定积分的分部积分公式

In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n1 n In2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
, 直到下标减到0或1为止
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0
sin
x
2dx 2
1 2
cos x2
1 0
1 (cos1 1). 2
I 1 1. e
练习:设
f (x)
x e t2dt,
1
计算I
1 f ( x) dx. 0x
6
例5 证明定积分（华里士Walls）公式
In
8
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
5 6
3 4
1 2
I0,
(m 1,2, )
2m 2m 2 6 4 2
I2m1
2m
1
2m
1
7
5
3 I1,
I0
2
dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
于是
2m 1 2m 3 5 3 1 (2m 1)!!
I2m
2m
L
一、分部积分公式
The formula of integration by parts
设函数u( x)、v( x) 在百度文库间a,b上具有连续
导数，则有abudv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (
uv
)dx
uv
b
a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx,
4、 sin n1 x cos( n 1) xdx . 0
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
1
1
例1 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
3
0
2
x 1
x
dx
11 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 3
ln
2
ln
3.
4
x2 sin t
1
例4 设 f ( x) 1
t
dt, 求 xf ( x)dx. 0
解 因为sin t 没有初等函数形式的原函数，
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
e
e
12
例9(07,Ⅰ,11’) 设曲线C的方程为 y f ( x)，点 (3 , 2)
是它的一个拐点，直线 l1 与 l2 分别是曲线C
在点 (0 , 0)与 (3 , 2)处的切线，其交点为 (2，4）．
设函数 f ( x) 具有三阶连续导数，计算定积分
I
3
(
x2
x)
f
(
x)dx
0
y (2 ，4)
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
15
3、 J (m) x sin m xdx ，（m 为自然数） 0
解：右端
1 2
b a
(
x
a
)(
x
b
)
d
f
(
x
)
分部积分积分
1 ( x a)(x b) f ( x)
2
b a
1 2
b a
f ( x)(2x a b) dx
再次分部积分
1 (2x a b) f ( x) b
2
b
a
f
(x)dx
=
左端
a
11
例8 设 y 1, 求 I 1 x y e xdx 1
20
l1
(3 , 2)
y f (x)
l2
o
x
13
二、小结
定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
14
练习题
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
2、设 n 为正偶数，则 2 cosn xdx =___________； 0
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n
n
n
1 1
n n n
3 2 3
3 4 4
1 2 2,
2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
7
2m 2 6 4 2 2
(2m)!!
, 2
I2m1
2m 2m 2 L 2m 1 2m 1
6 4 21 753
(2m)!! (2m 1)!!
9
例6. 设 求
解:
(分部积分)
练习:
设f
(
x)
x
0
sin t
t
dt
,
计算
0
f ( x)dx
2
10
例7
且 f (a) f (b) 0,
试证
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
2
例2 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
1 2
1
0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1 x2df ( x)
0
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
5
x2 sin t
f ( x) 1
dt , t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
x
4 0
ln 2 . 84
练习：计算
2
4
1
xdx . cos 2x
8
ln 2 4
.
3
1 ln(1 x)
例3 计算 0 (2 x)2 dx.
解
1
0
ln(1 (2
x
x) )2
dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1
解：
x
y
x y
y x
, ,
x x
y y
I
y 1
(x
y)e xdx
1
y
(x
y)e xdx
y 1
xe
xdx
y 1
ye xdx
1
y
xe x dx
1
y
ye xdx
( x 1)e x y 1
ye x y 1
( x 1)e x 1 y
ye x 1 y
2e y 2 (e 1) y