流体力学习题解答6

习 题 六
1． 已知不可压缩平面流动的速度分布u=x 2+2x-4y ，v=-2xy-2y 。

确定流动：（1）是否满足
连续性条件；（2）是否有旋；（3）驻点位置；（4）如存在速度势函数和流函数，求出它
们。

4题
2． 已知不可压缩平面流动的速度势为：（1）ϕ=
r Q ln 2π；（2）ϕ=x
y
arctan 2πΓ。

求：
（1）速度分布；（2）流函数和流动图案。

5题图
3． 求以下平面流动的涡量场，并判断由给定涡量场能否唯一地确定相应的速度场。

（1） u=-y ，v=0；（2）u=-（x+y ），v=y ；（3）u=-y ，v=x ；
4． 已知平面流场的速度分布量为：r>a ，u=222y x y a +-ω，v=2
22y
x x a +ω；r ≤a ，u=-y ω，v=x ω。

ω为常数，a 为半径，求图中三条封闭曲线C 1，C 2，C 3的环量1Γ，2Γ，3Γ。

5． 证明以下分别用速度势和流函数表示的两个流场实际实际上是同一流场：
22y x x -+=ϕ和y xy +=2ψ
6． 不压缩流体平面流动的速度势为x y x +-=2
2
ϕ，求其相应的流函数。

7． 在（1，0）和（-1，0）两点各有强度为4π的点源，试求在（0，0），（0，1），（0，-1），
（1，1）的速度。

8． 两个速度环量相等且为s m /102
=Γ的旋涡，分别位于y=3±处。

求（1）原点处的分
速度u ，v ；（2）A （4，0）点处的u ，v ；（3）B （6，5）点处的u ，v ；（4）流线方程。

15题图
9． 已知不可压缩流体平面流动的速度势为2
2
y x -=ϕ，求在点（2，1.5）处的压强。

设
驻点的压强为101kN/m 2
，流体的密度为3
/19.1m kg =ρ。

10． 根据固定壁面可以和流线等价交换的原则，决定如下平面流动的速度势和沿壁面的
速度分布。

（1） 一强度为Q 的点源位于（a ，0）处，y 轴为固定壁面。

（2） 一强度为Q 的点汇位于（0，a ）处，x 轴为固定壁面。

11． x 轴上的两点（a ，0），（-a ，0）处分别放置强度为Q 的一个点源和一个点汇。

证
明叠加后组合流动的流函数为： 2
222arctan 2a y x ay Q -+=
πψ 12．
速度为V ∞的平行流和强度为Q 的点源叠加，形成绕半无穷体的流动。

求其流函数
和速度势，并证明柱形体的外形方程为r=Q （θπθπsin 2/)∞-V ，它的宽度为Q/ V ∞。

13．
在平面xoy 上的点（a ，0），（-a ，0）处各放置一个强度为Q 的点源，在点（0，a ），
（0，-a ）处各放置一个强度为Q 的点汇。

求组合流动流函数，并证明通过这四点的圆周就是这组合流动的一条流线。

14． 已知复势函数W=（a+ib ）lnz+z ，其中a ，b 是常数，求流体运动的流线。

15． 已知复势函数W=1/z ，求流体运动的流线和等势线。

16．
已知复势函数为（1）W=1+iz ；（2）W=（1+i ）ln
4
4
-+z z ；（3）W=6iz+i24/z ；问：（1）流动由哪几种基本流动组成，它们的坐标位置？绘出流动图形；（2）计算经过封闭曲线x 92
2
=+y 的流量，及沿此曲线的速度环量。

17．
圆柱体长l=5m ，直径D=1m ，垂直立于平板车上。

平板车以V 1=20m/s 的速度匀速
前进。

若此圆柱体以每秒5转绕垂直轴顺时针旋转，并受到垂直于平板行驶方向的侧风作用，风速V 2=15m/s 。

求圆柱体所受流体作用力的大小和方向（空气密度为1.2kg/m 3
，忽略圆柱体两端三维效应）。

32题图啊 18． 设有半径为a ，强度为Γ的圆周形涡丝，求经过圆心的对称轴z 上的任一点M 的
诱导速度。

33题图 19． 设有一条强度为Γ的 形涡丝，其两端伸向无穷远，求图示的点M 处的诱导速度。

34图
参考答案： 4．
,02222=--+=∂∂+∂∂x x y v x u 不可压缩，ψ存在；)42(2
1)(21+-=∂∂-∂∂=y y u x v y ω， 有旋，φ不存在
驻点：x 2
+2x-4y=0且2xy+2y=0得（-1，-4
1
），（0，0），（-2，0）
==∂∂u y
ψ
x 2
+2x-4y ，得)(222
2
x f y xy y x +-+=ψ，
v x
-=∂∂ψ
，所以2xy+2y+f`(x)=2xy+2y
f`(x)=0,f(x)=0, 2
2
22y xy y x -+=ψ
5．（1）ϕ=
r Q ln 2π，v r Q r r πϕ2=∂∂= ,v 0=∂∂=θϕθr ,r Q v r r πθψ2==∂∂ ,θψv r -=∂∂=0 ,所以θπψ2Q = （2）ϕ=x y arctan 2πΓ=θπ2Γ ，tg x y =θ ,v r r v r r πθϕϕθ2,0Γ=∂∂==∂∂= r v r v r r πψθψθ2,0Γ-=-=∂∂==∂∂,所以r ln 2π
ψΓ
-=
8．y
u x v z ∂∂-∂∂=
Ω 。

（1）u=-y,v=0,1=Ωz ;(2)u=-(x+y),v=y,1=Ωz ; (3)u=-y,v=x, 2=Ωz 9．r>a ，u=222y x y a +-ω，v=2
22y
x x
a +ω；r ≤a ，u=-y ω，v=x ω。

r a ≤时，ω2=Ωz ；r>a 时，0=Ωz
对曲线C
1
⎰
=Ω=ΓA
n a
dA 2
2ωπ；对曲线C
2
：0=Γ；对曲线C
3
：
222
1
412a a a ωππ==Γ
10．2
2
y x x -+=ϕ,. u=
,12+=∂∂x x
ϕ
v=y y 2-=∂∂ϕ y xy +=2ψ ，u=
12+=∂∂x y ψ，v=-y x
2-=∂∂ψ
12．x y x +-=2
2ϕ 。

12+=∂∂==∂∂x x
u y ϕ
ψ ，)(2x f y xy ++=ψ， 因为-
y y
v x 2-=∂∂==∂∂ϕ
ψ 所以 -（2y+f`(x)）=-2y, f(x)=C=0 , y xy +=2ψ 13
．
W
)]1ln()1[ln(2)]1ln()1[ln(2++-=++-=
z z z z Q
z π
，
)11
11(2)1111(2iy
x iy x z z iv u dz dW ++++-=++-=-= 在点（0，0）：u-iv=0,u=0,v=0 ;点（0，1）：u-iv=-2i,u=0,v=2.
点（0，-1）：u-iv=2i,u=0,v=-2; 点（-1，-1）：u-iv=-i 51254+,u=-54,v=-5
12
15. W 10)],3ln()3[ln(2=Γ-++Γ
=
z z i z π. ]3
131[5-++=-=z z i iv u dz dW π 点(0,0)处:u-iv=0,u==,v=0; 点A(4,0)处:u-iv=-
i π
740
,u=0,v=π740 点B(6,5)处:u-iv=]343510695[5i i --+--π, u=-34
3
1069(5),3411061(25+=+ππv )
i y x In Inri iInr i W 22(5
222)(2+-Γ=Γ-Γ=-Γ=+=π
θππθπθπφϕ 所以
2
2(5
y x In +=
π
φ
18. 2
2
y x -=ϕ, u=
x x
2=∂∂ϕ
, v=y y 2-=∂∂ϕ, V )(422222y x v u +=+= , 点(2,1.5)处,V 252
= p+
022
p V =ρ
,p=p Pa Pa 100985875.140=-
20. (1) W=
)]ln()[ln(2a z a z Q
++-π
,y 轴上u=0,v=
22y a y Q +π (2)W=
)]ln()[ln(2ai z ai z Q ++-π, u-iv=]1
1[2ai z ai z Q dz dW ++-=π ,x 轴上z=x u-iv=2
222]11[2a
x x Q ai x ai x Q +=++-ππ 21. W=)]ln()[ln(2a z a z Q +--π 令z-a=r 1
1θi e
,
z+a=r 22θ
i e .W=]ln [ln 22121θθπ-+-r r Q ,)(221θθπ
ψ-=Q
而tg(2222
2
2212121211)a
y x ay a x y a x y
a x y tg tg tg tg -+=-++-
-=+-=-θθθθθθ , 222212a y x ay arctg
-+=-θθ, 2
2222a
y x ay
arctg Q -+=πψ 23. W=V z Q z ln 2π+
∞ ,θπψ2Q y V +=∞,求驻点u-iv=V z
Q 1
2π+
∞, 令u=v=0,则z=-∞V Q π2 ,即x 0=-
∞
V Q
π2,y 00= 驻点:πθ=,所以过驻点的流线为: θπ2Q y V +∞=ππ
2Q y=
)(2θππ-∞V Q ,或r=)(sin 2θπθπ-∞V Q ,当时0→θ,y=∞
V Q 2
24.
W
)]ln()ln()ln()[ln(2ai z ai z a z a z Q
Z +---++-=
π
,
u-iv=]1111[2ia
z ia z a z a z Q dz dW +---++-=π
=
4
42222242]22[2a z z a Q a z z a z z Q -=+--ππ 。

圆周上
z=ae θ
i ,u-iv=θ
θθθθππ22442
2)1(42i i i i i e
e e a Q e a ae a Q ---=- =
θ
θ
θπθθθπ2sin cos sin 2sin 2sin cos 2i a Q i i a Q --=
- 所以u=-θπcos 12a Q , v=θπsin 12a Q ,v 022sin cos =+-=+=a
Q
a Q v u r ππθθ
v ][222cos sin θθπθπθπθθθctg tg a
Q
ctg a Q tg a Q v u +=+=+-=,在次圆周上只有切向
速度，而法向速度v r =0，可见圆周是流线。

27. W=(a+ib)(lnr+i θ)+x+iy ,const y r b a =++=ln θψ 28. W=1/z=
2
2y x iy
x +- ,
12
221
C const y x x =
=+=
ϕ ,(x
2
1
212
)C y C =+- ,
22
221C y
x y =+-
=ψ, x 222
22)(C C y =++ 30. (1) W=1+iz,均匀流，V i =∞ （2）W=（1+i ）ln
4
4-+z z ，在圆周x 2
223=+y 上，流量，速度环量为零 （3）W=6iz+i24/z=6i(z+4/z)
32. V 252
221=+V V ,F l V L Γ=ρ, R R Rv ωππθ22==Γ,所以F l R V L ωπρ2
2=
因为V=25m/s ， R=0.5m ，
s rad /10πω=，l=5m,所以F N L 7402=
33．⎰⨯Γ
=
L r
r
dl V 24π
投影到z 轴上 V=a r a
a r ad r sin 24sin 4220
3ππθππ
Γ=⋅Γ⎰，因为sina=a/r ,r 2
2
2
z a +=
V=2
/3222][2z a a +Γ
34
．
tga=
a
l ,V=
a
a l a l a a a a l πππππππππ2)cos 1(2]cos [cos 4)]2cos()2[cos(4)]cos(0[cos 4Γ++Γ=-Γ++--Γ+--Γsina。