数理方程第二章 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论-6资料

(a x b) 的特例。
例如： k ( x) x, q ( x) n , ( x) x x 2 y x y ( x 2 n2 ) y 0
x
k ( x) 1 x 2 , q ( x) 0, ( x) 1 (1 x ) y 2 x y y 0
d d y k ( x ) q ( x) y ( x) y 0 , dx d x
不难看出，以下方程，正是上面方程的特例： 取： k ( x) 1, q ( x) 0, ( x) 1 与之对应的边界条件：
( a x b)
X ( x ) X ( x ) 0
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分离变量法提要:
• • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
参考了孙秀泉教授的课件
§2.6
关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
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2
n2
n2
L2
X (0) 0 ,
X ( L) h X ( L) 0
X n ( x) Bn sin n x
（3） 圆形域内 Laplace 方程的定解问题
0 ( 2 ) ( )
n
（n 为正整数）
n ( ) an cosn bn sin n
（2） 所有的本征值均不为负，即
n 0 ,
n 1, 2,
（3） 对应于不同本征值的本征函数在
a , b 上互相正交。即
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m n
ym ( x ) , yn ( x )
b
为任意两个不同的本征值 对应的两个本征函数
m
则有：
( x) y
a
( x ) yn ( x ) d x 0 ,
( a x b)
y(a )
对于上述问题的本征值，有结论如下： （1） 存在无穷多个实的本征值，并经适当调换，可以构成一个非递减 数列
1 2 n n1
y1 ( x ) y2 ( x )
yn ( x ) yn1 ( x )
——对应有无穷多个本征函数。
x 2 y x y ( x 2 n2 ) y 0
(1 x 2 ) y 2 x y y 0
d d y k( x) 它们也是方程 q ( x) y ( x) y 0 , dx d x
2
Bessel Equation . Legendre Equation .
f ( x ) f n yn ( x )
n 1
其中
fn

a
n
( x ) yn ( x ) d x
2 a
b
上述本征值问题的结论是相当广泛的，数学物理方程中所涉 及的本征本征值问题，几乎都是它的特例。
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在用球坐标以及柱坐标分离变量，求定解问题时，需要讨论如下方程
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2. 分离变量法的实质
将时间变量 t ，视为参变量； 将空间变量 x ，按本征函数展成 Fourier 级数。 适用范围： （1） 泛定方程与边界条件为线性； （2） 边界条件为齐次（圆域、圆环域例外）； （3） 区域为有界的、规则的（区域边界易于以简单方程表示）。 3. 按照本征函数系展开的依据 如 1. 中的问题（1）、（3），按照本征函数展开，理所当然。 但是，2. 中的问题本征函数系 sin n x ，而 (
2 n 2 12 2
L
2
,
L
2
,,
2 n
L
2
, )
情况又将会怎样呢？
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回答是肯定的。若本征函数系是一个正交、完备系，也可以按 Fourier 级数展开。 特别考虑如下方程：
通常称之为 Sturm-Liouville （斯特姆-刘维尔） 型方程。有关的本征值问题的一些结论，相应 地称为：斯特姆-刘维尔理论。
( m n )
对应于不同特征值的特征函数在a,b上带权函数(x)互相正交。
（4 ） 本征函数系 yn ( x) , n 1,2,, n, , 在
a , b 上构成完备系。
即：对于一个任意函数f(x) ，在区间 [a,b]上，只要满足具有一 阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足斯特姆-刘维尔型 方程的边界条件，那么一定可以将f(x)按本征函数系展成绝对 b 且一致收敛的级数。 ( x) f ( x) y ( x) d x
2
到此为止，所求解的各种问题只牵涉具有边界的空间。但 这并不意味分分离变量法就不可以应用于无界空间。事实上， 稍加推广还是可以应用的。所说的推广，指的是间断的本征值 为连续本征值所取代，线性叠加为积分所取代。
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实施分离变量法应该注意的几个问题：
一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域→极坐标系； 圆柱形区域→柱坐标系； 球形区域→球坐标系。 二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，
1. 常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数 （1） 有界弦的自由振动

X ( x ) X ( x ) 0
X (0) X ( L) 0
n 2 2 n 2 L
X n ( x) n sin
n x L
（2） 有限长杆上的热传导

X ( x) X ( x) 0
y( x) h y( x) xb 0
y(a )
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d y d k( x) q ( x) y ( x) y 0 , d x dx y( x) h y( x) xb 0