honda Civic:Δb n=b n+1-b n=0.055b n-6000b n+1= b n+0.055b n-6000b0=22850Toyota Camry: Δb n=b n+1-b n=0.0625b n-6000b n+1= b n+0.0625b n-6000b0=25450Mariner:Δb n=b n+1-b n=0.06b n-6000b n+1= b n+0.06b n-6000b0=26015Altima: Δb n =b n+1-b n =0.059b n -6000b n+1= b n +0.059b n -6000 b 0=23900Excel 操作步骤：1．打开excel 表格，输入如下表格:：2．用智能标识把月份从0拉到5：3.在B 5 输入= B 4+0.0595B 4-6000，回车后下拉即可可到序列B=(16297.18, 11266.86, 5937.238,…).同理在D,F,H,J 行输入，得到如下表格：4． 在插入→图表→XY 散点图，选中数据格就可得出下表： （1）选中A1到B9的数据，建立散点图，得到Saturn 表：Saturn-10000-500005000100001500020000250000123456月份余额Saturn 余额（2）选中C1到D9的数据，建立散点图，得到Honda Civic 表：Honda Civic-500005000100001500020000250000123456月份余额Honda Civic 余额（3）选中E1到F9的数据，建立散点图，得到Toyota Camry 表Toyota Camry0500010000150002000025000300000123456月份余额Toyota Camry 余额（4）选中G1到H9的数据，建立散点图，得到Mariner 表Mariner0500010000150002000025000300000123456月份余额Mariner 余额（5）选中I1到J9的数据，建立散点图，得到Altima 表Altima-50000500010000150002000025000300000123456月份余额Altima 余额由图可知：Saturn 表的线最早与X 轴相交，故我们可以得出应当购买Saturn 公司的汽车. Example 1.2 P16 习题第二题下列数据表示从1790到2000年的美国人口数据 Yearpopulation Year Population Year Population 1790 3,929,000 1870 38,558,000 1940 131,669,000 1800 5,308,000 1880 50,156,000 1950 150,697,000 1810 7,240,000 1890 62,948,000 1960 179,323,000 1820 9,638,000 1900 75,995,000 1970 203,212,000 1830 12,866,000 1910 91,972,000 1980 226,505,000 1840 17,069,000 1920 105,711,000 1999 248,710,000 1850 23,192,000 1930122,755,0002000281,416,000186031,443,000求出能够相当好地拟合该数据的动力模型，通过画出模型的预测值和数据值来测试你的模型. 解答如下：首先均差计算公式可得下列差分表divided difference table均差Year Observed population1790392,9001800530,800 13,79018107,240,000 670,920 32856.518209,638,000 239,800 -21556-1813.75183012,866,000 322,800 4150856.866766.76542 184017,069,000 420,300 487524.16667-20.8175 185023,192,000 612,300 9600157.5 3.333333 186031,443,000 825,100 1064034.66667-3.07083 187038,558,000 711,500 -5680-544-14.4667 188050,156,000 1,159,800 22415936.537.0125 189062,948,000 1,279,200 5970-548.167-37.1167 190075,995,000 1,304,700 1275-156.59.791667 191091,972,000 1,597,700 14650445.833315.05833 1920105,711,000 1,373,900 -11190-861.333-32.6792 1930122,755,000 1,704,400 16525923.833344.62917 1940131,669,000 891,400 -40650-1905.83-70.7417 1950150,697,000 1,902,800 505703040.667123.6625 1960179,323,000 2,862,600 47990-86-78.1667 1970203,212,000 2,388,900 -23685-2389.17-57.5792 1980226,505,000 2,329,300 -2980690.166776.98333 1990248,709,873 2,220,487 -5440.64-82.0212-19.3047 2000281,416,000 3,270,613 52506.271931.56450.33962根据excel中“工具→数据分析→回归”，可得如下图像50,000,000100,000,000150,000,000200,000,000250,000,000300,000,0000510152025系列1多项式 (系列1)模型：y = 670127x 2 - 3E+06x + 8E+06 Example 1.4 P50 第四题假定斑点猫头鹰的主要食物来源是单一的食饵：老鼠.生态学家希望预测在一个鸟兽类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平.令 M n 表示 n 年后老鼠的种群量， On 表示 n 年后斑点猫头鹰的种群量.生态学家提出了下列模型： Mn+1=1.2Mn-0.01OnMn On+1 =0.7On+0.002OnMn生态学家想知道在栖息地两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感. (a) 比较上面模型中系数的正负号和例 3 中猫头鹰-模型中系数的正负号.依次解释正在建模的捕食者——食饵关系中四个系数 1.2、-0.01、0.7 和 0.002 的正负号的意义.(b) 对下列表中初始种群数量进行检验并预测其长期行为：猫头鹰 老鼠 猫头鹰 老鼠 情况 A 150 200 情况 C 100 200 情况 B 150150300情况 D1020(c) 现在利用给定的起始值对不同的系数的值做实验，然后再试不同的起始值.长期行为是怎样的你的实验结果是否表明模型对系数是敏感的是否对起始值敏感？ 解答如下：（a）1.2和0.7分别是老鼠和猫头鹰增长率，都是正常数.猫头鹰的存在是为了降低老鼠的增长率，反之亦然.OnMn为两种生物竞争的激烈程度.-0.001的负号表示随着竞争激烈程度的增加，老鼠的数目不断减少.0.002的正号表示随着竞争激烈程度的增加，猫头鹰的数目不断增加. （b）平衡点：如果把（M,O）成为平衡点，那么必须同时有M=Mn+1=Mn和O= On+1= On,把它们带入模型给出0=M*(0.2-0.001*O)0=0*(-0.3+0.002*M)平衡点的意义:第一个方程表明如果M=0或O=200，那么老鼠的种群量没有变化.第二个方程表明如果O=0或M=150，那么斑点猫头鹰的种群量没有变化.如下图（1）所示在（M,O）=(0,0)和（M,O）=(150,200)处于平衡点，因为两个种群的种群量在这两个点都没有变化.Excel操作步骤：1.打开excel表格，输入如下表格:2．用智能标识把天数从2拉到30：3.在B4输入=0.7*B3+0.002*B3*C3回车后下拉即可可到序B=(200,200,200…).在C4输入=1.2*C3-0.001*B3*C3回车后下拉即可可到序B=(150,150,150…).得到如下表格：4．在插入→图表→XY散点图，选中数据格就可得出下表：选中A1到C32的数据，建立散点图，得到平衡表：平衡0501001502002505101520253035天数生物的数目猫头鹰老鼠（图1）图1：如果老鼠的种群量从150开始而猫头鹰的种群量从200开始，那么这两个种群都停留在它们的起始值处. (b)(1)情形A 长期行为：猫头鹰先逐渐变多，达到一个顶峰后，数目又逐渐下降.后来随着老鼠的增加又逐渐上升.老鼠数目先上升一小段，有急剧下降，后来是随着猫头鹰的减少而数目上升（他们的数目是互相波动的）EXCLE 操作同上图操作相似.(2)情形B长期行为：猫头鹰先逐渐变多，达到一个顶峰后，数目又逐渐下降.后来随着老鼠的增加又逐渐上升.老鼠数目先上升一小段，有急剧下降，后来是随着猫头鹰的减少而数目上升.（他们的数目是互相波动的）(3)情形C长期行为：猫头鹰先逐渐变多，达到一个顶峰后，数目又逐渐下降.后来随着老鼠的增加又逐渐上升.老鼠数目先上升一小段，有急剧下降，后来是随着猫头鹰的减少而数目上升.（他们的数目是互相波动的）老鼠数目几乎不变，直到第26天开始不断增长.(c) 在情形A的基础上，利用给定的起始值对不同的系数的值做实验（1）起始值相同，系数不同: （2）起始值相同，系数不同: Mn的系数1.2改为1.0 OnMn的系数-0.001改为-0.02On的系数0.7改为0.4 OnMn的系数0.002改为0.001散点图如下： 散点图如下：情景A05010015020025010203040天数动物的个数猫头鹰老鼠情景A100200300400500600700010203040天数动物的个数猫头鹰老鼠长期行为： 长期行为：猫头鹰灭绝，老鼠长期维持在113只左右. 猫头鹰和老鼠的数量互相波动. （3）系数相同，起始值不同: （4）系数相同，起始值不同: 猫头鹰的起始值150改为90 老鼠的起始值200改为100散点图如下： 散点图如下：情景A0100200300400500600010203040天数动物的个数猫头鹰老鼠情景A010020030040050010203040天数动物的个数猫头鹰老鼠长期行为：猫头鹰和老鼠的数量互相波动. 长期行为：猫头鹰和老鼠的数量互相波动. 由实验结果可知，模型对系数敏感，对起始值敏感.。
数模学习(姜启源笔记)
天大万门数模写在开始今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。
可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是~~ 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：一，“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；二，模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；三，用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。
从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。
最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。
其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。
姜启源数学建模资料
姜启源数学建模资料简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型生猪的出售时机森林救火最优价格3.5 血管分支3.6 消费者均衡3.7 冰山运输<i>姜启源数学建模资料</i>静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数不是函数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法<i>姜启源数学建模资料</i>问题3.1存贮模型配件厂为装配线生产若干种产品，配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费件生产准备费已知某产品日需求量元每日每件1元试安排该产品的生产计划，每日每件元。
试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
),每次产量多少一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
不只是回答问题，而且要建立生产周期、要不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
求需求量、准备费、贮存费之间的关系。
<i>姜启源数学建模资料</i>问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件元。
件准备费日需求元贮存费每日每件1元每天生产一次，每次每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费件无贮存费，准备费5000元。
元每天费用5000元元每天费用10天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次1000件，贮存费件贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计元，准备费元总计9500元。
元平均每天费用950元元平均每天费用50天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次5000件，贮存费件贮存费4900+4800+…+100 =*****元，准备费元准备费5000元，总计元总计*****元。
数学建模姜启源 教学设计
数学建模姜启源教学设计数学建模是指利用数学的理论和方法对实际问题进行抽象和描述，并通过数学模型来解决问题的过程。
姜启源是一位优秀的数学建模教师，他在教学设计中注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将以姜启源的教学设计为例，介绍数学建模的基本原理和姜启源的教学方法。
数学建模是将实际问题抽象为数学模型的过程。
姜启源在教学中注重培养学生的问题意识和建模能力。
他通过提供实际问题的案例，引导学生从实际问题中提取关键信息，并将其转化为数学符号和表达式。
这种抽象的过程可以帮助学生深入理解问题，并为进一步的数学分析和求解提供基础。
数学建模的核心是建立数学模型。
姜启源在教学设计中注重培养学生的数学建模能力。
他通过引导学生分析问题的特点和要求，选择合适的数学方法和工具，构建数学模型。
同时，他鼓励学生在建模过程中进行合理的假设和简化，以减少问题的复杂性，提高求解的效率。
这种能力的培养可以让学生在实际问题中应用数学知识解决复杂的实际问题。
数学建模的求解过程是关键。
姜启源在教学设计中注重培养学生的问题解决能力。
他引导学生运用数学工具和方法，对建立的数学模型进行求解。
他鼓励学生灵活运用各种数学知识和技巧，以找到最优的解决方案。
同时，他注重培养学生的数学推理和证明能力，使学生能够合理地解释和解释数学模型的结果。
这种能力的培养可以让学生在实际问题中独立思考和解决问题。
数学建模的结果分析和应用是评价一个模型的重要标准。
姜启源在教学设计中注重培养学生的结果分析和应用能力。
他鼓励学生对求解结果进行合理的解释和评价，并将结果应用到实际问题中。
这种能力的培养可以帮助学生将数学建模的理论和方法应用到实际问题中，提高问题的解决效果。
姜启源的教学设计充分体现了数学建模的基本原理和方法。
他通过培养学生的问题意识、建模能力、问题解决能力、结果分析和应用能力，帮助学生掌握数学建模的核心技巧和方法。
姜启源的教学设计在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力方面具有一定的参考价值。
数学模型课后答案姜启源
数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。
安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。
以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。
允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。
模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。
把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。
如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。
二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。
数学模型姜启源答案
数学模型姜启源答案【篇一：姜启源课后习题】xt>第1章建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。
（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。
问怎样过河？1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的logistic模型为dn11dt?25n?25?106n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。
设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。
当t??时发生什么情况。
1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，最大允许人口为xm，t到t??t时间内人口数量与xm?x(t)成正比。
试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。
水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章初等模型2.1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。
数学模型姜启源
数学模型姜启源1. 简介数学模型是通过数学方法来描述、解释和预测现实世界中的问题的工具。
姜启源是数学模型领域的一位知名学者，他在数学模型的研究和应用方面做出了重要贡献。
本文将介绍姜启源的学术背景、研究成果以及对数学模型领域的影响。
2. 学术背景姜启源于1980年毕业于北京大学数学系，并获得数学学士学位。
随后，他在中国科学院数学研究所攻读硕士和博士学位，并于1996年获得博士学位。
在攻读博士学位期间，姜启源主要致力于研究数学模型在环境科学中的应用。
3. 研究成果姜启源的研究成果主要集中在数学模型的构建、分析和应用方面。
他利用微分方程、偏微分方程、概率论和数值计算等数学工具，研究了各种实际问题，并提出了一系列创新性的模型和方法。
3.1 环境科学中的数学模型在环境科学领域，姜启源的研究主要关注大气质量模型和水资源模型。
他通过建立描述大气运动和污染物传输的方程组，来模拟和预测大气污染的扩散和变化情况。
同时，他还研究了水资源的可持续利用问题，并提出了一种基于数学模型的水资源管理策略。
3.2 金融领域中的数学模型除了环境科学领域外，姜启源还在金融领域中应用数学模型进行研究。
他主要研究金融市场中的资产定价问题、风险管理和投资策略。
姜启源提出了一种基于随机微分方程的金融模型，用于描述股票价格的随机波动和投资者行为。
4. 影响与意义姜启源的研究对数学模型领域具有重要的影响和意义。
他的研究成果在环境科学和金融领域中得到了广泛应用，并为解决实际问题提供了有效的数学工具和方法。
姜启源的研究促进了数学模型的发展和应用，为其他研究者提供了重要的借鉴和启发。
5. 总结姜启源是一位在数学模型领域有重要影响的学者。
他的研究成果在环境科学和金融领域中得到广泛应用，并为解决实际问题提供了有效的数学工具和方法。
姜启源的研究对数学模型的发展和应用做出了重要贡献，对其他研究者具有重要的借鉴意义。
参考文献： 1. 姜启源. 数学模型在环境科学中的应用[J]. 计算数学, 1998, 20(2): 235-248. 2. 姜启源, 张三. 数学模型在金融领域的应用研究[M]. 科学出版社, 2005. 3. 姜启源, 李四. 数学模型与环境管理[M]. 科学出版社, 2010.。
数学模型姜启源-(第五版)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例2 奶制品旳生产销售计划 在例1基础上深加工
12h 1桶 牛奶 或
3kgA1 1kg 2h, 3元
获利24元/kg 0.8kgB1
获利44元/kg
8h
4kgA2
50桶牛奶, 480h
1kg 2h, 3元
获利16元/kg 0.75kgB2
获利32净利润最大
Objective value:
3460.800
Total solver iterations:
2
Variable
Value Reduced
Cost
X1 0.000000
1.680000
X2 168.0000
0.000000
X3 19.20230
0.000000
X4 0.000000
0.000000
O
c l5
l3 D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目的函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成旳凸多边形 目旳函数旳等值线为直线
最优解一定在凸多边 形旳某个顶点取得.
模型求解
软件实现
LINGO
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
决策 变量
目的 函数
8h
4kg A2
1kg
2h, 3元
出售x1 kg A1, x2 kg A2，
获利16元/kg
0.75kg B2
获利32元/kg
x3 kg B1, x4 kg B2
《数学模型》(第五版)-姜启源-第2章
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果
差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l
, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0
姜启源报告
——《数学模型》(第五版) 简介
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清华大学 姜源
jiangqy@
• 数学建模教材的发展和存在的问题 • 《数学模型》(第五版)的定位与特色
• 《数学模型》(第五版)的内容和课件
预告 姜启源、谢金星、叶俊编写的《数学模型》
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诚恳希望提出宝贵意见
谢 谢 大 家！
《数学模型》第五版的内容安排
• 全书共含案例约90个，其中新案例约30个 （包括全国竞赛赛题8个），改编约10个. • 全书共含习题约230个，其中复习题约占1/3， 放在每一节后面，训练题约占2/3，放在每 一章后面. 《数学模型（第五版）习题参考解答》 同时出版.
与教材配套的数字课程
• 拓展案例约60个：来自编者在数学建模、数
• 2011年后建模和实验教材出版的数量渐缓.
数学建模课程和教材存在的问题
• 案例研究是数学建模的主要教学形式，但是 陈旧、偏难的案例对学生的吸引力下降. • 模型求解的数学方法过多，案例成为方法的
应用题，向传统的数学课程和教材靠拢，失
去引入数学建模教学的初衷.
• 成为建模竞赛的培训手段，课程只为参赛者
1987 年 出 版 的 《 数 学模型》(第一版)
数学建模教材的发展
• 1992年开始举办的全国大学生数学建模竞赛 对课程教学和教材建设起了巨大的推动作用. • 竞赛培训内容逐渐成为数学建模教材的重要 组成部分. • 1999年数学实验课程和教材开始出现，2000 年后建模与实验结合的课程和教材逐渐增多. • 2001-2010年是建模和实验教材飞速发展的十 年，这类教材出版了200本以上.
数学建模教案(章节版)
难点
重点：用微分方程知识建立数学模型的原理、方法，对微分方程进行精确求解或近似求解。
难点：掌握常见的微分方程模型的求解方法
教学进程
（含课堂
教学内容、
教学方法、辅助手段、
师生互动、
时间分配、
板书设计）
课堂教学内容：
1.建立微分方程模型
2.微分方程模型解法
3.微分ห้องสมุดไป่ตู้程建模案例
教学方法：
理论讲解法：通过讲授微分方程的基本概念、分类和性质，以及常见的求解方法，帮助学生建立起对微分方程模型的整体认识和理解。
重点
难点
重点：掌握非线性规划模型的基本特点
难点：非线性规划问题的求解、使用Python语言实现非线性规划模型
教学进程
（含课堂
教学内容、
教学方法、辅助手段、
师生互动、
时间分配、
板书设计）
课堂教学内容：
1.非线性规划模型
2.用Python求解非线性规划模型
3.非线性规划案例
教学方法：
理论讲解法：通过讲授和演示的方式，向学生介绍线性规划的基本概念、理论和方法。可以使用幻灯片、示意图、实例等形式，将抽象的概念转化为具体的案例，帮助学生理解和记忆。
辅助手段：
雨课堂手机学生对不同论文的看法
时间分配：
2学时讲授
课堂思政：
中国参加美国大学生数学建模比赛的人数和获奖的人数逐年递增
作 业
根据以往的论文的比对总结优秀论文的特点
主要
参考资料
《数学模型》（第五版），主编：姜启源谢金星叶俊，出版社：高等教育出版社，立项规格：“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
重点
难点
重点：统计量的计算及含义、统计描述的应用