中考专题辅导十——等分面积

中考专题复习十——等分面积

1（1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是

（2）如图2梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，请找出图中三对面积相等的三角形。

（3）如图（2），在四边形ABCD中，对角线BD的中点为O，连结OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．试说明直线AE是“好线”的理由；

（4）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案．

2.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．

（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有

（2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；

（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．

3.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．

（1）矩形有

条面积等分线；

（2）如图①，在矩形中剪去一个小正方形，这个图形有

条面积等分线，请画出这个图形的一条面积等分线，并说明理由；

（3）如图②，在矩形中剪去两个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线，并说明理由．

4.果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线．

（1）请在图1的三个图形中，分别作一条二分线．

（2）请你在图2中用尺规作图法作一条直线l，使得它既是矩形的二分线，又是圆的二分线．（保留作图痕迹，不写画法）．

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB边上的点P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

5.（本题满分12分）问题探究

（1）请在图①中作出两条直线，使他们将圆面四等分；

（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ）,使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.

问题解决

（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AB+CD=BC,点P 是AD 的中点.如果AB=a ，CD=b ，且b a ，那么在边BC 上是否存在一点Q,使PQ 所在直线将正方形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.

（第25题图①） （第25题图②） （第25题图③）

6.问题探究

(1)请你在图①中做一条．．

直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②点M 是矩形ABCD 内一点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。

问题解决

（1） 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高

新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服

务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处。为了方便驻区

单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在

的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线l 是

否存在？若存在求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由

A B P B A

7.我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．

（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中用尺规作图作出△ABC的一条“等分积周线”；

（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法‘若不能，请说明理由．

（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；

（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=8cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．

8.平面上有三点M、A、B，若MA=MB，则称点A、B为点M的等距点.

问题探究：

(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使点P、Q为点A的等距点.

(2)如图②，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD边上一定点，试在BC上找点Q，使点P、Q为点O的等距点，并说明理由.

问题解决：

(3)如图③，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上一动点，在边CD 上是否存在点Q，使点B、Q为点P的等距点，

同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半？若存在这样的点Q，求出CQ的长；若不存在，说明理由.