空间力系的简化
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理论力学L4-4 空间力系简化
c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' b) 若主矢平行于主矩：FR // M o
O
MO
' 由一个力和一个力偶(且力 FR 垂直于力偶作用面)组成的
力系，称为力螺旋。 力和力偶都是基本力学量， 力螺旋不能再简化。
力偶矩矢与力矢同方向的称为右螺旋(力偶的转 向与力的方向符合右手关系)；反之称左螺旋。 但一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直。
§4-4 空间任意力系向一点简化
一、空间任意力系向一点简化 与平面任意力系向一点简化相似，空间任意力 系也是利用力的平移定理将各力平移到简化中 心 O 处，并附加矢量表示的空间力偶，则原力 系与空间汇交力系＋空间力偶系等效。
MO m m1 n
F2 F’2
F’R
O
F’n
Fn
F’1 m2
F 又由于力偶矩矢是自由矢量，再将平行于 的 R '' 力偶矩矢 M o 平行移动与FR 重合，成为力螺旋。 一般情况下，空间力系简化结果是一个力螺旋。
约束类型
约束反力
数量
空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力
3
4
5 6
MO
F’R
对于空间汇交力系的合 ' 力FR ：
O
' FR 等于该力系各力的矢量和， 称其为该力系的主矢； 对于空间力偶系的合力偶，其力偶矩矢 M O等于 各附加力偶矩的矢量和，也是力系中各力对点O 力矩矢的矢量和： MO mi mO ( Fi ) 称为该力系对简化中心O点的主矩。
第三章 第四节 空间力系的简化
O O O O'
' FR
'' ' FR d FR FR
O'
d FR
MO(FR) =MO=SMO(F ) Mx(FR)=SMx(F )
空间力系对点(轴)之矩的合力矩定理
4. 空间力系简化为力螺旋的情形 FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' // MO 力螺旋 ' FR MO ' FR ' FR MO O O O 右螺旋 力系的中心轴：力螺旋中力的作用线 左螺旋
F1' M2 M1
F2'
O
FR' MO
Fn' ห้องสมุดไป่ตู้M F3' Mn 3 Mi=MO(Fi )
2. 主矢和主矩 主矢：空间力系中所有各力的矢量和 (与简化中心的位置无关)
FR'= SF
主矩：各力对于任选的简化中心 O之矩的矢量和 MO=SMO(F ) (一般与简化中心的位置有关)
三、空间力系的简化结果 合力矩定理 1. 空间力系平衡的情形 FR' =0 MO=0 2. 空间力系简化为一合力偶的情形 FR' =0 MO≠0 (主矩与简化中心的位置无关) 3. 空间力系简化为一合力的情形 合力矩定理 (1) FR' ≠0 MO=0 合力的作用线通过简化中心O，合力矢等于原力系的主矢。 (2) FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' ⊥ MO 合力的作用线通过另一点O ' ，d=MO /FR MO
一、空间力的平移定理 空间力的平移定理：作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体 中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原 力对于指定点的力矩矢。
第四节 空间力系的简化
' FR
'' ' FR d FR FR
O'
d FR
MO(FR) =MO=SMO(F ) Mx(FR)=SMx(F )
空间力系对点(轴)之矩的合力矩定理
4. 空间力系简化为力螺旋的情形 FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' // MO 力螺旋 ' FR MO ' FR ' FR MO O O O 右螺旋 力系的中心轴：力螺旋中力的作用线 左螺旋
F1' M2 M1
F2'
O
FR' MO
Fn' ห้องสมุดไป่ตู้M F3' Mn 3 Mi=MO(Fi )
2. 主矢和主矩 主矢：空间力系中所有各力的矢量和 (与简化中心的位置无关)
FR'= SF
主矩：各力对于任选的简化中心 O之矩的矢量和 MO=SMO(F ) (一般与简化中心的位置有关)
三、空间力系的简化结果 合力矩定理 1. 空间力系平衡的情形 FR' =0 MO=0 2. 空间力系简化为一合力偶的情形 FR' =0 MO≠0 (主矩与简化中心的位置无关) 3. 空间力系简化为一合力的情形 合力矩定理 (1) FR' ≠0 MO=0 合力的作用线通过简化中心O，合力矢等于原力系的主矢。 (2) FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' ⊥ MO 合力的作用线通过另一点O ' ，d=MO /FR MO
一、空间力的平移定理 空间力的平移定理：作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体 中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原 力对于指定点的力矩矢。
第四节 空间力系的简化
空间任意力系的简化结果分析
FT
6 P 100 6
6N (拉力)
Mil1 0
FAx 4 FT1
4 20 20
FAx
30பைடு நூலகம்6
FT
2 100N 20
Mil2 0
FAx 4 FAy 2 0
FAy 2FAx 200 N
z
E FAz
2m
FAx
A
0时，空间力系为平衡力系
7
§3–2 空间力系的平衡
平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件。
1.空间力系的平衡条件
任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢 定点O的主矩 M O 全为零。
FR
和对任一确
即
n
FR Fi 0
i 1
n
（7.1）
M O M O (Fi ) 0
sin BC
42 32
0.8944
AB
42 32 2.52
cos 0.4472
sin CD
4
0.8
BC
42 32
cos BD
3
0.6
BC
42 32
z 4m
600
F2
F1
F3
x
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805N
3
主矢和主矩的计算
主矢—通过投影法
先计算得到主矢在 各轴上的投影
根据它们，可得到 主矢的大小和方向
n
FRx
Fxi
i 1
n
FRy
理论力学 第4章 空间力系的简化和平衡
28
3
FR 0
M 0 FR M
FR
Mo
MO
FR
FR
FR
O’
oo M M
FR
FR
合力 o
如果一个力与一个力系等效，称该力是这个 力系的合力！
29
4 FR 0
5 FR 0
M 0
M 0
R // M
力螺旋 o
FR
垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，
F1=3N， F2=5N，构件自重不计，求A,B两处的约束反力。
解：取整体为研究对象。
Mx 0 Mz 0
20
§4-4 空间一般力系的合成与平衡
一，空间力系向一点的简化 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的
简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。 设作用在刚体上有
解：各杆均为二力杆,取球铰O为研究对象
Fix 0
Fiy 0
Fiz 0
10
§4-2 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。
mO (F ) Fd 2AOB面积
如果r 表示A点的矢径，则：
T1 546(kN)
36
由B点：
X 0, T2cos cos45T3cos cos450
Y 0, T1sin60T2cos cos45T3cos cos450
Z 0, N2 T1cos60T2sin T3sin 0
cos 4 4, sin 3
力螺旋 o
静力学-空间任意力系的简化
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
F’ F”
AF
B
2
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚体
F
F
FF
变形体
F
F
FF
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线 3
2、力的平移
F
F A
B
A
B
F
F A
B
F’
F MB
A rBA
B
力的平 移定理
{F}A {F', MB}B , F' F, MB rBA F 4
合力偶
问题: 向不同点简化是否得到不同的合力偶?
6
Mi ri Fi
Fi
M
' i
ri'
Fi
ri' o 'o ri
ri
oห้องสมุดไป่ตู้
M
' i
ri'
Fi
ri'
o'o ri Fi
o’
M
' i
o 'o ri Fi o 'o Fi ri Fi Mi
结论: 如果 FR ,则0向不同点简化得到相同的合力偶. 7
§2-3、空间任意力系的简化 •空间任意力系：力作用线在空间任意分布的力系
z
F1
o
F2
F3
y
x Fi Fn
问题： 空间任意力系如何简化？
1
一、力的移动 1、力沿作用线移动
加减平衡力系原理： 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
AF
F’ F”
AF
B
2
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚体
F
F
FF
变形体
F
F
FF
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线 3
2、力的平移
F
F A
B
A
B
F
F A
B
F’
F MB
A rBA
B
力的平 移定理
{F}A {F', MB}B , F' F, MB rBA F 4
合力偶
问题: 向不同点简化是否得到不同的合力偶?
6
Mi ri Fi
Fi
M
' i
ri'
Fi
ri' o 'o ri
ri
oห้องสมุดไป่ตู้
M
' i
ri'
Fi
ri'
o'o ri Fi
o’
M
' i
o 'o ri Fi o 'o Fi ri Fi Mi
结论: 如果 FR ,则0向不同点简化得到相同的合力偶. 7
§2-3、空间任意力系的简化 •空间任意力系：力作用线在空间任意分布的力系
z
F1
o
F2
F3
y
x Fi Fn
问题： 空间任意力系如何简化？
1
一、力的移动 1、力沿作用线移动
加减平衡力系原理： 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
AF
理论力学：空间任意力系的简化
O’
Od
O’
(A) FR 0, MO 0, FR MO (不过简化点O)
(B) FR 0, MO 0 (过简化点O)
3
理论力学
§2-3 空间一般力系简化
(2) FR 0, MO 0, FR MO
MO FR
O
M O1 FR
O MO2
力螺旋 (wrench)
M O1
FR
FR
o d O’
理论力学
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
1
理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
F3
F2
F1 平面椭圆A
F1
F3 F5
F2
F4
正方体A
F3
F2
F1
平面椭圆B
F2 F3
F1
F5
F4 正方体B
6
理论力学
§2-3 空间一般力系简化
例：求力系｛Fi｝向O点简化的结果。
z
解：1、 Fi Fix i Fiy j Fiz k
ri xii yi j zik
F1
c
n
2、 FR Fi
0
M
A
1 2
ql 2
2020/12/9
19
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：重为W 的均质正方形板 水平支承在铅垂墙壁上，求 绳1、2的拉力, BC杆的内力
空间力系的简化与平衡
例题3－4 手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F， 它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F对x、y和z三轴的矩。
B
C
30
D
60
5m
45
G E
45
A
B C
30
1. 先取滑轮 B为研究对象。注意，起 解：
重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，
5m
60
它是一个二力构件，把滑轮 B 简化为一点，
D
它的受力图如图所示。 这是一平面汇交力系，列平衡方程
G E
45 45
A
y B x
Fx 0,
4 3
2
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805 N
Fy F sin sin 1500 0.8944 0.8 1073N
Fz F cos 1500 0.4472 671N
（二）.空间汇交力系的合成与平衡 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 Fx cos( FR , i ) n FR FR F1 F2 Fn Fi Fy i 1 cos( FR , j ) X i i Yi j Z i k FR Fz cos( FR , k ) FR
F1 FA
B
F
F F
x
0
A x
F1 sin 45 F2 sin 45 0
空间任意力系的简化
1、空间任意力系的平衡充要条件是： R '0 F 0 MO mO ( Fi )0
又 R ' ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2
M O ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 Байду номын сангаас( m z ( F )) 2
所以空间任意力系的平衡方程为：
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为 mz ( F ) 0 Z 0 X 0 m x ( F ) 0 Y 0 m y ( F ) 0
均成为了恒等式。
2、空间约束
观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能 的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。
阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。[例]
1）球形铰链 （前面讲过）
球形铰链
2）向心轴承，滚珠(柱)轴承
绕x和z轴的转动 也同时被约束。
3）滑动轴承
4）止推轴承
第9页，加 两个绕轴 转动的约 束。
5）带有销子的夹板
6）空间固定端
作业：
自学教材例题5-1~5-4.
X 0,m x ( F ) 0 Y 0,m y ( F ) 0 Z 0,m z ( F ) 0
还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。
空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
第五章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系的简化
与平面任意力系的简化原理（力的平移定 理）相同，空间任意力系也可以简化为一个主 失和一个主矩。但是由于主矩和主失不在同一 平面，所以不能进一步简化为一个合力。 应当注意，主失仍然与简化中心无关；主矩
又 R ' ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2
M O ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 Байду номын сангаас( m z ( F )) 2
所以空间任意力系的平衡方程为：
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为 mz ( F ) 0 Z 0 X 0 m x ( F ) 0 Y 0 m y ( F ) 0
均成为了恒等式。
2、空间约束
观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能 的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。
阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。[例]
1）球形铰链 （前面讲过）
球形铰链
2）向心轴承，滚珠(柱)轴承
绕x和z轴的转动 也同时被约束。
3）滑动轴承
4）止推轴承
第9页，加 两个绕轴 转动的约 束。
5）带有销子的夹板
6）空间固定端
作业：
自学教材例题5-1~5-4.
X 0,m x ( F ) 0 Y 0,m y ( F ) 0 Z 0,m z ( F ) 0
还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。
空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
第五章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系的简化
与平面任意力系的简化原理（力的平移定 理）相同，空间任意力系也可以简化为一个主 失和一个主矩。但是由于主矩和主失不在同一 平面，所以不能进一步简化为一个合力。 应当注意，主失仍然与简化中心无关；主矩
第2章 空间力系的简化与物体的受力分析
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： F 的方向 M R O
（2）
MO F R
M0 FR
力螺旋
与M F O R 与M F O R
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
0 , M 0 , F M (3) F R O R O
方向：沿着柔索的中心线且背离被约束物体
作用点：接触点 未知量：1个
二、光滑面约束
(1)光滑接触点约束
P
FN
P
F2
F1
F3
物体之间的接触缩小为一 点接触。此时的约束力是一 集中力，这力的作用线必定 通过接触点，且同时通过两 个曲面对应接触点的曲率中 心，也就是力的作用线为接 触点的公法线方向。 方向：接触面的公法线并指向被约束物体 作用点：接触点
（2）平面柱铰
F
o B
Fox Foy o
销钉
A A
约束力分布在一部分圆弧上，且均通过销钉中心，构成位于 销钉中心截面上的平面汇交力系，可简化为一个通过销钉中心 的合力 FR 未知量：2 个 约束力的大小和方向都随主动力而改变 表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定
当形成平面柱铰中 的一个带圆孔部件与基 础或静止的结构物固连， 就成为铰链支座，也称 固定铰支座
6 7 0 . 1 x 2 3 2 . 9 y 2 3 5 5 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
自由体 非自由体 P
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的 约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力 确定约束力指向的原则： 约束力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或运 动趋势方向相反。
第2章空间力系的简化与物体的受力分析
设滑轮的中心B与支架ABC相连接，AB为直杆，BC为曲杆，B为销
钉。若不计滑轮与支架的自重，画出各构件的受力图。
FCB 0.6 m C
解：
FAB A
B FBA
FBy
FCB
H
45
B F FBx C
[ AB] [ BC ]
0.8 m
FT1
[轮B]
FAB A
H BF
45
I
FDxE
D FBC
D
G FBA
FFDy
FR
FR
F1
sin 60
F2
cos 30
F3
F
FR FRy j Fj
MA
主矩： M A M A F F3a M F2h 1.133Fa
合力大小和方向： FR FR Fj
合力作用点D至A点距离：d M A / FR 1.133 F a / F 1.133a
y
3m
C
例3 重力坝受力情况如图所示。设
在径向轴承的受力基础上，再加上一个指向轴的压力。
FAz
FAy
A
FAx
未知量：3 个
四、辊轴支座
在铰链支座的下 部，安装若干刚性滚 子，构成辊轴支座， 也可称为可动铰支座
A`
A
A
FA
由于辊轴支座沿滚动方向无约束功能， 约束力只能沿支承平面的法线方向，形成平 面平行力系，可简化为一个通过铰链中心的 合力
670.1x 232.9 y 2 355 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
P
自由体
非自由体
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的
约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力
理论力学3.2空间任意力系的简化与合成
FAz FBz F1 cos F2 cos 0
200
0
F1 3(KN )
F2 6(KN ) FBz 1.80(KN )
FBx 3.35(KN )
FAz 7.40(KN )
FAx 10.05(KN )
11
例3.2-4 图示车床主轴中车刀对半径为r=30mm工件 的切削力:径向切削力Fx=4.25kN,纵向切削力 Fy=6.8kN,主切削力Fz=17kN,C处有半径为R=50mm 齿轮啮合力:切向力Ft (平行于x轴)和径向压力Fr(平 行于z轴),Fr=0.36Ft,卡盘及工件自重不计,求:1）齿轮 啮合力Ft与Fr；2）径向轴承A与止推轴承B的约束 力；3）三角卡盘E在O处对工件的约束力。
0 0 0
F R F1 0.5D F2 0.5D 0
FBFZBx
400 400
F F1
200 F1 cos sin 200 F2
200 F2 cos sin 200 0
FAx FBx F1 sin F2 sin 0
原力系等效于一个作用点在简化中心处的力(称为合力)
3
学而不思则罔，思而不学则殆
4）
FR 0
mR 0
这种情况又可细分为三种情形
4.1）
FR
mo
d mo / FR
原力系等效于一个
力（合力）
4.2）
FR
//
mo
原力系等效于
一个力螺旋
4
学而不思则罔，思而不学则殆
4.3）
FR 既不平行、也不垂直于
Fiz 0
FA FB FD F1 G 0
任意力系简化
0
Rq0 cos 2 R q0
30
0
图2-29
HOHAI UNIVERSITY
再求F的作用线位置。设作用 线与xy平面的交点为C。 由于对称，C必位于y轴上，即xc 0,只须求yc。于此有 yc F R sin dF R 2 q0 sin 2d
0 2 R q0 1 2 R q0 ( 2 ) 2 4 2 0
HOHAI UNIVERSITY
任意力系的简化
HOHAI UNIVERSITY
空间力系的简化
一、简化方法 利用力的平移定理，将各力平行移到简化中心O，并各加 一个附加力偶，从而得到一个作用在O点的空间汇交力系 和一个空间力偶系。
HOHAI UNIVERSITY
二、简化的一般结果
FR=F1'+F2 ' +… Fi ' +… + Fn '
cos(FR，x)=
FRx
FR
cos(FR，y)=
FRy
FR
cos(FR，z)=
FRz
FR
主矩：MO=∑ mi
Mx cos(MO，x)= MO
Mx = ∑ mix My = ∑ miy Mz = ∑ miz MO=√Mx2+My2+Mz2
My cos(MO，y)= MO
Mz cos(MO，z)= MO
其面积与坐标分别为
2 A 300 mm x1 15mm y1 45mm 1 x 2 5mm y 2 30mm A2 400mm 2 2 A 300 mm x 3 15mm y 3 5mm 3
Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
Rq0 cos 2 R q0
30
0
图2-29
HOHAI UNIVERSITY
再求F的作用线位置。设作用 线与xy平面的交点为C。 由于对称，C必位于y轴上，即xc 0,只须求yc。于此有 yc F R sin dF R 2 q0 sin 2d
0 2 R q0 1 2 R q0 ( 2 ) 2 4 2 0
HOHAI UNIVERSITY
任意力系的简化
HOHAI UNIVERSITY
空间力系的简化
一、简化方法 利用力的平移定理，将各力平行移到简化中心O，并各加 一个附加力偶，从而得到一个作用在O点的空间汇交力系 和一个空间力偶系。
HOHAI UNIVERSITY
二、简化的一般结果
FR=F1'+F2 ' +… Fi ' +… + Fn '
cos(FR，x)=
FRx
FR
cos(FR，y)=
FRy
FR
cos(FR，z)=
FRz
FR
主矩：MO=∑ mi
Mx cos(MO，x)= MO
Mx = ∑ mix My = ∑ miy Mz = ∑ miz MO=√Mx2+My2+Mz2
My cos(MO，y)= MO
Mz cos(MO，z)= MO
其面积与坐标分别为
2 A 300 mm x1 15mm y1 45mm 1 x 2 5mm y 2 30mm A2 400mm 2 2 A 300 mm x 3 15mm y 3 5mm 3
Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
第A03章_空间力系的简化和平衡
3.1 空间汇交力系
3.1.1 空间力的投影
z F z F
γ
O
β α
y
γ
O
ϕ
Fxy x
y
x
（a）
（b）
图 3.1 力的空间投影
如图 3.1（a） ，在直角坐标系中，已知力 F 与坐标轴正方向的夹角为α、β、γ，那么力 F 的三个投影为
Fx = F cosα , Fy = F cos β , Fz = F cos γ
2 k = [3(l12 + l2 + l32 ) − (a 2 + b 2 + c 2 )]−1 / 2
B T1 A D T 3 C W
例 3.2 图
其中 a、b、c 为三角形的三边长。 证明：板的受力构成空间汇交力系，如图 3.3 所示，其中 D 为 三角形 ABC 的几何中心。平衡方程为
T1 + T2 + T3 + W = 0
(a)
设 OA = l1 ， OB = l2 ， OC = l3 ， BC = a ， AC = b ， AB = c ，
OD = h ； T1 , T2 , T3 , W 的正向单位矢量为 e1 , e 2 , e3 , k 。于是方程（a）可写成
T1e1 + T2e 2 + T3e3 + W k = 0
Fxy 为力 F 在与转轴垂直的 xy 平面上的分力，显然只有分力 Fxy 才对刚体的转动有贡献，因 此，我们可以在刚体上取一个垂直于转轴且与刚体固联的平面，在此平面上来考虑分力 Fxy
对该刚性平面绕 O 点的转动效应，这就是力对轴之矩；空间力系中的其它力可按同样的方 法处理，因此，空间力系对轴之矩变为一个平面力矩问题。由此，我们定义力对轴之矩为该 力在垂直于转轴的平面上的分力对刚体的平面力矩，矩心为轴线与该平面的交点，即
理论力学：空间任意力系的简化
理论力学
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
1
理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
2020/12/9
10
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：结构如图所示，不计构件自重。已知主动力F（作用于杆 的中点），确定铰链O、B约束力的方向并比较其大小。
FA A
F O
1、研究OA杆 B
2、研究AB杆
A
FA
F
B
O
FB
FO FA
（A）
FB
F
FO FB FA FO
FO
（B）
FB
FB FA FO
F
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11
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
二、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i 1
i 1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
二力平衡原理
作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理
作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力的 作用线共面，或汇交于一点或彼此相互平行。
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
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理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
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理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：结构如图所示，不计构件自重。已知主动力F（作用于杆 的中点），确定铰链O、B约束力的方向并比较其大小。
FA A
F O
1、研究OA杆 B
2、研究AB杆
A
FA
F
B
O
FB
FO FA
（A）
FB
F
FO FB FA FO
FO
（B）
FB
FB FA FO
F
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理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
二、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i 1
i 1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
二力平衡原理
作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理
作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力的 作用线共面，或汇交于一点或彼此相互平行。
空间力系简化
1、空间任意力系的简化与平衡
（1）空间任意力系向一点O简化，可得到一个主矢和主矩。
主矢等于力系中各力的矢量和，即
其作用线通过简化中心O，主矩等于力系中各力向简化中心O平移时产生的附加力偶矩与力系中已知的力偶矩之矢量和，即
主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。
（2）空间任意力系的平衡方程
即力系中各力在x,y,z轴上投影的代数和分别为零，及力系中各力对x,y,z 轴之矩的代数和分别为零。
空间任意力系平衡方程的投影方程也可以用力矩方程代替，但独立的平衡方程只有六个，至多能求解六个未知量。
（3）几种特殊空间力系的平衡方程：
a）空间汇交力系平衡方程
b）空间平行力系的平衡方程c）空间力偶系的平衡方程
2、物体重心的坐标式。
2空间任意力系的简化
(2-1)
作用在简化中心 O 上。不论力系向哪一点简化， FR 的大小和方位均相同，是一个作 力 FR
用在简化中心但又与简化中心选取无关的量， 把它称为原力系的主矢。 主矢是力系的第一不 变量。 附加的力偶矩，由于各力与简化中心 O 形成的不同的平面，用垂直于力偶作用平面的 力偶矩矢表示，等价于空间力偶系，其合成的结果为一力偶，该力偶矩矢为
现将 Fq , P 1 , P2 三个力向点 O 简化。先求主矢量：
x Fix Fq 313.6 kN FR y Fiy P1 P2 (612 306) kN 918 kN FR
FR x 2 FR y 2 970.5 kN FR
3
~ 1000 kg/m 3 ，尺寸 h 8 m ，h 0.5 m ，l 3 m 。 试将重力和水压力向点 O 简化， 2 1 2
并求简化的最后结果。
-28-
工程力学Ⅰ
(a)
(b) 例 2-1 图
(c)
解 由于水坝很长一段的截面都是相同的，所以通常取 b=1m 长的坝段来研究。将坝体 重力和静水压力简化到长 b 坝体的中心对称平面内。 这样就从空间任意力系转化为平面任意 力系（图 b） 。 根据第一章讨论的结果，计算静水压力的合力及作用线位置。
及
M 1 M O ( F1 ), , M i M O ( Fi ), , M n M O ( Fn )
(a)
(b) 图 2-1 空间任意力系的简化
(c)
作用在简化中心 O 上的 n 个力等价于空间汇交力系，其合成结果为一个力，即
n n Fi Fi FR i 1 i 1
3.2、空间力系的简化(2-1)(美化)
空间力系的简化RR F F F F F F F F =++=++=321'3'2'1')()()(321F M F M F M M o o o o ++=力系主矢: R F 力系主矩: oM 空间任意力系=主矢+主矩力系简化结果讨论:0=∑=i R F F )(])[()(i Ai i BA i Ai BA i Bi B F r F r F r r F r M ⨯+⨯∑=⨯+∑=⨯∑=AA i BA M M F r +=+∑⨯=01）F R =0、M O =0。
原力系是平衡力系。
2）F R =0、M O ≠0。
原力系等效于一个力偶。
力偶矩是自由矢量，可以平移到空间任意位置而不改变作用效果，所以主矢为零时主矩是一个与简化点位置无关的常量3）F R ≠0、M O =0。
原力系等效于一个力，该力经过简化点，称为原力系的合力。
)(≠∑=i A A F M M力系简化结果讨论:4.1）o R M F ⊥ROA OA O O F r F r F M M ⨯=⨯==)(4）F R ≠0、M O ≠0。
这是最一般的情况，又可细分为以下三种类型：4.2）F R ∥M O 。
主矢力F R 垂直于主矩力偶M O 中两力（F 1、F 1′）所在的平面，这时主矢力与主矩力偶怎么才能化简为一个力？力系简化结果讨论:空间力系的简化4.2）F R ∥M O 。
但力偶矩是自由矢量，可以把主矩M O 平移到主矢力F R 作用线上（图示），从而得到一个力螺旋：力螺旋由一个力和一个力偶构成，且力矢量与力偶矩矢量重合（即：力垂直于力偶中两力所在的平面）。
力螺旋对物体的作用效果是力与力偶作用效果的叠加（平移加旋转），如钻孔时钻头对工件的作用力就是力螺旋，拧螺钉时螺丝刀对螺钉的作用力也是力螺旋。
力螺旋不能再继续简化，它可以表示成图c 、d 所示任一形式。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）力系简化结果讨论://O O O M M M -=⊥2//)()()cos (RR R O R R R R O R R O O F F F M F F F F M F F M M ⋅⋅=⋅⋅=⋅=α4.3）F R 既不平行也不垂直于M O 。
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z
z 主矢，主矩
z
F1 M2
y x
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0 y
A1
0
y
Mn
Fn
x
x
Fn
O：简化中心
Fi 主矢： FR 主矩： M M M ( F ) 0 i 0 i
主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 1、 F 0 平衡力系，以后讨论 M 0 O R 与简化中心无关 合力偶 2、 FR 0 MO 0 合力 3 FR 0 MO 0 、 4 FR 0 MO 0 、 （1） F 合力 MO R FR FR
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： FR M O 的方向
（2）
FR
MO
M0
力螺旋
FR
FR 与 M O FR 与 M O
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
(3) FR 0, MO 0, FR MO
MO1
Fj 合力大小和方向： FR FR
1.133F a / F 1.133a 合力作用点D至A点距离：d M A / FR
y
3m
C
例3 重力坝受力情况如图所示。设
G1=450kN ， G2=200kN ， F1=300 kN ，
9m
F1
3m
1.5m
F2=70 kN 。试求力系的合力 FR 的大
力螺旋
MO1
MO
FR
o
MO2 ( M O FR ) FR
FR
o
MO1
FR
FR
o
FR
d
o’
2 FR F M OO d R 2 O FR M O sin
M O1
MO1
o
d
FR o’
FR
o’
o
d
d
FR
力螺旋中力的作用线被称为力系的中心轴。显然，力系向 中心轴上任一点简化，所得到的力螺旋都是相等的。
主矢： FR 50(i k ) N
M By 0 M Bz F3L2 F4 L2 0 主矩： M Bx F1L1 F4 L2 2.5 N m M B 不垂直于 FR M B 2.5i N m M B 向 FR 及其垂线方向分解：
主矢，主矩
F2 Fn An
F1
=
M1 O
M2 F2 Mn
Fn
=
附加力偶
FR MO
简化中心
主矢：
FRx Fix FRy Fiy
FRy FRx cos , sin FR FR
主矩：MO=Mi= MO（F i）
FR Fi
1、FR与简化中心O无关，MO与简化中心O有关
2、合力=主矢+主矩 简化结果讨论： 1、FR=0，MO≠0，一个力偶 2、FR ≠0，MO=0；一个力 3、 FR ≠0，MO≠0 进一步简化为作用于另一点的一个力 平面力偶系。与简化中心无关
平面任意力系不存在力螺旋
例1：曲杆OABCD的OB段与y轴重合，BC段与x轴平行，已知： F1=F2=50 N，F3=100 N，F4=100 N，L1=100 mm，L2=75 mm。试求 力系简化的最终结果，并确定其位臵。 解： 简化中心：B点
当主矢与主矩都不等于零的情况下，其最终简化结果， 为合力或力螺旋两种可能。 若取任意点A为新的简化中心
F
R
MO
主矢： FR （不变量）不变
新的主矩： M A M O rOA FR
以 FR 点积上式
Hale Waihona Puke MA FR rAO
O′
A
x Fx 主矢： FR F1 cos 60 F2 sin 30 F4 0 y Fy FR
FR FR
FR y j Fj FR
F1 sin 60 F2 cos30 F3 F
MA
主矩： M A M A F F3 a M F2 h 1.133Fa
主矢： F F 50 N Rx 2
y F4 F3 0 FR
z F1 50 N FR
2 2 大小： FR FR 2 F F x Ry R z 50 2 N
方向： cos 2 ,
2
cos 0,
2 cos 2
50(i k ) N FR
基本力系的简化结果：
汇交力系—过汇交点的合力
力偶系—合力偶
根据力的空间位臵：
空间力系、平面力系
平面力系是空间力系的特殊情况 空间任意力系：力系中各力的作用线既不交于一点，又不相 互平行，也不处于同一平面内，而呈空间任意分布。
第二章
空间力系的简化 物体的受力分析
第一节 空间力系的简化
一、等效力系的主矢与主矩
FR M B 50(i k ) 2.5i d 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
最后结果： FR 与 M B 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 解： 力系向A点简化
(M B ) M B cos45 1.76 N m
(M B ) M B sin 45 1.76 N m
M B (M B FR ) FR [2.5i 50(i k )]50(i k ) 1.25(i k ) 2 FR 50(i k ) 50(i k )
z 主矢，主矩
z
F1 M2
y x
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0 y
A1
0
y
Mn
Fn
x
x
Fn
O：简化中心
Fi 主矢： FR 主矩： M M M ( F ) 0 i 0 i
主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 1、 F 0 平衡力系，以后讨论 M 0 O R 与简化中心无关 合力偶 2、 FR 0 MO 0 合力 3 FR 0 MO 0 、 4 FR 0 MO 0 、 （1） F 合力 MO R FR FR
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： FR M O 的方向
（2）
FR
MO
M0
力螺旋
FR
FR 与 M O FR 与 M O
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
(3) FR 0, MO 0, FR MO
MO1
Fj 合力大小和方向： FR FR
1.133F a / F 1.133a 合力作用点D至A点距离：d M A / FR
y
3m
C
例3 重力坝受力情况如图所示。设
G1=450kN ， G2=200kN ， F1=300 kN ，
9m
F1
3m
1.5m
F2=70 kN 。试求力系的合力 FR 的大
力螺旋
MO1
MO
FR
o
MO2 ( M O FR ) FR
FR
o
MO1
FR
FR
o
FR
d
o’
2 FR F M OO d R 2 O FR M O sin
M O1
MO1
o
d
FR o’
FR
o’
o
d
d
FR
力螺旋中力的作用线被称为力系的中心轴。显然，力系向 中心轴上任一点简化，所得到的力螺旋都是相等的。
主矢： FR 50(i k ) N
M By 0 M Bz F3L2 F4 L2 0 主矩： M Bx F1L1 F4 L2 2.5 N m M B 不垂直于 FR M B 2.5i N m M B 向 FR 及其垂线方向分解：
主矢，主矩
F2 Fn An
F1
=
M1 O
M2 F2 Mn
Fn
=
附加力偶
FR MO
简化中心
主矢：
FRx Fix FRy Fiy
FRy FRx cos , sin FR FR
主矩：MO=Mi= MO（F i）
FR Fi
1、FR与简化中心O无关，MO与简化中心O有关
2、合力=主矢+主矩 简化结果讨论： 1、FR=0，MO≠0，一个力偶 2、FR ≠0，MO=0；一个力 3、 FR ≠0，MO≠0 进一步简化为作用于另一点的一个力 平面力偶系。与简化中心无关
平面任意力系不存在力螺旋
例1：曲杆OABCD的OB段与y轴重合，BC段与x轴平行，已知： F1=F2=50 N，F3=100 N，F4=100 N，L1=100 mm，L2=75 mm。试求 力系简化的最终结果，并确定其位臵。 解： 简化中心：B点
当主矢与主矩都不等于零的情况下，其最终简化结果， 为合力或力螺旋两种可能。 若取任意点A为新的简化中心
F
R
MO
主矢： FR （不变量）不变
新的主矩： M A M O rOA FR
以 FR 点积上式
Hale Waihona Puke MA FR rAO
O′
A
x Fx 主矢： FR F1 cos 60 F2 sin 30 F4 0 y Fy FR
FR FR
FR y j Fj FR
F1 sin 60 F2 cos30 F3 F
MA
主矩： M A M A F F3 a M F2 h 1.133Fa
主矢： F F 50 N Rx 2
y F4 F3 0 FR
z F1 50 N FR
2 2 大小： FR FR 2 F F x Ry R z 50 2 N
方向： cos 2 ,
2
cos 0,
2 cos 2
50(i k ) N FR
基本力系的简化结果：
汇交力系—过汇交点的合力
力偶系—合力偶
根据力的空间位臵：
空间力系、平面力系
平面力系是空间力系的特殊情况 空间任意力系：力系中各力的作用线既不交于一点，又不相 互平行，也不处于同一平面内，而呈空间任意分布。
第二章
空间力系的简化 物体的受力分析
第一节 空间力系的简化
一、等效力系的主矢与主矩
FR M B 50(i k ) 2.5i d 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
最后结果： FR 与 M B 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 解： 力系向A点简化
(M B ) M B cos45 1.76 N m
(M B ) M B sin 45 1.76 N m
M B (M B FR ) FR [2.5i 50(i k )]50(i k ) 1.25(i k ) 2 FR 50(i k ) 50(i k )