证明线段相等的方法

平面几何中线段相等的证明几种方法

平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等

这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。

证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形

∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°

∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°

∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°

∴AC=CD，CE=CB

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE=DB

［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

证明：过点E作EG//AF交BC于点G

∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE

∵BE=CF，∴GE=CF

在△EGD和△FCD中，

∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF

∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD

二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等

如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。

∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD

∴△ADC≌△GDB

∴AC=GB，∠FAE=∠BGE

∵BE=AC

∴BE=BG，∠BGE=∠BEG

∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF

∴AE=EF

［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

证明：∵DF⊥BC

∴∠DFB=∠EFC=90°，∠D=90°－∠B，∠CEF=90°－∠C

∵AB=AC，∴∠B=∠C

∴∠D=∠CEF

∵∠CEF=∠AED

∴∠D=∠AED

∴AD=AE

三、利用平行四边形的性质证明线段相等

如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。

［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，

求证：EF=FD。

证明：过D作DO⊥AC交AB于点O

∵OD垂直平分AC，∠ACB=90°

∴BC⊥AC

∴O点必为AB的中点，连结EO，则EO⊥AB

∵∠CAB=30°，∠BAE=∠CAD=60°

∴AD⊥AB，AE⊥AC

∴OE//AD，AE//OD

∴四边形ODAE为平行四边形

∴EF=FD

［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD 的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。

求证：HG=BE。

证明：延长AD到A”，使DA”=AD

又∵BD=CD

∴四边形BACA”是平行四边形

∴BA=A”C

由题设可知HFGA也是平行四边形

∴HF=AG

∵HF//AC，∴

又∵，HF=AG，BA=A”C

∴BH=EG

∴四边形BEGH是平行四边形

∴HG=BE

四、利用中位线证明线段相等

如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。

［例1］如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。

证明：DM=EM。

证明：延长BD至F，使DF=BD。

延长CE到G，使EG=CE，连结AF、FC，连结AG、BG

∵BD=FD，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD

∴Rt△ABD≌Rt△AFD

∴∠BAD=∠FAD

同理可得：∠CAE=∠GAE

∵∠ABD=∠ACE

∴∠FAB=∠GAC，故∠FAC=∠GAB

在△ABG和△AFC中，

AB=AF，∠GAB=∠CAF，AG=AC

∴△ABG≌△AFC

∴BG=FC

又∵DF=DB，EC=EG，M是BC的中点

∴DM==EM，即DM=EM

［例2］如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC 的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。

求证：EF=FD。

证明：过D作DG//AB交EA的延长线于G，可得∠DAG=30°

∵∠BAD=30°＋60°=90°

∴∠ADG=90°

∵∠DAG=30°=∠CAB，AD=AC

∴Rt△AGD≌Rt△ABC

∴AG=AB，∴AG=AE

∵DG//AB

∴EF//FD

五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。

如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。

［例］如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。

证明：作DA、CE的延长线交于H

∵ABCD是正方形，E是AB的中点

∴AE=BE，∠AEH=∠BEC