数学《当代中学生报》

《当代中学生报》2014年高考泄露天机数学一、选择题1、已知集合{}{}22,0,1(2)xM y y x N x y g x x ==>==-，则M N 为( )、（A ）（1，2） （B ）),1(+∞ （C ）),2[+∞ （D ）),1[+∞2、设i 是虚数单位，若复数z 满足32zi i =-，则z =( )、（A ）32z i =+ （B ）23z i =- （C ）23z i =-- （D ）23z i =-+ 3、命题“对任意x R ∈，均有2250x x ≤－＋”的否定为( )、（A ）对任意x R ∈，均有2250x x ≥－＋ （B ）对任意x R ∉，均有2250x x ≤－＋ （C ）存在x R ∈，使得2250x x >－＋ （D ）存在x R ∉，使得2250x x >－＋ 4、甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生( )、（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，50人，10人 （C ）20人，30人，40人 （D ）30人，45人，15人5、函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫=⎪+⎝⎭的图象大致是( )6、设函数()3)cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图象关于直线0x =对称，则( )、（A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 （B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数7、 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )(A)36 (B)312 (C) 318 (D) 3248、已知直线⊥l 平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题,其中正确的是( )、 ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l（A ）①③ （B ） ②③④ （C ） ②④ （D ） ①②③ 9、已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+( )、 （A ）2 （B ）322- （C ） 322+ （D ）3 10、已知向量()()3sin ,cos 2,12sin ,1,,22ππαααα⎛⎫==--∈⎪⎝⎭，a b 若85⋅=-，a b 则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为( )、（A ）17 （B ）27 （C ）17- （D ） 27- 11、 如图，已知(,)P x y 为△ABC 内部（包括边界）的动点，若目标函数y kx z +=仅在点B 处取得最大值，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）)43,2(- （B ）)21,2(-（C ）),21()2,(+∞--∞ （D ）),43()2,(+∞--∞ 12、设△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA的取值范围是 （A ）(0,)+∞ （B ） 510,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭（C ） 5151,22⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 51,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭13、 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A B 、为焦点，且过C D 、两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为( )（A ）3＋1 （B ）23＋2 （C ）3－1 （D ）23－2xyO)1,1(C )5,3(B )4,5(A14、若在区间[]1,5和[]2,6内各取一个数，分别记为a 和b ，则方程()22221x y a b a b-=<表示离心率小于5的双曲线的概率为( )、（A ）12 （B ）1523 （C ）1732 （D ）313215、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的图象如图所示,则AB ·BD =( )、（A ）8 （B ） －8 （C ）288π-（D ）288π-+16、、△ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin (3cos sin )cos C A A B =+成立的( )、（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 17、对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足20'()xf x -≤，则必有( )、 （A ）)2(2)3()1(f f f <+ （B ）)2(2)3()1(f f f ≤+ （C ）)2(2)3()1(f f f >+ （D ）)2(2)3()1(f f f ≥+18、已知点A B C 、、三点不共线，且有332BC CACA AB AB BC ⋅⋅⋅==-，则有( )、(A)AB CA BC << (B)BC CA AB << (C)CA BC AB << (D)BC AB CA <<19、（文科）将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表、对于某一个数表,计算某行或某列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”、当2n =时,数表的所有可能的“特征值”的最大值为( )、（A ）32 （B ）43（C ） 2 （D ） 3 20、若定义在区间[]2015,2015-上的函数)(x f 满足：对于任意的[]12,2015,2015x x ∈-，都有1212()()()2014f x x f x f x +=+-，且0>x 时，有()2014f x >，)(x f 的最大值、最小值分别为N M ,，则N M +的值为( )、（A ）2014 （B ）2015 （C ）4028 （D ）4030 二、填空题21、 曲线21xy xe x =++在点()0,1处的切线方程为 、22、、（文科）设集合{,1},{,1,2},,{1,2,3,4,5,6,7}P x Q y x y ==∈，且P Q ⊆，在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，若该点落在圆2222()x y R R Z +=∈内的概率为25，则满足要求的2R 的最小值为 ． 23、如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD DC ==，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,(1)DQ DC CP CB λλ==-，则AP AQ ⋅的取值范围是 ．24、已知直线x t =交抛物线24y x =于,A B 两点、若该抛物线上存在点C ，使得AC BC ⊥，则t 的取值范围为_________、25、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足bc a c b=-+222，0AB BC ⋅>,32a =, 则22b c +的取值范围是 、 26、在数列{}n a 中，113a =，n S 为数列{}n a 的前项和且(21)n n S n n a =-，则 ________.n S =27、一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11BC 的中点、AB CA 1B MNaa主视a a左视aa俯视C下列结论中正确的是_________、（填上所有正确项的序号） ①线MN 与1AC 相交；②MN BC ⊥；③MN //平面11ACC A ； ④三棱锥1N A BC -的体积为 28、若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 、 29、设函数()f x 的定义域为D ，如果x D ∀∈，存在唯一的y D ∈，使()()2f x f y C +=（C 为常数）成立。

则称函数()f x 在D 上的“均值”为C 、已知四个函数：①3()y x x R =∈；②1()2xy =()x R ∈；③ln ((0,))y x x =∈+∞；④2sin 1().y x x R =+∈上述四个函数中，满足在定义域上的“均值”为１的函数是 ．（填上所有满足条件函数的序号）三、解答题31、已知向量),cos ,x x =a 向量()sin ,cos ,x x =b 记().f x =⋅a b（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域、32、在△ABC 中，5=BC ，A C AC sin 2sin ,3==、 (1)求AB 的值； (2)求πsin(2)4A 的值．33、已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2n n S a =-、在等差数列{}n b 中，14b =，且21b -是11b -与41b -的等比中项、(1)求n a 和n b ， (2)记nn nb c a =，求{}n c 的前n 项和n T 、 34、（文）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ．其范围为[]100，，分别有五个级别：[)2,0∈T 畅通;[)4,2∈T 基本畅通;[)6,4∈T 轻度拥堵;[)8,6∈T 中度拥堵；[)10,8∈T 严重拥堵．在晚高峰时段(2≥T )，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？(2)用分层抽样的方法从交通指数在[)[)[]10,88,66,4，，的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．35、（文）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点,O EC ⊥底面，为的中点、(1)求证：平面；(2)若AB =，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EGEO的值；若不存在，请说明理由、36、某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为20)2100x k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元．（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？37、已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >、设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方、（1）求k 的取值范围；（2）设C 为W 上的一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D 、 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由、38、 数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为n S ，且a S t S n n +⋅=+1（0≠t ）．设1+=n n S b ，n n b b b k c ++++= 21（k +∈R ）．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）当1=t 时，若对任意*N ∈n ，||||3b b n ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列.39、已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，且经过点1(3,)2M -，圆2C 的直径为1C 的长轴、如图，C 是椭圆短轴的一个端点，动直线AB 过点C 且与圆2C 交于,A B 两点，CD 垂直于AB 交椭圆于点D 、（1）求椭圆1C 的方程；（2）求△ABD 面积的最大值，并求此时直线AB 的方程、40、（文）设函数2()ln f x ax x =+、（1）求()f x 的单调区间；（2）设函数()(21)g x a x =+，若当(1,)x ∈+∞时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围。