中考专题辅导十——等分面积
中考数学面积知识点总结
中考数学面积知识点总结一、基本概念1. 面积的概念面积是指平面图形所占的面积大小，用来表示图形的大小。
通常用单位面积来表示。
不同的图形有不同的计算方法。
2. 计算面积的单位常用的面积单位有平方米（平方米）、平方厘米（平方厘米）、平方分米（平方分米）等。
其中，1平方米=10000平方分米，1平方分米=100平方厘米，1平方米=1万平方厘米。
3. 面积计算公式常见的图形的面积计算公式包括：- 矩形的面积公式：面积=长×宽- 正方形的面积公式：面积=边长×边长- 圆的面积公式：面积=πr²（其中π≈3.14，r为半径）- 三角形的面积公式：面积=底×高÷2- 梯形的面积公式：面积=(上底+下底)×高÷24. 不规则图形的面积求解不规则图形可以通过分割成多个规则图形，然后计算每个小图形的面积之和来求解。
也可以利用网格法求解。
5. 面积计算的注意点面积计算时，要注意单位的换算和计算公式的正确使用。
另外，注意保留小数点后的位数，按照题目要求进行四舍五入。
二、常见图形的面积计算1. 矩形的面积计算矩形的面积计算公式为：面积=长×宽。
例如，一个矩形的长为5cm，宽为3cm，则其面积为5cm×3cm=15平方厘米。
2. 正方形的面积计算正方形的面积计算公式为：面积=边长×边长。
例如，一个正方形的边长为4cm，则其面积为4cm×4cm=16平方厘米。
3. 圆的面积计算圆的面积计算公式为：面积=πr²。
例如，一个圆的半径为5cm，则其面积为3.14×5cm×5cm=78.5平方厘米。
4. 三角形的面积计算三角形的面积计算公式为：面积=底×高÷2。
例如，一个三角形的底为6cm，高为4cm，则其面积为6cm×4cm÷2=12平方厘米。
5. 梯形的面积计算梯形的面积计算公式为：面积=(上底+下底)×高÷2。
中考25题常考类型------面积均分问题
中考 25 题常考类型 ------ 面积均分问题本节课讲了两种类型，第一种三角形和不规则四边形面积均分问题；第二种特殊的四边形面积均分问题。
在讲三角形面积均分时学生很容易就理解三角形的中线就能均分三角形面积。
但是在具体的题中要求过三角形一边的某一个定点均分三角形面积。
这道题学生觉得有难度，需要老师架一个梯度，帮助学生突破这种过定点等分的情形，其中需要用到蝴蝶模型，所以在讲过定点面积等分问题前给学生铺垫了蝴蝶模型。
即就是平行线剪的三角形面积相等，借助同底等高，不仅可以面积相等，还可以根据平行线做的位置不同转变三角形的位置。
引入：等腰三角形面积等分---一般三角形面积等分得到结论：三角形的中线能够等分三角形的面积。
师：在没有任何条件限制下，等分三角形面积我们知道找三角形中线即可。
那么要是有条件限制呢？比如过三角形ABC一边BC上的一定点P的直线如何等分三角形面积？先抛出问题，引发学生独立思考，再进行小组合作。
师：在解决这个问题前我们先来看一个模型---蝴蝶模型。
引入蝴蝶模型。
小结：我们发现蝴蝶模型存在等积转化的方法，即可以构造平行线，转化面积。
师：我们思考这个问题，已经会用中线等分面积了，那如何使得过定点的直线等分三角形面积？生：（思考中）生：（小组合作中）生：我考虑借助蝴蝶模型进行等积转化。
师：很好，给其他同学也提供了思路，可以朝这个方向思考。
再思考蝴蝶模型在什么线中产生的？生：平行线中产生，所以要构造平行线。
师：很棒，那么我们是等积转化，如何转化？在什么情况下可以转化成等分面积的情形呢？生：在已知中线可以等分面积的基础上，考虑结合中点构造平行线和蝴蝶模型。
生：我连接AP，取BC边上的中点M，连接AM，过M作MD平行于AP交AB于点D，连接DP，构造平行线，得到等积模型，从而得到三角形APM和三角形ADP面积相等，将这两个三角形面积进行转化，得到四边形DPCA的面积等于三角形AMC的面积，即就是四边形DPCA的面积等于三角形ABC的一半，即直线DP即为所求的直线。
几何中等分面积问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
线段分三角形面积问题.当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.如图 当S △ABD ∶S △ADC ＝m ∶n 时，则BD CD ＝m n .【例1】．如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且AG ：GD ＝2：1，若S△ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是 ．➢变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC ＝8cm 2，则S △BEF 的面积是（ ）模型介绍例题精讲A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．1cm2【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y＝x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b＝．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．➢变式训练【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．那么△DEF的面积是多少？△DOE的面积是多少？【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l 的函数表达式．1．如图，长方形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD 上任一点，则图中阴影部分的面积为（）A．18cm2B．16cm2C．20cm2D．24cm22．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H．①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；③∠F AG＝2∠ACF．以上说法正确的是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积为．5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．7．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直线y＝mx﹣3m﹣1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为．8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是．9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．10．如图，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中线．已知△ABC的面积为2，求：△CDF的面积．11．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线y＝x经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（﹣，0），且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位交轴x于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．12．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C（1，2），点A在x 轴上．点M（0，2）．（1）点P是直线OB上的动点，求PM+PC最小值．（2）将直线y＝﹣x﹣1向上平移，得到直线y＝kx+b．①当直线y＝kx+b与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围．②当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．14．已知，y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），与x轴交于A（﹣1，0），B（x2，0），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的顶点G与△ABC 的顶点C重合，边GD、GF分别与AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒5个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形DEFG也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求线段DF的长；（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值；若不能，说明理由；（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值．16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面积；（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图1，△ABC的边AB上有一点M，请证明：＝．【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，＝，＝，求△ABC的面积．【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：＝．【迁移应用】如图4，△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积．18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH 分成面积相等的两部分，求P点的坐标．19．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（x A，y A）、B（x B，y B），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABD＝S△BCD．试说明AO ＝CO；【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．。
等分点面积比-概述说明以及解释
等分点面积比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述等分点面积比是指在一个给定的图形中，将其等分成多个部分，每个部分的面积比相等的现象。
这一概念在几何学和数学中有着重要的应用和意义。
等分点面积比是几何问题中一种具有美感和对称性的现象，常见于各类图形的划分和分割中。
通过将一个图形等分成多个部分，每个部分的面积比相等，我们可以获得一种视觉上的均衡和谐。
这种现象可以展示出几何学中的对称性和平衡性，给人一种美的享受和审美感受。
在数学研究中，等分点面积比也有重要的应用。
通过研究等分点面积比，我们可以探索各类图形和形状的特性和规律。
例如，在三角形的研究中，等分点面积比可以帮助我们理解三角形的性质和相关定理，如中线定理和高线定理等。
对于其他复杂的图形，通过等分点面积比的计算和研究，我们可以更深入地了解其内在结构和性质。
另外，等分点面积比还在实际应用中发挥着重要作用。
在建筑设计、绘画艺术和景观规划等领域，等分点面积比被广泛运用。
通过将空间和物体按照一定的规律和比例进行划分，可以使整体形态更具美感和和谐性。
而在科学研究中，等分点面积比的计算方法也有助于解决一些实际问题，例如地理测量、材料科学中的材料分析和识别等。
综上所述，等分点面积比作为一个重要的几何概念，在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
通过研究等分点面积比的定义和计算方法，我们可以更好地理解图形的性质和规律，同时也可以运用到实际问题中，提升设计和科学研究的效果。
未来，随着科技的发展和研究的深入，我们相信等分点面积比的应用将会更加广泛，为我们的生活和学术研究带来更多的启示和帮助。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为三个部分，即引言、正文和结论。
下面将对每个部分的内容进行简要介绍：引言部分（Introduction）主要包括概述、文章结构以及目的三个方面。
在概述部分，将介绍等分点面积比的背景和重要性，概括其定义与意义。
随后，文章结构部分将给出本文的整体框架，说明各个章节的内容分布和逻辑关系。
初中数学专题---------直线等分 面积问题
初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练 习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过此矩形的 点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过该矩形 ．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，使其等分△ABC的面积．解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可．情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，连接AP，过点D作DE∥AP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分．12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD的面积四等分，并简要说明分法．12题图14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x2， 和直线x=a（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ在x的正半轴上，从P、Q作x轴的垂线与抛物线y=x2交于点、Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（ ）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（ ）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （ ）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形： ，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y 轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。
中考数学复习指导：例说三角形中线等分面积的应用
例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD·AE ，S △ADC ＝12DC·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=a b －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；图1图2图4F图5图3（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
2019中考二轮专题复习《三角形中线等分面积问题的教学思考》
去伪存真，探求问题本质 —三角形中线等分面积问题的教学思考三角形中线等分面积是义务教育教科书(苏科版)七年级下册数学一认识三角形专题中重要问题，它既是对三角形三边，三线(中线，角平分线，高线)关系的应用，同时也为后续三角形全等，相似等知识作铺垫.笔者在此以练习课的一道习题为例，通过两次解题教学的研究，谈谈自己在实践中一些体会与思考. 一、习题呈现如图1，已知ABC ∆,,,D E F 分别是,BC AD 和EC 的中点，ABC ∆的面积为16，求BEF ∆的面积.二、第一次教学1.看似很简单，学生为什么不会做首先回顾三角形中线等分面积的性质，借助于图象直观讲解如图2，以点,,D E F 为中点为例，探究:,,ABD EBD ADF S S S ∆∆∆与ABC S ∆的关系.学生较容易掌握到中线等分面积的结论.通过引导，图114EBD EDC ABC S S S ∆∆∆==，由BF 是EC 的中线，得出18EBF ABC S S ∆∆=.运用三次中线等分面积的性质进行求解，学生看似将问题理解透彻了，笔者一周后又以相同问题做了一次反馈调查，能正确求解的同学不足三分之一，教学效果引起笔者深思. 2.反思失败之因问题根源:学生没有领悟中线等分面积问题的实质，三角形的中线为何能等分面积?多数同学无法从复杂的图形中分离出简单图形的模型.七年级下学期，刚刚涉及到几何，大多数学生对于几何图形的辨析能力比较薄弱.在第一次教学中，学生缺乏理解与参与思考的立足点，整个教学过程是老师领着学生的思维在走，学生并没能形成有效的启发与思考，因而不能形成有效的教学. 三、第二次教学3. 1教学更注重从形式到思想的点拨提问1 从三角形的面积公式入手(学生容易得出三角形的面积大小是通过底和高这两个量决定的，为下面研究中线等分面积作铺垫)提问2 如图3 , ABD ∆与ABC ∆面积有怎样的联系?取AD 中点E ，如何比较BED S ∆与CED S ∆的大小，并说明它们与ABC S ∆有怎样的关系?(说明中线等分面积的实质)提问3 在图4中，进一步，取EC 中点F ，连接BF 探求EBD S ∆与ABC S ∆的关系(通过图形分离，层层推进，训练他们几何的逻辑思维) 3. 2 进一步探究如图5, ABC ∆的面积为,,S D E 分别是,BC AC 中点，连接,AD BE 相交于点O ，试比较的ABO S ∆与ODEC S 四边形的大小.解法点拨 仍从两条中线,AD BE 入手，由这两条中线可以得到哪些三角形的面积?学生经过思考后得知，ABO S ∆、ODEC S 四边形与ABC S ∆并无明显数量关系，无法直接求解.但它们都可作为是ABD ∆与BEC ∆的一部分，引导学生“整体”中分离出“部分”，进而求解.3. 3题型拓展在上题的基础上，再取AB 的中点F ，连接FC 如图6所示.(1)比较OFB S ∆与OEC S ∆的大小.(2)你还能在图中找出哪些三角形面积相等.解析 点拨(1)有了上题从“整体”到部分的经验，学生很快得出OFB OEC S S ∆∆=.对于问题(2)，学生们能列举出,,OFA OFB OAE OBC OBD ODC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===，进一步得出,OFA ODC OEA OBD S S S S ∆∆∆∆==……细心观察的同学不难发现，ABC ∆三条中线把三角形分成的六个小部分的面积都相等. 3. 4模型应用如图7 , ABC ∆中，,,D E F 分别是,CE AF 与BD 的中点，己知DEF ∆的面积为1，求ABC ∆的面积.解法分析 此题难点在于由题中三个中点，在ABC ∆中无法找到相应的中线，无从寻求DEF ∆与ABC ∆的面积关系.如何让,,D E F 转化为相对应的中线是关键，连接,,AD BE CF 使其转化成三角形的中线，添加辅助线构造三个三角形.由图8所示，学生们很快能够表示出,,ABF DBC AEC S S S ∆∆∆，从而求出ABC S ∆.从复杂图形中分离出简单模型，从“整体”到“部分”对研究对象求解，学生理解更为流畅自然此时，他们不仅收获了这一类题的通法内涵，更为重要的是他们在思想层面上的领悟以及带来的自信与快乐，这是弥足珍贵的.从师生再到生生之间的交流，课堂中的灵动表现产生彼此信任不正是为师者不懈追求吗?2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+2﹣b在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下，若对应的函数值y的最大值为6，则b的值为（）A．﹣1或2 B．2或6 C．﹣1或4 D．﹣2.5或82．如图，一次函数y=－x与二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于点M、N，则关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确3．如图，直线l1∥l2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l1上，两直角边分别与直线l1、l2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（）A.25°B.75°C.65°D.55°4．将直角三角形纸片按如图方式折叠，不可能折出（）A.直角B.中位线C.菱形D.矩形5．在△ABC中，点D是AB上一点，△ADC与△BDC都是等腰三角形且底边分别为AC，BC，则∠ACB的度数为( )A.60°B.72°C.90°D.120°6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，将△ABC折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长是（）A．53B．2 C．166D．73167．如图，已知CB ＝CA ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（与B ，C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，得出以下结论：①AC ＝FG ；②S △FAB ：S 四边形CBFG ＝1：2；③∠ABC ＝∠ABF ；④AD 2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中平时学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（ ） A ．83分B ．86分C ．87分D ．92.4分9．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图，则下列说法错误的是（ ）A ．对称轴是直线x ＝﹣1B ．abc ＜0C ．b 2﹣4ac ＞0D ．方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1＝﹣3和x 2＝110．若一个多边形的内角和等于1620°，则这个多边形的边数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1211．如图，将直线y=x 向下平移b 个单位长度后得到直线l ，l 与反比例函数2y x=（x ＞0）的图像相交于点A ，与x 轴相交于点B ，则22OA OB -的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．112．下列命题中，假命题的是（ ） A ．正八边形的外角和为360° B ．两组对角相等的四边形是平行四边形 C ．位似图形必相似 D ．若两直线被第三条直线所截，则同位角相等二、填空题13．因式分解：2981y -=__________．14．cos60°的值等于_____． 15．分解因式：2ab a -=______．16．如图，在△ABC 中，4AB=5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG=FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则的值为 ．17．2019年4月10日，全球六地同步发布“事件视界望远镜”获取的首张“黑洞”煕片，这个位于室女座足系团中的黑洞，质量约为太阳的6500000000倍．将6500000000用科学记数法表示为_____．18．计算：（﹣1）2＝_____． 三、解答题19．如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（ π取3）（1）若设扇形半径为x ，请用含x 的代数式表示出AB ．并求出x 的取值范围． （2）当x 为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）20．如图，抛物线y=-x 2+bx+c 的顶点为C ，对称轴为直线x=1，且经过点A （3，-1），与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）经过点A 的直线交抛物线于点P ，交x 轴于点Q ，若S △OPA =2S △OQA ，试求出点P 的坐标． 21．如图，数轴上有点A 、B ，且点A 表示﹣4，AB ＝10． (1)点B 表示的有理数为 ．(2)一只小虫从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向爬行到点C ，点M 、N 分别是AC 、BC的中点．①若爬行4秒，则M表示数；N表示数；MN＝．②若爬行16秒，则M表示数；线段MN＝．③若爬行t秒，则线段MN＝．发现：点A、B、C在同一直线上，点M、N分别是AC、BC的中点，已知MN＝a，则AB＝(用含a的式子表示)22．已知矩形ABCD，作∠ABC的平分线交AD边于点M，作∠BMD的平分线交CD边于点N．（1）若N为CD的中点，如图1，求证：BM＝AD+DM；（2）若N与C点重合，如图2，求tan∠MCD的值；（3）若12CNDN，AB＝6，如图3，求BC的长．23．2019年3月19日，河南省教育厅发布《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学为落实方案，给学生提供了以下五种主题式研学线路：A．“红色河南”，B．“厚重河南”C．“出彩河南”，D．“生态河南”，E．“老家河南”为了解学生最喜欢哪一种研学线路（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．根据以上信息解答下列问题：调查结果统计表（1）本次接受调查的总人数为人，统计表中m＝，n＝．（2）补全条形统计图．（3）若把条形统计图改为扇形统计图，则“生态河南”主题线路所在扇形的圆心角度是．（4）若该实验中学共有学生3000人，请据此估计该校最喜欢“老家河南”主题线路的学生有多少人．24．已知，如图，数轴上有A 、B 两点． （1）线段AB 的中点表示的数是 ； （2）线段AB 的长度是 ；（3）若A 、B 两点问时向右运动，A 点速度是每秒3个单位长度，B 点速度是每秒2个单位长度，问经过几秒时AB ＝2？25．计算：020194sin 60|2|(1)--+-．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．()()933y y +-14．1215．a （b+1）（b ﹣1）． 16．17．5×109 18．3 三、解答题 19．（1）0＜x ＜35；（2）当x ＝617时，S 最大＝1817． 【解析】 【分析】（1）根据2AB ＋7半径＋弧长＝6列出代数式即可；（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．【详解】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，整理得：AB＝3﹣5x；根据3﹣5x＞0，所以x的取值范围是：0＜x＜35；（2）设面积为S，则S＝222317176182(35)62221717x x x x x x⎛⎫-+=-+=--+⎪⎝⎭,当x＝617时，S最大＝1817．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．20．（1）y=-x2+2x+2；（2）详见解析；（3）点P的坐标为（，1）、（，1）、（，-3）或（，-3）．【解析】【分析】（1）根据题意得出方程组，求出b、c的值，即可求出答案；（2）求出B、C的坐标，根据点的坐标求出AB、BC、AC的值，根据勾股定理的逆定理求出即可；（3）分为两种情况，画出图形，根据相似三角形的判定和性质求出PE的长，即可得出答案．【详解】解：（1）由题意得：()121931bb c⎧-=⎪⨯-⎨⎪-++=-⎩，解得：22bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2；（2）∵由y=-x2+2x+2得：当x=0时，y=2，∴B（0，2），由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），∵A（3，-1），∴，，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）①如图，当点Q在线段AP上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D ∵S△OPA=2S△OQA，∴PA=2AQ，∴PQ=AQ∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD，∴PEAD=PQAQ=1，∴PE=AD=1∵由-x2+2x+2=1得：x=1，∴P（，1）或（，1），②如图，当点Q在PA延长线上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D ∵S△OPA=2S△OQA，∴PA=2AQ，∴PQ=3AQ∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD，∴PEAD=PQAQ=3，∴PE=3AD=3∵由-x2+2x+2=-3，∴P（，-3），或（，-3），综上可知：点P的坐标为（，1）、（，1）、（，-3）或（，-3）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．21．(1)6；(2)①﹣2，3，5；②4，5；③2a.【解析】【分析】（1）由已知可知B在A的右侧10个单位处，根据平移即可求出A坐标，（2）根据已知，分别求出C的位置，进而确定M，N的点表示的数，然后求解；在③时，要分两种情况分别讨论AB表示的式子；【详解】(1)∵点A表示﹣4，AB＝10．∴﹣4+10＝6，∴B点表示6，故答案为6；(2)①爬行4秒，此时C点表示0，∵M是AC的中点，∴M表示﹣2；∴BC＝6，∴N表示3；∴MN＝2+3＝5；故答案为﹣2，3，5；②爬行16秒，此时C点表示12，∵M是AC的中点，∴M表示4；∴BC＝6，∴N表示9；∴MN＝9﹣4＝5；故答案为4，5；③当C在B的左侧时，MN＝a，∴MN＝12AC+12BC＝12AB，∴AB＝2a；当C在B的右侧时，MN＝a，∴MN＝12AC﹣12BC＝12AB，∴AB＝2a；∴发现：AB＝2a；故答案为2a；【点睛】本题考查数轴上点的特点；能够根据点的运动位置确定点C的具体表示的数，同时结合中点的定义是解题的关键.22．（1）详见解析；（2）2【解析】【分析】（1）如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明△DNM≌△CNE（AAS），得DM=CE，证明∠BMN=∠E=67.5°，可得结论；（2）如图2，当N与C重合时，BC=BM，设AB=x，则x，表示DM的长，根据三角函数定义可得结论；（3）如图3，延长MN、BC交于点G，根据等腰直角三角形定义可得BM的长，即是BG的长，设CG=m，则DM=2m，表示BC的长，列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，延长MN、BC交于点E，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠D＝∠NCE，∠DMN＝∠NEC，∵N是DC的中点，∴DN＝CN，∴△DNM≌△CNE（AAS），∴DM＝CE，∵BM平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠MBE＝45°，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠EBM＝45°，∴∠BMD＝180°﹣45°＝135°，∵MN平分∠BMD，∴∠BMN＝∠DMN＝67.5°，∴∠E＝∠DMN＝67.5°，∴∠BMN＝∠E＝67.5°，∴BM＝BE＝BC+CE＝AD+DM；（2）解：如图2，当N与C重合时，由（1）知：∠BMC＝∠DMN＝∠BCM，∴BC＝BM，设AB＝x，则BM＝BC x，∵AD ＝BC ，∴DM x ﹣x ，Rt △DMC 中，tan ∠MCD ＝1DMxDC x-==； （3）解：如图3，延长MN 、BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD ＝AB ＝6， ∵12CN DN =， ∴CN ＝2，DN ＝4，∵△ABM 是等腰直角三角形，∴BM ＝，由（1）知：BM ＝BG ＝， ∵DM ∥CG ， ∴△DMN ∽△CGN ， ∴422DN DM CN CG ===， 设CG ＝m ，则DM ＝2m ，＝6+2m+m ，m ＝﹣2，∴BC ＝6+2m ＝ 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质的运用，等腰三角形的判定，勾股定理的运用，相似三角形的性质的运用，平行线和角平分线的性质的运用，三角函数的定义的运用，解答时合理运用角平分线的定义和矩形的性质求解是关键．23．（1）300、90、25；（2）见解析；（3）60°；（4）500（人） 【解析】 【分析】（1）由C 主题人数及其所占百分比可得总人数，再根据百分比=主题对应人数÷总人数×100%求解可得； （2）由（1）所求结果即可补全图形；（3）用360°乘以“生态河南”主题线路人数所占比例；（4）用总人数乘以样本中“老家河南”主题线路的学生人数所占比例即可得．【详解】（1）本次接受调查的总人数为45÷15%＝300（人），则m＝300×30%＝90（人），n%＝75100×100%＝25%，即n＝25，故答案为：300、90、25；（2）补全图形如下：（3）“生态河南”主题线路所在扇形的圆心角度是360°×60300＝60°，故答案为：60°；（4）估计该校最喜欢“老家河南”主题线路的学生有3000×60300＝500（人）．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（1）12（2）5（3）经过3秒或7秒时，线段AB的长度为2【解析】【分析】（1）线段AB的中点对应的数为两端点对应的数的和的一半；（2）线段AB的长度是两端点对应的数的差的绝对值；（3）两个不同动点相距2个单位长度，两种情况：一是相遇前相距2单位长度，二是相遇后相距2个单位长度，最后根据路，速度和时间的关系建立等量关系．【详解】如图所示：（1）∵有A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣2，3∴线段AB的中点表示的数是231 22 -+=；故答案为：12；（2）线段AB的长度是|﹣2﹣3|＝|﹣5|＝5，故答案为：5；（3）设经过x秒后，线段AB的长度为2，依题意得：①A点还没有追上B点某一时刻相距2个单位长度时，5+2x＝3x+2，解得：x＝3，；②A点追上B点后某一时刻相距2个单位长度时，3x＝2x+5+2，解得：x＝7；综合所述经过3秒或7秒时，线段AB的长度为2．【点睛】本题考查了数轴上的点与实数的对应关系，两点之间的距离与绝对值的几何意义和一元一次方程的应用；易错点数轴上速度不同两个动点相遇前后两种不同情况相距2个单位长度．25．﹣3．【解析】【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值和乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】⨯--=-=-．解：原式＝4212132【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握三角函数、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．2．某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是（）A．14B．13C．12D．13．小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（）A．①②④B．②③C．①③④D．①②③④4．选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数x及其方差s2如表所示：如果选拔一名学生去参赛，应派（）去．A．甲B．乙C．丙D．丁5．下列运算正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．22122aa-=C ．2242(3)6a b a b -=D ．53222a a a a ÷+=6．关于反比例函数2y x=的图象，下列说法正确的是( ) A ．图象经过点()1,1B ．两个分支分布在第二、四象限C ．当x 0<时，y 随x 的增大而减小D ．两个分支关于x 轴成轴对称7．如图，BD 平分,ABC BC DE ∠⊥于点,7,4E AB DE ==，则ABD S ∆=（ ）A ．28B ．21C ．14D ．78．下列命题中，真命题是（ ） A ．四边都相等的四边形是矩形 B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形9．如图，在△ABC 中，BC ＝4，BC 边上的中线AD ＝2，AB+AC ＝，则S △ABC 等于（ ）A B ．2C ．D ．210．如图，正方形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，反个比例函数y= kx（k≠0）在第一象限的图象经过点A （m ，2)和CD 边上的点E （n ，23），过点E 作直线l ∥BD 交y 轴于点F ，则点F 的坐标是( ）A ．（0,-73) B ．（0，- 83)C ．（0,-3)D ．(0,-103） 11．如图，下列四个选项中，1∠与2∠是内错角的是( )A. B. C. D.12．已知直线y=x+1与反比例函数ky x=的图象的一个交点为P(a,2),则ak 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．-2D ．-12二、填空题13．若点(,5)P a b +与(1,3)Q a b --关于原点对称，则b a =__________． 14．若与是同类项，则________．15．如图，已知菱形OABC 的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的顶点B 的坐标为______．16．若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为_____． 17．“阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战．”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表．请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a ＝_____，b ＝_____．18．截至2019年4月份，全国参加汉语考试的人数约为3500万，将3500万用科学记数法表示为_____． 三、解答题19．“腹有诗书气自华，阅读路伴我成长”，我区某校学生会以“每天阅读1小时”为问卷主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅末完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题： （1）把折线统计图（图1）补充完整；（2）该校共有学生1200名，请估算最喜爱科普类书籍的学生人数．20．2018年某市学业水平体育测试即将举行，某校为了解同学们的训练情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行了体育测试（把成绩分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）求本次抽测的学生人数；（2）求扇形图中∠α的度数，并把条形统计图补充完整；（3）在测试中甲乙、丙、丁四名同学表现非常优秀，现决定从这四名同学中任选两名给大家介绍训练经验，求恰好选中甲、乙两名同学的概率（用树状图或列表法解答）．21．解方程：312x x=-．22．某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有人，这些学生数占被调查总人数的百分比为%．（2）被调查学生的总数为人，统计表中m的值为，统计图中n的值为．（3）在统计图中，E 类所对应扇形圆心角的度数为 ．（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．23．每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中．（1）写出图中从原点O 出发，按箭头所指方向先后经过的A 、B 、C 、D 、E 这几个点点的坐标； （2）按图中所示规律，找到下一个点F 的位置并写出它的坐标．24．如图，直线m ：y ＝kx （k ＞0）与直线n ：3y x =-+C ，点A 、B 为直线n 与坐标轴的交点，∠COA ＝60°，点P 从O 点出发沿线段OC 向点C 匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q 从点A 出发沿线段AO 向点O 匀速运动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t 秒． （1）k ＝ ；（2）记△POQ 的面积为S ，求t 为何值时S 取得最大值；（3）当△POQ 的面积最大时，以PQ 为直径的圆与直线n 有怎样的位置关系，请说明理由．25．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．114．15．（-2，-2）16．120°17．0.3518．5×107三、解答题19．（1）见解析；（2）320人．【解析】【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得总人数，根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；（2）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．【详解】解：（1）一共调查了45÷30%＝150（名），艺术的人数：150×20%＝30（名），其它的人数：150×10%＝15（名）；补全折线图如图：（2）最喜爱科普类书籍的学生人数为：40150×1200＝320（人），答：估算最喜爱科普类书籍的学生有320人．【点睛】考查折线统计图, 用样本估计总体, 扇形统计图，是中考常考题型，难度一般.20．（1）本次抽样测试的学生人数是400人；（2）扇形图中∠α的度数是108°；补全条形图如图见解析；（3）P（恰好选中甲、乙两位同学）＝16．【分析】（1）根据B级的频数和百分比求出学生人数；（2）求出A级的百分比，360°乘百分比即为∠α的度数，根据各组人数之和等于总数求得C级人数即可补全图形；（3）根据列表法或树状图，运用概率计算公式即可得到恰好选中甲、乙两名同学的概率．【详解】（1）160÷40%＝400，答：本次抽样测试的学生人数是400人；（2）120400×360°＝108°，答：扇形图中∠α的度数是108°；C等级人数为：400﹣120﹣160﹣40＝80（人），补全条形图如图：（3）画树状图如下：或列表如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，所以P（恰好选中甲、乙两位同学）＝21 126=．本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率计算公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．x＝﹣1.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：3x＝x﹣2，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．（1）30，20；（2）150，45，36；（3）21.6°；（4）160【解析】【分析】（1）观察图表体育类型即可解决问题；（2）根据“总数＝B类型的人数÷B所占百分比”可得总数；用总数减去其他类型的人数，可得m的值；根据百分比＝所占人数/总人数可得n的值；（3）根据圆心角度数＝360°×所占百分比，计算即可；（4）用学生数乘以最喜爱新闻节目所占百分比可估计最喜爱新闻节目的学生数．【详解】（1）最喜爱体育节目的有 30人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 20%．故答案为30，20；（2）总人数＝30÷20%＝150人，m＝150﹣12﹣30﹣54﹣9＝45，n%＝54150×100%＝36%，即n＝36，故答案为150，45，36．（3）E类所对应扇形的圆心角的度数＝360°×9150＝21.6°，故答案为21.6°；（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为2000×12150＝160人，答：估计该校最喜爱新闻节目的学生数为160人．【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（1）A（1，0）、B（1，2）、C（﹣2，2）、D（﹣2，﹣2）、E（3，﹣2）（2）（3，4）【分析】（1）观察图形，即可找出A ，B ，C ，D ，E 五点的坐标；（2）观察图形，可知：点的运动规律是右、上、左、下、右、…，且每次长度+1，结合点E 的坐标及DE 的长度即可得出点F 的坐标． 【详解】（1）观察图形，可知：A （1，0）、B （1，2）、C （﹣2，2）、D （﹣2，﹣2）、E （3，﹣2）； （2）∵E （3，﹣2），DE ＝5， ∴EF ＝6， ∴F （3，4）． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．24．（1）k （2）当t ＝32时，S 有最大值；（3）直线AB 与以PQ 为直径的圆O 相离，理由详见解析． 【解析】 【分析】（1）依据k ＝tan ∠COA 进行求解即可；（2）如图1所示：过点P 作PD ⊥OA ，垂足为D ．由锐角三角函数的定义和特殊锐角三角函数值可求得PD，然后利用三角形的面积公式列出关系式，最后利用配方法求得三角形面积最大时t 的值即可； （3）如图2所示：过点P 作PD ⊥OA 垂足为D ，过圆心O 作OE ⊥AB ，垂足为E ．首先证明四边形，四边形OPCE 为矩形，然后求得d 和r 的值即可． 【详解】（1）k ＝tan ∠COA（2）如图1所示：过点P 作PD ⊥OA ，垂足为D ．令直线n ：y y ＝00，解得x ＝6， ∴OA ＝6．∵∠COA ＝60°，PD ⊥OA ，∴PD OP =，即PD t =∴PD ．22221333(62)3()()))2222OPQ S t t t t =⨯-=-+-=-△ ∴当t ＝32时，S 有最大值． （3）如图2所示：过点P 作PD ⊥OA 垂足为D ，过圆心O 作OE ⊥AB ，垂足为E ．令直线n ：yx ＝0得：y ＝． ∴OB ＝∵tan ∠BAO＝OB OA =， ∴∠BAO ＝30°． ∴∠ABO ＝60°． ∴OC ＝OBsin60°＝＝3． ∵∠COA ＝60°， ∴∠BOC ＝30°． ∴∠BOC+∠OBC ＝90°． ∴∠OCA ＝90°． 当t ＝32时，OD ＝3122⨯ ＝34，PD＝32．DQ ＝3﹣34＝94 ．∴tan ∠PQO＝494∴∠PQO ＝30°． ∴∠BAO ＝∠PQO ． ∴PQ ∥AB ，∴∠CPQ+∠PCA ＝180°． ∴∠CPQ ＝180°﹣90°＝90°． ∴∠ECP ＝∠CPO ＝∠OEC ＝90°． ∴四边形OPCE 为矩形． ∴d ＝OE ＝PC ＝OC ﹣OP ＝3﹣32＝32． PQ．．∴r＝PO＝12∵d＞r．∴直线AB与以PQ为直径的圆O相离．【点睛】本题主要考查的是直线和圆的位置关系、一次函数、矩形的性质和判定、二次函数的最值、锐角三角函数的综合应用，求得d和r的值是解题的关键．25．（1）每千克应涨价5元；（2）每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多.【解析】【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值；（2）根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值即可．【详解】解：（1）设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（5+x）（200﹣10x）＝1500解得x＝5或x＝10，∴为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）设涨价x元时总利润为y，则y＝（5+x）（200﹣10x）＝﹣10x2+150x+1000＝﹣10（x2﹣15x）+1000＝﹣10（x﹣7.5）2+1562.5，答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．。
2019中考二轮专题复习《三角形中线等分面积问题的教学思考》
去伪存真，探求问题本质—三角形中线等分面积问题的教学思考三角形中线等分面积是义务教育教科书(苏科版)七年级下册数学一认识三角形专题中重要问题，它既是对三角形三边，三线(中线，角平分线，高线)关系的应用，同时也为后续三角形全等，相似等知识作铺垫.笔者在此以练习课的一道习题为例，通过两次解题教学的研究，谈谈自己在实践中一些体会与思考.一、习题呈现如图1，已知ABC ∆,,,D E F 分别是,BC AD 和EC 的中点，ABC ∆的面积为16，求BEF ∆的面积.二、第一次教学1.看似很简单，学生为什么不会做首先回顾三角形中线等分面积的性质，借助于图象直观讲解如图2，以点,,D E F 为中点为例，探究: ,,ABD EBD ADF S S S ∆∆∆与ABC S ∆的关系.学生较容易掌握到中线等分面积的结论.通过引导，图114EBD EDC ABC S S S ∆∆∆==，由BF 是EC 的中线，得出18EBF ABC S S ∆∆=.运用三次中线等分面积的性质进行求解，学生看似将问题理解透彻了，笔者一周后又以相同问题做了一次反馈调查，能正确求解的同学不足三分之一，教学效果引起笔者深思.2.反思失败之因问题根源:学生没有领悟中线等分面积问题的实质，三角形的中线为何能等分面积?多数同学无法从复杂的图形中分离出简单图形的模型.七年级下学期，刚刚涉及到几何，大多数学生对于几何图形的辨析能力比较薄弱.在第一次教学中，学生缺乏理解与参与思考的立足点，整个教学过程是老师领着学生的思维在走，学生并没能形成有效的启发与思考，因而不能形成有效的教学.三、第二次教学3. 1教学更注重从形式到思想的点拨提问1 从三角形的面积公式入手(学生容易得出三角形的面积大小是通过底和高这两个量决定的，为下面研究中线等分面积作铺垫)提问2 如图3 , ABD ∆与ABC ∆面积有怎样的联系?取AD 中点E ，如何比较BED S ∆与CED S ∆的大小，并说明它们与ABC S ∆有怎样的关系?(说明中线等分面积的实质)提问3 在图4中，进一步，取EC 中点F ，连接BF 探求EBD S ∆与ABC S ∆的关系(通过图形分离，层层推进，训练他们几何的逻辑思维)3. 2 进一步探究如图5, ABC ∆的面积为,,S D E 分别是,BC AC 中点，连接,AD BE 相交于点O ，试比较的ABO S ∆与ODEC S 四边形的大小.解法点拨 仍从两条中线,AD BE 入手，由这两条中线可以得到哪些三角形的面积?学生经过思考后得知，ABO S ∆、ODEC S 四边形与ABC S ∆并无明显数量关系，无法直接求解.但它们都可作为是ABD ∆与BEC ∆的一部分，引导学生“整体”中分离出“部分”，进而求解.3. 3题型拓展在上题的基础上，再取AB 的中点F ，连接FC 如图6所示.(1)比较OFB S ∆与OEC S ∆的大小.(2)你还能在图中找出哪些三角形面积相等.解析 点拨(1)有了上题从“整体”到部分的经验，学生很快得出OFB OEC S S ∆∆=.对于问题(2)，学生们能列举出,,OFA OFB OAE OBC OBD ODC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===，进一步得出,OFA ODC OEA OBD S S S S ∆∆∆∆==……细心观察的同学不难发现，ABC ∆三条中线把三角形分成的六个小部分的面积都相等.3. 4模型应用如图7 , ABC ∆中，,,D E F 分别是,CE AF 与BD 的中点，己知DEF ∆的面积为1，求ABC ∆的面积.解法分析 此题难点在于由题中三个中点，在ABC ∆中无法找到相应的中线，无从寻求DEF ∆与ABC ∆的面积关系.如何让,,D E F 转化为相对应的中线是关键，连接,,AD BE CF 使其转化成三角形的中线，添加辅助线构造三个三角形.由图8所示，学生们很快能够表示出,,ABF DBC AEC S S S ∆∆∆，从而求出ABC S ∆.从复杂图形中分离出简单模型，从“整体”到“部分”对研究对象求解，学生理解更为流畅自然此时，他们不仅收获了这一类题的通法内涵，更为重要的是他们在思想层面上的领悟以及带来的自信与快乐，这是弥足珍贵的.从师生再到生生之间的交流，课堂中的灵动表现产生彼此信任不正是为师者不懈追求吗?2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在1x ,12,212x +,3xy π,3x y +,1a m +中分式的个数有（） A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个2．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD 与双曲线(0)k y x x=>交于D 、E 两点，将△OCD 沿OD 翻折，点C 的对称C'恰好落在边AB 上，已知OA=3，OC=5，则AE 长为（ ）A ．4B ．259C ．269D ．33．如图，AB ，AC 均为⊙O 的切线，切点分别为B ，C ，点D 是优弧BC 上一点，则下列关系式中，一定成立的是（ ）A ．∠A+∠D ＝180°B ．∠A+2∠D ＝180°C ．∠B+∠C ＝270°D ．∠B+2∠C ＝270° 4．下列事件是随机事件的是（ ）A ．人长生不老B ．明天就是5月1日C ．一个星期有七天D ．2020年奥运会中国队将获得45枚金牌5．在一次学校组织的期末考试中，为了了解初二学生的数学水平，随机抽取了部分学生的数学成绩，并计算了他们的样本方差S 2＝160[（95﹣70）2+（67﹣70）2+……+（92﹣70）2]，请问这次抽取了多少名学生，这些学生的平均成绩是多少？（ ） A ．60，60 B ．70，70C ．60，70D ．70，60 6．如图，⊙O 与BC 相切于点B ，弦AB ∥OC ，若∠C ＝40°，则∠AOB 的度数是（ ）A.60B.70°C.80°D.90°7．下列运算正确的是（ ）A ．﹣（a 3）2＝a 5B ．a 2+a 2＝a 4C ．212-⎛⎫ ⎪⎝⎭=4D ．2| 28．下图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）[Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2019/5/18/2206392863694848/2206818096996352/STEM/cbb80a6d7032477fa761eb6258ac924e.png]A. B. C. D.9．已知坐标平面内一点A(2，1)，O 为原点，B 是x 轴上一个动点，如果以点B ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为( )A.2个B.3个C.4个D.5个10．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n 个图案中有白色六边形地面砖（ ）块．A.6+4（n+1）B.6+4nC.4n ﹣2D.4n+211．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．1012．如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C,分别以点A 、C 为圆心，以BC 、AB 的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD 、CD,得到的四边形ABCD 是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形二、填空题13．用估算的方法求一元二次方程2t 2-t-2=0的解列表：∴ t ≈_______ 14．把多项式ax 2+2a 2x+a 3分解因式的结果是_____．15．在ABCD □中，BC 边上的高为4，5AB =，AC =ABCD □的周长等于______.16．如图，正方形ABCD E 、F 分别为边AD 、CD 上一点，将正方形分别沿BE 、BF 折叠，点A 的对应点M 恰好落在BF 上，点C 的对应点N 给好落在BE 上，则图中阴影部分的面积为__________；171的绝对值是_____．18．如图，点A 、B 、C 在半径为2的⊙O 上，BC ∥OA ，∠A ＝25°，则弧AB 的长为__．三、解答题19．如左图所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如右图，晾衣架伸缩时，点G 在射线DP 上滑动，∠CED 的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm ，且AH ＝DE ＝EG ＝20cm ．当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少厘米？（结果精确到0.1cm20．如图，ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 中点，四边形BCED 为平行四边形，DE 、AC 相交于点F ．求证：（1）点F 为AC 的中点；（2）试确定四边形ADCE 的形状，并说明理由；（3）若四边形ADCE 为正方形，ABC 应添加什么条件？并证明你的结论．21．计算：2sin30°+(π-3.14)0|+(12)-1+(-1)2019 22．如图，O 为△ABC 边AC 的中点，AD ∥BC 交BO 的延长线于点D ，连接DC ，DB 平分∠ADC ，作DE ⊥BC ，垂足为E ．（1）求证：四边形ABCD 为菱形；（2）若BD ＝8，AC ＝6，求DE 的长．23．为了解某校九年级学生英语口语检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该校若干名学生的英语口语检测成绩，按A ，B ，C ，D 四个等级进行统计分析，并绘制尚不完整的统计图；请根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）求本次抽取的学生一共有多少人？（2）求本次抽取的学生中B 级的学生人数，并补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请你估计某校860名九年级学生英语口语检测成绩等级为A 级的人数.24．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，请利用尺规在CD 边上求作一点P ，使得S △PAB ＝S △PAD ，（保留作图痕迹，不写作法）．25．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点()0,4A 与点B 关于x 轴对称，点(),0C m 为x 轴的正半轴上一动点.以AC 为边作等腰直角三角形ACD ，90ACD ∠=︒，点D 在第一象限内.连接BD ，交x 轴于点F .（Ⅰ）用含m 的式子表示点D 的坐标；（Ⅱ）在点C 运动的过程中，判断OF 的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由； （Ⅲ）过点C 作CG BD ⊥，垂足为点G ，请直接写出BF DF -与CG 之间的数量关系式.【参考答案】***一、选择题二、填空题13．114．a （x+a ）215．12或2016．617 118．59π． 三、解答题19．点A 向左移动了约43.9cm【解析】【分析】分别求得当∠CED 是60°和120°，两种情况下AD 的长，求差即可.【详解】根据题意得：AB ＝BC ＝CD ，当∠CED ＝60°时，AD ＝3CD ＝60cm ，当∠CED ＝120°时，过点E 作EH ⊥CD 于H ，则∠CEH＝60°，CH＝HD．在直角△CHE中，sin∠CEH＝CH CE，∴CH cm），∴CD＝，∴AD＝cm）．∴103.9﹣60＝43.9（cm）．即点A向左移动了约43.9cm；【点睛】本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是120°或60°时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形分成两个等边三角形．20．（1）证明见解析；（2）四边形ADCE为菱形，理由见解析；（3）AC=BC，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线，证出即可；（2）由题意容易证明CE平行且等于AD，AD=CD=BD，所以得到四边形ADCE为菱形；（3）应添加条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可．【详解】证明：（1）∵四边形DBEC是平行四边形，∴DE∥BC，∵D为AB中点，∴DF为△ABC的中位线，即点F为AC的中点；（2）∵平行四边形BDEC，∴CE平行等于BD．∵D为AB中点，∴AD=BD，∴CE平行且等于AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵AD=CD=BD，∴四边形ADCE为菱形；（3）应添加条件AC=BC．证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD ⊥AB （三线合一的性质），即∠ADC=90°．∵四边形BCED 为平行四边形，四边形ADCE 为平行四边形，∴DE=BC=AC ，∠AFD=∠ACB=90°．∴四边形ADCE 为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）【点睛】此题主要考查平行四边形、正方形的判定．21．【解析】【分析】依次计算特殊角的三角函数值，零次幂，去绝对值，负整数幂，再合并即可.【详解】 原式=2×12-1+2-1【点睛】本题运用了实数的运算法则和三角函数的特殊值，注意运算的准确性．22．（1）见解析；（2）245【解析】【分析】（1）由ASA 证明△OAD ≌△OCB 得出OD ＝OB ，得出四边形ABCD 是平行四边形，再证出∠CBD ＝∠CDB ，得出BC ＝DC ，即可得出四边形ABCD 是菱形； （2）由菱形的性质得出OB ＝12BD ＝4，OC ＝12AC ＝3，AC ⊥BD ，由勾股定理得出BC5，证出△BOC ∽△BED ，得出OC BC DE BD =，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵O 为△ABC 边AC 的中点，AD ∥BC ，∴OA ＝OC ，∠OAD ＝∠OCB ，∠AOD ＝∠COB ，在△OAD 和△OCB 中，OAD OCB OA OCAOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAD ≌△OCB （ASA ），∴OD ＝OB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∴∠CBD ＝∠CDB ，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝12BD＝4，OC＝12AC＝3，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC5，∵DE⊥BC，∴∠E＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠EBD，∴△BOC∽△BED，∴OC BCDE BD=，即358DE=，∴DE＝245．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23．（1）本次抽取的学生一共有100人；（2）本次抽取的学生中B等积的学生人数是25人，见解析；（3）某校860名初三学生英语口语检测成绩等级为A级的人数是172人.【解析】【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出总人数；（2）用总人数乘以B等级所占的百分比，即可补全统计图；（3）用某校860名初三学生乘以A等级所占的百分比，即可得出答案．【详解】解：（1）2010020%=（人）.∴本次抽取的学生一共有100人.（2）10025%25⨯=（人）∴本次抽取的学生中B等积的学生人数是25人.补图如下：（3）86020%172⨯=（人）∴估计某校860名初三学生英语口语检测成绩等级为A级的人数是172人.本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24．见解析 【解析】 【分析】作∠P 的平分线交CD 边于点P ，则点P 即为所求． 【详解】解：如图，点P 即为所求．【点睛】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知三角形的面积公式及角平分线的性质是解答此题的关键． 25．(1) G(4+m,m) (2) OF=4，OF 是不变化的 (3) BF DF -是CG 的两倍 【解析】 【分析】(1)过D 点作x 轴垂线，垂足为G 点，可知△CDG 相似△OAC ，即可求出D 点坐标.(2)利用B,D 两点的坐标给出直线BD 的解析式，然后令解析式的y=0，给出x 的值，如果x 含有参数，则OF 的长是变化的，若x 不含参数，则OF 的长无变化.(3)用含m 的式子表示出BF DF -和CG 的长，结果就出来了，其中BF DF -的长利用△DFG 相似△OBF 可求，CG 的长直接利用勾股定理可求. 【详解】解：(1) 过D 点作x 轴垂线，垂足为H 点， ∵90ACD ∠=︒， ∴=90ACO DCH ∠+∠︒ ∵=90ACO CAO ∠+∠︒, ∴CAO DCH ∠=∠ ，又∵90ACD CHD ∠=∠=︒,AC=CD, ∴在△OAC 和△CDH ，CAO DCH AOC CHD AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ACO CDH∴≌，∴CH=OA,DH=OC=m, ∴OH=4+m ， ∴D(4+m,m).(2)设BD 直线的解析式为：y=kx+b ， 将点B(0,-4)与点D(4+m,m)代入方程，()44+m b k b m =-⎧⎨+=⎩， 解得：11k b =⎧⎨=⎩ ， BD 的直线解析式为4y x =- ，当y=0时，x=4 ，OF=4，OF 是不变化的；(3)可知△DFH 相似△OBF ，∴::m 4DH OB DF BF ==：，由 B(0,-4)与点D(4+m,m)，可以知道)4m +,∴, DF= ，BF DF -m-4，CG === ∴BF DF -是CG 的两倍. 【点睛】本题是一道综合习题，第一问考查相似与坐标系中点的表示，第二问考查力一次函数，第三问考查力相似与勾股定理，本题第二问关键是给出直线BD 的解析式，第三问的关键是会表示两个线段的长2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,1，点B 是x 轴正半轴上一点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使BAC=90∠︒，点C 在第一象限。
中考数学必考点“一直线两等分图形面积”专题
中考数学必考点“一直线两等分图形面积”问题班级：_____________姓名：_______________一.中心对称图形的面积平分如：圆、平行四边形小结：二．三角形的面积平分我们知道，三角形任何一条中线所在的直线都可以将这个三角形的面积平分，那如何经过三角形任一边上的一点作一条直线将这个三角形的面积平分呢？三.梯形的面积平分梯形不是一个中心对称图形，自然找不到对称中心了，那如何用一条直线将梯形的面积平分呢？如图3,在梯形ABCD 中，AD ∥BC 。
小结:四.任意四边形的面积平分我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD 的中点O ，连接OA 、OC ．显然，折线AOC 能平分四边形ABCD 的面积，再过点O 作OE ∥AC 交CD 于E ，则直线AE 即为一条“好线”．（1）试说明直线AE 是“好线”的理由；（2）仿照上面的作图方法用一条直线把任意四边形分成面积相等的两个部分。
A B CB C B C（3）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．(4)如图，欲将一块四方形的耕地中间的一条折路MPN改直，但不能改变折路两边的耕地面积的大小，应如何画线？四.任意五边形的面积平分已知五边形ABCDE中，AB∥ED，∠A=∠B=90°，则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有_______条请画出来，并简要说明。
5.已知五边形ABCDE，①作一个四边形，使该四边形的面积与所给的五边形的ABCDE的面积相等.②作一个三角形形使该三角形的面积与所给的五边形的ABCDE的面积相等.③作一条直线将五边形面积平均分成两部分。
AE。
中考数学总复习考点系统复习微专题 利用对称等分图形面积
第3题图
解：如解图，先将六边形ABCDEF分割成两个规则的图形：平 行四边形AGEF和平行四边形GBCD，然后分别连接两个平行 四边形的对角线，找出两个平行四边形的对称中心M和N，连 接MN，则直线MN将六边形ABCDEF分成面积相等的两部分 (解法不唯一)．
第3题解图
图①
图②
图③ 第2题解图
方法三 作一条直线平分组合图形面积 满分技法
若一个不规则图形可以分为两个规则图形，则连接两个规则图形对称中心的直线平分 这个不规则图形的面积．
针对训练
3. 如图，在平行四边形一个角上剪去一个平行四边形，得到一个 六边形ABCDEF，请你作一条直线平分六边形ABCDEF的面积．
图①
图②
图③
图④
第1题解图
方法二 过一点M作直线等分图形面积 满分技法
对于过一点M作直线等分中心对称图形面积问题，需掌握：不论点在所给图形内部或 者边上，借助图形的对称中心解决问题： (1)对于任何中心对称图形，只要能找到它的对称中心点O，那么过点O、M的直线将这 个图形分成面积相等的两部分； (2)对于正n(n≥3)边形，若点O为它的中心点，直线OM与另一条过O点的直线l能四等 分它的周长，则直线OM与l四等分该正n边形的面积； (3)对于菱形和圆，方法②同样适用．
微专题 利用对称等分图形面积
(针对第14、25题，综合训练另见本书P161第7题，P174类型一)
方法一 任作一条直线等分图形面等分对称图形面积问题，需掌握： (1)等腰或等边三角形为轴对称图形，作其底边上的高即可平分其面积．平行四边形、 矩形、菱形、正方形均为中心对称图形，过它们的对称中心(对角线的交点)的任意一 条直线均可将它们的面积分成相等的两部分；两条对角线能四等分它们的面积； (2)圆、正多边形的面积平分问题，可以结合图形的轴对称性或中心对称性并引用上述 方法解决．
数学初升高衔接资料——面积法课件
证明：如图，设内切圆的圆心为I,连接IA,IB,IC.记△IBC,△ICA,△IAB的面积分别为S₁,S₂,S₃ .因为S∆ ABC =ar+br+cr,所以S∆ ABC =（a+b+c) r
例 3 如图，在口ABCD中，E是AD的中点，若S口ABCD=1, 求图中阴影部分的面积.
解：设S△EFC=x,因为△AEF∽△BCF,E为AD的中点，所以= ，所以S△AEF=x,又S△AEC=S口ABCD=，所以x+x=,解得x=,故阴影部分的面积为
1.在△ABC中，BD,CE是两条中线，BD=4,CE=6, 且 BD⟂CE, 则S△ABC=( )A.12 B.14 C.16 D.18
一、选择题
C
C
3.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE=3EC,CD与AE相交于点F,若△ADF的面积是6，则△ABC面积是（ ） A.16 B.18 C.22 D.20
以青春之名
走向理想象牙塔
一、选择题
D
4.若△ABC的三边a,b,c 上的高分别是ha,=6,hb,=4,hc,=3, 则 a:b:c= ( ) 5.已知三角形三边长分别为3,4,5,则其内切圆半径为( ) ,外接圆半径为( ) 6.在△ABC 中,若AB=BC=2, 面积为√3,则∠B=( )
二、填空题
8.如图， 在△ABC 的两边AB,AC上各取一点D,E, 3AD=BD,3AE=EC, 设 BE,CD的交点为P, 求证：S△PBC=16S△PDE.
三、解答题
证明：因为3AD=BD,3AE=EC,所以AD/AB=1/4,AE/AC=1/4,∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC,所以∠ADE=∠ABC,所以DE//BC所以△PDE∽△PCB, 所以AD/AB=1/4 ,所以DE/BC=1/4,设△PDE的高为h,则△PBC的高为4h,所以S△PDE /S△PCB = (1/2DE∙h)/(1/2BC∙4h) =1/16,所以S△PBC=16S△PDE.
中考数学 面积等分 解题技巧
中考数学面积等分解题技巧
面积等分问题在中考数学中是一个常见的题型，这类问题通常涉及到将一个给定的图形分成面积相等的若干部分。
解决这类问题需要一定的技巧和策略，下面是一些解题技巧：
1. 理解题意：首先，要仔细阅读题目，理解题目的要求和给定的条件。
明确需要将哪个图形进行等分，以及等分的具体要求。
2. 选择合适的等分方法：对于不同的图形，等分的方法也不同。
例如，对于矩形或平行四边形，可以考虑使用对角线或中垂线进行等分；对于圆形，可以考虑使用直径或半径进行等分。
根据题目的具体情况，选择合适的等分方法。
3. 利用面积公式计算：在等分图形时，需要计算每一部分的面积。
因此，需要熟练掌握各种图形的面积公式，以便在解题过程中快速准确地计算面积。
4. 注意等分点的位置：在等分图形时，需要注意等分点的位置。
有时，等分点可能不在图形的中心或对称轴上，这时需要仔细分析并确定等分点的位置。
5. 利用辅助线：在某些情况下，为了更好地进行等分，可能需要添加辅助线。
通过辅助线，可以将复杂的图形转化为简单的基本图形，从而更容易地进行等分。
6. 检查答案：在得出答案后，需要仔细检查答案的正确性。
可以通过重新计算或检查解题过程来验证答案是否正确。
综上所述，解决面积等分问题需要一定的技巧和策略。
通过理解题意、选择合适的等分方法、利用面积公式计算、注意等分点的位置、利用辅助线和检查答案等方法，可以有效地解决这类问题。
面积等分问题
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1.2 中心对称图形
• 中心对称图形的面积等分线是过对称中心 的任意一条直线
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.4 三角形
• 对于任意三角形而言，最常见的就是三角 形的中线
面积等分问题
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引言
• 面积等分问题是面积问题中一个很重要的 考点，而二等分是等分中最重要，也是最 常考的。
• 请记住：任何图形都是有无数条面积等分 线的。
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铺垫知识：等积变换
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1、任意画一条直线平分面积
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1.1 轴对称图形
• 二、在下底：若定点与上下底中点连线与上底 相交，则方法同上，若与腰相交，则画法不同。
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2.2 梯形
• 找BC的中点E，延长AE与DC延长线交于F，则梯 形面积转化为△AFD。过AD中点画GH//FM，连 接MH就是面积等分线。这个方法也解决了如何 过腰上一点画线。
2021/10/10
2021/10/10
平行四边形面积等分
B
C
三角形的 中线 所在的直线是三角 形的面积等分线； 三角形有 无数 条面积等分线
；
讨论与操作（一）
1、已知△ACE,求作△ACB，使△ACB与 △ACE的面积相等，你能找出多少个点B？ 2、若使△ACB与△ACE在直线AC的同侧， 你能作出△ACB吗？此时点B有什么特点？ 你这样做的理由呢？
讨论与操作（二）
利用讨论与操作（一）中得出的结论解答问题： 已知△ABC,请你找出一条与△ABC的中线所 在直线不重合的面积等分线。
• 提示： • （1）在AC上任取一点D，连接BD； • （2）你能在CB的延长线上找一点E，使 △BED面积与△ABD面积相等吗？此时 △CDE与△ABC的面积相等吗？ • （3）你能用直线平分△CDE面积吗？你能 用直线平分△ABC面积吗？
• • • • •
这节课你有哪些收获？ 1、面积等分线； 2、轴对称图形的面积等分线是它的 ； 3、中心对称图形的面积等分线是 ； 4、三角形 所在的直线是三角形的面积 等分线； • 5、作不规则图形的面积等分线时，可将它转换 为平行四边形或三角形等 .
如图，甲、乙两家的地被一条小路ABC分 开，地的两边是两条平行的道路，现在为 方便行走，想把弯道ABC改成直道(改后两 家的地以这条直道为界)，且不能改变两
提示： 1、已知△ACE,求作△ACB，使△ACB与△ACE的面积 相等,你有哪些方法？ 2、若使△ACB与△ACE在直线AC的同侧，你能做出 △ACB吗？ 3、在（2）的条件下，延长EC至任意点D，连接AD， △AED的面积与四边形ABCD的面积相等吗？ 4、你能用一条直线把△AED的面积等分吗？能用一 条直线把四边形ABCD的面积等分吗？
C
D
如果空地形状是矩形，要求以一条直 线为分界线把这块矩形空地分成面积 相等的两块，应该怎样设计，才能满 足要求？
等分法(图形的面积)
等分法知识与方法：通过在课本中面积的学习，我们已经知道了，连接三角形的一个顶点和对边的中点，可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形，即等底等高的三角形面积相等。
今天我们主要学习等分法在面积中的实际应用。
例题1、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米）（1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC的面积是12 △ABC的面积是18 △ABC的面积是48【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE的面积是4，求△ABC的面积（单位：平方厘米）（2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF的面积是3，求△ABC的面积（单位：平方厘米）例题2、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米）（1）长方形的面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点，已知长方形的面积是16【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米）（1）平行四边形的面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形的面积是16例题3、梯形ABCD的对角线相交于O，BC=3AD，三角形的面积是9平方厘米，求梯形的面积。
【模仿练习】：在下列的梯形中，所标注部分为三角形的面积，求梯形的面积（单位：平方厘米）例题4、△ABC的面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF的面积。
（单位：平方厘米）【模仿练习】：三角形ABC的面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF的面积。
例题5、三角形ABC 的面积是36平方厘米，AE=DE ， BC=5BD ，求阴影部分的面积。
【模仿练习】：BD=2CD ，AE=DE ，将BE 延长与AC 交于点F ，已知三角形ABC 的面积是15平方厘米，求阴影部分的面积。
变量之间的关系一、 基础知识回顾：1、表示两个变量之间关系的方法有（ ）、（ ）、（ ）． ２．图象法表示两个变量之间关系的特点是（ ）３．用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示（ ），用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示（ ）．专题一、速度随时间的变化1、 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用一句话来描述：（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢。
等分面积模型
等分面积模型引言在数学中，等分面积模型是一个用来划分一个给定区域的面积为若干个相等部分的模型。
这个模型在实际生活中有着广泛的应用，特别是在城市规划、土地开发和农业领域。
通过等分面积模型，我们可以合理地划分土地、规划城市、分配资源，以实现公平和可持续发展。
基本原理等分面积模型基于数学原理和计算方法，通过将一个给定的区域划分为若干个相等的小区域，从而实现面积的等分。
在等分面积模型中，我们需要考虑以下几个基本原理：1.区域的划分：将一个给定的区域划分为若干个小区域，每个小区域的面积相等。
2.边界条件：在划分过程中，需要考虑区域的边界条件，确保每个小区域都在给定的区域内。
3.划分方法：有多种划分方法可供选择，如网格划分、随机划分、最优划分等，根据具体情况选择合适的方法。
4.精确性：划分的精确性取决于所选择的划分方法和计算精度，需要根据实际需求进行调整。
应用领域等分面积模型在许多领域都有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：城市规划在城市规划中，等分面积模型可以用来划分土地、规划建筑物和道路的位置。
通过合理地划分土地，可以提高土地利用率和城市的整体效益。
同时，等分面积模型也可以用来规划城市的绿地和公共设施，以满足居民的需求。
土地开发在土地开发中，等分面积模型可以用来划分不同用途的土地，如住宅用地、商业用地和工业用地。
通过合理地划分土地，可以提高土地的利用效率和资源的分配公平性。
同时，等分面积模型还可以用来评估土地的价值和潜力，为土地开发提供科学依据。
农业领域在农业领域，等分面积模型可以用来划分农田和农作物的种植区域。
通过合理地划分农田，可以提高农作物的产量和质量，实现农业的可持续发展。
同时，等分面积模型还可以用来评估农田的肥力和适宜性，为农业生产提供科学指导。
实际案例以下是一些实际案例，展示了等分面积模型在不同领域的应用：案例一：城市规划某城市规划部门使用等分面积模型划分土地，以规划新的城市发展区。
通过将发展区划分为若干个相等的小区域，确保每个小区域的土地利用率相等。
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中考专题复习十——等分面积
1（1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是
（2）如图2梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，请找出图中三对面积相等的三角形。
（3）如图（2），在四边形ABCD中，对角线BD的中点为O，连结OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．试说明直线AE是“好线”的理由；
（4）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案．
2.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有
（2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
3.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
（1）矩形有
条面积等分线；
（2）如图①，在矩形中剪去一个小正方形，这个图形有
条面积等分线，请画出这个图形的一条面积等分线，并说明理由；
（3）如图②，在矩形中剪去两个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线，并说明理由．
4.果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线．
（1）请在图1的三个图形中，分别作一条二分线．
（2）请你在图2中用尺规作图法作一条直线l，使得它既是矩形的二分线，又是圆的二分线．（保留作图痕迹，不写画法）．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB边上的点P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
5.（本题满分12分）问题探究
（1）请在图①中作出两条直线，使他们将圆面四等分；
（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ）,使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AB+CD=BC,点P 是AD 的中点.如果AB=a ，CD=b ，且b a ，那么在边BC 上是否存在一点Q,使PQ 所在直线将正方形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.
（第25题图①） （第25题图②） （第25题图③）
6.问题探究
(1)请你在图①中做一条．．
直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②点M 是矩形ABCD 内一点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。
问题解决
（1） 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高
新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服
务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处。
为了方便驻区
单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在
的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线l 是
否存在？若存在求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由
A B P B A
7.我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中用尺规作图作出△ABC的一条“等分积周线”；
（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法‘若不能，请说明理由．
（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=8cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．
8.平面上有三点M、A、B，若MA=MB，则称点A、B为点M的等距点.
问题探究：
(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使点P、Q为点A的等距点.
(2)如图②，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD边上一定点，试在BC上找点Q，使点P、Q为点O的等距点，并说明理由.
问题解决：
(3)如图③，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上一动点，在边CD 上是否存在点Q，使点B、Q为点P的等距点，
同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半？若存在这样的点Q，求出CQ的长；若不存在，说明理由.。