平面与平面垂直的判定ppt课件
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人教版高中数学必修2《平面与平面垂直的性质》PPT课件
3，∴h＝
3 2.
在△BCD 中，BF＝BD·cos 60°＝2×12＝1，DF＝BD·sin 60°＝ 3，∴DC＝2 3，
故 S△BCD＝12BF·DC＝12×1×2 3＝ 3.
∴VD-BCG＝VG-BCD＝13S△BCD·h＝13× 3× 23＝12.
[方法技巧] (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化．因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键． (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则．解题时， 要通过几何图形自身的特点，如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、 菱形的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问 题，注意应用转化思想解决问题．
【对点练清】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平 面 PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ 22AB.求证： (1)AD∥平面 PBC； (2)平面 PBC⊥平面 PAD. 证明：(1)∵BC∥平面 PAD，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD， ∴BC∥AD. ∵AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，∴AD∥平面 PBC.
若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α 成立，则②α⊥β 一定成立； 若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α 成立，则①m⊥n 一定成立． ∴①③④⇒②(或②③④⇒①)． 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
• 题型二 垂直关系的综合应用
• [探究发现]
• 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关 系．
提示：在线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化中．每一种垂直的
判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
平面与平面垂直的定义及判定课件
解析步骤
首先求出直线的方向向量，然后求 出平面的法向量，最后计算它们的 点积。如果点积为0，则直线与平 面垂直。
总结
在复杂情况下，需要求出方向向量 和法向量，并通过计算点积来判断 垂直关系。
例题三：特殊情况下的判定
题目描述
给定一个平面和一个点，判断点是否在平面的一侧，并且与平面垂直。
解析步骤
首先计算点到平面的距离，如果距离为0，则点在平面上；如果距离大于0且点到平面上 任意一点的连线的方向向量与平面法向量的点积小于0，则点在平面的一侧且与平面垂直 。
06
CATALOGUE
课堂小结与作业布置
课堂小结回顾重点难点
平面与平面垂直的定义
回顾定义，强调两平面垂直时，其法向量互相垂直的性质。
判定定理
总结判定定理，强调通过直线与平面垂直来判定平面与平面垂直的 方法。
解题技巧
总结解题过程中需要注意的问题和技巧，如寻找关键线面、证明线 面垂直等。
布置课后作业及要求
推论
介绍由判定定理可以得出的推论，如一个平面内任意一直线与另一个平面垂直 ，则两平面垂直等。
02
CATALOGUE
判定方法详解
直接判定法
定义
注意事项
如果一个平面内的一条直线垂直于另 一个平面内的两条相交直线，则这两 个平面互相垂直。
要确保所选的直线确实在两个平面内 ，并且它们垂直和相交。
判定步骤
总结
在特殊情况下，需要计算点到平面的距离和点到平面上任意一点的连线的方向向量与平面 法向量的点积来判断点与平面的垂直关系。
04
CATALOGUE
学生互动环节
学生提问及回答
提问1
如何证明两个平面垂直 ？
两个平面垂直的判定与性质(第1课时)课件
例2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必
已 在第:一 个知 平,P 面 内,.P a ,a .求 :a 证 .
P
ba
ba
c
cP
例 3.A B 是 圆 O 的 直 径 ,点 C 是 圆 O 上 的 动 点 ,过 动 点 C 的 直 线 V C 垂 直 于 圆 O 所 在 平 面 ,D ,E 分 别 是 V A ,V C 的 中 点 .直 线 D E 与 平 面 V B C 有 什 么 关 系 ?试 说 明 理 由 .
1.两平面垂直的定义
B
如果两个平面所成的二面角
A
lO
是直二面角，那么我们称这 两个平面相互垂直.
记作：
画法：
2.两个平面垂直的判定方法
两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经
过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面
垂直 线面垂直
面面垂直
想一想
用判定定理 的关键是
一找 二证
建筑工人在砌墙时,为什么常用
∩
已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD，AB α，
AB⊥CD. 求证：AB⊥β
A
证明：在平面β内过B点作BE⊥CD，
又∵AB⊥CD，
C
B
D
∴∠ABE就是二面角
α—CD—β的平面角，
E
∴∠ABE=90。 即AB⊥BE
又∵CD∩BE=B， ∴AB⊥ β.
性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
思考:
1. 如图, AC是圆O的直径, B是圆O上的点, PA垂直于圆O 所在平面, 在平面PAB、PBC、PCA和ABC中, 互相垂直的 平面有哪些?
平面与平面垂直的判定 课件
[解析] 如图，连接AC、BC，∵AB是⊙O的直径，则BC⊥AC．
又 PA ⊥ 平 面 A B C ， B C ⊂ 平 面 A B C ， ∴ PA ⊥ B C ， 而 PA ∩ A C ＝ A ， ∴ B C ⊥ 平 面 PA C ， 又 B C ⊂ 平 面 P B C ， ∴ 平 面 PA C ⊥ 面 P B C ．
『规律方法』 证明平面与平面垂直的方法：
(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角 为直角．
(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂 直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面面垂直．
(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”．
又 AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面 PBC． 又 BC⊂平面 PBC，∴AP⊥BC． 又 AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面 PAC． 又 BC⊂平面 ABC，∴平面 PAC⊥平面 ABC．
(2)∵PA⊥PC，且 PA⊥PB， ∴∠BPC 是二面角 D－AP－C 的平面角． 由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC， ∴sin∠BPC＝BPCB＝25．
( 3 ) 因 为 PA ⊥ 平 面 A B C D ， 所 以 A B ⊥ PA ， A C ⊥ PA ． 所 以 ∠ B A C 为 二 面 角 B － PA － C 的 平 面 角．
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°． 所 以 二 面 角 B － PA － C 的 平 面 角 的 度 数 为 4 5 ° ． (4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．由题意知 △PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE． 所以∠DEP＝∠BEP＝90°， 且BE＝DE． 所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角． 又 PA ⊥ 平 面 A B C D ， 所 以 PA ⊥ B C ． 又 A B ⊥ B C ， PA ∩ A B ＝ A ，
《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
平面与平面垂直的判定课件
ABCD⊥平面BDD1B1.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
两个平面相互垂直 PPT
两个平面互相垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面相互垂直.
记作:
面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直.
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线面垂直 关键：找垂直平面的线
面面垂直
结合图形，两个平面垂直的判定定 理用符号语言怎样表述？
β l
α
l ,l
例:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
C
A
•O
B
例 如图，四棱锥P-ABCD的底面为
矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为
AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
A
M
B
例 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠ BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
D
C
B
E
A
两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面相互垂直.
记作:
面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直.
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线面垂直 关键：找垂直平面的线
面面垂直
结合图形，两个平面垂直的判定定 理用符号语言怎样表述？
β l
α
l ,l
例:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
C
A
•O
B
例 如图，四棱锥P-ABCD的底面为
矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为
AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
A
M
B
例 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠ BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
D
C
B
E
A
平面与平面垂直的判定定理ppt课件
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
最新版整理ppt
1
复习引入
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
(3) 二面角的画法和记法：面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
最新版整理ppt
C 二面角C－AB－ D
B D
A
6
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得:
AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形,
D C
即有BAC 600.
B
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12
例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
如图，OAl,OBl ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A'
A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
O' O
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1
复习引入
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
(3) 二面角的画法和记法：面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
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C 二面角C－AB－ D
B D
A
6
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得:
AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形,
D C
即有BAC 600.
B
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12
例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
如图，OAl,OBl ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A'
A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
O' O
平面平面垂直的判定及其性质ppt课件
4.过平面α的一条平行线可作___一_个平 面与α垂直.
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点， ABCD求证：(1) PC⊥平面BDE；
是正方形，
(2)平面PAC⊥BDE. P
E
D
C
A
O B
面面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平
面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一 个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：l l
α β
αβ
l
B
A
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
10.4.(3)平面与平面 垂直的判定
复习回顾
1．二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做 二面角的面．
棱为l，两个面分别为、的
二面角记为 -l- ．
l
二面角－AB－
A
二
面
角
B
的
表
示
l
二面角C－AB－ D
C B D
A
二面角－ l－
A
B
O
归纳：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算.
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点， ABCD求证：(1) PC⊥平面BDE；
是正方形，
(2)平面PAC⊥BDE. P
E
D
C
A
O B
面面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平
面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一 个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：l l
α β
αβ
l
B
A
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
10.4.(3)平面与平面 垂直的判定
复习回顾
1．二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做 二面角的面．
棱为l，两个面分别为、的
二面角记为 -l- ．
l
二面角－AB－
A
二
面
角
B
的
表
示
l
二面角C－AB－ D
C B D
A
二面角－ l－
A
B
O
归纳：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算.
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平面的斜线和平面所成的角的取值范围：
( 0o, 90o )
O
1
A
B
2
3
新课讲授：
1 半平面定义 （1）半平面:平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
（2）二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所 α
l
组成的图形叫做二面角，这条直
线叫做二面角的棱，每个半平面 l
叫做二面角的面．
AB 面BCD 面ABD 面BCD
CD 面ABC 面ABC 面ACD
B
D
C
23
小结 一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
二、二面角的平面角
1、定义 2、求二面角的平面角方法
①点P在棱上—定义法
α
ι
β
ι αβ
γP
B A
②点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
β
B
p
B
③ 平面角是直角的二面角叫 直二面角．
8
5. 平面与平面垂直
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二
面角，就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直， 记作⊥.
9
小结:二面角的平面角的作法
2、垂面法
1、定义法
作与棱垂直的平面与
根据定义作出来
两半平面的交线得到
P
B
A
lO
10
寻找平面角 S
D1
C1
B1 A1
p
A
B
O
α
ι
A
24
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理
2、线线垂直 线面垂直面面垂直
25
▪ A： ▪ B：
作业
26
2）角的两边分别在二面角的两个面内
B
A
B1
A1
3）角的两边分别垂直于二面角的棱
7
4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来度量．二面角
的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o；
② 二面角的两个面合成一个
A
平面：180o；
O
二面角的范围：[ 0o, 180o ]．
D1 A1
C1 B1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
D
C 面A1B 面AD1
A
B
面面垂直 线面垂直 线线垂直
18
探究1：
D1 A1
C1 B1
D
C
BC1 B1C
BC1 A1B1 B1C I A1B1 B1
A
B1C
平面A1B1CD
BC1 BC1
B
平面A1B1CD 平面ABC1D1
怎样在度二量面二角面角-l-的的大棱小l上？任能取否一转点化O为，两如相图交，直在线半
平所面 成的 角和？内，从点 O 分别作垂直于
棱 l 的射线OA、OB，射线OA、OBl
组成∠AOB．则 ∠AOB 叫做 O
二面角 -l- 的平面角 ∠AOB的大小一定．
O1
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在二面角的棱上
(2)日常生活中平面与平面垂直的例子? 13
14
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
β
a
符号:
A α
a a 面
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直
线面垂直
面面垂直
15
线面垂直判定定理：
l
B
m
nA
mα
n α
m ∩ n = B
l ⊥α
l⊥m
l⊥n 16
P76 例3
N
M
A
D C
A
B
端点
B
DC
中点
11
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求二面角B1-AC-B大小的正切值.
C1
D1
B1
A1
C
D
O
B
A
12
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
a
A
b
α
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢?
证明: 设已知⊙O平面为α Q PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC
PA BC
AC BC PAI AC A PA 面PAC
AC 面PAC
BC 面PAC
BC 面PB：如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
A1B 平面A1B1CD
平面ABC1D1 平面A1B1CD
19
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
20
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
21
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
22
探究2： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD A
复习、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
la
l b a
l
b
a b A
l
b
Aa
作用：判定直线与平面垂直．
简述：线线垂直，则线面垂直
1
复习回顾 两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ] 直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]
棱为l，两个面分别为、的二面 角记为 二面角-l- ．
4
二面角的表示
（1）以直线l 为棱，以 , 为半平面的二面角 记为：二面角 l
（2）以直线AB为棱，以 , 为半平面的二面角记 为：二面角 AB
l
B
A
5
3．画二面角
⑴ 平卧式：
A
l
A
l B
B
⑵ 直立式： A l
B
6
4．二面角的大小