第四章应力与应变关系本构方程

(C11
C22 )
x C11 x C12 y C13 z
y C12 x C11 y C13 z
z C13 x C13 y C33 z
xy
1 2
(C11
C12 ) xy
yz C55 yz
zx C55 zx
如:层向垂直Z轴,则:
x
x
E
y
E
z
E
y
y
E
x
E
z
E
z
z
E
y
E
x
E
xy
2(1 E
) xy
yz
yz
G
zx
zx
G
4－5 各向同性体的本构方程
各向同性材料，弹性常数有2个
C12 C13 C44 C55
x 2x y 2 y z 2z xy xy yz yz zx zx
C11 C33 2
性常数 3. 对于正交各向异性材料，弹性常数有9个 4. 对于层向同性材料，弹性常数有5个 5. 对于各向同性材料，弹性常数有2个
Cmn Cnm
4－3 正交各向异性体的本构方程
对于正交各向异性材料，弹性常数有9个
C15 C16 C25 C26 C35 C36 C45 C46 0 C14 C24 C34 C65 0
x
x
E
y
E
z
E
y
y
E
x
E
z
E
z
z
E
y
E
x
E
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
常数关系:
E (1 )(1 2 )
E G 2(1 )
4－2 应变能、应变能与弹性常数的关系
一、弹性体的变形能原理
外力在变形过程中作功，弹性体内部的能量也要相应 的发生变化 外力在变形过程中作功，全部转化为变形能（无热能损失）
UA
单位体积的变形能，即应变能
U0 U0 ( x , y , z , xy , yz , zx )
二、弹性体内力的功
xxdxdydz 1. 正应力作的功： y ydxdydz
因应变能是应变分量的单值连续函数，全微分形式
U 0
U 0
x
x
U 0
y
Hale Waihona Puke Baidu
y
U 0
z
z
U 0
xy
xy
U 0
yz
yz
U 0
zx
zx
则得：
四、弹性常数之间的关系
Cmn Cnm
36个常数就变为21个常数 1. 对于完全的各向异性弹性体，有21个弹性常数 2. 对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，具有13个弹
zzdxdydz
xy xydxdydz 2. 剪应力作的功： yzyzdxdydz
zx zxdxdydz
则，单元体积上内力的功：
A x x y y z z xy xy yz yz zx zx
三、格林公式
U0 A xx y y zz xy xy yzyz zx zx
本构方程：
x
x
Ex
xy y
Ey
xz z
Ez
y
y
Ey
yx x
Ex
yz z
Ez
z
z
Ez
zy y
Ey
zx x
Ex
xy
xy
Gxy
yz
yz
Gyz
zx
zx
Gzx
4－4 层向同性体的本构方程
层向同性材料，弹性常数有5个
C11 C12 C13 C23 C55 C66
C44
1 2
第四章 应力与应变关系 本构方程
4―1 4－2 4－3 4－4 4－5
广义虎克定律 应变能、应变能与弹性常数的关系 正交各向异性体的本构方程 层向同性体的本构方程 各向同性体的本构方程
4―1 广义虎克定律
一、单向虎克定律
E
二、广义虎克定律的一般形式
广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。