数理方程第二章 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论-6资料
二阶微分方程解法知识讲解
二阶微分方程解法第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r ey 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2.第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.例1 求微分方程y''-2y'-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x.例2 求方程y''+2y'+y=0满足初始条件y|x=0=4、y'|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y'=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +⋅⋅⋅+p n-1y'+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y', D2y=y'', D3y=y''',⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r1,2=α±iβ对应于两项:eαx(C1cosβx+C2sinβx);k重实根r对应于k项:e rx(C1+C2x+⋅⋅⋅+C k x k-1);一对k重复根r1,2=α±iβ对应于2k项:eαx[(C1+C2x+⋅⋅⋅+C k x k-1)cosβx+( D1+D2x+⋅⋅⋅+D k x k-1)sinβx].例4 求方程y (4)-2y '''+5y ''=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ''(x )+(2λ+p )Q '(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则λ2+pλ+q≠0.要使上式成立,Q(x)应设为m 次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=Q m(x)eλx.(2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0 的单根,则λ2+pλ+q=0,但2λ+p≠0,要使等式Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=xQ m(x)eλx.(3)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则λ2+pλ+q=0, 2λ+p=0,要使等式Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=x2Q m(x)eλx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=P m(x)eλx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)有形如y*=x k Q m(x)eλx的特解,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y''-2y'-3y=3x+1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0).与所给方程对应的齐次方程为y ''-2y '-3y =0,它的特征方程为r 2-2r -3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b , -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1. 由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y . 例2 求微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2).与所给方程对应的齐次方程为y ''-5y '+6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得-2b 0x +2b 0-b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b , -2b 0=1, 2b 0-b 1=0. 由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=. 提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]'=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]''=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *''-5y *'+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]''-5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]'+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x -5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)-5(2b 0x +b 1)]e 2x =[-2b 0x +2b 0-b 1]e 2x .方程y ''+py '+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ] ]2)(2)([ ie e x P e ex P e x i x i n x i xi l x ωωωωλ---++= x i n l x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=, 其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P nl +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ''+py '+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解,其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ''+py '+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++==x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ''+py '+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ-i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ''+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ''+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x .比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=.精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *'=a cos2x -2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(-2ax -2b +c )sin2x ,y *''=2c cos2x -2(2cx +a +2d )sin2x -2a sin2x +2(-2ax -2b +c )cos2x =(-4ax -4b +4c )cos2x +(-4cx -4a -4d )sin2x .y *''+ y *=(-3ax -3b +4c )cos2x +(-3cx -4a -3d )sin2x .由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a , 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .。
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第八章 讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' 1的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 1变成0=+'+''qy y p y 2我们把方程2叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式1叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式2的两个解, 则2211y C y C y +=也是式2的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程2的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程2的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程2的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式2的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间a,b 内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式2的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数是方程式2的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=21,C C 是任意常数是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =r 为常数和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满足方程2.将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程2,得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r 3只要r 满足方程式3,rx e y =就是方程式2的解.我们把方程式3叫做方程式2的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程2y y y ,,'''的系数. 特征方程3的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式2的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时,21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程2的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程2的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程2的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程2, 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程3的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程2的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程2的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程3有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, 0≠β于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程2的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程2的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程2的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:1写出方程2的特征方程02=++q pr r2求特征方程的两个根21,r r3根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程2的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程1的一个特解,Y 是式1所对应的齐次方程式2的通解,则*+=y Y y 是方程式1的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程1的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程1的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程1的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程1的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' 4 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程4的特解, 非齐次线性方程1的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程1的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程1的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程1并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ 5以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:1 若λ不是方程式2的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式5的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入5式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*2 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式5成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.3 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使5式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式,可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式1中的x m e x P x f λ)()(=,则式1的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 xe x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式1成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' 7这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式7的特解*y 也应属同一类型,可以证明式7的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω,ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根,0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程,得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶常微分方程解法
二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。
本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。
一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。
2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。
设该方程的根为λ1和λ2。
3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。
4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。
例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。
2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。
3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。
2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。
3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。
4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。
例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二阶线性常微分方程的级数解法
◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2
由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ：
ζ
ζ
2 - a1
因为这时对应于 ：P(ζ) =
- a2 - a3 ζ + ⋯,
b2 b3 Q(ζ) = + + ⋯
在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析 。
ζ
ζ2 ζ
☺ 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0
正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。 非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。
◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 / ζ，则方程 (1.9) 化为
1
1
若 p 和 q 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。
ζ
ζ
1
1
若 p 和 q 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地 ，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。
ζ
ζ
1
1
p = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯,
通常人们并不需要在整个复平面内求解方程更感兴趣的是求解某点z0邻域的解邻域可大可小因此若要在某点z0的邻域求解微分方程系数函数pz和qz在z0的性质就显得特别重要为此做以下定义
二阶常微分方程边值问题的数值解法
二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equationswith the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problemsthrough the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab to solve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
二阶常微分方程的数值求解讲解
利用dsolve 函数求微分方程解析解
dsolve 的调用格式
y=dsolve('eq1','eq2', ... ,'cond1','cond2', ... ,'v') 其中 y 为输出， eq1、eq2、...为微分方程，cond1、 cond2、...为初值条件，v 为自变量，如果不指定v作为自变 量，则默认t为自变量。
利用Euler方法求解上述方程组可得如下数 值格式
zk y(a ) y0 , y '(a ) z0 yk yk 1 hzk , zk 1 hf ( xk , yk , zk ), k 1, 2 xk xk 1 h.
其中yk 是y( xk )的近似，zk 是y '( xk )的近似
在Matlab中的命令窗口中输入下面的命令
>> syms x y >> S=dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0','x')
则可以得到如下的结果
S=
4/3*cos(x)-1/3*cos(2*x)
注意：只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。 大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。
下的特解，并画出解函数的图形。
>> y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') >> ezplot(y);
例6
d2 y 2 cos( 2 x ) y 求二阶常微分方程 dx 的通解 y(0) 1, y '(0) 0
高中数学教师必备的知识微分方程(二)二阶线性微分方程
， 解得
，
所以满足初始条件的特解为
（2）
（3）
DDY 整理
解（1）对应齐次方程的特征方程为
，特征根
；
不是特征方程的根，所以，设特解
。
（2）对应齐次方程的特征方程为
，特征根
是特征方程的单根，所以，设特解
。
（3）对应齐次方程的特征方程为
，特征根
；
是特征方程的重根，所以，设特解
。
例 2 求方程
的通解。
解 对应齐次方程的特征方程为
，特征根
DDY 整理
定理 1 如果函数
与
是二阶线性齐次方程（**）的两个解，那末
也是方程（**）的解（
为任意常数）。
注：1 .这条性质说明齐次方程（**）的解满足叠加原理。
2 .函数 是否独立，如果
是否方程（**）的通解呢？这要看
与
，则
， 式中只有一个独立常数，显然，此时不是（**）的通解。 下面给出两个函数线性相关、线性无关的概念：
设
，将 代入方程（1）得
即
所以
取
得方程（1）的另一解
，
方程（1）的通解为
（3）特征方程有一对共轭复根 此时，方程（1）的两个解为
， 由齐次方程（1）的解的性质（叠加原理）知
， 仍为方程（1）的解，且 与 线性无关， 方程（1）的通解为 综上所述，求二阶齐次常系数线性微分方程的通解的方法是： （1）写出特征方程，（2）求出特征根，（3）根据特征根的不同情况写出通解。
称为齐次
方程（1）的特征多项式。显然，如果 是特征方程的根，则函数
一定是齐次方程
（1）的解，下面根据特征方程根的不同情况，讨论齐次方程（1）的通解形式
二阶常微分方程的解法
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一六届）题目：二阶常微分方程的解法院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：潘陆学号08120146指导教师：刘陆军南京师范大学泰州学院教务处制摘要：本文主要是介绍了二阶常微分方程众多解法中的三种，分别为特征方程法，拉普拉斯变换法和常数变易法，研究并讨论了二阶常微分方程在特征方程法中特征方程根为实根，复根和重根的情形。
我们选用了弹簧振子系统的振子运动，用这三种不同的方法来解决该问题。
关键词：二阶常微分方程；特征根法；常数变易法；拉普拉斯变换Abstract:The main purpose of this paper is the second-order ordinary many differential equation solution of three, respectively as the characteristic equation method, Laplace transform method and variation of constants method, study and discuss the second-order often differential equation in the characteristic equation of the roots of the characteristic equation for real roots, complex roots and root weight. We choose the spring oscillator the oscillator motion, these three different methods to solve the problem.Keywords: second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform目录1 绪论 (3)1.1 二阶常微分方程的起源和发展史 (3)1.2 二阶常微分方程的介绍 (3)1.3 研究二阶常微分方程的目的与意义 (4)2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (5)2.1 特征方程法 (5)2.1.1 特征根是两个实根的情形 (5)2.1.2 特征根有重根的情形 (6)2.2 常数变易法 (7)2.3 拉普拉斯变换法 (9)3 二阶常微分方程解法的应用（分析例题） (11)3.1 特征方程法 (11)3.2 常数变易法 (13)3.3 拉普拉斯变换法 (14)4 结论和启示 (16)谢辞 (18)参考文献 (19)1 绪论1.1 二阶常微分方程的起源和发展史既然说到了微分方程，就不能不提到海王星的故事，它的发现是人类智慧的硕果，微分方程在其中扮演了重要的角色，并且在其中也包含数学演绎法的作用。
二阶常微分方程解存在的问题
二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。
1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。
因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。
第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。
二阶常微分方程级数解法_本证值问题
2 Y ∂ 1 1 ⎞ . ⎟− 2 2 ⎠ Y sin θ ∂ϕ
1 d ⎛ 2 dR ⎞ 1 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ 1 1 ∂ 2Y = μ. ⎟− ⎜r ⎟=− ⎜ sin θ 2 2 R dr ⎝ dr ⎠ Y sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ Y sin θ ∂ϕ
i）径向方程
d ⎛ 2 dR ⎞ ⎜r ⎟ − μR = 0, dr ⎝ dr ⎠ 后面解出 μ = l (l + 1)
——该方程称为连带 Legendre 方程。
6
当 m=0 时，称为 Legendre 方程：
d ⎡ 2 dy ⎤ ( 1 − x ) ⎥ + μy = 0 ⎢ dx ⎦ dx ⎣
即：
d y dy (1 − x ) dx 2 − 2 x dx + μy = 0
2 2
注意： 因 x=cosϑ, 而 ϑ 的变化范围是 [0, π], 所以 x 的变化范围是 [-1，+1] 。
Φ ' ' + λΦ = 0 Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ )
d2R dR r + 2r + k 2 r 2 − l (l + 1) R = 0 R： 2 dr dr 齐次边值
[
]
Z： R：
Z ' '− μZ = 0 齐次边值
k 2v = 0
Θ:
⎡ m2 ⎤ d ⎡ 2 dy ⎤ ( ) − x y =0 + − 1 μ ⎢ dx ⎢ dx ⎥ 1 − x2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ | x |≤ 1 解有界
⎧ J m ( x) ⎪ ⎨N m ( x) ⎪H ( x) ⎩ m
19
分离变量结果
二阶常微分方程
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0 p, q 为常数；
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x ) p, q 为常数。
7
二阶常系数齐次线性微分方程解法 -----特征方程法
y py qy 0
可设 y x vn ( x )e
m
,
x
n次多项式
0 不是根 m 1 是单根 2 是重根
22
代入原方程用待定系数法求得特解。
3 y 5 y 6 y x 2 x 1 通解。 例6、求
例7、求 y 2 y 3 y (3 4 x )e x 通解。
例2、求 y 6 y 9 y 0 通解。
例3、求 y 4 y 0 满足 y(0) 0 y(0) 1 特解。
13
n 阶常系数齐次线性微分方程解法
标准形式
y( n) p1 y( n1)
其特征方程为
pn1 y pn y 0
p1 , p2 , , pn 为常数,
5
解的叠加原理: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 分别是下列线性微分方程
d2y dy p( x ) q( x ) y f1 ( x ) 2 dx dx 的解, 2 d y dy p( x ) q( x ) y f 2 ( x ) 2 dx dx 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是线性微分方程
pn1 ( x ) y pn ( x ) y f ( x )
1
二阶线性微分方程解的结构:
1、二阶齐次线性微分方程解的结构:
y p( x ) y q( x ) y 0
二阶常微分方程的级数解法及本征值问题
m 0,1, 2, ； ( ) A cos m B sin m
记常数 k 2 2 ，即 k 2 2 ，(3)式可改写为：
d 2 R 1 dR m2 R 0 ，相应地作变量代换： x ，可以化为： 2 d2 d
本章习题
P237：1,3 题
10
E F ln （1） 0 ， Z ( z ) C ； R m m E F
m0 m 1, 2,3,
（2） 0 ， Z ( z ) Ce
z
De
z
d 2R dR 令 ，则方程(4)可化为 2 m 2 R 0 ，称为 m 阶贝塞 2 d d
2
塞尔方程，具体求解后面将具体介绍。 （b）柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量
1 u 1 2u 2u 2 2 2 k 2v2 0 z
柱坐标系与球坐标系中的讨论类似，令 v( , , z ) R( ) ( ) Z ( z ) ，引入两个常数
d 2 R 1 dR m 2 y ' m2 ， m 阶贝塞尔方程。 （ R y 1 0 " 1 2 R 0 ） dx 2 x dx x2 x x
7
第(2)式是偏微分方程，称为亥姆霍兹方程。 同样地，对于输运方程 ut a 2 u 0 同样作分离变量代换，可以得到：
d 2 R 1 dR m 2 1 R 0 d2 d 2
即： 2
d 2R dR 2 m 2 R 0 ，称为 m 阶贝塞尔方程。 2 d d
2
连带勒让德方程隐含 1 ( 0, )的自然边界条件构成本征值问题， 决定 l 只 能取整数值。 第（2）式即 r 2
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
显然A C D E 0, B 0
标准型为： u 0
通解为 ( , ) f ( ) g ( ), f , g任意函数 u 故原方程3)的通解为 ( :
u( x, y) f ( ( x, y)) g(( x, y)) f (a1x b1 y) g(a2 x b2 y)
u( x, y) f ( ( x, y)) g ( ( x, y))
。 注意： ( x, y), ( x, y)就是特征线的左端函数
2. 0时，标准型都为 0, 原方程的通解为 当 u :
u( x, y) ( x, y) f ( ( x, y)) g ( ( x, y))
2
u( x, y) f (3x y)) g ( x 3 y)
u 例2： xx 4uxy 4u yy 0
解：
dy dy 特征方程： 4 4 0 dx dx
2
特征线： y c,取 ( x, y) x 2x
注意： ( x, y)是特征线的左端函数 ( x, y)是任 Nhomakorabea , ,
( x, y)的二元一次函数。
例1： 3uxx 10uxy 3u yy 0
dy dy 解：特征方程： 10 3 0 3 dx dx
3x y C1 特征线： x 3 y C2
： B 2 4 AC 0时，
1x 1 y c1 1x 1 y 求出特征线： ,引入变量 2 x 2 y c2 2 x 2 y 其中1 2，1 2为复数 ， ，
显然A C D E 0, B 0 标准型为：u 0
二阶常微分方程的特解
二阶常微分方程的特解
二阶常微分方程的特解需要根据具体的方程形式来确定。
一般来说，我们可以使用初值条件或特定的边界条件来求解。
以下是一些常见的二阶常微分方程及其对应的特解方法：
1. 齐次线性方程：形如y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 的方程，其中p(x) 和q(x) 是已知函数。
可以使用特征方程法来求解。
首先假设
y=e^(mx)，代入方程得到特征方程m^2 + p(x)m + q(x) = 0。
解出特征方程后，根据根的不同情况，可以得到不同类型的特解。
2. 非齐次线性方程：形如y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) 的方程，其中f(x) 是已知函数。
可以使用常数变易法来求解。
首先求齐次线性方程的通解y_0(x)，然后假设特解为y_p(x) = u(x)y_0(x)，代入方程中求解u(x)。
最后特解为y(x) = y_0(x) + y_p(x)。
3. 高阶常系数线性齐次方程：形如a_ny^(n) + a_(n-1)y^(n-1) + ... + a_1y' + a_0y = 0 的方程，其中a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0 是已知常数。
可以使用特征方程法来求解。
假设y=e^(mx)，代入方程得到特征方程a_nm^n + a_(n-1)m^(n-1) + ... + a_1m + a_0 = 0。
解出特征方程后，根据根的不同情况，可以得到不同类型的特解。
这些只是二阶常微分方程的一些常见特解方法，实际问题中可能还有其他特殊情况需要考虑。
二阶常微分方程
分解为两个方程：
1 ∂ 2Y 1 ∂ ∂Y (sin θ )+ + l (l + 1)Y = 0 2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
d 2 dR (r ) + [k 2 r 2 − l (l + 1)]R = 0 dr dr
(17) (18)
方程(17)就是球函数方程，把它进一步分离变数将得到解； 常微分方程(18)叫作l阶球贝塞尔方程。
20
线性二阶常微分方程(2) 在常点z0的邻域 z − z 0 < R 上存在唯一的解析解，就把它表成此邻域上泰勒级 数的形式，
(5)
令 Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) 代入球函数方程(5)，得
dΘ Φ d Θ d 2Φ (sin θ )+ + l (l + 1)ΘΦ = 0 2 2 dθ sin θ dθ sin θ dϕ
sin 2 θ 两边同乘以 ΘΦ
sin θ d dΘ 1 d 2Φ (sin θ )+ + l (l + 1) sin 2 θ = 0 dθ Θ dθ Φ dϕ 2
(9)
方程(9)化为
d 2Θ dΘ m2 (1 − x 2 ) 2 − 2 x + [l (l + 1) − ]Θ = 0 2 dx 1− x dx
(10)
当 m = 0 时，
——l 阶连带勒让德方程 (11)
11
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
其中z为复变数，z0为选定的点，C0, C1为复常数。 一、方程的常点和奇点 如果方程(2)的系数函数p(z)和q(z)在选定的点z0的 邻域中是解析的，则点z0叫作方程(2)的常点。 如果选定的点z0是p(z)或q(z)的奇点，则点z0叫作方 程(2)的奇点。
二阶常系数线性微分方程
r2 p r q 0 ; （1）写出特征方程： （2）求出特征根：r1 , r2 ;
（3）按下表写出微分方程的通解：
特征方程 r 2 pr q 0 的两个根r1r2 微分方程 y py qy 0 的通解
两个不等实根 r1 r2
两个不等实根 r1 r2 一对共轭复根 r1, 2 i ,
欧拉公式： r2 e i cos i sin i ,
y1 e ( i ) x ex (cos x i sin x )
y2 e ( i ) x ex (cos x i sin x )
y c1 y1 c2 y2 c1e ( i ) x c2e ( i ) x
设 y* 是二阶非齐次线性方程 y py q y f ( x ) 的一个特解, Y 是与之对应的齐次方程的通解, 那 么 y Y y* 是二阶非齐次线性微分方程的通解.
对应的齐次方程 ：y py qy 0 通解问题已经 解决 , 如何求非齐次方程的特解？
方法：待定系数法，其特点是不用做积分运算。
( 2) f ( x ) 0 时，y py qy f ( x ) 为非齐次方程 .
二、解的性质与结构
定理1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是齐次方程 y py qy 0 的解，则 c1 y1 ( x ) c2 y2 ( x )也是它的解，
1 重新组合 y1 ( y1 y2 ) ex cos x , 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x , 2i
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cos x C2 sin x ).
综上所述，求二阶齐次线性微分方程 y py qy 0 的通解步骤为：
数理方程第二章 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论-6
( m n )
对应于不同特征值的特征函数在a,b上带权函数(x)互相正交。
（4 ） 本征函数系 yn ( x) , n 1,2,, n, , 在
a , b 上构成完备系。 Nhomakorabea即：对于一个任意函数f(x) ，在区间 [a,b]上，只要满足具有一 阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足斯特姆-刘维尔型 方程的边界条件，那么一定可以将f(x)按本征函数系展成绝对 b 且一致收敛的级数。 ( x) f ( x) y ( x) d x
则无论方程是齐次还是非齐次，必须首先作函数的代换，使其转化为
齐次边界条件问题，方可进行求解。
三、非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题（无论初始条件如何），一定
要将其转化为：非齐次方程+齐次边界条件来处理。
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法的军事策略 ：
— —分兵合围，各个击破
分离变量法的哲学思想 ：
2
到此为止，所求解的各种问题只牵涉具有边界的空间。但 这并不意味分分离变量法就不可以应用于无界空间。事实上， 稍加推广还是可以应用的。所说的推广，指的是间断的本征值 为连续本征值所取代，线性叠加为积分所取代。
深圳大学电子科学与技术学院
实施分离变量法应该注意的几个问题：
一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域→极坐标系； 圆柱形区域→柱坐标系； 球形区域→球坐标系。 二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，
关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院26关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数1有界弦的自由振动3圆形域内laplace方程的定解问题sincos分离变量法的实质将时间变量视为参变量
数学物理方程：第2章 微分方程的固有值问题
第2章 微分方程的固有值问题§2.1 微分方程初值问题的求解方法本节讨论：①齐次常微分方程的解法，②非齐次常微分方程的解法，③去掉一阶导数的方法 ，④初值问题一些解法的例子二阶常微分方程边值问题一般可写为：1122()()(),x a x b y p x y h x y f x y y A y yBαβαβ=='''++=⎧⎨''+=+=⎩ （[],x a b ∈） (2.1.1)二阶常微分方程初值问题一般可写为：()()()(0),(0)y p x y h x y f x y A y B '''++=⎧⎨'==⎩（[0,)x ∈∞） (2.1.2) 本节属常微分方程内容，因此仅用例子介绍方法，对其结果不讨论不证明。
⒈ 齐次常微分方程的常用解法本章只给出相关数学课程表中二阶常微分方程（也可称为一维数学物理方程）的一些相关公式与结论。
▲常系数齐次微分方程的解 二阶常系数齐次常微分方程一般可写为0=+'+''by y a y (2.1.3)本章仍然沿用常微分方程中的符号)(x y y =而没使用数学物理方程中的符号)(x u u =。
它的特征方程为02=++b a λλ (2.1.4)设特征根为1λ与2λ，则原方程有解，当方程两根为①不相等的实根、②相等的实根λ、③共轭复根时，方程的解分别为：x x Be Ae y 21λλ+=，x e Bx A y λ)(+=，)sin cos (x B x A e y x ββα+=，（ βαλi i ±=）(2.1.5)例1：（常系数微分方程）求034=+'-''y y y 的解解：由特征方程0342=+-λλ得特征根为11=λ与31=λ，则原方程有解：x x Be Ae y 3+=▲欧拉方程的解 二阶欧拉方程为：02=+'+''by y x a y x (2.1.6)式中a 、b 为常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x 2 y x y ( x 2 n2 ) y 0
(1 x 2 ) y 2 x y y 0
d d y k( x) 它们也是方程 q ( x) y ( x) y 0 , dx d x
2
Bessel Equation . Legendre Equation .
深圳大学电子科学与技术学院
2. 分离变量法的实质
将时间变量 t ，视为参变量； 将空间变量 x ，按本征函数展成 Fourier 级数。 适用范围： （1） 泛定方程与边界条件为线性； （2） 边界条件为齐次（圆域、圆环域例外）； （3） 区域为有界的、规则的（区域边界易于以简单方程表示）。 3. 按照本征函数系展开的依据 如 1. 中的问题（1）、（3），按照本征函数展开，理所当然。 但是，2. 中的问题本征函数系 sin n x ，而 (
1. 常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数 （1） 有界弦的自由振动
X ( x ) X ( x ) 0
X (0) X ( L) 0
n 2 2 n 2 L
X n ( x) n sin
n x L
（2） 有限长杆上的热传导
X ( x) X ( x) 0
2
n2
n2
L2
X (0) 0 ,
X ( L) h X ( L) 0
X n ( x) Bn sin n x
（3） 圆形域内 Laplace 方程的定解问题
0 ( 2 ) ( )
n
（n 为正整数）
n ( ) an cosn bn sin n
( m n )
对应于不同特征值的特征函数在a,b上带权函数(x)互相正交。
（4 ） 本征函数系 yn ( x) , n 1,2,, n, , 在
a , b 上构成完备系。
即：对于一个任意函数f(x) ，在区间 [a,b]上，只要满足具有一 阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足斯特姆-刘维尔型 方程的边界条件，那么一定可以将f(x)按本征函数系展成绝对 b 且一致收敛的级数。 ( x) f n yn ( x )
n 1
其中
fn
a
n
( x ) yn ( x ) d x
2 a
b
上述本征值问题的结论是相当广泛的，数学物理方程中所涉 及的本征本征值问题，几乎都是它的特例。
深圳大学电子科学与技术学院
在用球坐标以及柱坐标分离变量，求定解问题时，需要讨论如下方程
2 n 2 12 2
L
2
,
L
2
,,
2 n
L
2
, )
情况又将会怎样呢？
深圳大学电子科学与技术学院
回答是肯定的。若本征函数系是一个正交、完备系，也可以按 Fourier 级数展开。 特别考虑如下方程：
通常称之为 Sturm-Liouville （斯特姆-刘维尔） 型方程。有关的本征值问题的一些结论，相应 地称为：斯特姆-刘维尔理论。
2
到此为止，所求解的各种问题只牵涉具有边界的空间。但 这并不意味分分离变量法就不可以应用于无界空间。事实上， 稍加推广还是可以应用的。所说的推广，指的是间断的本征值 为连续本征值所取代，线性叠加为积分所取代。
深圳大学电子科学与技术学院
实施分离变量法应该注意的几个问题：
一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域→极坐标系； 圆柱形区域→柱坐标系； 球形区域→球坐标系。 二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法提要:
• • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
参考了孙秀泉教授的课件
§2.6
关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
深圳大学电子科学与技术学院
d d y k ( x ) q ( x) y ( x) y 0 , dx d x
不难看出，以下方程，正是上面方程的特例： 取： k ( x) 1, q ( x) 0, ( x) 1 与之对应的边界条件：
( a x b)
X ( x ) X ( x ) 0
（2） 所有的本征值均不为负，即
n 0 ,
n 1, 2,
（3） 对应于不同本征值的本征函数在
a , b 上互相正交。即
深圳大学电子科学与技术学院
m n
ym ( x ) , yn ( x )
b
为任意两个不同的本征值 对应的两个本征函数
m
则有：
( x) y
a
( x ) yn ( x ) d x 0 ,
(a x b) 的特例。
例如： k ( x) x, q ( x) n , ( x) x x 2 y x y ( x 2 n2 ) y 0
x
k ( x) 1 x 2 , q ( x) 0, ( x) 1 (1 x ) y 2 x y y 0
( a x b)
y(a )
对于上述问题的本征值，有结论如下： （1） 存在无穷多个实的本征值，并经适当调换，可以构成一个非递减 数列
1 2 n n1
y1 ( x ) y2 ( x )
yn ( x ) yn1 ( x )
——对应有无穷多个本征函数。
y( x) h y( x) xb 0
y(a )
深圳大学电子科学与技术学院
d y d k( x) q ( x) y ( x) y 0 , d x dx y( x) h y( x) xb 0