证明抛物线焦点弦的18个结论

证明抛物线焦点弦的18个结论

重庆市开县临江中学

张帮军

2011.08/复习备考

【内容摘要】关于抛物线的焦点弦到底有哪些结论呢？总结一下有四大类共18个结论，第一类是常见的基本结论；第二类是与圆有关的结论；第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

【关键词】证明抛物线焦点弦

现在通过下面的例题来证明这些结论。例：过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的一条直线AB 和此抛物线相交于A ，B 两点（α是直线AB 的倾斜角），准线l 的方程：x =-p 2

，设点A （x 1,y 1），B

（x 2,y 2），则有关抛物线的焦点弦有以下八个基本结论：

（1）x 1x 2=p 2

4

；

（2）y 1y 2=-p 2；（3）|AF |=x 1+p 2；|BF |=x 2+p

2

（4）|AB |=x 1+x 2+p ；（5）|AB |=2p sin α

；

（6）|AF||BF|=p 2

sin 2α；（7）;1|AF |+1|BF |=2

p

（8）S △AOB =p

2

2sin α

证明：如图若α≠π2，则k =tan α因为点F(p 2

,0)，

所以设直线AB 的方程为y =k (x -p 2

)

由

y =k (x -p 2)y 2=2p p

x

得k 2x 2-p (k 2+2)x +k 2p 2

4

=0由根与系数的关系得：x 1x 2=p 24;x 1+x 2=p (k 2

+2)k

2

∴（1）式得证

∵A ，B 两点都在直线y 2=2px 上∴y 12=2px 1；y 22=2px 2

∴(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2=p 4

∵y 1y 2<0，∴y 1y 2=-p 2即(2)式得证过点A ，B 分别作AA 1，BB 1与直线l 垂直，垂足为A 1，B 1即A 1(-p 2,y 1)，B 1(-p 2

,y 2)

由抛物线定义知|AF |=|AA 1|=x 1+p 2

;|BF |=|BB 1|=

x 2+p 2

即(3)式得证

∵|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+p ∴(4)式得证

∵x 1+x 2=p (k 2

+2)k

2，k =tan α∴|AB |=x 1+x 2+p =2p (k 2+1)k 2=2p (tan 2

α+1)tan 2

α=2p sin 2α

即(5)式得证

∵|AF ||BF |=(x 1+p 2)·(x 2+p 2)=x 1·x 2+p 2

(x 1+x 2

)+p 24=p 2(x 1+x 2

+p )=p 2·2p sin 2α=p 2

sin 2α

∴(6)式得证∵1|AF |+1|BF |=|AF |+|BF ||AF |·|BF |=|AB ||AF |·|BF |=2p

sin 2α

·sin 2

αp 2=2p

∴(7)式得证

∵点O 到直线AB 的距离d 就是△AOB 的高∴h =d =p|k|21+k

2姨=p sin α

2∴S △AOB =12|AB|·h =12·2p

sin 2αp sin α2=p 2

2sin α

∴(8)式得证

下面来探究焦点弦与圆有关的四条结论：（1）以AB 为直径的圆M 与准线相切；（2）以AF 为直径的圆C 与y 轴准线相切；（3）以BF 为直径的圆D 与y 轴准线相切；（4）分别以AB ，AF ，BF 为直径的圆关系有：

圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切又圆M 相内切。

B 1

A 1

l y

x

O F A

B M 1

M

C 1

C D 1

D 证明：(1)过点M 作MM 1，所以MM 1是梯形AA 1B 1B 的中位

线，由抛物线定义知|AA 1|=|AF ||BB 1|=|BF |

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建设高效课堂的几点思考

江苏省连云港市灌云县实验中学

尹

好

【内容摘要】建设高效课堂是教育工作者的追求，那什么样的课堂才是高效课堂呢？高效课堂首先是有效的课堂，高效课堂必须是

面向全体的课堂，高效课堂还应该是轻松快乐的课堂，高效课堂更应该是放眼学生未来成长的课堂。

那么怎样才能打造高效课堂呢？良好的课堂秩序是高效课堂的基石，高效课堂需要培养学生良好的学习习惯，高效课堂必须让学生成为课堂的主人，高效课堂必然是重视学习方法指导的课堂。

【关键词】高效课堂特征打造策略思考

在大力推行课程改革、全面实施素质教育的背景下，传统教学那种靠加班加点、题海战术提高教学质量的做法显然行不通了。特别是随着江苏省“五严”、连云港市“六严”规定的出台并实施，我们明显感觉到教学时间较以前大幅度减少了，而教学内容却没有跟着调整。此种情况下，要想在有限的时间里完成既定的教学任务，提高课堂教学效率就显得非常重要。建设高效课堂成了教育工作者迫在眉睫的任务。

那什么样的课堂才是高效课堂呢？

高效课堂首先是有效的课堂。课堂的有效性取决于学生收获了多少，而不是取决于教师讲解了多少。有些教师为了完成教学任务而不顾学生实际，一味追求教学进度，看起来把该讲的都讲完了，可学生没有掌握你所讲的知识，你怎么能说完成了教学任务？如果说完成了，那么教学任务到底是什么？学生没有掌握，你讲得再多也是无效的知识，你的劳动也只能是无效劳动。人们常说，老师要给学生一碗水，自己需要拥有一桶水。可是老师拥有一桶水就一定能给学生一碗水吗？当然不是。那种只顾将自己的

“桶”扳倒倒水，不顾学生“碗”放在哪，甚至不知学生有没有拿出“碗”来的老师，即使将自己的一桶水全倒出去，也不可能倒满学生一碗水，甚至可能学生的碗都是空的。

高效课堂必须是面向全体的课堂。检验课堂教学效果不能只看几个班级尖子生，而应该看全体学生至少是大多数学生对教学内容的掌握情况。班级少数尖子生不用老师教也能掌握课堂教学内容，说不定要让他们自学的话还能学得更快更好。所以他们的成绩不是老师教出来的，至少不能全算是老师的教学效果，倒是那些中等生尤其是学困生，他们的每一点收获都是老师的功劳，他们对教学内容的掌握情况最能反映老师的教学效果。∴|MM 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF |+|BF |)=12

|AB |

即以|AB 为直径的圆M 与准线相切，同理可证(2)，(3)。（4）∵|AF |+|BF |=|AB |，∴以分别以AB ，AF ，BF 为直径的圆有以下关系。

即圆C 与圆D 既与y 轴相切又圆M 相内切。

接下来探究由焦点弦得出有关直线垂直关系有四条结论。（1）以AB 为直径的圆的圆心在准线上的射影M 1与A ，B 两点的连线互相垂直；

（2）以AF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影C 1与A ，F 两点的连线互相垂直；

（3）以BF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影D 1与B ，F 两点的连线互相垂直；

（4

）A 1F 与B 1F 的连线互相垂直。B 1

A 1

l y

x

O F A

B M 1

M

C 1

C D 1

D 证明：∵准线与圆M 相切和y 轴与圆C 和圆D 相切

∴圆M 的圆心在准线上的射影就是切点，∵直径所对的圆周角是直角∴AM 1⊥BM 1同理可证AC 1⊥FC 1，FD 1⊥BD 1

(4)由抛物线定义可知AA 1=AF BB 1=BF

∵BB 1//NF //AA 1∴∠AA 1F =∠AFA 1=∠A 1FN ;∠BB 1F =∠BFB 1=∠B 1FN

而∠AFA 1+∠A 1FN +∠BFB 1+∠B 1FN =π∴∠A 1FN +∠NFB 1=π2

即A 1F ⊥B 1F

最后由焦点弦得出有关直线过定点有两条的结论。（1）以A 1B 1为直径的圆必过点F 。（2）直线AB 1必过原点。证明：（1）∵直径所对的圆周角是直角∴以A 1B 1为直径的圆必过点F 。

（2）由焦点弦的基本结论知：x 1x 2=p 2

4

；y 1y 2=-p 2

k OA =y 1x 1=-p

2

y 2p 24x 2

=-4x 2y 2=-4y 222p y 2=-2y 2

p

∵BB 1⊥l ∴点B 的坐标为

（-p 2

,y 2）∴k OB =-y 2-p

2

=-2y 2p =k OA

故直线AB 1必过原点。参考文献

[1]董丽.有关抛物线的焦点弦问题及其应用[M].中外教育研究，2009，4.

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