湖南省邵阳市2020-2021学年高三第一次联考数学(理)试题

湖南省邵阳市2020-2021学年高三第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在复平面内，复数cos3sin3z i =+(i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设,a b ∈R ，则“||||a a b b >”是“33a b >”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ） AB．C ．5D ．104． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．34π+B ．3πC ．2πD ．π6．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若()0.51ln ,(ln 2018),2019a f b f c f e ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ ( ) A ．5B ．6C ．7D ．89．已知点P 是直线:4370l x y --=上动点,过点P 引圆222:(1)(0)C x y r r +-=>两条切线,PM PN ,,M N 为切点,当MPN ∠的最大值为2π时,则r 的值为( )AB C ．D ．110．英国统计学家..E H 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1x ，2x 和x ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1y ，2y 和y ，则下面说法正确的是（ ） A ．11x y <，22x y <，x y > B ．11x y <，22x y <，x y < C ．11x y >，22x y >，x y >D ．11x y >，22x y >，x y <11．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是（ ）． A ．()1,2B． C ．()2,+∞D．)+∞ 12．在正四棱锥P ABCD -中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为060，给出下面三个命题：1p ：若2AB =，则此四棱锥的侧面积为4+； 2p ：若,E F 分别为,PC AD 的中点，则//EF 平面PAB ；3p ：若,,,,P A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的2π倍.在下列命题中，为真命题的是（ ） A ．23p p ∧ B ．12()p p ∨⌝C ．13p p ∧D ．23()p p ∧⌝二、填空题13．已知α为三角形内角，sin cos 2αα-=，则cos2=α__________． 14．已知函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,若存在四个不同的实数1234|,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<,则1234x x x x +++=__________．15．如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼.太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.现有下列说法：①对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；②函数()sin 1f x x =+是圆O ：22(1)1y x +-=的一个太极函数；③存在圆O ，使得1()1x x e f x e +=-是圆O 的一个太极函数；④直线(1)(21)10m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：222(2)(1)x y R -+-=（0R >）的太极函数；⑤若函数3()f x kx kx =-（k ∈R ）是圆O ：221x y +=的太极函数，则(2,2)k ∈-.其中正确的是__________.三、双空题16．为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件: （i ）老年人的人数多于中年人的人数; （ii ）中年人的人数多于青年人的人数; （iii ）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________. ②抽取的总人数的最小值为__________．四、解答题17．在ABC 中,角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且sin sin sin sin a A c C C b B +-=.(1)求角B 的大小;(2)若2()sin cos f x x x x =求()2A f 的取值范围.18．已知正项数列{}n a 中,221111,230n n n n a a a a a ++=--=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n n b a -是等差数列,且12b =,314b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .19．已知菱形ABCD 的边长为4,AC BD O =,60ABC ∠=︒,将菱形ABCD 沿对角线BD 折起,使AC a =,得到三棱锥A BCD -,如图所示.⇒(1)当a =,求证:AO ⊥平面BCD ;(2)当二面角A BD C --的大小为120︒时,求直线AD 与平面ABC 所成的正切值. 20．半圆22:1(0)O x y y +=≥的直径的两端点为(1,0),(1,0)A B -,点P 在半圆O 及直径AB 上运动,若将点P 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q ,记点Q 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线C 的“直径”. 21．某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于30℃,则销售5000件;若气温位于25,[)30℃℃,则销售3500件;若气温低于25℃,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;(2)设8月份一天销售这种食品的利润为y (单位:元),当8月份这种食品一天生产量n (单位:件)为多少时,y 的数学期望值最大,最大值为多少？ 22．已知函数()f x 为反比例函数,曲线()()cos g x f x x b =+在2x π=处的切线方程为62y x π=-+.（1）求()g x的解析式;（2）判断函数3()()12F x g xπ=+-在区间(0,2]π内的零点的个数,并证明.参考答案1．B 【解析】本题考查三角函数的符号,复数的几何意义.复数cos3sin3z i =+在复平面内对应点坐标为(cos3,sin 3);因为3,2ππ<<所以cos30,sin30;则(cos3,sin 3)是第二象限点.故选B2．C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当||||a a b b >①若0a >,0b >,则有22a b >,于是33a b >;②若0a >,0b <,则有||0,||0a a b b ><,可知||||a a b b >显然成立,于是33a b >; ③若0a <,0b >,则||||a a b b >不成立,不满足条件; ④若0a <,0b <,由||||a a b b >,可得22a b ,即22a b <,所以有330a b >>.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的充分条件.必要性证明:当33a b >①若0a b >>,则有||||a b >,于是||||a a b b >;②若0a b >>,则有||0,||0,a a b b ><于是||||a a b b >; ③若0a b >>,则有22a b <,于是22a b ,因为2||a a a =-,2||b b b =-,所以有||||a a b b >成立.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的必要条件.综上所述,“||||a a b b >”是“33a b >”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 3．C 【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =分为四个小直角三角形算面积. 【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 4．D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．5．D 【分析】根据三视图画出其立体图形,即可求得该几何体的体积.【详解】根据三视图画出其立体图形:由三视图可知,其底面面积为:2π,其柱体的高为:2 ∴ 根据柱体的体积公式求得其体积为:π故选:D. 【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积,解题关键是根据三视图画出其立体图形,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 6．C 【详解】根据函数2()1log f x x =+过1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭排除A; 根据1()2x g x -+=过()0,2排除B 、D,故选C ． 7．C 【分析】已知奇函数()f x 在R 上是增函数,化简a ,b ,c 即可求得答案. 【详解】根据奇函数性质: ()()f x f x -=-化简()11lnln ln 2019,20192019a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ 0.5ln 2019ln 2018e >>根据()f x 在R 上是增函数∴ ()()0.5ln 2019(ln 2018)f f f e >>即()0.51ln(ln 2018)2019f f f e ⎛⎫->> ⎪⎝⎭故: c b a << 故选:C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,要熟练掌握奇函数的性质()()f x f x -=-,属于综合题. 8．B 【解析】试题分析：由题意可知221,m m m m C a C b +==,137a b =,221137m mm m C C +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+, 211371m m +∴=⋅+,解得6m =．故B 正确． 考点：1二项式系数；2组合数的运算． 9．A 【分析】因为点P 在直线:4370l x y --=上,连接PC ,当PC l ⊥时,MPN ∠最大,再利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】点P 在直线:4370l x y --=上,连接PC当PC l ⊥时, MPN ∠最大, 由题意知,此时MPN ∠最大值为2π时,∴ 4CPM π∠=,||PC =圆222:(1)(0)C x y r r +-=>,可得其圆心为:()0,1根据点到直线距离公式可得圆心()0,1到l 距离为:1025d -== ∴2=,故r =故选:A.【点睛】本题考查求圆的半径,解题关键是结合题意用数形结合,用几何知识来求解,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．D【分析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为1x ，1y ，行政庭维持原判的案件率2x ，2y ，总体上维持原判的案件率为x y ，的值，即可得到答案．【详解】 由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为1290.90632x =≈，行政庭维持原判的案件率21000.847118x =≈，总体上维持原判的案件率为1290.86150x ==； 法官乙民事庭维持原判的案件率为1900.9100y ==，行政庭维持原判的案件率为2200.825y ==，总体上维持原判的案件率为1100.88125y ==． 所以11x y >，22x y >，x y <．选 D ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．B【分析】由已知可得以AF 为直径的圆与渐近线有公共点，得出,,a b c 的不等量关系，结合222c a b =+，即可求解.【详解】抛物线2:8C y ax =的焦点为(2,0)F a ， 双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ， 在E 的渐近线上存在点P ，使得PA FP ⊥， 不妨设渐近线方程为b y x a=， 则以AF 为直径的圆与渐近线有公共点，即AF 的中点3(,0)2a 到直线0bx ay -=的距离2a d ≤，即33,3,22ab ab a d b c c ==≤≤22222299,89,8c b c c a a ∴≤≤∴≤1e ∴<≤故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，应用直线与圆的位置关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.12．A【解析】因为异面直线PB 与AD 所成的角为60︒，AD 平行于BC ，故角PBC=60︒，正四棱锥-ABCD P 中，PB=PC ，故三角形PBC 是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为故1p 是假命题；取BC 的中点G ，,E F 分别为,PC AD 的中点故得//,//AB FG PB EG ，故平面EFG//平面PAB ，从而得到EF//平面PAB ，故2p 是真命题；设AB=a, AC 和BD 的交点为O ，则PO 垂直于地面ABCD ，PA ＝ａ，AO＝２，PO＝２ O为球心，球的半径为２，表面积为22πa ,又正方形的面积为2a ,故3p 为真．故23p p ∧为真； ()12p p ∨⌝ 13p p ∧ ()23p p ∧⌝均为假．故答案为A ．13． 【分析】因为sin cos 2αα-=,故()22sin cos 2αα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,可得12sin cos 02αα=>,而sin 0,cos 0αα>>,即可求得sin cos αα+,根据余弦二倍角公式即可求得答案.【详解】sin cos αα-=可得()22sin cos 2αα⎛-= ⎝⎭ 故:12sin cos 02αα=> 而sin 0,cos 0αα>>，∴sin cos αα+==，则cos 2(cos sin )(sin cos )ααααα=-+== 故答案为:. 【点睛】 本题考查了三角函数化简求值,掌握余弦二倍角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.14．8【分析】 因为函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,画出其函数图像,当存在四个不同的实数1234,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<结合图像求解1234x x x x +++的值.【详解】函数22,02()sin,242x x xf xx xπ⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩画出函数图像:12,,x x在二次函数22y x x=-,其对称轴为:1x=∴12212x x+=⨯=，34,x x在sin,2y xπ=在24x<<,其对称轴为:3x=∴34236x x+=⨯=，∴1234268x x x x+++=+=故答案为:8.【点睛】本题考查了根据分段函数图像应用,解题关键是画出函数图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15．②④⑤【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．【详解】对①显然错误，如图对②，点(0,1)均为两曲线的对称中心，且()sin 1f x x =+能把圆一分为二，正 对③，函数为奇函数12()111x x x e f x e e +==+--，当0(0)x x →>时，()f x →+∞， 当x →+∞时，()1f x →，[()1]f x >，函数递减；当0(0)x x →<时，()f x →-∞，当x →-∞时，()1f x →-，[()1]f x <-，函数()f x 关于(0,0)中心对称，有三条渐近线1y =±，0x =，可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件．对于④，直线(1)(21)10m x m y +-+-=恒过定点(2,1)，满足题意．对于⑤函数3()f x kx kx =-为奇函数，与圆的交点恒坐标为(1,1)-， ∴3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩， 2624222(1)10k x k x k x ∴-++-=，令2t x =，得232222(1)10k t k t k t -++-=，即222(1)(1)0t k t k t --+=，得1t =即1x =±；对22210k t k t -+=，当0k =时显然无解，△0<即204k <<时也无解，即(2,2)k ∈-时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分，如图所示：若2k =±时，函数图象与圆有4个交点，若24k >时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二，如图所示：故所有正确的是②④⑤.故答案为：②④⑤【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，命题真假的判断，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力，对学生能力要求较高．16．6 12【分析】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z ,①4z =,则8x x y >⎧⎨>⎩,即可求得中年人的人数的最大值. 由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N ,即可求得抽取的总人数的最小值.【详解】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z①4z =,则8x x y>⎧⎨>⎩ ,则y 的最大值为6②由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N22z z ∴>+ 解得2z >∴ 当3,4,5z y x ===时x y z ++取最小值12.故答案为:①6.②12.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件确定可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,从而确定目标函数在何处取得最优解.17．（1）6π； （2）1(,1]2-. 【分析】(1)因为sin sin sin sin a A c C C b B +-=,根据正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==,可得222a c b +-=,即可求得角B 的大小;(2)2()sin cos 2f x x x x =-,化简可得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即可求得()2A f 的取值范围. 【详解】(1)sin sin sin sin a A c C C b B +=根据正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==222a c b ∴+=,即:222a c b +-=222cos 22a cb B ac +-∴==, 又(0,),B π∴∈6B π∴=(2)2()sin cos f x x x x =11cos 2sin 222x x +=+1sin 222x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 570,,,6336A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin ,132A π⎛⎫⎛⎤∴+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ()f A ∴取值范围为1(,1]2-. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b c A B C==边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题. 18．（1）13-=n n a ； （2）23122n n +-. 【分析】(1)将2211230n n n n a a a a ++-⋅-=化简为()()1130n n n n a a a a +++-=,结合已知即可求得答案;(2)令n n n c b a =-,则1133341,5c a c b a =-==-=,31231c cd -==-,所以1(1)221n c n n =+-⋅=-,可得1213n n n n b c a n -=+=-+,根据分组求和,即可求得答案.【详解】(1)2211230n n n n a a a a ++-⋅-=()()1130n n n n a a a a ++∴+-=0n a >,110,30n n n n a a a a ++∴+>-=可得:13n na a +=11a =,11133n n n a --∴=⋅=.(2)令n n n c b a =-,则1133341,5c a c b a =-==-=,31231c cd -==- 1(1)221n c n n ∴=+-⋅=-,1213n n n n b c a n -∴=+=-+123n n S b b b b ∴=++++()21(13521)3333n n -=++++-+++++23122n n =+- 【点睛】本题考查根据递推公式求通项公式和数列求和.解题关键是掌握分组求和,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.19．（1）见解析； （2）10. 【分析】(1)根据线面垂直定义,即可求得答案.(2)由于平面ABC 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以O 为原点建系,,OC OD 所在的直线分别为x 轴,y 轴,求出平面ABC 的法向量n ,求解AD 和n 的夹角,即可求得答案.【详解】(1)在AOC △中,2,OA OC AC a ====222OA OC AC ∴+=90AOC ︒∴∠=,即AO OC ⊥,AO BD ⊥,且AO BD O =,AO ∴⊥平面BCD .(2)由(1)知,OC OD ⊥,以O 为原点,,OC OD 所在的直线分别为x 轴,y 轴 建立如图的空间直角坐标系O xyz -:则(0,0,0),(0,(2,0,0),(0,Q B C D -. ,AO BD CO BD ⊥⊥AOC ∴∠为二面角A BD C --的平面角,120AOC ︒∴∠= ∴点(A -(1,AD =,(1,BA =-,(2,BC = 设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =,则 ∴ 00n BC n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩故200x x ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 取1x =,则y z ==∴31,3n ⎛=- ⎝ 设直线AD 与平面ABC 所成的角为θ, ||4sin ||||134AD nAD n θ⋅===cos θ∴==sintan cos 10θθθ∴=== ∴ 直线AD 与平面ABC 所成的正切值:10. 【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握其结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.20．（1）答案见解析 （2）3. 【分析】(1)设(,)Q x y ,则,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭,即可求得答案; (2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大,不妨设00y y ≥≥,()()22200||GH x x y y =-+-,根据不等式性质,即可求得曲线C 的“直径”.【详解】(1)设(,)Q x y ,则,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭, ∴ 曲线C 的方程为0(11)y x =-<<或221(0)4y x y +=≥. (2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大,不妨设00y y ≥≥,则()()()()()22222220000||41GH x x y y x x y x x x =-+-≤-+=-+-,()()222200041324x x x x x x x -+-=--++ 22200044416344433333x x x x ⎛⎫=-+++≤+≤+= ⎪⎝⎭216||3GH ∴≤等号成立时:13G ⎫⎪⎪⎝⎭,(1,0)H -或13G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,(1,0)H ,由两点距离公式可得:max ||GH =故曲线C 的“直径”为3. 【点睛】 本题考查了求解曲线轨迹方程和曲线C 的“直径”.在求曲线上两点间距离最大时,将两点设出,用两点间距离列出表达式,通过不等式放缩求其最值,考查了分析能力和计算能力. 21．（1）见解析，3800； （2）当3500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为11900.【分析】(1)今年8月份这种食品一天的销量X 的可能取值为2000、3500、5000件,求出(2000)P X =,(3500)P X =和(5000)P X =,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,所以只需要考虑20005000n ≤≤.分别讨论,35005000n ≤≤和20003500n ≤<,即可求得y 的数学期望最大值.【详解】(1)今年8月份这种食品一天的销量X 的可能取值为2000、3500、5000件,414(2000)0.290P X +=== 36(3500)0.490P X === 2115(5000)0.490P X +=== 于是X 的分布列为:X 的数学期望为()20000.235000.450000.43800E X =⨯+⨯+⨯=.(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,∴ 只需要考虑20005000n ≤≤,当35005000n ≤≤时,若气温不低于30度,则4Y n =;若气温位于[25,30),则35004(3500)3245003Y n n =⨯--⨯=-;若气温低于25度,则20004(2000)3140003Y n n =⨯--⨯=-;此时()22114(245003)(140003)12600119005555E Y n n n n =⨯+⨯-+-=-≤, 当20003500n ≤<时,若气温不低于25度,则4Y n =;若气温低于25度,则20004(2000)3140003Y n n =⨯--⨯=-;此时()41134(140003)280011900555E Y n n n =⨯+-=+<; ∴ 3500n =时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为11900.【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.22．（1）3cos ()1x g x x =-； （2）函数()F x 在(0,2)π上有3个零点. 【分析】(1)设()(0)a f x a x =≠,则cos ()a x g x b x =+,直线62y x π=-+的斜率为6π-,过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,2(sin cos )()a x x x g x x '-+=,所以3a =,12g b π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,即可求得()g x 的解析式;(2)函数()F x 在(0,2]π上有3个零点.因为33cos 3()()122x F x g x x ππ=+-=-,则23(sin cos )()x x x F x x'-+=,根据函数的单调性和结合已知条件,即可求得答案. 【详解】(1)设()(0)a f x a x =≠,则cos ()a x g x b x =+, 直线62y x π=-+的斜率为6π-,过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2(sin cos )()a x x x g x x '-+=, 则26,2a g πππ-⎛⎫'==- ⎪⎝⎭, 3a ∴=,12g b π⎛⎫==-⎪⎝⎭ ∴ 3cos ()1x g x x=-. (2)函数()F x 在(0,2]π上有3个零点.证明:33cos 3()()122x F x g x x ππ=+-=- 则23(sin cos )()x x x F x x '-+=又330,06222F F πππππ⎛⎫⎛⎫=->=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ ()F x 在(0,]2π上至少有一个零点, 又()F x 在(0,]2π上单调递减,故在(0,]2π上只有一个零点, 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,cos 0x <,故()0F x <, 所以函数()F x 在3(,)22ππ上无零点. 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,令()sin cos ,()cos 0h x x x x h x x x '=+=>, ∴ ()h x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,3(2)0,02h h ππ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,∴ 03,22x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()F x 在03,2x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在(]0,2x π上单调递减. 又3(2)0,02F F ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭, ∴函数()F x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点. 综上所述,函数()F x 在(0,2)π上有3个零点.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程和求解函数的零点个数,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.。