(1) 数据包络分析法(DEA)概述

(1)数据包络分析法(DEA)概述

数据包络分析(Data Envelopment Ana lysis，简称D EA）方法是运用数学工具评价经济系统生产前沿面有效性的非参数方法，它适应用于多投入多产出的多目标决策单元的绩效评价。这种方法以相对效率为基础，根据多指标投入与多指标产出对相同类型的决策单元进行相对有效性评价。应用该方法进行绩效评价的另一个特点是，它不需要以参数形式规定生产前沿函数，并且允许生产前沿函数可以因为单位的不同而不同，不需要弄清楚各个评价决策单元的输入与输出之间的关联方式，只需要最终用极值的方法，以相对效益这个变量作为总体上的衡量标准，以决策单元(DM U)各输入输出的权重向量为变量，从最有利于决策的角度进行评价，从而避免了人为因素确定各指标的权重而使得研究结果的客观性收到影响。这种方法采用数学规划模型，对所有决策单元的输出都“一视同仁”。这些输入输出的价值设定与虚拟系数有关，有利于找出那些决策单元相对效益偏低的原因。该方法以经验数据为基础，逻辑上合理，故能够衡量个决策单元由一定量大投入产生预期的输出的能力，并且能够计算在非DEA有效的决策单元中，投入没有发挥作用的程度。最为重要的是应用该方法还有可能进一步估计某个决策单元达到相对有效时，其产出应该增加多少，输入可以减少多少等。

1978年由著名的运筹学家查恩斯（A.Charnes）,库伯（W.W.Cooper）和罗兹（E.Rhodes）首先提出数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称DEA）的方法，DEA有效性的评价是对已

有决策单元绩效的比较评价，属于相对评价，它常常被用来评价部门间的相对有效性（又称之为DEA有效）。他们的第一个数学模型被命名为CCR模型，又称为模型。从生产函数角度看，这一模型是用来研究具有多项输入、特别是具有多项输出的“生产部门”时衡量其“规模有效”和“技术有效”较为方便而且是卓有成效的一种方法和手段。自从该方法提出以来，就广泛应用于各个行业的有效性评价上。此后，得到不断的完善，并且在实践中的应用也越来越广泛。例如1984年R.D.Banker,A.Charnes和W.W.Cooper给出了一个被称为BCC的模型，又称之为BC2模型。另外，于1985年Charnes,Cooper 和 B.Golany, L.Seiford, J.Stutz给出了另一个模型，称为CCGSS模型，又称之为C2GS2模型，这两个模型是用来研究生产部门之间的“技术有效”相对效率。下面将介绍这两个优化模型。

( 2 ) 数据包络模型（又称为DEA模型）描述

数据包络分析(DEA)由美国著名运筹学家A. Charnes等人在1978年以相对效率概念为基础发展起来的一种新的绩效评价方法。这种方法是以决策单元(Decision Making Unit，简称DMU)的投入、产出指标的权重系数为变量，借助于数学规划模型将决策单元投影到DEA 生产前沿面上，通过比较决策单元偏离DEA生产前沿面的程度来对被评价决策单元的相对有效性进行综合绩效评价。其基本思路是:通过对投入产出数据的综合分析，得出每个DMU综合相对效率的数量指标，确定各DMU是否为DEA有效。下面我们先描述DEA模型。

假设有n个待评价的对象(又称之为n个决策单元DMU )，每个决策单元都有m种类型的投入及s种类型的产出，它们所对应的权重向量分别记为: ，。这n 个决策单元中第j个的投入和产出量用向量分别记作：

，，

其中：为第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量，为第j 个决策单元对第r种类型输出的产出总量，且，；为第i 种输入指标的权重系数，为第r种产出指标的权重系数，且，。则每个决策单元DMU投入与产出比的相对效率评价指数如下:

通过适当选取权重向量V和U的值，使对每个j，均满足。现对某第个决策单元进行绩效评价，则以第个决策单元的效率指数为目标，以所有的待评的决策单元的效率指数为约束，第个决策单元简记为，故可以得到一般的DEA优化模型如下:

上面的模型是分式规划规划问题模型，为了方便计算，通过适当的变换，我们可以将其化为一个等价的线性规划数学模型，并且引进阿基米德穷小量（在实数范围内表示的是大于0但小于任意正数的量），构成了具有非阿基米德无穷小量的的模型。它的对偶线性规划问题模型如下：

其中：，，均为对偶变量，m维单位向量

，s维单位向量，和均松弛变量，，

。

模型是假定生产技术是固定规模报酬的。后来，Banker，Chames and C ooper又对模型进行推广，他们把固定规模报酬假设改为非递增规模报，则在上述的DEA模型的基础上需增加一个

约束条件:。在此假设下非递增规模报酬时的技术效率为。如果我们把固定规模报酬假设改为可变规模报酬(variable

Returns to Scale，简记VRS)，则DEA模型中的上述约束条件应改为：。从而得到的如下新的DEA模型：

线性规划模型在可变规模报酬(V RS)条件下求得的相对效率称为纯技术效率，在CRS假设条件下得到的相对效率称为技术效率，又称为总体效率，它是规模效率与纯技术效率的乘积。因此，可以根据C2R模型（4-3）和V RS模型（4-4）来确定规模效率。

模型（4-3）表明，当第j0个决策单元产出Y0保持不变的情况下，应尽量保证投入量X0按照同一比例减少。假设上述规划问题模型（4-3）求得最优解为，则有，若，且

，则称被评价决策单元相对于其它决策单元而言DEA 有效，此时该决策单元既满足技术有效又满足规模有效；若，但不同时等于零向量，则称被评价决策单元为弱DEA有效，

这时该被评价的决策单元不是同时技术有效和规模有效，此时需要应用V RS模型（4-4）进一步进行计算；如果，则称此被评价的决策单元为非DEA有效。

值得注意的是，V RS模型（4-4）是在对C2R模型（4-3）计算的基础上进行的分析，用以确定是否为纯技术有效。由于总体效率表现为规模效率和纯技术效率之积，根据上述的分析并通过模型（4-3）和（4-4）容易求得规模效率值。

另外，对于非DEA有效的决策单元，需要通过进一步的分析讨论并求出被评价的决策单元DMU在DEA相对于有效面上的投影（即新决策单元），则新决策单元相对于原来的决策单元而言是DEA有

效的。设为第j0个决策单元对应于在DEA的相对有效面上的投影，则它们之间的转换关系可以表示为如下公式：

根据上述公式（4-5），可以求得各个非DEA有效的决策单元相对于某有效决策而言，在保持其产出量不变的情况下，可以计算出对各项指标的投入量进行相应的的调整量。并且可以对相应的财务绩效上存在不足的决策单元相对于DEA有效的决策单元而言给出针对性的管理建议。

(3)DEA方法的应用