求极限13种方法

求极限的 13种方法（简叙）

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限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终， 极限思想亦是高等数学的核心与 基础， 因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。 本篇较为全面地介绍了

求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多 变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母

有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。

n

例 1、求极限 lim (1 a)(1 a 2

)...(1 a 2

) ，其中 a 1 n

分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，

n

因为 (1 a)(1 a 2

)...(1 a 2

)

1

(1 a)(1 a)(1 a 2 )...(1 a 2

1a

1

2 2

2

n

(1 a 2)(1 a 2

)...(1 a 2

) 1a

1 2

n 1

11a

(1 a 2

)

2

2n

0,从而 lim (1 a)(1 a 2

)...(1 a 2

)=

n

1 a

二、利用变量代换求极限

利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量， 提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

此， 应先对其进行恒等变形。

n 时

2n 1

2

n 1

a 2

例 2、求极限 lim x 1

，其中 m,n 为正整数。

x 1n

x 1

分析 这是含根式的（ 0

）型未定式，应先将其利用变量代换进行化

简，再进一步计算极限

1

解 令 t x mn

,则当 x 1时，t 1

三、利用对数转换求极限

原式

=

lim e

(cos x 1)csc 2

x e

xo 四、利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例 4、求极限 l n im n n !

n n n

分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使 用夹逼准则。 解 因为 o n n

! 1 2 n 1 n 1

，

n n n n n n 且不等式两端当趋于无穷时都以 0为极限，所

以 l n im n n !

=0 n n n

五、利用单调有界准则求极限

利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式

原式=l t im

1 t

t

lim (t 1)(t t 1

(t 1)(t n1

m1

t n 2

... 1) t m 2

...

t n1

t n 2 ... 1 t m 1 t m 2 (1)

利用对数转换求极限主要是通过公式 u v

e lnuv

,进行恒等变形，特别

的情形，在（ 1 ）型未定式时可直接运用 (u 1)

v

e

例 3、求极限

l x im o

(cosx)

csc 2

x

1

2 sin x lim

2

2

x 0

sin 2

x n 1 f (x n )的数列极限。在确定

l n

im x n 存在的前提下，可由方程

A=f(A) 解出 A ，则

l n

im x n =A 。

n n

1a

例 5、设 a 0,x

1

0,x

n 1

(3x

n 3

)

，(n=1,2,⋯),求极限 l n im

x n

4 x n

n

分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界 准则。

1a

解 由a 0,x 1 0,x n1

(3x n 3)易知 x n 0

4 x n 3 n

根据算术平均数与几何平均数的关系，有

数列 x n 有下界 4

a ，即对一切 n 1,有 x n a

x x n n 1 1

4

(3 x a n 4) 14(3 a

a ) 1

所以 x n 1 x n ,即数列单调减少。由单调有界准则知数列 x n

有极限 现设

l n

im

x n =A, 则由极限的保号性知 A a

0.

1

a 1

a

对式子

x

n 1 4(3x n x 3

) 两边同时取极限得 A

4(3A

A 3)

解得 A=4 a

,即l n im

x n =4 a

(已舍去负根)

六、利用等价无穷小求极限

利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简 便、快捷的方法。 学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵

x

n 1

4

1

(x n x n x

n x a n 3

) 4 x n x n x n

x a n 3

4

a

所以，