三角形的全等变换及其应用

三角形的全等变换及其应用
——全等三角形证题思路探讨
我们知道，两个全等三角形的形状相同，大小一致．因此，把全等三角形中的一个图形通过不同方式的位置变换，一定能与另一个图形重合．只要掌握了这些位置变换的基本规律，就会给我们解与全等三角形有关的题目带来极大方便．下面列举数例，以揭示三角形全等变换的类型及规律．
一、平移型变换
把全等三角形中的一个图形沿某直线方向平行移动而与另一个图形重合的变换规律．其基本模式为：
例1 如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，CE是∠ACB的平分线，交AB于E，交AD于F，过F作BC的平行线交AB于G．求证：AE=BG．
简析：过E作EH⊥BC于H，容易证AF=AE=EH，由于AD∥EH，GF∥BC，因此将△AFG沿直线AB向下平移，一定能与△EHB重合，从而有AG=BE．∴AE=BG．
二、对折型变换
把全等三角形中的一个图形沿某直线翻折而与另一个图形重合的变换规律．其基本模式为：
例2 如图2，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E．求证：BD=2CE．
简析：由于BE平分∠ABC，CE⊥BE，因此，把△BCE沿BE向上翻折，则BC落在BA上，CE落在CE的延长线上(即延长BA、CE交于点F)，则有△BCE≌△BFE，从而有CF=2EC；容易证△ABD≌△ACF，∴BD=CF=2CE．
求证：BE=CF．
简析：BE与CF虽然分别在两个三角形中，但它们显然不全等．由于BD=CD，∠EDB=∠FDC，将△BDE沿△BCD中BC边上的高向右翻折，则E点一定落在DF上，设该点为F′，再证△CFF′为等腰三角形即可．
三、旋转型变换
把全等三角形中的一个图形绕某点旋转而与另一图形重合的变换规律．其基本模式为：
例4 如图4，正方形ABCD中，E在BC边上，F在CD边上，且∠EAF=45°，AG⊥EF于G，求证：AG=AB．
简析：若直接证△ABE≌△AGE条件不够．由于AD＝AB，∠D=∠ABC=90°，因此，把△ADF绕A点顺时针旋转90°，则F点一定落在CB的延长线D′上，而△AD′E与△AFE又是关于AE呈对称型的全等三角形，由全等三角形对应边上的高相等可得AB＝AG．
例5 P是等边三角形ABC内一点，且∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5∶6∶7，则以PA、PB、PC为边的三角形各内角的大小之比是 [ ]
(A)2∶3∶4
(B)3∶4∶5
(C)4∶5∶6
(D)不确定．
简析：解本题的关键是如何将PA、PB、PC有效地构成三角形．由于△ABC为等边三角形，因而将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，连结PP′，易证△APP′是等边三角形，则△PP′C便是由PA、PB、PC构成的三角形．易计算∠PP′C＝40°，∠P′PC=80°，∠PCP′＝60°．故选(A)．
四、复合型变换
把全等三角形中的一个图形经过以上两种变换才能与另一个图形重合的变换规律．其基本模式有：(1)平移+对折，例如图(1)；(2)平移+旋转，例如图(2)；(3)对折+旋转，例如图(3)．
例6 △ABC中，∠A=90°，AB=AC，AC的中点为D，AE⊥BD交BC于E．求证：∠ADB=∠CDE．
简析：如图6，由于AB＝AC，∠ABD＝∠CAE，因此，把△ABD先沿BA平移，让B点与A 点重合，再将其绕A(B)点顺时针旋转90°，则BA一定与AC重合，BD必落在AE延长线上(即过C作AC的垂线交AE延长线于F)得△ACF≌△BAD，则∠ADB=∠F，而此时△CEF与△CED 恰好呈对折型全等．∴∠EDC=∠F=∠ADB．
当然，解决与全等三角形有关的题目还有许多方法，我们在解题中只有灵活运用各种方法，才能做到快速、简捷地解决问题．
（重庆市忠县新生职业高级中学陈联善）。