高二数学空间直线和平面单元练习
高二数学下第九章直线平面与简单几何体测试题
《直线、平面、简单几何体》复习测试一:选择题1.若a 、b 是异面直线，直线c ∥a ，那么b c 与 （ ）(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C) 不可能是相交直线 (D)不可能是平行直线 2．两两互相平行的直线a 、b 、c 可以确定平面的个数是（ ）（A ）．1或3 （B ）．1 （C ）．3 （D ）．4 3. 右图用符号语言可表述为（ ）(A) m =βαI ，α⊂n ，m A ⊂，n A ⊂ (B) m =βαI ，α∈n ，A n m =I (C) m =βαI ，α⊂n ，A n m =I (D) m =βαI ，α∈n ，m A ∈，n A ∈ 4.下列关于直观图画法的说法不正确的是（ ）.A 原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度不变.B 原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变.C 画与直角坐标系xoy 对应的y o x '''时，角y o x '''∠可以画为︒135 .D 在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同5．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知三条不重合的直线m 、n 、l 与两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若l ⊥α，m ⊥β且l ∥m ，则α∥β；③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确的命题个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知平面α与β所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有( )（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条8.长方体1111D C B A ABCD -的长，宽，高分别是3，2,1，从A 到1C 沿长方体表面的最短距离是A.31+B.102+C.23D.329.正方体1111D C B A ABCD -中，1BC 与截面D D BB 11所成的角是A.3π B.4π C.6π D.2arctan 10.直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是A.一个平面B.一条直线C.两条直线D.空集11. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( )(A)若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. (C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.12.有四个命题：① 当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆； ② 过球面上两点只能作一个球大圆；③ 过空间四点总能作一个球； ④ 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有 A.0个 B1个 C.2个 D.3个 13.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，则三棱柱的体积为A.B.C.D.14.在底面边长与侧棱长均为a 的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知M 为A 1B 1的中点，则M 到BC 的距离是A.419a B.215a C.25a D.27a15．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4,4,7，若此三棱锥的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是 ( )A ．81πB ．36π C.814π D ．144π16．已知三棱锥P －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2.则二面角P －BC －A 的大小为 ( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π3二、填空题17．一个正方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、 E 、F ，右图是此立方体的两种不同放置，则 与D 面相对的面上的字母是 。
高中高二数学练习卷平面与空间直线练习试题
高二数学同步检测一平面与空间直线说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答 .第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10 小题 ,在每题给出的四个选项中,选择一个切合题目要求的选项）1.列命题是真命题的是()A.空间不一样三点确立一个平面B.空间两两订交的三条直线确立一个平面C.四边形确立一个平面D.和同向来线都订交的三条平行线在同一平面内答案 :D分析 :依据公义3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同向来线上的三点,才能确立一个平面 ,因此 A 错 .如图 (1),a,b,c 三条直线两两订交,但 a,b,c 不共面 ,因此 B 错误 .如图 (2),明显四边形ABCD 不可以确立一个平面.2.已知 AB ∥PQ,BC ∥QR,∠ ABC=30 ° ,则∠ PQR 等于 ()A.30 °B.30 °或 150°° D.以上结论都不对答案 :B分析 :由等角定理可知∠PQR 与∠ ABC 相等或互补 ,即∠ PQR=30°或 150°.3.如右图 ,α∩ β =l,A ∈ β ,B∈ β ,AB ∩ l=D,C ∈α ,则平面 ABC 和平面α的交线是 ()A. 直线C.直线ACABB. 直线D.直线BCCD答案 :D分析 :CD 为平面 ABC 与平面α的交线 .应选 D.4.如图 ,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,而且是所在棱的中点,则直线PQ 与RS 是异面直的是 () 答案 :C分析 :A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS订交;由两条直异面的判断定理可知中的 PQ 与 RS 异面 .5.“ a,b 是异面直”的表达，正确的选项是()①a∩ b=且a不平行于b② a平面α ,b平面β 且α ∩β =③ a平面α,b α④不存在平面α,使a平面α 且b平面α 建立A. ①②B.①③C.①④D. ③④C 平面答案 :C分析 :依据“异面直是不一样在任何一个平面内的两条直”的定知,④正确.空不相交的两条直除平行外就是异面 ,故于① ,既然两直不平行 ,必定异面 .分在两个平面内的两条直可能平行 ,故②不正确 .平面内的一条直和平面外的一条直除异面外可能平行或订交 ,故③不正确 .上所述 ,只有①④正确 .6.右是一个无盖的正方体盒子睁开后的平面，体盒子中，∠ ABC 的⋯ ()A 、 B、 C 是睁开上的三点，在正方A.180 °°°°答案 :C分析 :把平面形原立体形，找准 A 、 B 、C 三点相地点,可知∠ABC 在等△ABC 内.7.在空四形ABCD 中,M,N 分是AB,CD 的中点, BC+AD=2a, MN 与 a 的大小关系是( )A.MN>aB.MN=aC.MN<aD.不可以确立答案 :C分析 :如图,取AC中点P,则MP 1 1故 C 正确 . 2BC,NP AD, 且 MP+NP= (BC+AD)=a>MN,28.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD —A 1B1 C1D 1中， O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是CC1、 AD 的中点，那么异面直线OE 和 FD 1所成的角的余弦值等于 ()10 15 4 2A. B. C. D.5 5 5 3答案 :B分析一 :如图 (1),取面 CC1D1D 的中心为 H，连接 FH 、D 1H.易知 OE∥ FH ，因此∠ D 1FH 为所求异面直线所成的角 .在△ FHD 1中，FD 1= 5， FH=3， D1H=2由余弦定理，得∠D 1FH 的余弦值为15 .2 2 2 5分析二 :如图 (2),取 BC 中点为 G.连接 GC1、 FD1,则 GC1∥ FD1.再取 GC 中点为 H, 连接 HE 、OH，则∠ OEH 为异面直线所成的角 .在△ OEH 中， OE= 3 ,HE= 5，OH= 5 .2 4 4由余弦定理，可得cos∠OEH= 15. 59.空间有四点 A,B,C,D, 每两点的连线长都是2,动点 P 在线段 AB 上 ,动点 Q 在线段 CD 上 ,则P,Q 两点之间的最小距离为( )B.3C. 2D. 3 2答案 :C分析 :PQ的最小值应是AB,CD 的公垂线段长 .易知 P,Q 分别是 AB,CD 中点时 ,PQ⊥ AB,PQ ⊥CD.在 Rt△ BQP 中 ,∵BQ= 3 ,BP=1,∴PQ= 3 1 = 2 .10.右图是正方体的平面睁开图,则在这个正方体中:①BM 与 ED 平行 ;② CN 与 BE 是异面直线 ;③ CN 与 BM 成 60°角 ;④ DM 与 BN 垂直 .以上四个命题中,正确命题的序号是()A. ①②③B. ②④C.③④D.②③④答案 :C分析 :将上边的睁开图复原成以下图正方体.简单知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①②不正确 .由于 BE∥ CN, 因此 CN 与 BM 所成的角是∠ EBM=60 ° ,延伸 CD 至 D ′,使 DD ′=DC, 则D ′N ∥ DM, ∠ BND ′就是 DM 与 BN 所成的角 .设正方体的棱长为 1,由于 BN= 3 a,ND ′ = 2 a,BD′= 5 a,因此BN2+D′N2=D′B2,即BN⊥ND′,BN⊥DM.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题 ,答案需填在题中横线上）11.以下四个命题 :①A ∈ l,A ∈ α,B∈ l,B∈ αl α;②A ∈ α,A∈ β,B∈ α,B∈βα∩β =AB;③l α,A∈ l A a;④A,B,C ∈ α,A,B,C∈ β,且 A,B,C 不共线α与β重合.此中推理正确的序号是__________.答案 :①②④分析 :由公义 1 知①正确 ;由公义 2 知②正确 ;由公义 3 知④正确 ;而③中直线 l 可能与平面 α 订交于 A.故③不正确 .12.空间四条直线 ,两两订交可确立平面的个数最多有 ____________ 个.答案 :6分析 :明显 ,任两条订交直线若都能确立一个平面 (不重复 ),此时平面个数最多 .如图 ,平面 PAB, 平面PAC,平面 PAD,平面 PBC,平面 PCD,平面 PBD, 共 6 个. 13.(2006 全国要点中学一模 ,11)给出三个命题 :①若两条直线和第三条直线所成的角相等 ,则这两条直线相互平行 ; ②若两条直线都与第三条直线垂直 ,则这两条直线相互平行 ; ③若两条直线都与第三条直线平行 ,则这两条直线相互平行 . 此中不正确的序号是 __________. 答案 :①②分析 :在以下图的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中 ,A 1D 1⊥ D 1D,C 1D 1⊥ D 1D,即 A 1D 1 与 D 1D,C 1D 1 与 D 1D 所成的角都是 90°,但 A 1D 1 与 C 1 D 1 不平行 ,可知①②不正确 ,由公义 4 可知③正确 . 14.在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，假如 E 、 F 分别为 AB 、CC 1 的中点，那么异面直线 A 1C与 EF 所成的角等于 _______________. 答案 :arccos23分析 :延伸 AA 1 到 P ，使 A 1P=1 AA 1，2连接 PF ，则 PF ∥ A 1C ，设 A 1A=a.则 PE 2=( 3a)2+( 1a)2=102 2 4 EF 2=( 1 a)2+a 2+( 1 a)2 = 6224a 2，a 2 ，PF 2=A 1C 2=3a 2 .3a 2 6 a 2 10 a 2∴cos ∠ PEF=4 4 2.2 3a6 a 322∴直线 A 1C 与 EF 所成的角等于 arccos.3三、解答题（本大题共 5 小题 ,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.已知正方体ABCD — A 1B1C1D 1中， E、 F 分别是 D1C1、 B1C1的中点， AC∩BD=P ，A 1C1∩ EF=Q，求证：(1)D 、 B、 F、 E 四点共面；(2)若直线 A 1C 交平面 DBFE 于点 R，则 P、 Q、 R 三点共线 .(1)证法一 :∵ EF 是△ D 1B1 C1的中位线 ,∴EF ∥B 1D 1.在正方体 AC 1中， B1 D1∥ BD,∴E F ∥BD.由公义 3 知 EF 、BD 确立一个平面,即 D 、B、 F、 E 四点共面 .证法二 :延伸 BF,CC1交于点 G,延伸 DE,CC 1交于点 G′ .G 与 G′重合 DE,BF 是订交直线D,B,F,E 四点共面 .(2)证明 :正方体 ABCD — A 1B1C1D1中，设 A 1ACC 1确立的平面为α ,设平面 DBFE 为β,Q EF Q∵Q 为α、β的公共点.又Q A1C1Q同理 ,P 亦为α、β的公共点 ,R A1C RR∈ PQ,即 P、 Q、 R 三点共线 .∴又 R由公义 2可知评论 :证明多点共线，可先由两点确立向来线，证其他点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法.16.如图，E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边上的点，且有 AE ∶EB=AH ∶ HD=m,CF ∶FB=CG ∶GD=n.(1)证明 E、 F、 G、H 四点共面 .(2)m 、 n 知足什么条件时，EFGH 是平行四边形 ?(3)在（ 2）的条件下，若 AC ⊥ BD ，试证明 EG=FH.(1)证明 :∵AE ∶ EB=AH ∶ HD ，∴ EH ∥ BD.∵C F∶ FB=CG ∶ GD，∴FG∥ BD. ∴ EH ∥ FG.∴ E、 F、 G、H 四点共面 .(2)解 :当且仅当 EH FG 时，四边形 EFGH 为平行四边形 .∵ EH AE m ,∴ EH= m BD.BD AE EB m 1 m 1同理 ,FG= n BD. 由 EH=FG 得 m=n.n 1故当 m=n 时，四边形EFGH 为平行四边形 .(3) 证明 :当 m=n 时， AE ∶ EB=CF ∶ FB,∴ EF∥ AC.又∵ AC ⊥ BD ，∴∠ FEH 是 AC 与 BD 所成的角 .∴∠ FEH=90 ° .进而 EFGH 为矩形，∴ EG=FH.评论 :空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点的连线组成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当两对角线相互垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且相互垂直时 ,该平行四边形为正方形 .M,N,P . 分别在直线a,b,c 上 ,点Q 是b 17.如图 ,a,b,c 为不共面的三条直线,且订交于一点O,点上异于 N 的点 ,判断 MN 与 PQ 的地点关系 ,并予以证明证法一 :(反证法 )假定 MN 与 PQ 共面于β ,则点 M,N,P,Q∈ β .又点 N, Q b b OcO b P同理 ,aβ .∴a,b,c 共面 ,与已知 a,b,c 不共面矛盾 .故 MN 与 PQ 为异面直线 .a b0点M , N , Q共面于 MON证法二 : M又 Q b且异于 NN , Q b点Q MN,OP 平面 MON点 P平面MON.P c故平面 MON 内一点 Q 与平面外一点P的连线 PQ 与平面内可是Q 点的直线MN 是异面直线.18.以下图 ,今有一正方体木材ABCD — A 1B 1C1D1,此中M,N分别是AB,CB的中点,要过D 1,M,N 三点将木材锯开 ,请你帮助木匠师傅想方法 ,如何画线才能顺利达成 ?解: 作法以下 :(1) 连接 MN 并延伸交 DC 的延伸线于 F,连接 D 1F 交 CC 1 于 Q,连接 QN; (2) 延伸 NM 交 DA 的延伸线于 E,连接 D 1E 交 A 1A 于 P,连接 MP;(3) 挨次在正方体各个面上画线D 1P,PM,MN,NQ,QD 1,即为木匠师傅所要画的线 .19. 如 图 ,AB,CD是 两 条 异 面 直 线 ,AB=CD=3a,E,F 分 别 是 线 段 AD,BC上 的 点 , 且ED=2AE,FC=2BF,EF=7 a,G ∈ BD,EG ∥ AB.(1) 求 AB 与 CD 所成的角 ; (2) 求△ EFG 的面积 .解 :(1) ∵ ED=2AE,EG ∥AB, ∴ DG=2BG . ∵ F C=2BF, ∴ FG ∥ DC.∴∠ EGF 即为 AB 与 CD 所成的角或其补角 .∵ A B=CD=3a,EG=2a,GF=a, 又 EF= 7 a,EG 2 GF 2 EF 24a 2 a 2 7a 21 ∴cos ∠ EGF=2EG GF2 2a a.2∴∠ EGF=120° .∴ AB 与 CD 所成的角为 60° .1 (2)S △ EFG = EG ·GF · sin120° 2= 1× 2a × a × sin120°23 2=a .2本卷由《 100 测评网》整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提高.。
高二数学单元测试(空间直线与平面)
高二数学单元测试(空间直线与平面)本次高二数学单元测试的主要内容为空间直线与平面。
本单元测试可以帮助考生更好地理解并应用在数学空间图形中的基本概念。
下文将以空间直线与平面的基本概念为主，充分探讨相关知识，并给出有关练习题。
一、空间直线1. 空间直线的定义空间直线可以用来定义物体空间行走的方向或它们之间的联系。
空间直线定义为在三维空间中连接两个以上点，它沿着一个方向延伸，不会被折叠，可以穿越欧几里得空间中的所有点。
2. 空间直线的构成由若干个点和一条连接它们的直线构成。
直线有无限多个点组成，只要它在三维空间中的两个点之间延伸，就称为空间直线。
3. 空间直线的特点空间直线有着比较明显的特点，即它沿一个方向延伸，可以穿越欧几里得空间中的所有点，并且不会被折叠，它的距离也等于它最远点组成的对角线的距离。
二、平面1. 平面的定义平面是欧几里得空间中的一个特殊超空间，它定义为空间直线的基础物理概念，由空间中的三维超直线组成。
平面可以定义为三个以上空间直线的一维定义的集合。
2. 平面的特征平面具有一定的几何特征，因此它也被称为几何体。
平面的特征有：它有若干等边，每边上有若干角，它所有内角和数字相等；它有若干内角，可以分割它为若干条边以及四条以上的内角；它可以分割成任意两个以上的小平面；它可以分割成若干个小角或小曲线；它可以分割成若干个空间直线子集。
三、练习题1. 已知若干个空间直线，如何构成一个平面？若要构成一个平面，必须满足两个条件：（1）至少有三条空间直线，使其有三维超空间；（2）空间直线是相交的，即三条空间直线相互内切；（3）所有相交空间直线之间只有一点公共点，即它们构成的是一条三维超直线，而不是多条三维超直线的交叉结构。
2. 如何判断两个平面是否相交？可以做如下判断：（1）两个平面在同一超平面内，则它们必定相交；（2）两个平面不在同一超平面内，则它们可以相交，也可以平行。
若它们存在一条公共边，那么它们必定共线；若它们都有三个公共点，则它们必定相交。
高中试卷-8.5 空间直线、平面的平行 同步练习(Word版含解析)(含答案)
空间直线、平面的平行 习题1.设,m n 是两条不同直线， ,a b 是两个不同平面，有下列说法：①若,//m n a a Ì，则//m n ；②若//,m a b a Ì，则//m b ；③若//,//m n a a ，则//m n .其中正确的是( )A.①B.②③C.②D.①②2.已知,,a b g 是三个不同的平面，且,m n a g b g Ç=Ç=，则“m n P ”是“a b P ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G ，H ，则GH 与AB 的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面4.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则( )A.//MN PDB.//MN PAC.//MN ADD.以上均有可能5.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==.若G 在线段1CC 上，且平面//AEF 平面1BD G ，则1CG CC =( )A.12 B.13 C.23 D.146.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱 111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有( )A ．1BD GH ∥B ．BD EF ∥C ．平面EFGH ∥平面ABCD D ．平面EFGH ∥平面11A BCD 7.如图，在各棱长均为1的正三棱柱111ABC ABC -中，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且//MN 平面11ACC A ，则这样的MN 有( )A.1条B.2条C.3条D.无数条8.如图，下列正三棱柱111ABC A B C -中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出//AB 平面MNP 的是( )A. B.C. D.9.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.②③C.①④D.②④10.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，,F G 分别为11C D ，1BC 上一点，11C F =，且//FG 平面ACE ，则BG =( )A. B.4 C. D. 11.已知点S 是等边三角形ABC 所在平面外一点，点 ,,D E F 分别是,,SA SB SC 的中点，则平面DEF 与平面ABC 的位置关系是______.12.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是棱1111,, ,CC C D D D CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足_________时，有//MN 平面11B BDD .13.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F ，G ，H 分别为PA ，PD ，PC ，PB 的中点.在此几何体中，给出下面五个结论：①平面//EFGH 平面ABCD ；②//PA 平面BDG ；③//EF 平面PBC ；④//FH 平面BDG ；⑤//EF 平面BDG .其中正确结论的序号是_________________.（写出所有正确结论的序号）14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若//EF 平面1AB C ，则线段EF 的长度等于__________.15.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ^底面,,//,,ABCD AB AD AB DC E F ^分别为PC ，DC 的中点，222PA DC AB AD ====.(1)证明：平面//PAD 平面EBF .(2)求三棱锥P BED -的体积.答案解析1.答案：C解析：对于①，若,//m n a a Ì，则//m n 或m 与n 异面，所以①错误；对于②，若//,m a b a Ì，则//m b ，根据面面平行的性质可判定②正确；对于③，若//,//m n a a ，则 //m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，所以③错误，故选C.2.答案：B解析：如图，将平面,,a b g 视为一个三棱柱的三个侧面，设,,,a a m n a b Ç=为三棱柱三条侧棱所在的直线，则由m n P 得不到a b P .若a b P ，且,m n a g b g Ç=Ç=，由面面平行的性质定理可得出m n P .所以由a b P 可得m n P ，因此“m n P ”是“a b P ”的必要不充分条件.故选B.3.答案：A解析：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA BB ，E Q ，F 分别为1AA ，1BB 的中点，//AE BF \，\四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB \.EF Ì/Q 平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，//EF \平面ABCD .EF ÌQ 平面EFGH ，平面EFGH I 平面ABCD GH =，//EF GH \，又//EF AB ，//GH AB \.故选A.4.答案：B解析：//MN Q 平面PAD ，平面PAC I 平面PAD PA =，MN Ì平面PAC ，//MN PA \.故选B.5.答案：B解析：Q 四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，113DF DD \=，1//EF BD ，平面11//ADD A 平面11BCC B .GQ在1CC 上，且平面//AEF 平面1BD G ，//AF BG \.又//AD BC Q ，DF CG \=，1113CG DF CC DD \==.故选B.6.答案：D解析：对于A ，由图形知1BD 与GH 是异面直线，∴A 错误；对于B ，由题意知BD 与EF 也是异面直线，∴B 错误；对于C ，平面EFGH 与平面ABCD 是相交的，∴C 错误；对于D ，平面//EFGH 平面11A BCD ，理由是：由,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，得出111//,//EF A B EH A D ，所以//EF 平面11A BCD ，//EF 平面11A BCD ，又EF EH E =I ，所以平面//EFGH 平面11A BCD .故选：D.7.答案：D解析：如图，过线段1A B 上任一点M 作1//MH AA ，交AB 于点H ，过点H 作//HG AC 交BC 于点G ，过点G 作1CC 的平行线，与1CB 一定有交点N ，且//MN 平面11ACC A ，则这样的MN 有无数条.故选D.8.答案：C解析：在A ，B 中，易知11////AB A B MN ，MN Ì平面MNP ，AB Ë平面MNP ，所以//AB 平面MNP ；在D 中，易知//AB PN ，PN Ì平面MNP ，AB Ë平面MNP ，所以//AB 平面MNP .9.答案：C解析：本题考查线面平行的判定.对于①，如图①，连接AC .由于//,//MN AC NP BC ，且,,MN NP N MN NP Ç=Ì平面,,,MNP AC BC C AC BC Ç=Ì平面ABC ，则根据面面平行的判定定理可知，平//MNP 平面ABC .因为AB Ì平面ABC ，所以//AB 平面MNP .对于②，如图②，连接BC 交MP 于点D ，连接DN .由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以DN 不平行于AB ，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，如图③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面MNP 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，如图④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.故选C.10.答案：C解析：根据题意，连接BD ，与AC 交于点O ，连接1,EO BD ，如图.在1BDD △中，O 为BD 的中点，则EO 为1BDD △的中位线，所以1//BD EO .因为1BD Ë平面,ACE EO Ì平面ACE ，所以1//BD 平面ACE .又//FG 平面,ACE FG 与1BD 共面，所以1//BD FG .因为11C F =，且114C D =，所以1114C G BC =，所以1C G =，则11BG BC C G =-=故选C.11.答案：平行解析：,E F Q 分别是,SB SC 的中点，EF \是SBC V 的中位线，//EF BC \.又BC ÌQ 平面,ABC EF Ì/平面,//ABC EF \平面ABC .同理// DE 平面ABC . ,EF DE E Ç=\Q 平面//DEF 平面ABC .12.答案：M 在线段FH 上解析：连接FH ，FN ，HN ，因为1//,//,,,HN DB FH D D FH HN H FH HN Ç=Ì平面FHN ，11,,DB D D D DB D D Ç=Ì平面11B BDD ，所以面//FHN 面11B BDD .因为点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，故M FH Î.13.答案：①②③④解析：依题意，由展开图还原几何体，如图所示.可知平面//EFGH 平面ABCD ；//PA 平面BDG ；////EF HG BC ，故//EF 平面PBC ；//FH DB ，//FH 平面BDG ；EF 与平面BDG 不平行.故正确结论的序号是①②③④.14.解析：因为在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，所以AC =.又E 为AD 的中点，//EF 平面1,AB C EF Ì平面ADC ，平面ADC Ç平面1AB C AC =，所以//EF AC ，所以F 为DC 的中点，所以12EF AC ==15.答案：(1)见解析(2)13P BED V -=解析：(1)由已知F 为CD 的中点，且2CD AB =，所以DF AB =，因为//AB CD ，所以//AB DF ，又因为AB DF =，所以四边形ABFD 为平行四边形，所以//BF AD ，又因为BF Ì平面PAD ，AD Ì平面PAD ，所以//BF 平面PAD ，在PDC △中，因为E ，F 分别为PC ，CD 的中点，所以//EF PD ，因为BF Ì/平面,PAD PD Ì平面PAD ，所以//EF 平面PAD ，因为EF BF F Ç=，所以平面//PAD 平面EBF .(2)由已知E 为PC 中点，2P BDC E BDC V V --=，又因为P BDE P BDC E BDC V V V ---=-，所以12P BDE P BDC V V --=，因为11212BDC S =´´=△，1233P BDC BDC V S AP -=×=△，所以三棱锥P BED -的体积13P BED V -=.。
2023年上海高二上学期数学同步精讲练第10章 空间直线与平面(基础、典型、压轴)(解析版)
第10章 空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.故选：C2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】A【分析】空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者．【详解】解：空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，∴空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的充分不必要条件， 故选：A ．二、填空题3．（2021·上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱中，既与AB 共面，又与1CC 共面的棱的条数为___________.【答案】5【分析】有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可得答案，【详解】解：如图，满足条件的有BC ，DC ，1BB ，1AA ，11D C ，故答案为：5.4．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定___________个平面.（填数字）【答案】1【分析】由空间几何的公理求解即可【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面故答案为：15．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是_________【答案】异面【分析】根据异面直线的定义，直接判断.【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.故答案为：异面6．（2021·上海·西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有___________.【答案】平行、相交、异面【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.7．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1AB与1BC 所成角的大小为___________.【答案】60︒##3π 【分析】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB 且△1BDC 为等边三角形，即可知异面直线1AB 与1BC 所成角.【详解】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB ，∴1DC 与1BC 所成角即为异面直线1AB 与1BC 所成角，又△1BDC 为等边三角形，∴1DC 与1BC 所成角60︒，即异面直线1AB 与1BC 所成角为60︒.故答案为：60︒8．（2022·上海虹口·高二期末）在正四面体ABCD 中，直线BC 与AD 所成角的大小为________．【答案】2π 【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.【详解】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，DE ，由已知ABCD 为正四面体，则ABC ，DBC △均为正三角形，所以AE BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，故BC AD ⊥，即直线BC 与直线AD 的夹角为2π， 故答案为：2π. 9．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有_________条直线与该直线垂直．【答案】无数【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果.【详解】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂直.故答案为：无数10．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若平面α∥平面β，,a b αβ⊂⊂，则直线a 和b 的位置关系是_____________.【答案】异面或平行【分析】利用分别在两个平行平面内的两个直线没有公共点即可判断作答.【详解】因平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a α⊂，b β⊂，于是得直线a 和b 没有公共点，所以直线a 和b 是异面直线或者是平行直线.故答案为：异面或平行11．（2020·上海松江·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________.【答案】a【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a =故答案为a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.12．（2022·上海·复旦附中高二期中）棱长为1的正方体中，异面直线1A D 与11B C 之间的距离为______．【答案】1【分析】根据题意，证得111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，得到11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11A B ⊥平面11ADD D ，11A B ⊥平面11BCC B ，因为1A D ⊂平面11ADD D ，11B C ⊂平面11BCC B ，所以111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，所以11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，又由正方体的棱长为1，可得111A B =，所以异面直线1A D 与11B C 的距离为1.故答案为：1.13．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1三、解答题14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥P ABC - 中，已知PA ⊥ 平面,ABC 3,6PA PB PC BC ==== .求二面角P BC A --的正弦值 【答案】33【分析】取BC 的中点D ，连结PD ，AD,根据线面垂直关系可知PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角,根据所给边长关系可求得PDA ∠的正弦值.【详解】取BC 的中点D ，连结PD ，AD∵PB PC = ∴PD BC ⊥∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥,且BC PAD ⊥面即BC AD ⊥∴PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角∵6PB PC BC ===∴3PD 633==PA sin PDAPD ∠===P BC A --【点睛】本题考查了二面角的求法,关键是找到二面角的平面角,属于基础题.【典型】一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,]2π, 故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）若a 、b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）A ．过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行B ．过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直C ．唯一存在一个平面α与直线a 、b 等距D ．可能存在平面α与直线a 、b 都垂直【答案】D 【分析】在A 中，把直线b 平移与直线a 相交，确定一个平面内平行于b ；在B 中，反设过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，推出矛盾；在C 中，过异面直线a 、b 的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，则//a b .【详解】在A 中，由于a 、b 是异面直线，把直线b 平移与直线a 相交，可确定一个平面，这个平面与直线b 平行，A 选项正确；在B 中，若过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，则//αβ，这与a αβ⋂=矛盾，所以，过直线a 最多只能作一个平面α与直线b 垂直，由a α⊂，可得b a ⊥，当直线a 与b 不垂直时，过直线a 不能作平面与直线b 垂直，B 选项正确；在C 中，由于a 、b 是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面α与该公垂线垂直，这样的平面α有且只有一个，且这个平面α与直线a 、b 等距，C 选项正确；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得//a b ，D 错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题. 3．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面,αβ和两条直线,m n ，下列命题中真命题是 A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥【答案】D【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．【详解】A 中n 可能在α内，A 错；B 中m 也可能在β内，B 错；m 与n 可能平行，C 错；,ααβ⊥⊥m ，则m β⊂或//m β，若m β⊂，则由n β⊥得n m ⊥，若//m β，则β内有直线//c m ，而易知c n ⊥，从而m n ⊥，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．二、填空题4．（2021·上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线a 与b 成60°角，若//c a ，则c 与b 所成的角等于__________【答案】60°【分析】由已知可得c 与b 相交或异面.分两种情况，根据异面直线所成的角的概念结合平行公理即可得出结论.【详解】∵,a b 异面，//c a ，∴c 与b 相交或异面.当c 与b 相交时，根据异面直线a 与b 所成角的概念可知c 与b 所成的角为60°角；当c 与b 异面时，自空间不在,,a b c 上的一点分别作,a b 的平行线//,//m a n b ,∵//c a ，∴//m c ,根据异面直线所成角的定义，相交直线,m n 所成的不超过直角的角既是异面直线a 与b 所成的角，又是异面直线c 与b 所成的角，根据异面直线a 与b 成60°角，故异面直线c 与b 所成的角为60°角.故答案为：60°. 5．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.三、解答题6．（2019·上海·华师大二附中高二阶段练习）在正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，E 、F 分别是BC 、A 1D 1的中点． （1）求证：四边形B 1EDF 是菱形；（2）作出直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点（写出作图步骤）．【分析】（1）取AD 中点G ，连接FG ，BG ，可证四边形B 1BGF 为平行四边形，四边形BEDG 为平行四边形，得到四边形B 1EDF 为平行四边形，再由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，得到四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点．【详解】（1）证明：取AD 中点G ，连接FG ，BG ，如图1所示，则B 1B ∥FG ，B 1B ＝FG ，∴四边形B 1BGF 为平行四边形，则BG ∥B 1F ，由ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，且E ，G 分别为BC ，AD 的中点，可得BEDG 为平行四边形，∴BG ∥DE ，BG ＝DE ，则B 1F ∥DE ，且B 1F ＝DE ，∴四边形B 1EDF 为平行四边形，由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，∴四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点，如图所示．【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题．关键是掌握正方体的性质和熟练使用平行公理.【新文化】一、填空题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为______.【答案】3π 【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，如图，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠或其补角 ，22GF CF ==， 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形 故3GFC π∠=故答案为：3π 【压轴】1．（2021·上海·西外高二期中）三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是________． 【答案】4(0,]3； 【详解】由于,,,AB AP AB AC AB AP A AB ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面APC ，1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅= ，在APC ∆ 中，4AP AC +=，要使APC ∆ 面积最大，只需0,90AP AC APC =∠=，APC S ∆的最大值为12222⨯⨯=，V 的最大值为142233⨯⨯=，该三棱锥的体积V 的取值范围是4(0,]3.。
人教版高中数学必修第二册8.6空间直线、平面的垂直(3) 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册8.6空间直线、平面的垂直（3）同步练习(学生版)1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.12.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个3.从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角αlβ的平面角的大小是（）A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定4.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G 是直线BD上的动点，则（）A.存在点G，使PG⊥EF成立B.存在点G，使FG⊥EP成立C.不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D.不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立5.在三棱锥PABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角PABC的大小为.6.如图，直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为.7.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.8.如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.PD.证9.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12明：平面PQC⊥平面DCQ.人教版高中数学必修第二册8.6空间直线、平面的垂直（3）同步练习(解析版)1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.1解析：选B.①②④正确.①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理.2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析：选D.当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.3.从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角αlβ的平面角的大小是（）A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定解析：选C.若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.4.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G 是直线BD上的动点，则（）A.存在点G，使PG⊥EF成立B.存在点G，使FG⊥EP成立C.不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D.不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立解析：选C.正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，在A中，不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选C.5.在三棱锥PABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角PABC的大小为.解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角PABC的平面角.在△PAB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°.答案：60°6.如图，直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为.解析：如图，连接BC，因为二面角αlβ为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案：27.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.证明：取BC的中点D，连接SD、AD（图略），由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA.所以AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角ABCS的平面角.又∠BSC＝90°，令SA＝1，则SD ＝22，AD ＝22，所以SD 2＋AD 2＝SA 2.所以∠ADS ＝90°，所以平面ABC ⊥平面BSC .8.如图，三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点.（1）求证：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .证明：（1）如图所示，连接DG ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，所以AC ＝2DF .因为G 是AC 的中点，所以DF ∥GC ，且DF ＝GC ，所以四边形CFDG 是平行四边形，所以DM ＝MC .因为BH ＝HC ，所以MH ∥BD .又BD ⊄平面FGH ，MH ⊂平面FGH ，所以BD ∥平面FGH .（2）因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB .因为AB ⊥BC ，所以GH ⊥BC .又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE .因为CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH .9.如图所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .证明：由四边形ABCD 为正方形，可得CD ⊥AD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，故CD ⊥平面AQPD ，从而CD ⊥PQ .如图所示，取PD 的中点E ，连接QE .因为PD ∥QA ，QA ＝12PD ，则DE ∥AQ ，且DE＝AQ ，从而四边形AQED 是平行四边形，则QE∥AD，所以QE⊥PD，所以DQ＝QP.设QA＝1，则AB＝1，PD＝2.在△DQP中，有DQ＝QP＝2，PD＝2.所以DQ2＋QP2＝PD2，故∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.又CD∩DQ＝D，所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.。
全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)+答案解析(附后)
全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l ：的倾斜角为A.B.C.D.2.若不重合的直线，的方向向量分别为，，则与的位置关系是( )A. B. C.，相交不垂直D. 不能确定3.若直线与圆O ：交于A ，B 两点，则A.B. 2C.D. 44.在正四棱锥中，已知，，，则A.B.C.D.5.与直线l ：关于y 轴对称的直线的方程为A.B.C.D.6.如图所示，在三棱柱中，底面ABC ，，，点E ，F分别是棱AB ，的中点，则EF 与所成角的大小为A. B. C. D. 7.已知四边形ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，，，二面角的大小为，则点A 到平面PBD 的距离是A. B.C.D. 18.已知点是直线l ：上的动点，过点P 作圆C ：的切线PA ，A为切点，的最小值为2，圆M ：与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为A. B. C. 4 D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线：，直线：，则A. 直线可以与x轴平行B. 直线可以与y轴平行C. 当时，D. 当时，10.以下命题正确的是A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则C. 已知，，若与垂直，则实数D. 已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面11.如图，平面ABCD，，，，，，，则A. B. 平面ADEC. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为12.已知圆：，圆：，则.( )A. 若圆与圆无公共点，则B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为C. 当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为D. 当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学必修二 8 4 2 空间点、直线、平面之间的位置关系 练习(含答案)
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直【答案】D【解析】利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D2．若直线//a α，直线b α⊂，则直线a 与b 的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．异面或平行D ．平行【答案】C【解析】由题意直线a ∥α，直线b ⊂α，可得直线a ，b 一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行故选C.3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( ) A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．不能确定 【答案】C【解析】如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交，故选C ．4．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l （ ）A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【解析】若直线l ∥α，α内至少有一条直线与l 垂直，当l 与α相交时，α内至少有一条直线与l 垂直．当l ⊂α，α内至少有一条直线与l 垂直．故选D ．5．（多选题）已知A B C ，，表示不同的点，l 表示直线，αβ，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ） A ．∈A l ，A α∈，B l ∈，B l αα∈⇒⊂B ．A α∈，A β∈，B α∈，B AB βαβ∈⇒= C ．l α，A l A α∈⇒∉D ．A α∈，∈A l ,l l A αα⊄⇒⋂=【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A:由公理1知,l α⊂,故选项A 正确;对于选项B ：因为αβ，表示不同的平面，由公理3知,平面αβ，相交,且AB αβ=,故选项B 正确;对于选项C:l α⊄分两种情况:l 与α相交或//l a .当l 与α相交时，若交点为A ，则A α∈，故选项C 错误；对于选项D ：由公理1逆推可得结论成立,故选项D 成立;故选:ABD6．（多选题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱111,C D C C 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线【解析】直线AM 与1CC 是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故A 、B 错误直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，故C 、D 正确.故选CD.二、填空题7．以下四个命题中, 正确命题的个数是_________.①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A ,B ,C ,D 共面,点A , B ,C ,E 共面,则点A ,B ,C ,D ,E 共面;③若直线a ,b 共面,直线a ,c 共面,则直线b ,c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.【答案】1【解析】正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性，若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 可能异面；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个定点就不共面．故答案为：1.8．如图，试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系:（1）点C 与平面β:__________；（2）点A 与平面α:__________；（3）直线AB 与平面α:__________；（4）直线CD 与平面α:__________；（5）平面α与平面β:__________；【答案】C β∉ A α AB B α⋂= CD α⊂ BD αβ⋂=【解析】（1）点C 不在平面β内，所以C β∉；（2）点A 不在平面α内，所以A α；（3）直线AB 与平面α相交于点B ，所以AB B α⋂=；（4）直线CD 在平面α内，所以CD α⊂；（5）平面α与平面β相交，且交线为BD ，所以BD αβ⋂=.9．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有__________对.【答案】3【解析】画出展开图复原的几何体，所以C 与G 重合，F ，B 重合，所以：四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有：AB 与GH ，AB 与CD ，GH 与EF ，共有3对．故答案为3．10．(1)平面1AB 平面11AC =_______;(2)平面11AC CA ⋂平面AC =________.【答案】11A B AC【解析】由图可知，（1）平面1AB 平面11AC =11A B ，（2）平面11AC CA ⋂平面AC = AC故答案为：（1）11A B ；（2）AC三、解答题11．按下列叙述画出图形(不必写出画法):m αβ=，a α⊂，b β⊂，a m N ⋂=，M m ∈，//b m .【答案】图形见解析【解析】12．如图，若P 是ABC 所在平面外一点，PA PB ≠，PN AB ⊥，N 为垂足.M 为AB 的中点，求证：PN 与MC 为异面直线.【答案】见解析【解析】证明：∵PA PB ≠,PN AB ⊥,N 为垂足,M 是AB 的中点,∴点N 与点M 不重合∵N ∈平面ABC ,P ∉平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,N CM ∉∴由异面直线的判定定理可知,直线PN 与MC 为异面直线。
高二数学直线与平面测试卷试题
卜人入州八九几市潮王学校高二数学直线与平面测试卷一、选择题〔此题包括12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题只有一个正确答案〕1.〔〕2.①三个点确定一个平面；②经过一点和一条直线有且只有一个平面；3.③四个点中的任意三个点都不一共线，那么这四个点必不一共面；4.④假设一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线必在同一个平面内。
A．1B．2 C．3D．45.〔〕6.①没有公一共点的两条直线是异面直线；7.②平面内一点与平面外一点的连线和平面内的直线是异面直线；8.③和同一条直线都是异面直线的两条直线是异面直线；9.④和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线。
A．1B．2 C．3D．410.〔〕11.①平行于同一条直线的两条直线平行；12.②过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条；13.③和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线；14.④一条直线和两条平行线的一条相交，那么它也和另一条相交。
A．1B．2 C．3D．415.〔〕16.①垂直于同一条直线的两条直线平行；②两两相交的三条直线一共面；17.③假设a和b是异面直线，a∥c，那么b和c也是异面直线；18.④两条平行线中一条垂直于某条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
A．0B．1 C．2D．319.〔〕20.①经过直线外一点有无数多条直线和这条直线平行；21.②经过直线外一点有无数多条直线和这条直线垂直；22.③假设a和b，a和c都是异面直线，并且它们所成的角相等，那么b∥c；23.④和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线。
A．4B．3 C．2D．124.25.①两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线平行；26.②两条平行线中的一条平行于一个平面，另一条也平行于这个平面；27.③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；28.④过直线外一点有且只有一个平面与直线平行。
29.〔〕A．1B．2 C．3D．4直线a、b、c、d是空间四条直线，假设a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么以下说法正确的选项是〔〕A．一定是a∥b，且c∥d B．a、b、c、d中至少有一对直线互相平行C．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行D．a、b、c、d中任何两条直线都不平行30.设AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R、PQ=2，QR=，PR=3，那么AC和BD所成的角是〔〕A．90°B．60°C．45°D．30°31.点P是△ABC所在平面外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，在以下条件下：P到△ABC三个顶点间隔相等；P到△ABC三边间隔相等；AP、BP、CP两两互相垂直，点O分别是△ABC的〔〕A．垂心，外心，内心B．外心，内心，垂心C．内心，外心，垂心D．内心，垂心，外心32.AB∥CD，且直线AB、CD都在平面α内，AB和CD相距28㎝，EF在平面α外，EF∥AB且与AB相距17㎝，与α相距15㎝，那么EF与CD的间隔是〔〕A．25㎝B．39㎝C．25㎝或者39㎝D．25㎝或者36㎝33.三条直线a、b、c两两互相垂直，34.①三条直线必一共点；②其中某两条直线必平行；35.③其中某两条直线必是异面直线；④其中一条必垂直于另外两条所确定的平面。
数学高中数学专练：空间直线与平面
同步练习 空间直线与平面1、已知直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是 （ ） α//a ， α⊥a ，α⊥b α⊂b 且α//a 、与成等角2、、表示平面，、表示直线，则α//a 的一个充分条件是 （ ） βα⊥，且β⊥a b =βα ，且 ，且 βα//，且β⊂a3、已知平面αβαβα∈=⊥P m 点平面,, 直线n 过点P ，则β⊥⊥n m n 是的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、非充分非必要条件4、已知直线,4||cm a a 相距与平面，平面αα平面内直线b 与c 相距6cm 且a||b,a 与b 相距5cm ，则a 、c 相距（ ）A 、5cmB 、cm 97或5cmC 、cm 97D 、cm 65或5cm 5、在ABC ∆中，︒=∠90ACB ,AB=8,︒=∠60BAC ,PC 面ABC ，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为（ ）A 、B 、C 、D 、6、在长方体1111D C B A ABCD -中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形1EBFD 的形状为 ．7、空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ，若BD ＝6cm,梯形EFGH 的面积为28cm 2。
则平行线EH 、FG 间的距离为 8、如图，︒=∠90BAD 的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与CD 所成角的大小为 。
9、 图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长是 。
AECDBBGCHDA10、如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ．BADPQM11、如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．12、 ABCD 是四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP||GH 。
高中数学必修2同步训练试卷16 空间点、直线、平面之间的位置关系
16期 空间点、直线、平面之间的位置关系 题版A 卷(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题: (每小题5分,共30分)1. 如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a,N ∈b,且M ∈l,N ∈l,则 ( )A.l ⊂αB.l ⊄αC.l ∩α=MD.l ∩α=N 2. 以下命题正确的是( )A.三点确定一个平面B.线段AB 在平面α内，但直线AB 不在平面α内C.三条直线两两相交时不一定共面D.两个平面可以有两条公共直线 3. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α,n ⊂平面β，α∩β=l ，则l( ) A ．与m 、n 都相交 B ．与m 、n 中至少一条相交 C ．与m 、n 都不相交 D ．至多与m 、n 中的一条相交4. 已知直线a 与平面α、β，α∩β=l ，a ⊄α,a ⊄β，a 在α、β内的射影分别为b 、c ，则b 和c 的位置关系为( )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交平行或异面5. 异面直线a,b 所成的角为600,直线c ⊥a,则直线b 与c 所成的角的范围为（ )A. [300,900]B. [600,900]C. [300,600]D. [300,1200] 6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ， 则下列结论错误．．的是 ( ) A. A 、M 、O 三点共线 B. A 、M 、O 、A 1四点共面 C. A 、O 、C 、M 四点共面 D. B 、B 1、O 、M 四点共面 二、填空题: (每小题4分,共8分) 7.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线， (1)∠DBC 的两边与∠______的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与∠______的两边平行且方向相反.8. 一个平面把空间分成 部分，两个平面把空间分 成 或 部分，三个平面把空间分成 或 或 或 部分. 三、解答题: (每小题12分,共48分) 9. (12分) 如图所示，△ABC 在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P 、Q 、R ，求证：P 、Ｑ、R 三点共线.图(1) 图(2)10. (12分) 已知三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线交于一点或互相平行.11. (12分) 已知E 和F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1和棱CC 1上的点，且AE ＝C 1F ，求证四边形EBFD 1是平行四边形.12. (12分) 如图所示, 长方体ABCD-A /B /C /D /中的面A /C /上有一点P(P 不在B /D /上) (1)过P 点在空间作一直线l ,使l ∥直线BD,应该如何作图? 并说明理由;(2)过P 点在平面A /C /内作一直线l ',使l '与直线BD 成α角,这样的直线有几条,应该如何作图?B 卷一、选择题: (每小题5分,共30分)1. 空间有四个点，每三个点都可以确定一个平面，则这四个点可以确定的平面数为（ ） A ．0 B ．4 C ．0或2 D ．1或42. 空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，则（ ） A ．四点中必有三点共线 B ．四点中必有三点不共线 C ．AB 、BC 、CD 、DA 中必有两条互相平行 D ．AB 、BC 、CD 、DA 中不可能有平行线3. 两个相等的角有一组对边平行，那么另一组对边(1)也一定平行 (2)可以不平行 (3)可以相交 (4)可以异面 以上四种情况正确的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. a 、b 、c 是空间三条直线，其中a 与b 、c 都相交，那么由这三条直线可以确定的平面个数为( )A.1B.1或3C.2或3D.1或2或35.如图所示，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，各侧面是全等的等腰梯形， A 1D 1所在的直线与BB 1所在的直线是（ ） A. 相交直线 B. 平行直线C. 不垂直的异面直线D. 互相垂直的异面直线6. 已知异面直线a 与b 所成的角为500,P 为空间一定点,则过点P 且与a 、b 所成的角都是300的直线有且仅有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条 二、填空题: (每小题4分,共8分)7. “已知α∩β=l ，若点P ∈α且点P ∈β，则P ∈l .”用文字语言应 叙述为_ . 8. 如图所示,在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 是相应棱的中点，则（1）MN 与PQ 的位置关系是____， 它们所成的角是_______.（2）MN 与B 1D 的位置关系是_______，它们所成的角是_______. 三、解答题: (每小题13分,共26分)9. (13分) 如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面为边长为a 的正方形，棱AA 1为2a ，M ，N 分别是CD 和AD 的中点，(1)求证：M 、N 、A 1、C 1四点共面且MNA 1C 1是等腰梯形， (2)求梯形MNA 1C 1的面积.10. (13分) 如图所示，正方体的棱长为4 cm ，M 、N 分别是A 1B 1和CC 1的中点，(1)画出过点D ，M ，N 的平面与平面BB 1C 1C 及平面AA 1B 1B 的 两条交线，(2)设过D 、M 、N 三点的平面与B 1C 1交于P ，求PM ＋PN 的值.备选题1.空间有5个点，没有四个点在同一平面内，这样的五个点最多能确定的平面的个数是( )A.3B.4C. 5D.以上答案都不对2.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M是DC的中点，AD=AA1=2，AB=2，那么（1）AA1与BC1所成角的度数是_______；（2）DA1与BC1所成角的度数是_______；3.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，（1）画出l的位置；（2）设l∩A1B1=P,求PB1的长.4.如图所示，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明：E、F、G、H四点共面；(2)m,n满足什么条件时EFGH是平行四边形；(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明EG=FH.答案A卷一、选择题:1.A解析:根据符号语言作出如图的图形.∵M∈a，直线a⊂平面α∴M∈α同理N∈α∵M∈l ,N∈l , ∴l⊂α故选A2.C解析: A缺少“不共线”，∴A错误.线段AB⊂α内，∴A∈α，B∈α，∴直线AB⊂α∴B错误，三条直线两两相交时可能共点，不一定共面，∴C正确，D明显错误，选C.3.B解析:由异面直线的定义可得结论B.4. D解析:当直线a∥ 时，b∥c，当a⊥ 时，b,c相交，当 与a不平行，不相交，不垂直时b与C为异面直线.5. B解析:直线b与c所成的角最小的角为300，直线b与c所成的角最大的角为900.故选B.6. D解析:由公理2可得应选D.二、填空题:7.(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，∴∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同.(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，∴∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反.8.一个平面把空间分成2部分，两个平面平行时把空间分成3个部分相交时把空间分成4个部分，三个平面两两平行时可把空间分成4部分,若两个平行,另一个与之均相交,可将空间分成6个部分,例8图2可以将空间分成7部分,另外两个平面相交时,第三个平面与它的交线相交,可以将空间分成8个部分.三、解答题:9.证明:∵AB∩α＝P，AB⊂面ABC∴P∈面ABC，P∈α，∴P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q和R均在这条交线上.∴P、Ｑ、R三点共线.10.解析:如图所示, 设三个平面为α、β、γ，且α∩β=c, α∩γ=b, β∩γ=a.⊂,c⊂α.∵α∩β=c, α∩γ=b, ∴bα∴b、c或交于一点或互相平行.(1)若b∩c=P(图(1))由P∈c,c⊂β,有P∈β.同理P∈γ,∴P∈β∩γ=a, ∴a、b、c交于一点P.(2)若c∥b,由b⊂γ, ∴c∥γ,又由c⊂β,且β∩γ=a,∴c∥a,∴a，b，c互相平行.11. 证明：在DD 1上设一点G ，使D 1G ＝A 1E ，则易知A 1E D 1Ｇ，∴四边形A 1EGD 1为平行四边形. ∴EG A 1D 1 又∵A 1D 1＝B 1C 1， B 1C 1BC ∴EB BC ∴四边形EGBC 是平行四边形∴EB GC ，又∵D 1G FC ∴四边形D 1GFC 是平行四边形 ∴GC D 1F ∴EB D 1F ∴四边EBFD 1是平行四边形 .12.解析: (1)连结B /D /,在平面内过P 作直线l ,使l ∥B /D /,则直线l 即为所求作的直线,∵B /D /∥BD , l ∥B /D /, ∴l ∥BD.(2)在平面A /C /内,作l ',使l '与直线B /D /相交成α角.∵B /D /∥BD , ∴l '与BD 也成α角. 即l '为所求作的直线. 若l '与BD 是异面直线,则l '与BD 也成角(0,]2πα∈.当2πα=时,这样的直线l '有且只有一条, 当2πα≠时,这样的直线l '有两条,若l '与BD 是共面, 则l '与BD 平行,这样的直线只有一条.B 卷一、选择题:1.D 解析: 每三点都确定平面，即任三点不共线，但仍可有四点在同一个平面或四点不共面， ∴这四个点确定平面的个数为1或4，选D.2.B 解析: A 、B 、C 、D 共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A 错误，如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，B 正确，AB 、BC 、CD 、DA 中可以有平行线也可以没有平行线，C 、D 错误，选B.3.C 解析: 两个相等的角有一组对应边平行时，另一组对应边可以旋转，从而另一组对边三种位置关系都可能，(2)，(3)，(4)均成立，选C.4.D 解析: 解析：b 与c 相交时，确定一个平面，b 、c 为异面直线时，确定两个平面，a 、b 、c 相交于一点，可确定三个平面. 故应选D.5.C 解析: 假设A 1D 1所在的直线与BB 1所在的直线是相交直线或平行直线，则其余的棱所在的直线都在这个平面内，这与ABCD-A 1B 1C 1D 1是四棱台矛盾.所以A 1D 1所在的直线与BB 1所在的直线只能是异面直线；假设A 1D 1所在的直线与BB 1所在的直线互相垂直，则BB 1⊥BC,这与各侧面是全等的等腰梯形矛盾.故选C.6.B 解析: 过P 点作直线a '∥a 、b '∥b,设b a ''、两相交直线确定的平面为α.(l)若过P 点的直线l 在α内,则l 必为平分线,此时与b a ''、成250或650角, 故l 不在α内.(2)设l 1、l 2 分别是b a ''、所成的角的平分线,如图, l 1与a '所成的角的为250，则l 2 与b '所成的角的为650.当l 的正投影是l 1 时，符合条件的 l 有两条. 当l 的正投影是l 2时，符合条件的l 有0条. 综上,这样的直线只有2条,即选B. 二、填空题:7. 已知平面α与平面β相交于直线l ，如果点P 既在平面α内又在平面β内，那么点P 在直线l 上 8. （1）相交 60° （2）异面 90° （3）a 三、解答题:9. 解析: (1)连结AC ,∵M 、N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN AC ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体 ,∴ACC 1A 1为矩形，AC A 1C 1∴MN21A ′C ′，于是M ，N ，A 1，C 1共面且MNA 1C 1为等腰梯形. 在△A 1AN 和△C 1CM 中，∠A 1AN ＝∠C 1CM ＝90°， A 1A ＝C 1C ＝2ａ，AN ＝CM∴△A 1AN ≌△C 1CM ，∴A 1N ＝C 1M ∴MNA 1C 1为等腰梯形.(2)由长方体的性质，可得,22,211a MN a C A ==a M C N A 21711==,∴梯形的高,4h a =2111)224MNAC S a =+⋅=所以梯形的面积. 10.解析: (1)连结DN 并延长交D 1C 1的延长线于E 点，连结ME 交B 1C 1于P 点，交D 1A 1延长线于Q ，连结DQ 交AA 1于R ，连结RM ，PN ，则DRMPN 为所求作的截面. (2)∵N 为CC 1的中点, ∴310,38432,211=∴=⨯==PN P C N C 同理可求3132=PM , ∴313210+=+PN PM .备选题答案1.D 解析: 空间五点A 、B 、C 、D 、E 任三点不共线，可确定的平面为平面ABC ，平面ABD ，平面ABE ，平面ACD ，平面ACE ，平面ADE ，平面BCD ，平面BCE ，平面ADE ，平面CDE ，即最多确定10个. 故应选D.2. （1）45° （2）90°3.解析:（1）平面DMN 与平面AD 1的交线为DM ，设DM ∩D 1A 1=Q . 则平面DMN 与平面A 1C 1的交线为QN . QN 即为所求作的直线l . （2）设QN ∩A 1B 1=P . ∵△MA 1Q ≌△MAD ,∴A 1Q =AD =a =A 1D 1 ∴A 1是QD 1的中点,又A 1P ∥D 1N , ∴A 1P =.414121111a D C N D ==a . .43411111a a a P A B A PB =-=-=∴ 4.解析: (1)∵AE ∶EB =AH ∶HD ，∴EH ∥B D. CF ∶FB =CG ∶GD ， ∴FG ∥BD ，∴EH ∥FG ， ∴E 、F 、G 、H 四点共面.(2)当且仅当EH FG 时，四边形EFGH 为平行四边形.∵1+=+=m m EB AE AE BD EH , ∴EH =.1BD m m+ 同理FG =1+n nBD ,由EH =FG 得m =n . 故当m =n 时，四边形EFGH 为平行四边形.(3)当m =n 时，AE ∶EB =CF ∶FB , ∴EF ∥A C. 又∵AC ⊥BD ，∴∠FEH 是AC 与BD 所成的角， ∴∠FEH =90°，从而EFGH 为矩形， ∴EG =FH .。
高二数学直线与平面测试卷
高二数学直线与平面测试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．经过平面a 外一条直线a 与平面a 平行的平面 （ ）A ．有且只有一条B ．不存在C ．至多有一个D ．至少有一个 2．设a 、b 是两条异面直线，在下列命题中正确的是（ ）A ．有且仅有一条直线与a 、b 都垂直B ．有一个平面与ab 都垂直C ．过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D ．过空间中任一点必可作一条直线a 、b 都相交 3．四面体A-BCD 被平行于棱AB 、CD 的平面EFGH 所截（如图1所示）。
其中AC=AD=BC=BD ，AB=2CD ， 则当四边形EFGH 面积最大时，AH ∶HC 等于 （ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．2∶1 D ．1∶3 A图1 图24．如图2所示，∠BAD=90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为 （ ） A.4π B. 3π C. arccos 31 D. 6π5．对于直线m ，n 和平面a ，下列命题中的真命题是 （ ）A ．如果m ⊂a,n ⊄a,m 、n 是异面直线，那么n ∥aB ．如果m ⊂a,n ⊄a,m 、n 是异面直线，那么n 与a 相交C ．如果m ⊂a,n ∥a,m 、n 共面，那么m ∥nD ．如果 m ∥a ，n ∥a ，m 、n 共面，那么m ∥n6．如图3所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中①BN 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；CN 与BN 成60° 角；DN 与BN 垂直。
以上四个命题中，正确命题的序号是 ( ) A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④图3 图4 7．有一条东西方向的河流如图4所示，在岸边设探照灯P ，PO 地面xOy,灯光PA 射在东北方向，且与地面成60°角，则灯光PA 与河流Ox 所成的角为余弦值为 （ ） A ．42 B ．22 C ．21D ．238．如图5所示，在棱长为2的正体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于 （ ）A.510 B.515 C.54 D.32图5 图69．如图所示,ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,E 、F 分别是AA 1、AB 的中点,则EF 与对角面A 1C 1CA 所成角的度数是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．150°10．已知直线l 、m 、n 及平面α，下列命题中的假命题是 （ ） A ．若l ∥m ，m ∥n ，则l ∥n B ．若l ⊥α，n ∥α，,则l ⊥n C ．若l ⊥m ，m ∥n ，则l ⊥n D ．若l ∥a ，n ∥a ，则l ∥n 11．如图7所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ，那么，动点C 在平面α内的轨迹是 （ ） A ．一条线段，但要去掉两个点 B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点 图7D ．半圆，但要去掉两个点12．∠AOB 在平面α内，OC 是平面α的一条斜线，若∠AOB=∠BOC=∠COA=θ（90°<θ<120°），则OC 与平面α所成角的余弦值是 （ ） A ．—2coscos θθ B ．2coscos θθ C ．—2sincos θθ D ．2sincos θθ二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。
高二数学空间直线和平面单元练习
高二数学空间直线和平面单元练习一、选择题1.下列各条件可以确定平面的是( )A.六边形B.两两相交的三条直线C.两两平行的三条直线D.梯形2.正方形的一条对角线与正方体的棱所组成的异面直线有( )A.12对B.10对C.8对D.6对3.给出下列四个命题：(1)如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这个平面平行；(2)如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(4)垂直于同一平面的两平面平行.其中正确的是( )A.(1)(3)(4)B.(2)(3)(4)C.(3)D.(4)4.经过空间一点作直线，使它与异面直线都成60°角，则这样的直线有( )A.2条B.2条或3条C.4条D.2条或3条或4条5.异面直线在同一平面的射影不可能是( )A.两条平行直线B.两相交线C.一点与一直线D.同一直线6.空间四边形ABCD四条边的中点为E、F、G、H，且EFGH为菱形，则空间四边形ABCD 的对角线 AC与BD的关系是( )A.AC⊥BDB.AC与BD共面C.AC=BDD.不能确定7.已知ABCD为正方形，过A作SA⊥平面ABCD，若AB=SA，则面SAB与面SCD所构成二面角的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.90°8.异面直线所成角取值集合为A，直线与平面所成角取值集合为B，平面斜线与平面所成角取值集合为C，则它们角的集合关系为( )A.A B CB.B A CC.C A BD.C B A9.一直线与直二面角的两个面所成角分别为θ1与θ2，则θ1+θ2的值是( )A.90°B.不超过90°C.不小于90°D.以上三种情况都可能10.如图，PC⊥平面α于C，ABα，PB⊥AB，则线段PB、PA、PC的关系式是( )A.PA＞PC＞PBB.PC＞PB＞PAC.PA＞PB＞PCD.PB＞PA＞PC11.矩形ABCD中，AB=2,BC=6,沿对角线AC折起成直二面角，则AC与BD的距离为( )A.22B.2C.1D.2312.等边△ABC的边长为1，BC上的高是AD，若沿AD折成直二面角，则A到BC的距离为( )A.212 B.4114 C.4115 D.21313.三棱锥P —ABC 中，顶点P 在底面ABC 上的射影为O 且S △OAB =S △OBC =S △OCA ,则O 是△ABC 的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心14.a 、b 是异面直线，AB 为其公垂线，直线l ∥AB ，则l 与a 、b 的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.最多1个15.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1A 和B 1B 的中点，若θ为CM 和D 1N 所成的角，则sin θ的值为( )A.91 B.32 C.325 D.945二、填空题16.一条直线与这条直线外的四点最多可确定个平面.17.正方体AC 1中，M 、N 分别为B 1C 1和BB 1的中点，则MN 和B 1D 1所成角为. 18.矩形ABCD 中，AB=4,AD=3,PA ⊥平面AC ，且PA=1，则P 到BC 的距离为. 19.P 是边长为a 的正三角形外一点，且PA=PB=PC=a ，则PB 与平面ABC 所成角的正弦值是.20.α-l-β是直二面角，A ∈l,AB α,AB β,AB 、AC 与l 所成角均为45°，则∠BAC=. 21.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则截面A 1BD 底面A 1B 1C 1D 1所成角 的正切是.三、解答题22.已知二面角A-BC-D 等于30°，△ABC 是等边三角形，其外接圆半径为a ，点D 在平面ABC 上射影是△ABC 的中心O ，求S △DBC .23.正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是棱B ′B 、CD 的中点，AA ′=2，求F 到面A ′D ′ E 的距离.【能力素质提高】1.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∠C=45°,AD=AB=2,把梯形沿BD 折起成60°的二面角C ′-BD-A.求：(1)C ′到平面ADB 的距离； (2)AC ′与BD 所成的角.2.斜三棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是正三角形，且C ′B=C ′C. (1)证明：AC ′⊥BC ；(2)若侧面BCC′B′垂直于底面，侧棱长为3，底棱长为2，求两底面间的距离.3.正方体ABCD中，E、F为BC、DC的中点PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B到面PEF的距离.【渗透拓展创新】1.已知矩形ABCD，AB=1，BC=a，又PA⊥平面ABCD，且PA=1.(1)问BC边上是否存在在点Q，使PQ⊥QD，并说明理由；(2)若BC边上有且只有一个点Q，使PQ⊥QD，求此时二面角Q-PD-A的大小.2.等边ABC的A∈平面α，B、C到面α的距离分别为2a、a，且AB=BC=AC=b.(1)求面ABC与α所成二面角的大小；(2)若B、C到α的距离分别为3a、a呢?【高考真题演练】1.(1997全国)已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题.(1)若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；(2)若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；(3)若mα，lβ，且l⊥m,则α⊥β；(4)若lβ，且l⊥α，则α⊥β；(5)若mα,lβ,且α⊥β则m∥l.其中正确命题序号是.2.(1997全国理)如图在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明：AD⊥D1F；(2)证明AED⊥面A1FD1；3.(1998年)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC= 90°，BC=2,AC=23,且AA1⊥A1C，AA1=A1C.(1)求侧棱AA 1与底面ABC 所成角的大小；(2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； (3)求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离.[参考答案]【课内四基达标】1.D2.D3.C4.D5.D6.C7.B8.C9.B 10.B 11.C 12.B 13.C 14.D 15.D 16.8个 17.60° 18.51319.36 20.60°或120° 21.222.延长AO 到E 则AE ⊥BC ，又∵DO ⊥面ABC ，∴DE ⊥BC ∠DEO=30° 又∵AO=a ∴OE=21a DE=33a BC=3a∴S △BDC =21BC ·DE=21·3 a ×33a =21a(22题图) (23题图)23.取AB 中点H ，则HF ∥AD ∥A ′D ′，连结HB ′交A ′E 于G. 又∵AD ⊥面ABB ′A ′∴HF ⊥HG ①∵△HBB ′≌△EB ′A ′∴∠HBE ′+∠A ′EB ′=90°∴HG ⊥A ′E ② HB ⊥面A ′B ′E ，HG 为所求.∴A ′E=HB ′=122+=5B ′G=552512=⨯ ∴HG=5535525=-【能力素质提高】1.(1)过C ′作C ′G ⊥面BAD 于G ，连结DG. ∵AD=BA=2 AD ⊥AB ∴∠ADB=45°又∵∠ADC=180°-45°=135° ∴∠BDC=135°-45°=90°即BD ⊥DC ⇒BD ⊥DC ′⇒BG ⊥BD ∴∠GDC ′=60° C ′G 为所求C ′G=C ′D ·sib60°=22·23=6 (2)DG=C ′D ·cos60°=22·21=2又AD=2 A 到BD 的距离AO=AD ·sin45°=2α×22=2 ∴AG ∥OD ，即AG ⊥DG ，∠GAC ′为所求. tan ∠GAC ′=326=='AG G C ∴∠GAC ′=60°(1题图) (2题图)2.(1)取BC 中点O ，则AB=AC AO ⊥BC.BC ′=CC ′C ′O ⊥BC. ∴BC ⊥面AOC ′BC ⊥AC ′(2)面BB ′C ′C ⊥面ABC ∴AO ⊥面BB ′C ′C C ′O ⊥底面ABC ，面ABC ∥面A ′B ′C ′ ∴OC ′为两平面间的距离，OC ′为所求.∵BC=AC=AB=2 ∴CO=1 CC ′=3 ∴OC ′=22132=- 3.取BD 中点O ，AC 交EF 于G.连结PG.过O 作OH ⊥PG 于H ，则 ∵BD ∥EF ∴求B 到面PEF 的距离即为O 到面PEF 的距离.∴面PAG ⊥面PEF ，OH ⊥面PEF ∴OH 为所求. ∵AB=a,AC=2a,OG=42a,AG=243 aPG=434892222=+=+a a AG PA a△OHG ∽△PAG PGPA OG OH =⇒OH=PGOGPA •=a aa 81742•=717a【渗透拓展创新】1.(1)若存在Q ，则PA ⊥面ABCD AQ ⊥QD设BQ=x,则CQ=a-x △ABQ ∽△QCD 即x 1=1x a -有解 x 2-ax+1=0(有解) 亦即Δ≥0,a 2-4≥0,a ≥2(2)Δ=0即a=2时，x=1,Q 为中点取AD 中点H ，过H 作HG ⊥PD 于G ，则GH ∥CD ，CH ⊥AD ，QH ⊥面PA D由三垂线定理QG ⊥PD ，∠QGH 为所求PDHDPAA HG =∴HG=55551=⨯=•PD PA HD tan ∠QGH=5551= ∠QGH=arctan 52.(1)延长BD 交α于D B 、C 在α上的射影为G 、H.则G 、H 、D 共线 BG=2GH ∴BC=CD ∴∠BAD=90°,GA ⊥AD,∠BAG 为所求.sin ∠BAC=b a AB BG 2=∠BAG=arcsin b a2 (2)CDBD CH BG ==3 ∴BC=2CD CD=2bAD 2=AC 2+CD 2+AC ·CD=472b ∴AD=27bC 到AD 的距离为142123b ACCD AC =••设所成角为α，则 sin α=b aba b a 21211421141421== α=arcsinba212114【高考真题演练】1.本题涉及的面较广，但均考查基础知识与三种语言互译能力，以及空间想像力，要求把线 线，面线，面面关系转化清楚，正确的为(1)(4).2.(1)欲证AD ⊥D 1F ，只需证AD ⊥DF ，(∵DF 为D 1F 在面AC 上的射影)而这是显然的(或证AD ⊥面D 1C.)(3)欲证面AED ⊥A 1FD 1，只需在其中一个平面内“找”一条直线是另一个平面的垂线即 可，则(Ⅰ)已知D 1F ⊥AD,D 1下是否垂直于AE 或DE ，取AB 的中点G ，连结A 1D ，则A 1G ∥D 1F;另证A 1G ⊥AE,∴D 1F ⊥AE,这里关键是AB 的中点G 的选取，也需要空间想象力.3.(1)欲求角只需找到AA 1在面ABC 上的射影，由于面A 1ACC 1⊥面ABC ，AC 为射影，求出 ∠A 1AC 即可，∠A 1AC=45°；(2)关键是找出平面角，由A 1O ⊥底面ABC ，由三垂线定理，若A 1E ⊥AB ，则OE ⊥AB ，∠ A1EO即为所求，AC=23,AO=OA1=3,OE=21BC=1,tan∠A 1EO=13=3,∠A1EO=60°.(3)由点C作平面A1ABB1，垂足为H，则CH为所求.连接HB，由于AB⊥BC得AB⊥HB，又A1E⊥AB，知HB∥A1E，BC∥OE. ∴∠HBC=∠A1EO=60°,∴CH=BCsin60°=3。
2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第10章 空间直线与平面(单元提升卷)
第10章 空间直线与平面（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．已知直线,a b 和平面α，若,a b αα⊥⊥，则a 与b 的位置关系是________2．三条不同的直线a 、b 、c ，若//a b ，c 与a 、b 都相交，则a 、b 、c 三条直线能确定的平面的个数是______个．3．已知角α的大小为150°,且异面直线a b 、分别与角α的两边平行,则异面直线a b 、所成角的大小为_________.4．线段AB 在平面α的同侧，A ，B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．5．如图，平面ABC ⊥平面ABD ，90ACB ︒∠=，CA CB =，ABD △是正三角形，O 为AB 的中点，则图中直角三角形的个数为______.6．如果直线l 与平面α所成的角为3π，那么直线l 与平面α内的直线所成的角的取值范围是______；7．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是______．①αβ⊥，且m α⊂；②m n ∥，且n β⊥；③αβ⊥，且m α∥；④m n ⊥，且n β∥．8．如图，矩形ABCD 的长AB =2，宽AD =x ，若PA ⊥平面ABCD ，矩形的边CD 上至少有一个点Q ,使得PQ ⊥BQ ，则x 的范围是____________．9．如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图是图中的A B C '''，若3AC ''=，2B C ''=，则边AB的实际长度为___________10．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的___________条件.11．如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AB =，BC =PB P BC A --的大小为________12．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，若AB ＝12，则A B ''=______． 二、单选题13．设m ､n 是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，则//m βC ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥14．在正方形123SG G G 中，E 、F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点．现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个空间四边形，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在空间四边形S EFG -中必有（ ）A ．SG EFG △⊥所在平面B ．SD EFG ⊥所在平面C ．GF SEF ⊥所在平面D ．GD SEF ⊥所在平面15．在矩形ABCD 中，1AB =，()0BC a a =>，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =.若边BC 上存在两个不同的点1Q ､2Q ，使得11PQ DQ ⊥，22PQ DQ ⊥.则a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,2C ．()2,+∞D ．[]2,416．下列说法正确的个数（ ）（1）三点确定一个平面；（2）一条直线和一个点确定一个平面；（3） 两条直线确定一个平面；（4）三角形和梯形一定为平面图形.A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题 17．已知,,αβγ是三个平面，且,,a b c αβαγβγ===.（1）若a b O ⋂=，求证：a ，b ，c 三线共点.（2）若//a b ，则a 与c ，b 与c 有什么关系？为什么？18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D .19．如图，长方体中1111ABCD A B C D -中，2DA =，DC =，1DD =,M N 分别为棱,AB BC 的中点.（1）证明：平面1D MN ⊥平面1D DM ；（2）求点D 到平面1D MN 的距离.20．如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：EF PAD 平面；(2)若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成角的大小．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E为AD的中点，将△ABE沿直线BE折起至平面PBE⊥PB平面CEM．平面BCDE（如图2），点M在线段PD上，//(1)求证：MP＝2DM；(2)求二面角B－PE－C的大小；(3)若在棱PB、PE上分别取中点F、G，试判断点M与平面CFG的关系，并说明理由．。
高二数学精品讲义之空间中的直线与平面1题库版
空间中的直线与平面1例题解析1、直线与平面平行（默认）【例1】判断真假：（1）平行于同一直线的两直线平行（）；（2）平行于同一直线的两平面平行（）；（3）平行于同一平面的两直线平行（）；（4）平行于同一平面的两平面平行（）；（5）垂直于同一平面的两直线平行（）；（6）垂直于同一平面的两平面平行（）；（7）垂直于同一直线的两直线平行（）；（8）垂直于同一直线的两平面平行（）；（9）一个平面上不共线的三点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行（）；（10）与同一条直线成等角的两个平面平行（）．【难度】★★【答案】1．√ 2．╳ 3．╳ 4．√ 5．√ 6．╳ 7．╳ 8．√ 9．╳ 10．╳【例2】判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行；（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则α与β平行；（3）平行于同一直线的两个平面平行；（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．【难度】★★【答案】不正确，不正确，不正确，正确，不正确（默认）【例3】在正方体1111D C B A ABCD -中，M F E ,,分别是棱1CC 、1DD 、1AA 的中点． 求证：（1）直线ABEF M D 平面//1；（2）直线ABEF M C 平面//1．【难度】★ 【答案】略【例4】E ，F 分别是空间四边形ABCD 的AC ，BD 的中点，过E ，F 且平行于AD 的平面分别交AB ，CD 于G ，H ．求证：BC //平面EGFH ．【难度】★★ 【答案】略【例5】ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，并且AC //面EFGH ，BD //面EFGH ，,AC m BD n ==当EFGH 是菱形时，:AE EB =____________________．【难度】★ 【答案】mn【例6】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ． 【难度】★★ 【答案】略【例7】已知：线段AB 、CD 异面，CD Þ平面α，AB ∥α，M 、N 分别是线段AC 和BD 中点．求证：MN ∥平面α． 【难度】★★ 【答案】略CB DA B 1C 1A 1D 1E FM【例8】如图，正方体ABCD A B C D ''''-中，E 为DD '的中点，试判断BD '与平面AEC 的位置关系，并说明理由． 【难度】★★ 【答案】略（默认）【例9】在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点，且AP=BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1．【难度】★★ 【答案】略【例10】如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】：要证直线MN ∥平面PBC ，只需证明MN ∥平面PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面∥平面PBC .证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意得NRNR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意有AB BM =PD PN =DCNR，∴=MB ，BR1ACC 'A=+MN + NR=MN.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.【说明】 1：要证明直线与平面平行根据判定定理应该找平行线；但找平行线又根据性质定理的思想关键是找一个平面，借此可充分领会平行链的作用.2．找平行线经常会用到平行线分线段成比例的性质.3．鼓励学生一题多解,【说明】本题重点考查直线与平面平行的性质.α =c，则直线c（）【例11】两条异面直线a、b分别在平面α、β内，且βA．一定与a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．一定与a，b都不相交【难度】★★【答案】B【例12】如图，在正方形ABCD外有一点S到A、B、C、D四点距离相等，底面ABCD的边长为a，SA=SB=SC=SD=2a，P、Q分别在BD和SC上，且BP : PD=1 : 2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长．Array【难度】★★★【巩固训练】（默认）1．如果平面外一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，则这条直线与平面关系是________．【难度】★【答案】平行，相交l平面M，则直线l与平面M内的直线的位置关系是．2．若直线//【难度】★【答案】平行、异面3．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l （ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直 【难度】★ 【答案】D4．正方体1111D C B A ABCD -中，点N M ,分别是正方形1111,D DCC ADD A 的中心． （1）直线MN 平面AC 的位置关系是 ；（2）直线MN 与BD 所成的角为 ；（3）平面MN D 1与平面B C A 11的位置关系是 ． 【难度】★【答案】平行，2π，平行（默认）5．直线a 与平面α平行的充要条件是 （ ）A ．直线a 与平面α内的一条直线平行B ．直线a 与平面α内的两条直线不相交C ．直线a 与平面α内的无数条直线平行D ．直线a 与平面α内的任意直线都不相交 【难度】★ 【答案】D6．如果直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上情况都有可能 【难度】★ 【答案】A7．已知直线//,a b a Ü平面α，则直线b 与平面α的位置关系是__________。
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高二数学空间直线和平面单元练习一、选择题1.下列各条件可以确定平面的是( )A.六边形B.两两相交的三条直线C.两两平行的三条直线D.梯形2.正方形的一条对角线与正方体的棱所组成的异面直线有( )A.12对B.10对C.8对D.6对3.给出下列四个命题：(1)如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这个平面平行；(2)如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(4)垂直于同一平面的两平面平行.其中正确的是( )A.(1)(3)(4)B.(2)(3)(4)C.(3)D.(4)4.经过空间一点作直线，使它与异面直线都成60°角，则这样的直线有( )A.2条B.2条或3条C.4条D.2条或3条或4条5.异面直线在同一平面的射影不可能是( )A.两条平行直线B.两相交线C.一点与一直线D.同一直线6.空间四边形ABCD四条边的中点为E、F、G、H，且EFGH为菱形，则空间四边形ABCD 的对角线 AC与BD的关系是( )A.AC⊥BDB.AC与BD共面C.AC=BDD.不能确定7.已知ABCD为正方形，过A作SA⊥平面ABCD，若AB=SA，则面SAB与面SCD所构成二面角的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.90°8.异面直线所成角取值集合为A，直线与平面所成角取值集合为B，平面斜线与平面所成角取值集合为C，则它们角的集合关系为( )A.A B CB.B A CC.C A BD.C B A9.一直线与直二面角的两个面所成角分别为θ1与θ2，则θ1+θ2的值是( )A.90°B.不超过90°C.不小于90°D.以上三种情况都可能10.如图，PC⊥平面α于C，ABα，PB⊥AB，则线段PB、PA、PC的关系式是( )A.PA＞PC＞PBB.PC＞PB＞PAC.PA＞PB＞PCD.PB＞PA＞PC11.矩形ABCD中，AB=2,BC=6,沿对角线AC折起成直二面角，则AC与BD的距离为( )A.22B.2C.1D.2312.等边△ABC的边长为1，BC上的高是AD，若沿AD折成直二面角，则A到BC的距离为( )A.212 B.4114 C.4115 D.21313.三棱锥P —ABC 中，顶点P 在底面ABC 上的射影为O 且S △OAB =S △OBC =S △OCA ,则O 是△ABC 的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心14.a 、b 是异面直线，AB 为其公垂线，直线l ∥AB ，则l 与a 、b 的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.最多1个15.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1A 和B 1B 的中点，若θ为CM 和D 1N 所成的角，则sin θ的值为( )A.91 B.32 C.325 D.945二、填空题16.一条直线与这条直线外的四点最多可确定 个平面.17.正方体AC 1中，M 、N 分别为B 1C 1和BB 1的中点，则MN 和B 1D 1所成角为 . 18.矩形ABCD 中，AB=4,AD=3,PA ⊥平面AC ，且PA=1，则P 到BC 的距离为 . 19.P 是边长为a 的正三角形外一点，且PA=PB=PC=a ，则PB 与平面ABC 所成角的正弦值是 .20.α-l-β是直二面角，A ∈l,AB α,AB β,AB 、AC 与l 所成角均为45°，则∠BAC= .21.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则截面A 1BD 底面A 1B 1C 1D 1所成角 的正切是 .三、解答题22.已知二面角A-BC-D 等于30°，△ABC 是等边三角形，其外接圆半径为a ，点D 在平面ABC 上射影是△ABC 的中心O ，求S △DBC .23.正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是棱B ′B 、CD 的中点，AA ′=2，求F 到面A ′D ′ E 的距离.【能力素质提高】1.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∠C=45°,AD=AB=2,把梯形沿BD 折起成60°的二面角C ′-BD-A.求：(1)C ′到平面ADB 的距离； (2)AC ′与BD 所成的角.2.斜三棱柱ABC—A′B′C′的底面是正三角形，且C′B=C′C.(1)证明：AC′⊥BC；(2)若侧面BCC′B′垂直于底面，侧棱长为3，底棱长为2，求两底面间的距离.3.正方体ABCD中，E、F为BC、DC的中点PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B到面PEF的距离.【渗透拓展创新】1.已知矩形ABCD，AB=1，BC=a，又PA⊥平面ABCD，且PA=1.(1)问BC边上是否存在在点Q，使PQ⊥QD，并说明理由；(2)若BC边上有且只有一个点Q，使PQ⊥QD，求此时二面角Q-PD-A的大小.2.等边ABC的A∈平面α，B、C到面α的距离分别为2a、a，且AB=BC=AC=b.(1)求面ABC与α所成二面角的大小；(2)若B、C到α的距离分别为3a、a呢?【高考真题演练】1.(1997全国)已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题.(1)若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；(2)若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；(3)若mα，lβ，且l⊥m,则α⊥β；(4)若lβ，且l⊥α，则α⊥β；(5)若mα,lβ,且α⊥β则m∥l.其中正确命题序号是 .2.(1997全国理)如图在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明：AD⊥D1F；(2)证明AED⊥面A1FD1；3.(1998年)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC= 90°，BC=2,AC=23,且AA1⊥A1C，AA1=A1C.(1)求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离.[参考答案]【课内四基达标】1.D2.D3.C4.D5.D6.C7.B8.C9.B 10.B 11.C 12.B 13.C 14.D 15.D 16.8个 17.60° 18.513 19.36 20.60°或120° 21.2 22.延长AO 到E 则AE ⊥BC ，又∵DO ⊥面ABC ，∴DE ⊥BC ∠DEO=30° 又∵AO=a ∴OE=21a DE=33a BC=3a ∴S △BDC =21BC ·DE=21·3 a ×33a =21a(22题图) (23题图)23.取AB 中点H ，则HF ∥AD ∥A ′D ′，连结HB ′交A ′E 于G. 又∵AD ⊥面ABB ′A ′ ∴HF ⊥HG ①∵△HBB ′≌△EB ′A ′∴∠HBE ′+∠A ′EB ′=90°∴HG ⊥A ′E ② HB ⊥面A ′B ′E ，HG 为所求. ∴A ′E=HB ′=122+=5 B ′G=552512=⨯ ∴HG=5535525=-【能力素质提高】1.(1)过C ′作C ′G ⊥面BAD 于G ，连结DG. ∵AD=BA=2 AD ⊥AB ∴∠ADB=45°又∵∠ADC=180°-45°=135° ∴∠BDC=135°-45°=90°即BD ⊥DC ⇒BD ⊥DC ′⇒BG ⊥BD ∴∠GDC ′=60° C ′G 为所求C ′G=C ′D ·sib60°=22·23=6 (2)DG=C ′D ·cos60°=22·21= 2 又AD=2 A 到BD 的距 离AO=AD ·sin45°=2α×22= 2 ∴AG ∥OD ，即AG ⊥DG ，∠GAC ′为所求. tan ∠GAC ′=326=='AG G C ∴∠GAC ′=60°(1题图) (2题图)2.(1)取BC 中点O ，则AB=AC AO ⊥BC.BC ′=CC C ′O ⊥BC. ∴BC ⊥面AOC BC ⊥AC ′(2)面BB ′C ′C ⊥面ABC ∴AO ⊥面BB ′C ′C C ′O ⊥底面ABC ，面ABC ∥面A ′B ′C ′ ∴OC ′为两平面间的距离，OC ′为所求.∵BC=AC=AB=2 ∴CO=1 CC ′=3 ∴OC ′=22132=- 3.取BD 中点O ，AC 交EF 于G.连结PG.过O 作OH ⊥PG 于H ，则 ∵BD ∥EF ∴求B 到面PEF 的距离即为O 到面PEF 的距离.∴面PAG ⊥面PEF ，OH ⊥面PEF ∴OH 为所求. ∵AB=a,AC=2a,OG=42a,AG=243 a PG=434892222=+=+a a AG PA a △OHG ∽△PAG PGPA OG OH =⇒OH=PGOGPA ∙=a aa 81742∙=717a【渗透拓展创新】1.(1)若存在Q ，则PA ⊥面ABCD AQ ⊥QD设BQ=x,则CQ=a-x △ABQ ∽△QCD 即x 1=1x a -有解 x 2-ax+1=0(有解) 亦即Δ≥0,a 2-4≥0,a ≥2(2)Δ=0即a=2时，x=1,Q 为中点取AD 中点H ，过H 作HG ⊥PD 于G ，则GH ∥CD ，CH ⊥AD ，QH ⊥面PA D由三垂线定理QG ⊥PD ，∠QGH 为所求PDHDPAA HG = ∴HG=55551=⨯=∙PD PA HD tan ∠QGH=5551= ∠QGH=arctan 52.(1)延长BD 交α于D B 、C 在α上的射影为G 、H.则 G 、H 、D 共线 BG=2GH ∴BC=CD ∴∠BAD=90°,GA ⊥AD,∠BAG 为所求.sin ∠BAC=b a AB BG 2= ∠BAG=arcsin b a2 (2)CDBDCH BG = =3 ∴BC=2CD CD=2bAD 2=AC 2+CD 2+AC ·CD=472b ∴AD=27bC 到AD 的距离为142123b ACCD AC =∙∙设所成角为α，则 sin α=b aba b a 21211421141421== α=arcsinba212114【高考真题演练】1.本题涉及的面较广，但均考查基础知识与三种语言互译能力，以及空间想像力，要求把线 线，面线，面面关系转化清楚，正确的为(1)(4).2.(1)欲证AD ⊥D 1F ，只需证AD ⊥DF ，(∵DF 为D 1F 在面AC 上的射影)而这是显然的(或证AD ⊥面D 1C.)(3)欲证面AED ⊥A 1FD 1，只需在其中一个平面内“找”一条直线是另一个平面的垂线即 可，则(Ⅰ)已知D 1F ⊥AD,D 1下是否垂直于AE 或DE ，取AB 的中点G ，连结A 1D ，则A 1G ∥D 1F;另证A 1G ⊥AE,∴D 1F ⊥AE,这里关键是AB 的中点G 的选取，也需要空间想象力.3.(1)欲求角只需找到AA 1在面ABC 上的射影，由于面A 1ACC 1⊥面ABC ，AC 为射影，求出 ∠A 1AC 即可，∠A 1AC=45°；(2)关键是找出平面角，由A 1O ⊥底面ABC ，由三垂线定理，若A 1E ⊥AB ，则OE ⊥AB ，∠ A 1EO 即为所求，AC=23,AO=OA 1=3,OE=21BC=1,tan ∠A 1EO=13= 3,∠A 1EO=60°. (3)由点C 作平面A 1ABB 1，垂足为H ，则CH 为所求.连接HB ，由于AB ⊥BC 得AB ⊥HB ，又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，BC ∥OE. ∴∠HBC=∠A 1EO=60°,∴CH=BCsin60°=3。