定积分的分部积分公式
定积分的换元积分法与分部积分法
有
b
a f (x) dx f [(t)](t) dt
上式称为定积分的换元公式。
π
例1 计算 2 cos3 x sin x dx 。 0
解
设 t cos x ，则 dt sin x dx 。当 x 0 时，t 1 ；当
x π 时，t 1。 2
原式 0 t3dt 1 t3dt 1 t4计算
4 dx 。
0 1 x
解
令 x t ，x t2 ，则 dx 2tdt 。当 x 0 时，t 0 ；当
x 4 时，t 2。
原式 2 2t dt 2 2 t 1 1 dt 2 2 ln 1 t 2 4 2ln 3
0 1t
0 1t
0
例3 计算
高等数学
定积分的换元积分法与分 部积分法
一、定积分的换元积分法
定理 设函数 f (x) 在 [a ，b] 上连续，而 x (t) 是定义在 [ ， ] 上的一个可微函数，并满足条件：
（1）(t)在区间 [a ，b] 上有连续的导数 (t) ；
（2）当t从α 变到β 时，(t) 从 ( ) a 单调地变到( ) b ，则
两边积分，得 移项，得 即
b
b
b
a (uv)dx a uvdx a uvdx
b uvdx
(uv)
b
b
vudx
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
这就是定积分的分部积分公式。
π
例6 计算 0 x cos x dx 。
解
原式
π
xd (sin
x)
x sin x
π
π
定积分的分部积分法广义积分
b
(5.3.3)
分部积分法
例(补充)
计算
0
4
0
xdx . 1 cos 2 x
2
解 1 cos2x 2cos x,
4
0
xdx 1 cos 2x
4
4
xdx 2 cos x
2
0
4
4
0
x d tan x 2
1 1 x tan x 0 2 2 1 4
dx
1
dx x
lim
1
b 1
b
dx x
令 x t，则x t 2，dx 2tdt 且x 1 t 1 ，x b t b
b 2tdt lim 2dt lim 2t b 1 b t
lim
b 1
b
b 1
lim 2( b 1)
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
2
注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2
广义积分
b
b
1 1
所以，广义积分
-x
e dx 收敛 .
0
广义积分
例3 求广义积分
解
0
第四节定积分的分部积分法
f
(0)?
?
2.
9
练习题
一、 填空题：
? 1、 1 xe ? x dx ? ______________； 0 e
? 2、 x ln xdx ? _____________； 1 1
? 3、 x arctan xdx ? ____________ . 0
二、 计算下列定积分：
? 1、
e
sin(ln x ) dx ；
?2
?
?? 42
?
cos u
4 0
?
2? ? 2 ? 1
82
?2
所以
?16
0
cos
xdx ?
2? ?
4
2? 2
6
例5 若 f ( x )在[ 0,1]上连续，证明
?
?
? ? 2 f (sin x )dx ? 2 f (cos x )dx
0
0
证 （1）设 x ? ? ? t ? dx ? ? dt,
0
0
7
小结
? ? 1.定积分的分部积分公式
b
udv
?
b
?uv ?
?
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
主要作用： 1.简化定积分的计算 . 2. 证明一些等式 .
作业:P107 1的奇数号题, 2
8
思考题 设 f ??( x ) 在 ?0,1?上 连 续 ， 且 f (0) ? 1 ，
f
(2)
?
3，
f
?(2)
?
5
，求
1
?0
x
f
??(2 x )dx .
定积分的分部积分法
§6.5 定积分的分部积分法因为vdu udv uv d +=)(，两边从a 到b 取定积分有：⎰⎰⎰+==b abab ab avdu udv uv uv d ][)(，所以 ⎰⎰-=bab a ba vdu uv udv ][ 例1⎰⎰⎰-=-=5151515151]ln [ln ])[(ln ln dx xx x x x xd x x xdx 45ln 5][05ln 551-=--x例2 11|][1110110=+-=-=-==⎰⎰⎰xx xxx x x e e e e dxe xe xde dx xe例3211|c o s 0s i n|s i n s i n c o s 0000-=--=+=-==⎰⎰⎰πππππx dx x x x x xd xdx x例4⎰⎰⎰-==ee e e xd x x x x xd xdx x 1121221ln 21]ln [21)2(ln ln=414|212122122122122+=⋅-=-⎰e x e dx x x e e e例5⎰⎰=2ln 0222ln 032221dx e x dx e x x x 令2x t =，则原式=⎰⎰⎰-==2ln 02ln 02ln 02ln 021][212121dt e te tde dt te tt t t =212ln 212212ln |212)2(ln 212ln 0-=+⋅-=-⋅t e 例6 求⎰⎰=2020c o s c o s ππx xx d e xd xe =dx x e x d e e x x xx⎰⎰+-=-⋅202020sin 1cos |cos πππ=⎰⎰-⋅+-=+-202020sin ])[(sin 1sin 1πππx d e e x xde x xx=xdx e e x cos 1202⎰-+-ππ∴ 1cos 2220-=⎰ππe xdx e x∴ ⎰-=202)1(21cos ππe x e x例7⎰342s i n ππdx xx=⎰⎰+-=-343434cot ]cot [cot ππππππxdx x x x xd=++-=⎰dx x x 34sin cos 493ππππ⎰++-=34sin sin 493ππππx xd 34]sin [ln 493ππππx ++-=23ln 21493++-ππ 利用定积分还可以求某些和的近似值。
(完整版)定积分的分部积分法
n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明
定积分的计算 分部积分
例6： 设f x 在[0,1] 上连续，且 F x f t dt, 证 明
x 0
F x dx 1 x f x dx
1 1 0 0
解： F x dx xF x 0 xF x dx
1 1 1 0 0
f x dx x f x dx
n3 3 1 , n为 正 偶 数 ； n2 4 2 2 n3 4 2 , n为 大 于 1的 正 奇 数 。 n2 5 3
证 令u sinn1 x, dv sinxdx,
则du (n 1) sinn 2 x cos xdx, v cos x.
解 设u arctanx, dv dx,
例2 计算
1
0
e
x
dx.
x 1, t 1.
1 t
解 令 x t , x t 2 , 则dx 2tdt,
x 0, t 0;
e
0
1
x
dx 2 te dt 2 td (e ) 2 te 0
t
依次进行下去，可得
I 2m
2m 1 2 m 3 2 m 5 5 3 1 I0 , 2m 2 m 2 2 m 4 6 4 2
I 2 m 1
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
1
2
, 故
2 n 2n 2 （ 1 － x ） d x cos t cos t d t 0 0
2 cos 2 n 1 t d t
0
定积分的分部积分公式
避免计算错误
01
在使用分部积分公式时，应注意运算的顺序和符号，确保每一 步计算都是正确的。
02
在计算过程中，应仔细核对每一步的计算结果，避免因为粗心
大意而导致的计算错误。
对于一些复杂的积分，可以使用数学软件进行验证，以确保计
算结果的准确性。
注意公式的适用范围
01
分部积分公式适用于可积函数，即被积函数在积分区间内连续 或存在有限个间断点的情况。如果被积函数不满足这些条件，
分部积分公式可以与定积分结合使用，通过 将定积分转化为不定积分的形式，再利用分 部积分公式进行计算，可以简化计算过程。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
分部积分公式在实变函数中也有广泛的应用，实变函 数是研究可测函数的数学分支。通过分部积分公式， 可以解决实变函数中的一些积分问题。
在复变函数中的应用
公式推导过程
首先，根据乘积法则，(uv)' = u'v + uv'
接着，将不定积分的结果进行展开， 得到∫u'vdx + ∫uv'dx
然后，对等式两边分别进行不定积分， 得到∫(uv)'dx = ∫(u'v + uv')dx
最后，根据不定积分的性质，将等式 右边的两个不定积分相加，得到定积 分的分部积分公式：∫(uv)'dx = ∫u'vdx + ∫uv'dx
THANKS
谢谢
03
CHAPTER
分部积分公式的注意事项
正确选择u和v'
选择u和v'时，应尽量选择容易 计算不定积分的函数作为u， 而将其他函数作为v'。这样可 以简化计算过程，减少出错的 可能性。
6.5.1定积分分部积分法
△ 冗1
冗In 2
——llnsec x 10 =-82 0 8 4
经济数学--微积分
o
定积分分部积分法
三、举例-幕函数乘对数函数
经济数学
例5 计算 J： (In x)3 dx
：一 解原式=x (In x )3
J 3(ln x)2 dx
】 =e _ 3 x(In x)2
-1J2 In xdx
J =e - 3(e - 2 In xdx)
) =1 [[xf '(2 x )]1 -1 (2 x dx
1
1
=2 f'(2) - 4 [f (2 x )]0
=2 - 4 [f (2) - f (0)] = 2.
经济数学
fx2 sin t i
“ ——d t, 求[xf (x )dx.
*
解因为沖没有初等形式的原函数， t
无法直接求出f (x),所以釆用分部积分法
f兀
2
2x
Jo o
si1n 2 ■xdxd
cos2x
x sin 2 xdx = 2 Jo
=1
JO
x cos
2
x
兀1
2
1,
cos 2 xdx
2 Jo o
= ——sin2 x71
n
24
02
3
勿 2 1 + cos 2x ,
例3计算f x dx.
00 2
解原式万 d ( x + § sin 2 x)
经济数学--微积分
—厂 f X x)=
-2 x = ,
xx
1
1
.・J0 xf(x)dx = 2 f⑴ _ -J： x2f，(x)dx
定积分的分部积分法
例4 证明定积分公式
I n 02 sin n xdx 02 cos n xdx
n 1 n 3 ... 3 1 ，n为正偶数， n n2 4 2 2 n 1 n 3 ... 4 2 ,n为大于1的正奇数. n n2 5 3
预科部：melinda
二、例题
例1 计算
解
1
0 xe dx .
x x 1
1
x xe dx x de 0 0
xe
x 1 0
e dx
1 x 0
e e
x 1 0
1
预科部：melinda
例2 计算 4 sin xdx .
0
2
解
0
2
4
sin xdx
t x , dx 2tdt x 0, t 0; x
b b a b
预科部：melinda
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求 差，另一项
a vdu 仍按定积分继续计算.
b
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u 和 v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求 定积分，应观察积分区间是否关于原点对称， 被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算.
到0或1为止.于是
I 2m
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I 2 m1 ... I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I 0 sin xdx , I1 02 sin xdx 1 2
高等数学 5-5定积分的分部积分法
例1计算
解：令 则
例2计算
解
例3计算
解：
（ ）
例4设 求
解：因为 没有初等形式的原函数，无法直接求出 ，所以采用分部积分法Leabharlann 例5证明定积分公式证明：设
积分 关于下标的递推公式
直到下标减到0或1为止
于是
二、小结
定积分的分部积分公式 （注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题
设 在 上连续，且 ， ， ，求 .
思考题解答
章节题目
第五节、定积分的分部积分法
内容提要
定积分的分部积分公式
重点分析
定积分的分部积分公式与不定积分的区别
利用分部积分公式求定积分
几个特殊定积分的递推公式
难点分析
利用分部积分公式求定积分
习题布置
：1、7、8、10、12
备注
教学内容
一、分部积分公式
设函数 、 在区间 上具有连续导数，则有 .（定积分的分部积分公式）
定积分公式和不定积分公式
定积分公式和不定积分公式定积分公式和不定积分公式数学中，积分是一个非常重要的概念。
根据积分的算法分类，可以分为定积分和不定积分两种类型。
在这两种类型之间，有着一系列的公式存在，下面将会对定积分公式和不定积分公式进行详细讨论。
一、定积分公式定积分公式是求解定积分时需要用到的一种数学公式。
在定积分的基础上，使用定积分公式可以极大的方便计算的过程，加快处理的速度。
常见的定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$$$\int \tan x dx=\ln |\sec x|+C$$$$\int \cot x dx=\ln |\sin x|+C$$（2）换元积分公式逆元未知法：$$\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C$$公式法：$$\int f(x)dx=\int \frac{f(ax+b)}{a}dx$$二、不定积分公式不定积分公式是一个求解不定积分的方法。
使用不定积分公式可以把不定积分转化为已知函数与常数的和。
常见的不定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$（2）分部积分公式$$\int udv=uv-\int vdu,$$其中 $u$ 和 $v$ 分别为积分中的两个函数。
通过这样的分部积分，可以将一个较难求的积分，将其转化为两个较容易求的积分。
（3）三角代换公式$$\int R(\sin x,\cos x)dx$$此处，$R(\sin x,\cos x)$ 是一个使用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 组成的有理函数。
定积分的分部积分公式
解决微分方程问题
总结词
分部积分公式还可以用于解决微 分方程问题，通过将微分方程转 化为多个一阶线性微分方程，降 低求解难度。
详细描述
在解决微分方程问题时，分部积 分公式可以将一个微分方程问题 转化为多个一阶线性微分方程问 题，从而更容易找到微分方程的 解。
举例
对于微分方程$y' = x^2 + y$，
例如，在积分∫(x^2)e^x dx中，选择 x^2作为u，e^x作为dv。
计算过程中的错误来源
错误地识别了u和dv
01
如果选择的u和dv不正确，可能会导致计算结果不准确。
计算dv的积分时出错
02
在计算dv的积分时，任何计算错误都会影响最终结果。
忽略了一些特殊函数的分部积分公式
03
对于一些特殊函数ห้องสมุดไป่ตู้如三角函数、指数函数等，需要使用特定
03
= -cos x / x + (sin x / x^2) + ∫(sin x / x^2) dx
04
= -cos x / x + (sin x / x^2) - cos x / x^2 +C
练习题三及解答
练习题三：求∫(e^(2x)) * (sin x) dx
∫(e^(2x)) * (sin x) dx = ∫(e^(2x)) d(-cos x)
理解难点
分部积分公式的理解难点在于如何选择合适的函数对，以便于简化计算。选择合 适的函数对是关键，需要一定的技巧和经验。
公式推导
推导过程
分部积分公式的推导过程涉及到微积 分的基本定理和性质。通过将一个函 数的导数与另一个函数相乘，然后对 结果进行积分，可以得到分部积分公 式。
定积分的15个基本公式
定积分的15个基本公式定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。
在定积分的计算过程中，有一些基本公式是非常常用且必须掌握的。
本文将介绍15个基本的定积分公式，并对其应用进行说明，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、常数函数的定积分对于常数函数f(x)=c，其定积分结果为c*x。
这个公式的意义在于，常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，其面积等于底边长乘以高。
二、幂函数的定积分幂函数f(x)=x^n的定积分结果为(1/(n+1))*x^(n+1)，其中n不等于-1。
这个公式可以通过求导的逆过程来理解，也可以用几何的方法解释。
三、指数函数的定积分指数函数f(x)=e^x的定积分结果为e^x。
这个公式的意义在于，指数函数的图像在区间[0,x]上的面积等于e^x减去1。
四、三角函数的定积分三角函数的定积分结果需要根据具体的函数来确定。
常见的三角函数及其定积分结果如下：- 正弦函数f(x)=sin(x)的定积分结果为-cos(x)；- 余弦函数f(x)=cos(x)的定积分结果为sin(x)；- 正切函数f(x)=tan(x)的定积分结果为-ln|cos(x)|。
五、指数与三角函数的复合函数的定积分指数与三角函数的复合函数的定积分结果需要根据具体的函数来确定。
常见的指数与三角函数的复合函数及其定积分结果如下：- 指数函数与正弦函数的复合函数f(x)=e^x*sin(x)的定积分结果为(1/2)*(e^x)*sin(x)-(1/2)*(e^x)*cos(x)；- 指数函数与余弦函数的复合函数f(x)=e^x*cos(x)的定积分结果为(1/2)*(e^x)*sin(x)+(1/2)*(e^x)*cos(x)。
六、反函数的定积分如果函数f(x)在区间[a,b]上具有连续的导数，并且其导函数f'(x)不等于0，则其反函数f^(-1)(x)在区间[f(a),f(b)]上也具有连续的导数。
定积分分部积分法的公式
定积分分部积分法的公式定积分分部积分法是我们在数学学习中非常重要的一个工具。
咱先来说说这个定积分分部积分法的公式哈，它是这样的：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx 。
我给你举个例子来解释这个公式，比如说，我们要求定积分∫x*e^xdx ，这时候我们就可以把 x 看成 u(x) ，e^x 看成 v'(x) 。
先算 u(x) 的导数 u'(x) ，这里 x 的导数就是 1 ；再算 v(x) ，e^x 的原函数还是 e^x 。
然后按照公式，∫x*e^x dx = x*e^x - ∫e^x * 1 dx = x*e^x - e^x + C 。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生特别有意思。
那是一个阳光明媚的下午，教室里有点闷热，大家都有点昏昏欲睡的。
我刚讲到这个定积分分部积分法的公式，正准备举例说明，就看到这个学生一脸迷茫地看着我。
我就问他：“怎么啦，没听懂？”他挠挠头说：“老师，这公式看着就头疼，怎么用啊？”我笑了笑，给他详细地又讲了一遍，还让他自己动手试试做几道题。
结果这孩子一开始做得磕磕绊绊的，不是这里忘了求导，就是那里原函数搞错了。
但他也不放弃，一直在那琢磨。
最后终于搞明白了，高兴得不行，还跟旁边的同学说：“其实也不难嘛，就是得多练几遍。
”从那以后，每次讲到这个知识点，我都会想起这个学生，也让我更加明白，教学不能着急，得让学生们自己慢慢去体会和练习。
咱们再回到这个公式哈，定积分分部积分法在解决很多复杂的积分问题时都特别有用。
比如说，当被积函数是两个不同类型函数的乘积时，像三角函数乘以多项式，或者指数函数乘以对数函数，用这个方法往往能让问题变得简单不少。
而且在实际应用中，比如在物理问题中计算做功、在经济学中计算成本和收益等，都可能会用到定积分分部积分法。
总之，定积分分部积分法的公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多做练习，多结合实际例子去理解，就一定能掌握好它，让它成为我们解决数学问题的有力武器。
定积分的分部积分公式
第四节 定积分的分部积分公式一、定积分的分部积分公式bbaab udv uvvdu a =-⎰⎰ 例7．4．1 用分部积分公式求下列定积分：（1）220cos x xdx π⎰；（2）1(51)xx e dx +⎰；（3）1⎰；（4）423ln xdx ⎰. 解（1）22cos x xdx π⎰220sin x d x π=⎰220sin 2sin 20x x x xdx ππ=-⎰2202cos 4xd x ππ=+⎰2202cos 2cos 24x x xdx πππ=+-⎰22sin 24x ππ=-224π=-；（2）1(51)x x e dx +⎰1(51)x x de =+⎰11(51)(51)0xx x e e d x =+-+⎰1615x e e dx =--⎰16150xe e=--4e =+；（3）1⎰()1221x =--⎰1212arcsin -=-⎰1122122arcsin xx --=+⎰6=+12126x-=-+1=； （4）423ln xdx ⎰42234ln ln 3x x xdx x =-⎰422314ln 43ln 32ln x x dx x ⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭⎰42234ln 43ln 32ln xdx =--⎰()2244ln 43ln 32ln 3x x x =---224ln 43ln 38ln 46ln 32=--++.例7．4．2 试求定积分20sin n xdx ⎰（其中n 为非负整数）.解令20sin n xdx π⎰n I =则0I 0220sin 2xdx dx πππ===⎰⎰，1I 20sin cos 120xdx x ππ==-=⎰而n I 20sin n xdx π=⎰120sin sin n x xdx π-=⎰120sin cos n xd x π-=-⎰1120sincos cos sin 20n n x x xd x ππ--=-+⎰()222001sin cos n n x xdx π-=+-⎰()()22201sin sin 1n n x x dx π-=--⎰()()22201sin 1sin nn n xdx n xdx ππ-=---⎰⎰()()211n n n I n I -=---即n I ()()211n n n I n I -=--- 整理，得递推公式21n n n I I n--= 那么0I 2π=， 1I 1=2012I I =122π=⋅， 3122133I I ==⋅423314422I I π==⋅⋅， 534421553I I ==⋅⋅总之13312422n n n I n n π--=⋅⋅⋅⋅-（n 为偶数时）， 13421253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为奇数时）.例7．4．3 求定积分520sin xdx ⎰.解套上面公式，得520sin xdx π⎰542815315I ==⋅⋅=.二、分段函数的定积分当定积分的被积函数为分段函数时，需利用积分的区间分割性质dxx f dx x f dx x f bc c a ba)()()(⎰⎰⎰+=从分段函数的分段点处分为若干个定积分进行计算.例7．4．4 设函数()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩， 求()11f x dx -⎰. 解由积分的区间分割性质得()11f x dx -⎰()()011f x dx f x dx -=+⎰⎰显然()f x 在[]1,0x ∈-与[]0,1x ∈均连续，通过N-L 公式均可计算出其积分 即()11f x dx -⎰()()0110f x dx f x dx -=+⎰⎰()()0121011x dx x dx -=+++⎰⎰ 2301111023x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 116=. 但当被积函数在积分区间上不连续呢？比如出现第一类间断点，这时如何积分？例7．4．5 求()20g x dx ⎰， 其中()21,111,1x x g x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩（如图7．4．1）.解 可见()g x 在[)0,1连续，不满足N-L 公式要求在[]0,1上连续的条件， 这时可在[)0,1内取一点ξ，()g x 在[]0,ξ上连续则()0g x dx ξ⎰()22200110122x x dx x dx x x ξξξξξ⎛⎫-==+=+=+ ⎪-⎝⎭⎰⎰由()20113limlim 22g x dx ξξξξξ→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰得()132g x dx =⎰，同理可得 ()2152g x dx =⎰那么()204g x dx =⎰图7．4．1.可见，一个第一类间断点不影响定积分的存在性.例7．4．6 设函数()sin ,,2,,2x x f x x x ππππ⎧⎡⎤∈--⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪∈- ⎥⎪⎝⎦⎩，求()f x dx ππ-⎰.解 由积分的区间分割性质，有()f x dx ππ-⎰()()22f x dx f x dx ππππ---=+⎰⎰22sin xdx xdx ππππ---=+⎰⎰21cos 222x x ππππ-=-+--2318π=-. 若被积函数带有绝对值符号，要先把绝对值符号去掉即化为分段函数再求积分.例7．4．7 求下列定积分： (1)52x dx -⎰； (2)122x x dx -⎰.解(1)[](]2,,222,2,x x x x x ⎧-∈-∞⎪-=⎨-∈+∞⎪⎩ 52x dx ∴-⎰252(2)(2)x dx x dx =-+-⎰⎰222511(2)(2)0222x x x x =-+-922=+ 132=； (2) [](]323,,0,0,x x x x x x ⎧-∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 122x x dx -∴⎰01332x dx x dx -=-+⎰⎰4401112044x x =-+-144=+ 174=. 思考题7.41．例7．4．352sin xdx π⎰与例7．3．7520cos xdx π⎰的结果一样，即520sin xdx π⎰520cos xdx π=⎰ 这是巧合吗？换句话说2cos n xdx π⎰也可套用上面公式吗？2．一个第一类间断点不影响定积分的存在性，两个呢？三个呢？无数多个呢？ 练习题7.4 1．求下列定积分：（1）31ln xdx ⎰；（2）10arctan x xdx ⎰；（3）324sin x dx xππ⎰；（4）20cos x e xdx π⎰． 2．求()21f x dx -⎰，其中()(](]()21,,011,0,11,1,x x x f x x x e⎧∈-∞⎪+⎪=∈⎨⎪⎪∈+∞⎩ .练习题7.4答案1．求下列定积分：（1）31ln xdx ⎰；（2）10arctan x xdx ⎰；（3）324sin x dx xππ⎰；（4）20cos xe xdx π⎰． 解 （1）31ln xdx ⎰313ln ln 1x x xd x =-⎰3113ln 3x dx x=-⎰33ln 31x =-3ln32=-；（2）1arctan x xdx ⎰1201arctan 2xdx =⎰ 21220111arctan 0221x x x dx x =-+⎰ 2120111821x dx xπ+-=-+⎰ 11(arctan )082x x π=--142π=-； （3）324sin xdx xππ⎰ 34cot xd x ππ=-⎰3344cot cot x xxdx ππππ=-+⎰3ln sin 944x πππ=-++1ln 6ln 242π=-+-； （4）20cos x e xdx π⎰20cos x xde π=⎰20cos sin 20xx e x e xdx ππ=+⎰201sin cos 20xx e x e xdx ππ=-+-⎰221cos x e e xdx ππ=-+-⎰移项，得2202cos 1xe xdx e ππ=-+⎰则2201cos (1)2xe xdx e ππ=-⎰．2．求()21f x dx -⎰，其中()(](]()21,,011,0,11,1,x x x f x x x e⎧∈-∞⎪+⎪=∈⎨⎪⎪∈+∞⎩ .解()21f x dx -⎰()()()01211f x dx f x dx f x dx -=++⎰⎰⎰1221011111x dx dx dx x e -=+++⎰⎰⎰ 02arctan 111x xe -=+-- 21114e eπ=+-+.。
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1 2
1
0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1 x2df ( x)0源自1 2f(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
5
x2 sin t
f ( x) 1
dt , t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
2
例2 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
15
3、 J (m) x sin m xdx ，（m 为自然数） 0
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
1
1
例1 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n
n
n
1 1
n n n
3 2 3
3 4 4
1 2 2,
2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
7
解：右端
1 2
b a
(
x
a
)(
x
b
)
d
f
(
x
)
分部积分积分
1 ( x a)(x b) f ( x)
2
b a
1 2
b a
f ( x)(2x a b) dx
再次分部积分
1 (2x a b) f ( x) b
2
b
a
f
(x)dx
=
左端
a
11
例8 设 y 1, 求 I 1 x y e xdx 1
一、分部积分公式
The formula of integration by parts
设函数u( x)、v( x) 在区间a,b上具有连续
导数，则有abudv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (
uv
)dx
uv
b
a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx,
x
4 0
ln 2 . 84
练习：计算
2
4
1
xdx . cos 2x
8
ln 2 4
.
3
1 ln(1 x)
例3 计算 0 (2 x)2 dx.
解
1
0
ln(1 (2
x
x) )2
dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1
2m 2 6 4 2 2
(2m)!!
, 2
I2m1
2m 2m 2 L 2m 1 2m 1
6 4 21 753
(2m)!! (2m 1)!!
9
例6. 设 求
解:
(分部积分)
练习:
设f
(
x)
x
0
sin t
t
dt
,
计算
0
f ( x)dx
2
10
例7
且 f (a) f (b) 0,
试证
e
e
12
例9(07,Ⅰ,11’) 设曲线C的方程为 y f ( x)，点 (3 , 2)
是它的一个拐点，直线 l1 与 l2 分别是曲线C
在点 (0 , 0)与 (3 , 2)处的切线，其交点为 (2，4）．
设函数 f ( x) 具有三阶连续导数，计算定积分
I
3
(
x2
x)
f
(
x)dx
0
y (2 ，4)
3
0
2
x 1
x
dx
11 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 3
ln
2
ln
3.
4
x2 sin t
1
例4 设 f ( x) 1
t
dt, 求 xf ( x)dx. 0
解 因为sin t 没有初等函数形式的原函数，
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
4、 sin n1 x cos( n 1) xdx . 0
8
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
5 6
3 4
1 2
I0,
(m 1,2, )
2m 2m 2 6 4 2
I2m1
2m
1
2m
1
7
5
3 I1,
I0
2
dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
于是
2m 1 2m 3 5 3 1 (2m 1)!!
I2m
2m
L
20
l1
(3 , 2)
y f (x)
l2
o
x
13
二、小结
定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
14
练习题
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
2、设 n 为正偶数，则 2 cosn xdx =___________； 0
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0
sin
x
2dx 2
1 2
cos x2
1 0
1 (cos1 1). 2
I 1 1. e
练习:设
f (x)
x e t2dt,
1
计算I
1 f ( x) dx. 0x
6
例5 证明定积分（华里士Walls）公式
In
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n1 n In2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
, 直到下标减到0或1为止
解：
x
y
x y
y x
, ,
x x
y y
I
y 1
(x
y)e xdx
1
y
(x
y)e xdx
y 1
xe
xdx
y 1
ye xdx
1
y
xe x dx
1
y
ye xdx
( x 1)e x y 1
ye x y 1
( x 1)e x 1 y
ye x 1 y
2e y 2 (e 1) y