第26章 量子力学基础
量子力学基础知识
量子力学基础知识量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它揭示了微观粒子的性质和行为，与经典力学有着本质的区别。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等重要概念。
1. 波粒二象性量子力学的起源可以追溯到20世纪初，当时物理学家们发现光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这一观察结果引发了对物质微粒也具有波粒二象性的思考。
根据波粒二象性，微观粒子既可以被视为粒子，也可以被视为波动。
例如，电子和光子既可以像粒子一样在空间中传播，又可以像波动一样干涉和衍射。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的核心概念之一，由德国物理学家海森堡提出。
它指出，在测量一个粒子的位置和动量时，这两个物理量的精确测量是不可能的。
简而言之，我们无法同时准确地知道粒子的位置和动量。
这意味着测量的结果是随机的，存在一定的误差。
3. 量子态量子力学中，量子态描述了一个系统的所有信息。
量子态可以用波函数表示，波函数是描述粒子在空间中分布和运动的数学函数。
根据波函数的模的平方，我们可以得到一个粒子出现在空间中某个位置的概率。
量子态还包括诸如自旋、能量等其他信息。
4. 测量问题在量子力学中，测量是一个重要的概念。
测量会导致量子态的塌缩，即系统从一个可能的量子态跃迁到一个确定的量子态。
然而，测量结果是随机的，我们只能得到一定的概率性结果。
这与经典物理学中的确定性测量有所不同。
5. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，由奥地利物理学家薛定谔提出。
它描述了量子体系的演化规律，可以用于求解系统的量子态和能量。
薛定谔方程是量子力学的数学基础，可以解释波粒二象性、不确定性原理和量子态等现象。
总结：量子力学是一门奇特而又挑战性的学科，它已经对人类的科学认知产生了深远的影响。
本文简要介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等重要概念。
了解和理解这些基础知识对于进一步深入学习量子力学以及应用量子技术具有重要意义。
量子力学基础
量子力学基础
量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
它基于几个重要的基
本概念：
1. 粒子的波粒二象性：根据量子力学，微观粒子（如电子、光子等）既具有波动特性也具有粒子特性。
这意味着粒子的运动和行为可以通
过波动的方式来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，确定粒子的位置和动量同时存
在的精确值是不可能的。
不确定性原理表明，我们无法同时准确测量
粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
3. 波函数：波函数是描述量子系统状态的数学函数。
它包含了粒子
的所有可能位置和动量的信息。
根据波函数，可以得出粒子的概率分布。
4. 算符和观测量：在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量等）被表示为算符，而不是直接的数值。
物理系统的状态和性质可以通过
算符的作用来描述和测量。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系
统的时间演化。
它通过波函数的时间导数和能量算符之间的关系来表示。
量子力学的基础原理提供了一种独特而全面的方式来理解微观世界
的行为。
它已经在许多领域获得了成功应用，如原子物理、核物理、
量子化学和量子计算等。
大学物理理论：量子力学基础
大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。
2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。
解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。
2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。
通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。
3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。
通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。
3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。
4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。
它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。
4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。
这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。
5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。
它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。
5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。
6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。
介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。
6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。
结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。
量子力学基础
量子力学基础量子力学是一门研究微观世界的物理学科，其研究对象是原子，分子以及更小的粒子。
相比经典力学而言，量子力学更加深奥、多变，虽然被数学化的描述形式非常精致，但仍然存在着一些难以理解的问题。
1. 粒子的波粒二象性：偏振实验回归到物理学的起点，我们会想到牛顿第一定律、摩擦力等经典概念，这些概念结合起来就可以很好地解释力学现象，却无法解释一些现象如光学实验中的偏振现象，也就是说，光具有波动性质，这丝毫不起眼的光子却颠覆了科学家们对物质的认识。
波粒二象性既是一种直观表现，又是一种对量子粒子行为的描述。
最著名的实验就是二十世纪初由英国科学家Thomas Young首次提出的杨氏双缝干涉实验，这个实验在光学和其他领域都被广泛用于解释量子力学基础概念，它不仅欧洲牛津大学的量子力学教材中出现，而且出现在了《生活大爆炸》等大众文化中。
这项实验能够说明光实际上是由一系列能够相互干扰的波构成的，而同样可以得出这一结论的实验不仅仅局限于光学，例如，Young实验也在微观粒子的电子双缝干涉实验中被重复实现，这一实验表明了量子粒子行为上的奇异性质。
2. 物理量的不确定性：海森堡测不准原理在粒子的量子状态下，物理特征指标可以发生变化，并且量子比经典物理学更复杂得多。
海森堡测不准原理是量子力学中的一个基本概念，它断言在某些物理实验中，同时测量粒子的两个或更多个性质（例如，位置和动量）是不可能获得一个完全准确的结果的。
例如，我们试图通过测量粒子的位置来确定其精确的动量，我们需要测量粒子位置的变化，这样粒子就不能在特定时间的某个位置上。
这种粒子位置和动量之间的不确定性，是一种基本的量子现象，可以在许多实验中观察到。
3. 量子纠缠：特别的量子机制量子纠缠也是量子力学基础领域的一个重要现象，可以帮助我们更好地理解量子领域中的基本概念。
粒子的量子状态能够纠缠，这意味着，当两个或更多粒子在某种特定的方式下存在时，它们的抽象量子状态将是相互依存的。
量子力学的基础理论
量子力学的基础理论量子力学是一门描述原子和分子等微观物体行为的理论，它提供了一种新的描述物质运动方式的框架，引领了现代物理学的发展。
在20世纪初，物理学家发现了一些实验违背了经典物理学的基本理论，这些实验结果推动了量子力学的发展。
量子力学的基础理论有三个方面，分别是波粒二象性、不确定关系和量子纠缠。
本文将重点介绍这三个方面的基础理论。
波粒二象性波粒二象性是指物质具有波动性和粒子性两种本质特征。
在物理学中，波动性和粒子性是互相排斥的概念，因此波粒二象性的存在对物理学的观念体系带来了巨大的冲击。
根据量子力学的理论，微观粒子（如电子、光子等）具有同时存在波动性和粒子性的特征。
波动性是指物质通过波的传播方式进行运动的一种特性。
光、电磁波等都是具有波动性的物质，它们能够传播，具有频率和波长等参数。
而粒子性则是指物质的一种离散化状态，例如一个电子、一个质子等都是原子微观粒子的具体表现。
光子是典型的具有波粒二象性的例子，实验证明，光子在表现为电磁波时，具有光速、频率和波长等特性，但在一些情况下，它又表现出光子的粒子性，例如光电效应等现象。
其他粒子也表现出了波粒二象性，例如电子在光栅上的衍射实验中，实验证明电子也具有波动性。
不确定关系不确定关系是指对于粒子的某些性质，如位置和动量，我们无法同时精确地进行测量。
这是由于量子力学的公理确定的基本关系，也称为测不准原理。
根据不确定关系的原理，若对微观粒子某一性质进行测量，另一个性质将变得不确定。
例如，在对电子测量其位置的同时，它的动量就会变得不确定。
或者在对电子测量其动量时，其位置也将变得不确定。
由于这种原理存在，当精确地知道宏观物体的位置和速度时，我们就无法确定粒子的位置和动量，因此也不可能精确地预测微观粒子的运动状态。
量子纠缠量子纠缠是量子物理学中的一个重要现象，它是指两个粒子之间有一种非常奇特的联系。
这种联系不是通过传统的物质流动、电磁场等方式实现的。
它的本质是非局域的，一旦发生，两个粒子之间将会产生不可分割的联系，不管它们相隔多远，这种联系都不会随着距离的增大而减弱。
物理化学-量子力学基础
04 量子力学的应用
量子计算
量子计算
量子计算机
利用量子力学原理进行计算，具有经典计 算无法比拟的优势，如加速某些算法、实 现更高级别的加密等。
利用量子比特作为计算基本单位，能够实 现并行计算，大大提高计算效率。
量子算法
量子纠错码
基于量子力学原理设计的算法，如Shor算 法、Grover算法等，能够解决经典计算机 无法有效解决的问题。
不确定性原理
总结词
指在量子力学中，无法同时精确测量某些对立的物理量，如位置和动量、时间和能量等。
详细描述
不确定性原理是量子力学中的重要原理之一，它表明微观粒子的某些物理量无法同时被精确测量。这是因为测量 一个物理量可能会对另一个物理量产生干扰，从而影响其测量精度。这一原理限制了人们获取微观粒子精确信息 的可能性。
量子态和叠加态
总结词
量子态是指微观粒子所处的状态，可以 用波函数来描述；叠加态是指一个量子 系统可以同时处于多个状态的叠加。
VS
详细描述
在量子力学中，微观粒子的状态由波函数 来描述。波函数是一个复数函数，其模方 的物理意义是粒子处于某个状态的概率幅 。当一个量子系统可以同时处于多个状态 时，这些状态被称为叠加态。叠加态是量 子力学中的基本概念之一，它解释了微观 粒子的一些奇特性质，如干涉和纠缠等。
利用量子力学原理设计的错误纠正码，能 够提高量子计算机的稳定性。
量子通信
01
02
03
04
量子密钥分发
利用量子力学原理实现密钥分 发，能够保证通信的安全性。
量子隐形传态
利用量子纠缠实现信息传输， 能够实现无损、无延迟的通信
。
量子雷达
利用量子力学原理实现探测， 能够探测到传统雷达无法探测
量子力学基础
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
《结构化学》量子力学基础
结构化学量子力学基础量子力学是一门用于研究微观领域的物理学理论，它在结构化学中发挥着重要的作用。
本文将介绍一些结构化学中使用的量子力学基础知识，包括波粒二象性、波函数、薛定谔方程以及量子力学算符。
波粒二象性波粒二象性是量子力学的核心概念之一。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出粒子的特性，例如位置和动量，又可以表现出波动的特性，例如干涉和衍射。
这个概念最早由德布罗意提出，后来由实验证实。
在结构化学中，波粒二象性对于理解原子和分子的行为很重要。
例如，当光照射到分子上时，它可以通过波动模式与分子相互作用，从而导致分子的电子发生相应的变化。
这种相互作用不仅仅可以解释电子态的变化，还可以解释光谱的形成。
波函数波函数是描述量子力学体系的数学工具。
它是一个复数函数，可以用来描述系统中微观粒子的状态。
波函数的平方的模的平方给出了找到粒子在不同位置上的概率分布。
在结构化学中，波函数被用来描述原子和分子的电子态。
通过求解薛定谔方程，可以得到这些波函数。
波函数的形状决定了电子的分布，进而决定了原子和分子的性质。
薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学体系演化的基本方程。
它将体系的总能量与波函数联系起来，并描述了波函数随时间的演化。
薛定谔方程可以写为：Schrödinger equationSchrödinger equation这个方程包括了哈密顿算符和波函数的关系。
通过求解这个方程，可以得到波函数的时间演化情况。
在结构化学中，薛定谔方程被用于计算原子和分子的能级和振动态。
通过求解薛定谔方程，可以得到分子的光谱和电子态信息。
量子力学算符量子力学算符是描述量子力学体系性质的数学工具。
算符是一种操作，可以对波函数进行操作，从而得到相关的物理量。
量子力学算符包括了位置算符、动量算符、哈密顿算符等。
在结构化学中，量子力学算符被用于计算原子和分子的性质。
例如，位置算符可以用来计算电子的平均位置；动量算符可以用来计算电子的平均动量。
量子力学基础
23.03.2020
17
% 1
R°H
1
n12
1 n22
R° 为H 里德堡常数， R°=H 1.09677576×107m-1
莱曼系（Lyman） n1=1 n2 =2，3... 远紫外区 巴尔麦线系（Balmer） n1=2 n2 =3，4... Hα，Hβ，Hγ，
Hδ为可见区，其 余为近紫外区 帕邢系（Paschen） n1=3 n2 =4，5... 近红外区
23.03.2020
10
Ek 0 ν0
23.03.2020
②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象，光波的能量与它 的强度（振幅的平方）成正比，而与频率 无关。因此只要有足够的强度，任何频率 的光都能产生光电效应，而电子的动能将 随着光强的增加而增加，与光的频率无关， 这些经典物理学家的推测与实验事实不符。
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电子的波性是和微 粒行为的统计性联
系在一起的。
29
原子和分子中的电子其运动具有波性， 其分布具有几率性。原子和分子的运 动可用波函数描述，而电子出现的几 率密度可用电子云描述。
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30
3.不确定关系（测不准原理）
测不准原理是由微观粒子本质特性决定的。 1927年海森堡（ （Heisenberg）提出：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动 量（也不能将时间和能量同时确定），它要遵循测不准关系。
大学物理量子力学的基础
大学物理量子力学的基础量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它是对自然界最基本的物质粒子行为进行描述的理论。
在大学物理学课程中，量子力学作为重要的一部分，对于学生来说是一门具有挑战性的学科。
本文将介绍大学物理中量子力学的基础知识，包括量子力学的起源、基本理论、波粒二象性等内容。
一、量子力学的起源量子力学最早起源于20世纪初的实验观察，其中包括普朗克黑体辐射定律和爱因斯坦光电效应等重要实验结果。
这些实验现象无法被经典物理学所解释，迫使科学家们提出一种新的理论来描述微观尺度的物理现象。
1918年，德国物理学家玻恩提出了量子假设，为后来的量子力学奠定了基础。
二、量子力学的基本理论量子力学的基本理论由薛定谔方程和量子力学算符理论构成。
薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程，它描述了系统波函数随时间的演化规律。
而量子力学算符则用来描述物理量的测量和运算，它们对应于物理量的观测值和运动方程。
三、波粒二象性波粒二象性是量子力学的核心概念之一。
根据量子力学的理论，微观粒子在不同的实验条件下既可以呈现出波动性质，又可以表现出粒子性质。
具体而言，光的行为表现为波动性，在双缝实验中呈现出干涉和衍射现象；而电子、中子等微观粒子也可以表现出波动性质，例如在杨氏实验中呈现出干涉条纹。
四、量子力学中的基本概念为了更好地理解量子力学，我们需要掌握其基本概念。
首先是波函数，它描述了量子系统的状态，并且可以用来计算物理量的平均值。
其次是量子态，量子系统所处的状态可以用量子态来描述，量子力学中的态叠加原理也是量子力学与经典物理学的一个重要差异。
最后是测量，量子力学中的测量与经典物理学有很大的不同，测量结果会塌缩波函数，并且存在不确定性原理。
五、量子力学在实际应用中的意义量子力学不仅是基础物理学的重要学科，还被广泛应用于许多领域。
在材料科学中，量子力学的理论模型可以用来解释材料的电子结构和性质。
在计算机科学中，量子计算的概念正在成为未来计算机技术的重要方向。
量子力学的基础
量子力学的基础量子力学是20世纪初建立起来的一门物理学理论，它的出现彻底颠覆了经典物理学的观念。
量子力学的基础包括了几个重要概念和原理，本文将对这些基础内容进行介绍和解析。
一、波粒二象性量子力学的基础之一是波粒二象性。
在经典物理学中，光被认为是粒子的流动，例如光的传播速度可以解释为光粒子在空间中的移动速度。
然而，根据量子力学的观点，光既展现出粒子特性，又表现出波动特性。
这意味着光既可以看作是一束光子流动，又可以看作是波动在空间中传播。
类似地，电子、中子等微观粒子也具有波粒二象性。
二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个基础概念。
量子力学认为，对于一个粒子的某些物理量（如位置和动量），无法同时进行精确测量，只能得到其一定范围的测量值。
这就是著名的不确定性原理。
如海森堡不确定性原理就表明，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这个原理挑战了经典物理学中的确定性观念，引发了科学界的巨大震动。
三、波函数和量子态量子力学中，波函数是描述粒子运动状态的数学函数。
波函数的平方值给出了粒子存在于某个位置的概率密度，而不再是经典物理学中的精确位置。
波函数可以用于计算任何粒子的性质和行为，因此是量子力学的核心概念之一。
根据波函数的形式，我们可以将粒子的状态分为几种不同的量子态，如基态、激发态等。
四、量子力学算符量子力学中，算符是一个非常重要的概念，用来描述和操作量子力学中的物理量。
算符对应于在物理现象中观察到的各种不同可测量的物理量，如位置、动量、能量等。
通过对算符进行操作和变换，我们可以得到粒子的各种物理性质和运动状态。
五、量子力学的数学框架量子力学除了以上基础概念外，还建立了一套严密的数学框架。
其中包括了波函数的薛定谔方程、量子力学算符的定义和性质、态矢量的表示等。
这些数学工具为量子力学的计算和研究提供了强大的支持。
结论量子力学的基础概念和原理为我们理解微观世界的规律和现象提供了有效的工具。
波粒二象性、不确定性原理、波函数和量子态、量子力学算符以及数学框架等内容是量子力学的重要组成部分。
量子力学基础知识
量子力学基础知识一、引言量子力学是研究微观领域的物质与能量相互作用的理论框架。
自从其诞生以来，量子力学一直在推动科学的发展，并给人们对宇宙的认识带来了巨大的变革。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括量子力学的起源、基本原理、波粒二象性以及量子力学的测量等内容。
二、量子力学的起源量子力学起源于20世纪20年代，由一系列学者的贡献构建而成。
其中，德国物理学家普朗克的能量量子化假设和波尔的量子化条件为量子力学的产生奠定了基础。
普朗克假设能量的辐射是离散的，而非连续的，基于这一假设，波尔提出了电子只能存在于特定的能级上，并且在能级间跃迁时会放出或吸收能量。
这些基本思想为量子力学的建立提供了理论依据。
三、量子力学的基本原理1. 状态和波函数在量子力学中，一个粒子的状态可以由波函数来描述。
波函数是一个数学函数，描述了粒子在空间中的概率分布情况。
根据波函数的不同形式，可以分为定态波函数和非定态波函数。
定态波函数描述的是粒子在确定能级的状态，而非定态波函数描述的是粒子在多个能级之间的叠加态。
2. 波粒二象性量子力学中最重要的原理之一是波粒二象性。
根据波粒二象性，物质既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
对于微观粒子，如电子、光子等，它们的波动特性可以通过波函数来描述，而粒子性则体现在其具有一定的质量和动量。
3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的又一基本原理。
它指出，在同一时刻，无法准确测量一个粒子的多个性质，如位置和动量，或者能量和时间。
这是因为在测量的过程中，会对被测量粒子产生扰动，从而导致测量结果的不准确性。
四、量子力学的测量在量子力学中，粒子的测量是通过测量算符来实现的。
测量算符对应于一个可观测量，如位置、动量、能量等。
在测量的过程中，波函数会坍缩到一个特定的本征态上，这个本征态对应于特定的测量结果。
五、应用与展望量子力学在科学技术领域有着广泛的应用。
其中，量子计算、量子通信和量子物质等领域备受关注。
《结构化学》量子力学基础
Black-body Radiation
由图中不同温度 的曲线可见，①随温 度增加，辐射能Eν值 增大，且其极大值向 高频移动，最大强度 向短波区移动（蓝 移）。②随着温度升 高，辐射总能量（曲 线所包围的面积）急 剧增加。
2000K
辐射能分布曲线
1500K
如应用经典物理学中能量连续的概念 推导出来的辐射强度公式(RayleighJeans)来解释，在长波长处与实验M曲axwel线l的分子很速率分布 接近，但在短波长处严重不符。
惠更斯的波动学：
光是发光体在周围空间里引起的弹性振动 而形成的一种波，不同波长的波产生不同颜色 的光，白光则是各种单色波混合形成的。
波动性表现为：光的干涉、衍射和偏振。
量子化概念的提出和引入，使得对光的本 性认识有很大的飞跃。通过长期争论，加上 科学技术的不断提高，现在可以认为光表现 出波粒二象性。
λ = h / p = h / mv
1929年 诺贝尔物理奖获得者
实物微粒波也称为德布罗意波。电子衍射 实验证实了德布罗意的假设，后来采用中子、 质子、氢原子和氦原子等粒子流，也同样能观 察到衍射现象，充分证明了实物微粒具有波动 性。由此可见，波粒二象性是微观体系的普遍 现象。
戴维孙－革末电子衍射实验
开始
时间
统计结果——波动性
对于电子衍射图来说：（结果）
（1）用较强的电子流可以在短时间内得到 电子衍射照片;
（2）若用很弱的电子流，让电子先后一个 一个的到达底片，只要时间足够长，也能得 到同样的衍射结果。
（3）单个电子有粒子性，到达底片得不到 衍射图象，当电子数目足够多时，底片就显 示出衍射图象。所以，电子的波性是其行为 统计性的结果。
（3）发射电子的动能与入射光频率（ ν ≥ νo ）呈线性关系。
量子力学基础通用课件
量子力学的起源可以追溯到20世纪初，由普朗克、爱因斯坦、玻尔等科学家的 开创性工作奠定基石。随后，薛定谔、海森堡、狄拉克等科学家进一步完善了 量子力学理论体系。
量子力学的基本概念和原理
基本概念
波函数、量子态、测量、算符等 是量子力学的基本概念，用于描 述微观粒子的状态和性质。
基本原理
叠加原理、测不准原理、量子纠 缠等是量子力学的基本原理，反 映了微观世界的奇特性质和规律 。
应用领域
量子计算和量子信息在密码学、 化学模拟、优化问题、机器学习 等领域具有广泛的应用前景。
05
现代量子力学研究的前沿问题
量子纠缠和量子通信
量子纠缠的研究现状和意义
详细介绍量子纠缠的概念、性质，以及其在量子信息传输、量子 密码学等领域的应用。
基于纠缠态的量子通信协议
如BB84协议、E91协议等，并分析它们的优缺点。
应用总结
量子力学在多个领域有着广泛应用，如原子能级与光谱、半导体器件、超导与磁性材料、量子计算与 量子信息等。通过本课件的学习，学生应能了解这些应用背后的量子力学原理，以及量子力学在解决 实际问题时的优势与局限。
对未来量子力学研究和发展的展望
理论研究展望
随着实验技术的进步，未来量子力学研 究将更加注重高精度、高效率的数值模 拟与解析计算，以解决复杂多体问题、 拓扑物态、量子引力等前沿课题。此外 ，与相对论、宇宙学等其他理论的交叉 研究也将成为热点。
THANKS
感谢观看
对于包含多个电子的原子，需要考虑电子之间的相互作用和自旋等效应。多电子原子的量子力学处理更为复杂， 需要采用近似方法和数值计算等手段进行求解。
04
量子力学的应用和实验验证
量子隧穿效应
量子力学基础理论
量子力学基础理论量子力学是物理学中一门非常重要的理论，它描述了微观世界中粒子的行为规律。
在20世纪初，量子力学的建立彻底颠覆了经典物理学的观念，揭示了微观领域中诸多奇妙而复杂的现象。
本文将介绍量子力学的基础理论，包括波粒二象性、不确定性原理、叠加态和测量等方面的内容。
首先，量子力学中最为重要的一个概念就是波粒二象性。
根据传统的经典物理学，粒子和波是截然不同的，而量子力学则表明微观粒子既具有粒子性又具有波动性。
例如，电子和光子可以展现出粒子的性质，如具有动量和位置等特征，同时也可以表现出波动性，如干涉和衍射等现象。
这种波粒二象性的存在与波函数的概念密不可分。
波函数描述了微观粒子的状态和行为。
它是一个复数函数，可以用来计算粒子在不同位置和不同动量下的可能性。
波函数的变化服从著名的薛定谔方程，薛定谔方程描述了波函数随时间的演化规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观粒子的能量和其他性质。
其次，量子力学中还存在着著名的不确定性原理。
由于波粒二象性的存在，量子力学认为无法同时精确测量微观粒子的位置和动量。
这就是著名的海森堡不确定性原理。
根据海森堡不确定性原理，越精确地测量粒子的位置，我们对其动量的测量就会越不准确，反之亦然。
这是由波函数的特性和测量方法的限制所决定的。
在量子力学中，还存在着量子叠加态的概念。
叠加态指的是一个系统处于多个可能状态之和的状态。
这里的多个可能状态指的是具有不同属性的态，如上自旋和下自旋。
根据叠加原理，当我们观测一个叠加态系统时，其状态会塌缩到一个确定的态上，这个塌缩的结果是根据一定的概率分布来决定的。
这就引入了测量的概念。
测量是量子力学中不可或缺的一环。
在测量过程中，波函数塌缩为一个确定态，这个确定态的选择是随机的，并且根据一定的概率分布来确定。
量子力学中的测量结果是以概率的形式给出的，而非经典物理学中的确定性结果。
这是由波函数的统计解释以及不确定性原理所决定的。
总结起来，量子力学的基础理论涉及了波粒二象性、不确定性原理、叠加态和测量等方面的内容。
量子力学基础
量子力学基础量子力学是描述微观世界中物质和能量行为的一门科学，它在20世纪初由物理学家们逐步建立起来。
量子力学是现代物理学的基石，对于理解原子、分子、固体、核反应等现象具有重要意义。
本文将介绍一些量子力学的基础知识。
1. 波粒二象性量子力学将微观粒子既可以表现为粒子，又可以表现为波的特性称为波粒二象性。
这一概念是量子力学的核心之一。
例如，电子不仅可以具有粒子的位置和动量，还可以像波动一样干涉和衍射。
这对于解释实验数据和理解微观效应非常关键。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要原理，由海森堡于1927年提出。
不确定性原理指出，在某些物理量的测量中，无法同时准确测量其位置和动量，或者能量和时间。
这是因为测量过程会对被测量的系统产生干扰，从而使得同时准确测量两个互相联系的物理量成为不可能。
3. 波函数和波函数坍缩波函数是量子系统在给定时刻的状态描述，它是与量子力学中的各个物理量相对应的一组数学函数。
波函数可以用来计算某个物理量的概率分布，从而预测实验测量结果。
当对一个物理量进行测量时，波函数会发生坍缩，即系统会塌缩到某个确定的状态上。
4. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出。
薛定谔方程描述了量子系统的演化规律，可用来计算波函数随时间的变化。
薛定谔方程是解释原子、分子、凝聚态物质等现象的重要工具。
5. 超越边界和量子隧穿效应在经典物理学中，粒子的运动受到势能的限制，当粒子的能量低于势垒时，无法跨越势垒。
然而，在量子力学中，由于波粒二象性，粒子可以通过量子隧穿效应，以概率的形式穿越势垒，即使其能量低于势垒。
6. 基态和激发态在量子力学中，系统的能量可以分为不同的离散能级。
基态是系统的最低能量状态，而激发态是高于基态的能量状态。
通过向系统提供能量，可以使系统从基态跃迁到激发态，这在原子和分子的能级转移中起着重要作用。
总结：量子力学作为现代科学的重要分支，为我们理解微观世界提供了重要的工具和理论框架。
量子力学基础
量子力学基础引言量子力学是现代物理学的基石之一，它主要研究微观粒子的行为和性质。
与经典力学不同，量子力学在描述微观世界时展现出了一系列独特的现象和规律。
本文将简要介绍量子力学的基本概念、重要实验以及一些常见的误解。
波粒二象性波粒二象性是量子力学的核心概念之一。
微观粒子，如电子和光子，既表现出波动性，又表现出粒子性。
这一现象最早由德布罗意提出，并在后来的实验中得到验证。
双缝干涉实验最著名的演示波粒二象性的实验是双缝干涉实验。
在这个实验中，单个光子或电子通过两个狭缝后，会在屏幕上形成干涉条纹。
这表明它们具有波动性。
然而，当试图探测它们究竟通过哪个缝时，干涉条纹消失，表现出粒子性。
这一结果挑战了经典物理学的直觉。
不确定性原理不确定性原理由海森堡提出，是量子力学的另一个基本原理。
它指出，不可能同时精确测量一个粒子的位置和动量。
这意味着在微观世界中，我们无法完全确定一个粒子的状态，只能得到其概率分布。
超导性和量子纠缠超导性和量子纠缠是量子力学应用的两个重要领域。
超导性是指在低于某个温度时，某些材料的电阻突然变为零。
这一现象在磁悬浮列车和粒子加速器等领域有重要应用。
量子纠缠则是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，即使它们相隔很远，也能瞬间影响彼此的状态。
这一现象在量子通信和量子计算中具有巨大的潜力。
常见误解尽管量子力学取得了巨大的成功，但仍然存在一些常见的误解。
例如，有人认为量子力学表明“一切都是不确定的”，或者“观察者的意识决定了现实”。
这些观点都是对量子力学的误读。
量子力学并不否认现实的存在，而是揭示了微观世界的复杂性和不可预测性。
结论总之，量子力学是一门深奥而迷人的学科，它改变了我们对自然界的理解。
虽然它的许多概念和现象与我们的日常经验相悖，但正是这些特性使得量子力学成为了现代科技发展的基石。
随着研究的深入和应用的拓展，量子力学将继续在未来的科学和技术领域发挥重要作用。
量子力学基础
量子力学基础引言量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支，它揭示了物质和辐射在原子尺度上的基本规律。
本文将简要介绍量子力学的基本原理和概念。
波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
这一现象最早由德布罗意提出，他假设所有物质都具有波粒二象性，并提出了著名的德布罗意波长公式：λ = h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。
不确定性原理另一个重要的概念是海森堡提出的不确定性原理，它指出我们无法同时精确测量一个粒子的位置和动量。
这个原理可以用数学公式表示为：Δx * Δp ≥ ħ/2，其中Δx是位置的不确定度，Δp是动量的不确定度，ħ是约化普朗克常数。
薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系统的演化。
对于非相对论性量子系统，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = Hψ，其中ψ是波函数，H是哈密顿算符，它包含了系统的所有信息。
量子态和波函数在量子力学中，一个系统的状态由波函数ψ描述。
波函数是一个复数函数，其模方|ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率密度。
波函数的归一化条件是∫|ψ|^2dV=1，确保总概率为1。
量子力学的应用量子力学在许多领域都有应用，包括原子物理、分子化学、凝聚态物理、核物理等。
例如，量子力学解释了原子的稳定性、化学反应的机制、半导体的工作原理等。
此外，量子力学还推动了新兴技术的发展，如量子计算、量子通信等。
总结总之，量子力学是一门深奥而美丽的学科，它改变了我们对自然界的认识。
虽然量子力学的概念可能难以直观理解，但它为我们提供了一种强大的工具来探索和理解微观世界的奥秘。
量子力学实验基础
量子力学实验基础
量子力学实验是研究量子力学的基本实验方法，是实现量子力学理论预测的主要手段之一。
它是一种描述动力学系统的科学方法，可以用来推断材料在微观尺度上会发生怎样的变化。
它将量子力学理论和实验测量连接起来，为实验家们提供了做出可靠的观测和预测的能力。
量子力学的实验基础包括量子力学的起源、麦克斯韦方程、哈密顿量子力学、量子力场理论等多项内容。
量子力学的起源是源于原则几何学中关于三角形体现的欧氏定理。
通过这些原则，可以推导出麦克斯韦方程，它描述了物质振动在空间和时间上的规律性变化。
哈密顿量子力学则描述了物质粒子在量子态中的状态和特性。
量子力场理论建立了量子力学的数学基础，它关系着量子力学的实验与理论的联系。
一般来说，量子力学的实验基础需要研究者具备良好的数学基础知识，包括普通微积分、偏微分方程、复变函数、线性代数等抽象思维能力，以及常微分方程、数学物理方程等数学知识，还需要一定的物理知识，包括基础力学和热力学。
量子力学实验有多种不同的形式，其中最常用的是量子波动实验。
该实验的基本原理是激发物质至某一高能状态，使其发射量子波，并测量波的谱线以及衰减行为，从而推测原子的能级及波函数的形式。
其它量子力学实验还包括量子拉曼散射实验、量子统计实验等。
总之，量子力学实验是一种用于研究量子力学理论的实验手段，
它要求研究者有一定的数学知识和物理知识，它可以提供实验家们可靠的观测和预测能力，以帮助他们更好地理解量子力学。
量子力学入门
量子力学入门量子力学是一门探究微观世界的分支学科，旨在解释物质的微观性质和微观粒子的行为规律。
它具有深刻的物理意义和广泛的应用价值，是现代物理学的一大支柱。
1. 量子力学的发展历程20世纪初，物理学家开始发现，经典物理无法解释微观粒子的现象。
1900年，德国物理学家普朗克提出了量子假设，认为能量不是连续的，而是由离散的“量子”组成。
此后，爱因斯坦、玻尔等科学家继续探究量子的奥秘，提出了经典物理无法解释的现象，如量子纠缠、不确定性原理等。
到了20世纪中期，量子力学成为物理学中的主流学科。
量子力学包括波粒二象性、量子叠加态等重要内容，为纳米技术、量子计算等应用领域提供了理论基础。
2. 量子力学的基本原理量子力学有两个基本原理：波粒二象性和量子叠加态。
波粒二象性：所有物质都具有波动性和粒子性，即微观粒子既可以像粒子一样具有质量和位置，也可以像波一样具有波长和频率。
这种特性被称为波粒二象性。
量子叠加态：在某些情况下，有两个或多个微观粒子可以同时处于不同的状态。
这些状态可以相互叠加，即各个状态波函数简单相加，形成一个新的波函数。
例如，电子在原子中的状态就可以用叠加态来描述。
3. 量子力学的应用量子力学的应用非常广泛。
以下是其中几个重要的领域：量子计算机：量子计算利用了量子叠加态和纠缠等性质，可以在理论上解决一些经典计算机难以处理的问题，如质因数分解、搜索问题等。
纳米技术：纳米技术使用了量子力学的原理，可以制造具有新型性质的材料和器件，如纳米管、量子点等。
量子通信：量子通信利用了量子纠缠等性质，可以实现加密通信，更安全可靠。
量子力学在科学技术、医药健康等诸多领域有着广泛的应用，展现了其重要性和潜力。
4. 量子力学的未解之谜虽然量子力学被广泛应用，但仍存在一些未解之谜。
比如：不确定性原理：不确定性原理指出，对于某个物理量的测量，只能得到其位置或者动量的其中一个值，而不能同时确定两者。
这一原理在微观物理世界中非常重要，但仍没有被完全理解。
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波函数
自由粒子波函数
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自由粒子的
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波函数
自由粒子的能量和动量为常量， 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。 罗意波是平面波。 对于处在外场作用下运动的非自由粒子， 对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同， 外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。 不相同。
– 31
的 称节点位置 kg 极大的 称最概然位置
看，
置间隔变小。 很大， 置间隔变小。 很大，概 算得 × 37.7 eV 能量量子化明显 好比驻波 率密度趋近均匀分布。 率密度趋近均匀分布。 – 2 m ( 宏观尺度)的势阱中 处在宽度 10
归纳
例
例
例
例
电子束 缝 宽
例
电子束
缝 宽
例
例
不确定关系
海森伯
第三节
经典理论的困难 根源：微观粒子具有明显的波粒二象性。 根源：微观粒子具有明显的波粒二象性。 由于微观粒子具有明显的波动性， 由于微观粒子具有明显的波动性，导致了不确定关 同方向的位置和动量不能同时确定, 系 , 同方向的位置和动量不能同时确定 , 使得我们不能 用坐标和动量来描述微观粒子的运动状态. 用坐标和动量来描述微观粒子的运动状态. 那么用什么物理量来描述微观粒子的运动状态呢? 那么用什么物理量来描述微观粒子的运动状态呢 既然微观粒子具有明显的波动性， 既然微观粒子具有明显的波动性，使我们自然地想 用一个函数(波函数)来描述微观粒子的运动状态。 到,用一个函数(波函数)来描述微观粒子的运动状态。
微观客体的运动状态可用波函数来描述， 微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是 量子力学的一个基本假设。 量子力学的一个基本假设。
概率密度
1926 年提出了对 波函数的统计解释
波函数归一化
因概率密度 故在 矢端的体积元 发现粒子的概率为 在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子， 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。 子出现的概率为 。 内
量子力学初步
量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。 电子学及高新技术等许多领域。 本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理， 原理，并通过几个具体事例的讨论来说明 量子力学处理问题的一般方法。 量子力学处理问题的一般方法。
第一节
新思想的形成背景
普朗克、 普朗克、爱因斯坦等人的能量子和光量子理论取得的 成功，实际上反映了光具有波粒二向性． 成功，实际上反映了光具有波粒二向性．波尔纯粹用 粒子的观点去解决原子问题虽有较大进展， 粒子的观点去解决原子问题虽有较大进展，但又遇到 了困难． 了困难． 这些启示了德布罗意，提出了一个很发人深省的 这些启示了德布罗意 问题。他认为： 整个世纪以来， 问题。他认为：“整个世纪以来，在光学中比起波的 研究方法来，如果说是过于忽视粒子的研究的话， 研究方法来，如果说是过于忽视粒子的研究的话，那 么在实物粒子的理论上，是不是发生了相反的错误， 么在实物粒子的理论上，是不是发生了相反的错误， 把粒子的图象想得太多，而过分忽视了波的图象呢？ 把粒子的图象想得太多，而过分忽视了波的图象呢？” 于是， 年他提出了一个大胆的假设： 于是，在1924年他提出了一个大胆的假设：不仅辐射 年他提出了一个大胆的假设 具有波粒二象性，一切实物粒子也具有波粒二象性。 具有波粒二象性，一切实物粒子也具有波粒二象性。
对坐标的一阶导数存在且连续（ 定态薛定谔方程成立）。 对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。
若已知势能函数 可求解出
，应用定态薛定谔方程 应用定态薛定谔方程
，并得到定态波函数 并得到定态波函数
定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。 定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。
得
概率密度最大的位置
求极大值的 x 坐标 积分得
解得 另外两个解
处 处题设
最大
得到归一化波函数：
概率密度
第四节
薛定谔方程引言
薛定谔方程
定态薛定谔方程
若粒子所在的 势场只是空间函数 即 则粒子的每个状态 能量具有确定值
续上
连续、单值、有限的标准条件； 连续、单值、有限的标准条件；
归一化条件； 归一化条件；
德布罗意
1923年他提出电子既具 年他提出电子既具 有粒子性又具有波动性。 有粒子性又具有波动性。 1924年正式发表一切物质 年 都具有波粒二象性的论述。 都具有波粒二象性的论述。 并建议用电子在晶体上做 衍射实验来验证。 衍射实验来验证。1927年 年 被实验证实。 被实验证实。他的论述被 爱因斯坦誉为 “ 揭开了 巨大面罩的一角 ”。 德布罗意为此获得1929 德布罗意为此获得 年诺贝尔物理学奖。 年诺贝尔物理学奖。
NaCl晶体的中子衍射 NaCl晶体的中子衍射
要点1
要点2
第二节
不确定关系
海森伯
1927年，德国物理学家海森伯提出 年 微观粒子不能同时具有确定的位置和动量， 微观粒子不能同时具有确定的位置和动量， 位 置 的 不 确 定 量 的关系 同一时刻 该方向动量的不确定量
称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明， 称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明， 同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。 同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。
不确定关系
从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系
电子束 缝 宽
单缝衍射一级暗纹条件 电子通过单缝时发生衍射，
概略地用一级衍射角所对应 的动量变化分量 粗估其 动量的不确定程度
续上
德布罗 意波长
缝宽 可用来粗估 电子通过单缝时其位 置 x 的不确定程度。 的不确定程度。 为了减小位置测量 衍 的不确定程度，可以 的不确定程度， 射 减小缝宽 ，但与 此同时， 图 此同时，被测电子的 样 动量的不确定量 却变大了。 却变大了。 根据右图可粗估 与 的关系。 的关系。
8,9,10,14,15,16,18,19
教学基本要求
了解德布罗意假设及电子衍射实验 德布罗意假设及电子衍射实验. 一 了解德布罗意假设及电子衍射实验 了解实 物粒子的波粒二象性. 物粒子的波粒二象性 理解描述物质波动性的物理量 波长、频率）和描述粒子性的物理量（动量、 （波长、频率）和描述粒子性的物理量（动量、能 之间的关系. 量）之间的关系 二 了解坐标和动量、时间和能量的不确定关系 . 了解坐标和动量 坐标和动量、 了解波函数及其统计解释 了解一维定态的 三 了解波函数及其统计解释 . 了解一维定态的 薛定谔方程， 掌握量子力学中用薛定谔方程处理一 薛定谔方程， 掌握量子力学中用薛定谔方程处理一 维无限深势阱等微观物理问题的方法 .
钨晶体薄片对电子的衍射
氧化锌晶体对电子的衍射
电子及中子衍射图片
电子衍射、中子衍射、 电子衍射、中子衍射、甚至原子和分子束在晶体表 面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。 面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。微观粒 子具有波粒二象性的理论得到了公认。 子具有波粒二象性的理论得件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件： 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
波函数标准条件
波函数的三个标准条件： 波函数的三个标准条件：
连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变， 因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续； 须处处连续； 因任一体积元内出现的概率只有一种， 因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的； 波函数一定是单值的； 因概率不可能为无限大， 因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的； 有限的；
戴-革实验
汤姆孙实验
电子衍射图片
由于电子进入到晶体内部时容易被吸收， 由于电子进入到晶体内部时容易被吸收， 人们通常采用极薄的晶片， 人们通常采用极薄的晶片，或让电子束以 掠入射的形式从晶体表面掠过， 掠入射的形式从晶体表面掠过，使电子只 与晶体最外层的原子产生衍射， 与晶体最外层的原子产生衍射，从而成功 地观察到多种晶体的电子衍射图样。 地观察到多种晶体的电子衍射图样。 电子在氧化镁晶体半平面的直边衍射
得
即
考虑到高于一级 仍会有电子出现
取
和
不可能
通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式， 通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式，它表明
同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定， 同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定，这是微观粒子具有波粒二象性的一种 客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中， 客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克 常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。 常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。
因此， 因此，将波函数在空间 各点的振幅同时增大 C倍， 倍 则各处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度 分布状态。 分布状态。
德布罗意波 不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方） 波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度 概率密度分布取决于空间 各点波强的比例， 各点波强的比例，并非取 决于波强的绝对值。 决于波强的绝对值。
因此， 因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C 倍，不影响粒子 的概率密度分布， 的概率密度分布，即 和 C 所描述德布罗意波的状态相同。 所描述德布罗意波的状态相同。