第二部分 专题五 第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题课件-2025届高三数学一轮复习
有lMN：x＝2＋1＝3，也过定点(3,0)， 故直线MN过定点，且该定点为(3,0)．
(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．
解：由A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，D(x4，y4)， 则 lAE：y＝yx33－ －yx11(x－x1)＋y1，由 y21＝4x1，y22＝4x2， 故 y＝yy4323－－yy4121x－y421＋y1＝y3＋4xy1－y3＋y21 y1＋y1＝y3＋4xy1＋y3y＋1y3y1， 同理可得 lBD：y＝y4＋4xy2＋y4y＋2y4y2，
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M， N，证明：线段MN的中点为定点．
解：证明：由题意可知：直线PQ的斜率存在， 设PQ：y＝k(x＋2)＋3， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程
y＝k(x＋2)＋3， y92＋x42＝1， 消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，
[kx1＋(2k＋3)](x2＋2)＋[kx2＋(2k＋3)](x1＋2) (x1＋2)(x2＋2)
＝2kx1x2＋x(14xk2＋＋32)((xx11＋＋xx22))＋＋44(2k＋3)
＝32k4(kk22＋＋19364k(kk)－22＋＋893kk(4)－k4＋1k263＋4k)k((2292＋kk＋＋933))＋＋44(2k＋3)＝13068＝3， 所以线段MN的中点是定点(0,3)．
综合①②知，|MN|＝4 3，为定值．
规律方法
由特殊到一般法求定值问题的两个常用技巧
圆锥曲线的定点定值问题
圆锥曲线的定点定值问题（最新版）目录一、圆锥曲线的定点定值问题概述1.定点问题的定义与求解方法2.定值问题的定义与求解方法3.圆锥曲线中定点定值问题的重要性二、定点问题的求解方法1.引进参数法2.直接解法三、定值问题的求解方法1.函数与方程思想2.转化与化归思想3.数形结合思想四、圆锥曲线中定点定值问题的典型例题分析1.椭圆中的定点定值问题2.双曲线中的定点定值问题3.抛物线中的定点定值问题五、总结与展望1.圆锥曲线中定点定值问题的解题技巧与方法2.对学生逻辑思维能力与计算能力的培养正文一、圆锥曲线的定点定值问题概述圆锥曲线是解析几何中的重要内容，也是高考数学中的热点问题。
圆锥曲线中的定点定值问题，主要包括定点问题和定值问题。
定点问题是指在运动变化过程中，直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点，而定值问题则是指几何量在运动变化中保持不变。
这类问题对学生的逻辑思维能力和计算能力有较高的要求，是高考数学中的难点之一。
二、定点问题的求解方法1.引进参数法在解决定点问题时，我们可以引入适当的参数，将问题转化为关于参数的方程或不等式，然后求解参数的取值范围，进而得到定点的坐标。
2.直接解法对于一些简单的定点问题，我们可以直接通过解析几何中的公式和定理求解。
例如，当直线与圆相交时，直线上的定点可以通过求解直线与圆的交点得到。
三、定值问题的求解方法1.函数与方程思想在解决定值问题时，我们通常可以将问题转化为函数与方程的问题。
通过寻找合适的函数关系，我们可以得到定值的表达式，进而求解问题。
2.转化与化归思想在解决定值问题时，我们可以通过转化与化归的思想，将问题转化为更容易解决的形式。
例如，在解决椭圆中的定值问题时，我们可以将椭圆转化为圆，从而简化问题。
3.数形结合思想在解决定值问题时，我们可以利用数形结合的思想，通过几何图形的性质和公式，得到定值的表达式。
例如，在解决抛物线中的定值问题时，我们可以通过抛物线的几何性质，得到定值的表达式。
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点问题
考向 1 参数法求证定点问题的一般思路 (1)把直线或者曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把常量当作未知数，将方程 一端化为 0，即化为 kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式(这里把常量 k 当作未知数)． (2)既然过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部 等于 0，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，即fgxx，，yy＝＝00，. (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足fgxx，，yy＝＝00， 的点(x0，y0)为直线或曲线所过的定点．
[解] (1)抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2， 所以 F(－2,0)，即 c＝2， 又因为椭圆 C 经过点 A( 6，1)，
则a62＋b12＝1， 解得 a2＝8，b2＝4， a2＝b2＋c2，
所以椭圆 C 的方程为x82＋y42＝1． (2)证明：由(1)知，A1(－2 2，0)，A2(2 2，0)， 所以 l1：x＝－2 2，l2：x＝2 2， 联立x82＋y42＝1， 消 y 得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－8＝0，
(2020·全国Ⅰ卷)已知 A，B 分别为椭圆 E：xa22＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，―A→G ·―G→B ＝8．P 为直线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．
(1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点． [解] (1)由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)． 则―A→G ＝(a,1)，―G→B ＝(a，－1)． 由―A→G ·―G→B ＝8 得 a2－1＝8，即 a＝3． 所以 E 的方程为x92＋y2＝1．
直线过定点问题的解题模型
圆锥曲线中的定点、定值问题-高中数学总复习课件
3，0）.
综上，直线 PQ 过定点（－3，0）.
高中总复习·数学
参数法求定值
【例3】 已知 O 为坐标原点，过点 M （1，0）的直线 l 与抛物线 C ：
y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，且 · ＝－3.
程为 y ＝±（ x －1），
2
联立 x 2－ ＝1求解可得 x ＝－3，直线 PQ 过点（－3，0）.
2
当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， P （ x
1， y 1）， Q （ x 2， y 2），
高中总复习·数学
2
代入 x 2－ ＝1，整理得（ k 2－2） x 2＋2 kmx ＋ m 2＋2＝0，易知Δ
2
2
2
3
2
2
代入 ＋ ＝1，得（3＋4 k ） x ＋4 k （3－2 k ） x ＋4（ －
4
3
2
k ）2－12＝0.
3
设 E （ xE ， yE ）， F （ xF ， yF ），∵点 A （1， ）在椭圆上，
2
∴ xE ＝
3
−
2
4（
）2 −12
3+4 2
，
高中总复习·数学
3
yE ＝ kxE ＋ － k .
圆锥曲线中的定点、定值问题
处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可
设出直线方程为 y ＝ kx ＋ m ，然后利用条件建立关于 k ， m 的等量关
系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入
圆锥曲线中的定点、定值问题讲义-2023届高三数学二轮专题复习
专题复习：圆锥曲线中的定点、定值问题一、方法指导圆锥曲线是高考数学中的重点和难点，其中定点问题更是难点中的难点。
通过对近几年高考数学试卷的分析，可以发现圆锥曲线定点问题一直是高频考点，且题目难度较大，对学生的数学思维和解题能力要求较高。
因此，在高三二轮复习中，学生需要加强对圆锥曲线定点问题的复习，掌握其解题方法和技巧。
二、知识梳理圆锥曲线的定义和性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的定点问题及其解法三、方法总结直接法：通过联立直线和圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解。
这种方法适用于直线过定点但不与x轴平行的情况。
参数法：引入参数来表示直线的斜率或截距，再通过参数的取值范围来确定定点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴平行或重合的情况。
反证法：假设定点不是坐标原点，则过该定点的直线与圆锥曲线有两个交点。
根据韦达定理，这两个交点的横坐标之和等于两倍的定点横坐标，这与题意矛盾。
因此，定点必须是坐标原点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴垂直的情况。
由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3.利用推论解题推论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.推论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.推论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.推论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k AB为定值.推论5设点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b 2a2推论6过圆锥曲线的焦点F的直线（斜率存在）交圆锥曲线于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ=e2，e为圆锥曲线的离心率.推论7过圆锥曲线的焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，过点A，B分别作较近准线l 的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，设准线l与焦点所在轴交于点P，M为PF中点，则（1）AA1与BB1过点M;（2）A1F+B1F为定值.一、动直线过定点1、齐次式：例1、椭圆C :x 24+y 2=1，C (0，1)，设直线l 不过点P ，且与C 交于A 、B 两点，若k PA +k PB =−1，证明：直线l 过定点.2、参数法：例2、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3、特殊到一般例2、（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4、待定系数法例3、椭圆C ：22143x y +=左右顶点分别为A 、B ，k ≠0的直线与C 交于M 、N 两点，K BM =2K AN ，证明：直线过定点，并求出该定点.解：A (−2，0) B (2，0)设直线：y =kx +b (k ≠0) M (x 1，y 1) N (x 2，y 2) 直线与曲线联立得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−120 则x 1x 2=4b 2−123+4k 2x 1+x 2=−8kb3+4k 2K BM =2K AN 所以y 1x1−2= 2y 2x 2−2x 2y 1+2y 1=2x 1y 2−4y 2即k x 1x 2−(4k +b )x 2+2(b −k )x 1−6b =0代入得：−12b 2k −8k 2b −12k −18b −(6k +8k 3+9b +12k 2b )x 2=0待定系数有：{−12b 2k −8k 2b −12k −18b =06k +8k 3+9b +12k 2b =0得(2k −b )(2k +3b ) =0若b =2k ,则过定点(−2，0)，不成立； 若−3b =2k ,则过定点(23，0)，成立.5、y 1−y 2或x 1−x 2型例4、已知双曲线C ：x 23−y 2=1,过(3，0)的直线l 交C 于P 、Q 两点，过P 作直线x =1的垂线，垂足为A ，证明：AQ 过定点解：当l 斜率不存在时P (3，√2) Q (3，−√2) 或P (3，−√2) Q (3，√2)过P 作x =1垂线：A (1，√2)或A(1，−√2)此时AQ ：y =√2x −2√2或y = −√2x +2√2 过定点(2，0) 当l 斜率存在时 l ：y =k (x −3) P (x 1，y 1) Q (x 2，y 2) 与双曲线联立得：(1−3k 2)x 2+18k 2x −27k 2−3=0 有x 1x 2=−27k 2−31−3k 2x 1+x 2=−18k 21−3k 2AQ :y =y 1+y 2x 2−1x −x 2(y 2−y 1)x 2−1+y 2令y =0 x =y 2−x 2y 1y 2−y 1= −kx 1x 2+4kx 2−3k2−x 1)=−x 1x 2+4x 2−3x 2−x 1= 27k 2=31−3k 2−3+4x 2−(x 1+x 2−2x 2)= 36k 21−3k 2+4x 218k 21−3k 2+2x 2=2过定点（2，0）二、动点在定直线上的问题例3、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+， 所以3b c =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c =所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x = 故点M 在定直线4x =上.三、其他曲线过定点例4、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--.在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.二、例题讲解例1A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； (2)直线AB 经过一定点．例2如图，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于Q 点． (1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．例3如图，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．三、课时练习1．已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1)2．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b23．直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．32＋15．抛物线y 2＝12x 与直线3x －y ＋5＝0的最近距离为______．6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是____．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的顶点)，AH ⊥MN ，垂足为H ，且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．。
圆锥曲线专题书目录 (1)
圆锥曲线专题书目录第一章华山论剑——圆锥曲线基础知识和基本定理专题一白云出岫——基础知识点 (1)第一讲椭圆 (1)第二讲双曲线 (9)第三讲抛物线 (21)第四讲圆锥曲线第一定义 (29)第五讲圆锥曲线第二定义 (35)第六讲圆锥曲线第三定义与点差法 (39)专题二有凤来仪——焦长与焦比体系 (46)第一讲椭圆焦长与焦比问题 (46)第二讲双曲线焦点三角形问题 (50)第三讲抛物线焦长公式及性质 (53)第四讲过焦点的面积最值问题 (55)第五讲过焦点的弦及其中垂线的性质 (57)专题三天坤倒悬——轨迹方程的求法 (60)第一讲定义法 (60)第二讲直译法 (61)第三讲相关点法 (63)第四讲交轨法 (66)第五讲参数方程法 (69)第二章万剑归宗——小题快速解题技巧专题一万剑自生——三角形的相关性质 (72)第一讲与等腰三角形有关的解题技巧 (72)第二讲直角三角形相关问题 (80)第三讲椭圆与双曲线共焦点三角形 (88)第四讲相似三角形在几何中的应用 (93)第五讲余弦定理在解析几何中的运用 (98)第六讲双曲线渐近线与离心率的问题 (102)专题二剑冲废穴——四边形相关性质 (108)第一讲平行四边形对角线性质及梯形相关性质 (108)第二讲极化恒等式与矩形大法 (112)第三讲辅助角公式 (116)专题三归元武学——圆锥曲线与圆的混合问题 (119)第一讲圆的基本性质 (119)第二讲直线和圆的基本关系 (122)第三讲三角形的内切圆与旁切圆 (126)第四讲圆幂定理 (132)第五讲三角形的外接圆与正弦定理 (138)第六讲圆与圆锥曲线综合问题 (142)专题四宗远功长——抛物线的综合问题 (146)第一讲抛物线中的垂直问题 (146)第二讲定点定值问题 (149)第三讲抛物线的最值问题 (154)第三章少林棍法——圆锥曲线的同构式方程专题一小夜叉棍法——齐次化探究 (156)第一讲斜率和积与定值定点问题 (156)第二讲先求轨迹再齐次化 (164)第三讲齐次化求取值范围 ................................................................................. 16 错误！未定义书签。
高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题课件理
切入点：(1)直接套用斜率公式，并借助－12＜x＜32求其范围； (2)先分别计算|PA|、|PQ|的长，再建立|PA|·|PQ|的函数，进而借 助导数求其最值．
[解](1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12， 因为－12<x<32， 所以－1＜x－12＜1， 即直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(与向量交汇直线过定点问题)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动 点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2 P→N ＝ 3 M→N ，动点P的轨迹 为E.
(1)求E的方程； (2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两 点(A，B不是左、右顶点)，且满足| D→A ＋ D→B |＝| D→A － D→B |，求证：直 线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
第二部分 讲练篇
专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的综合问题
研考题 举题固法
求圆锥曲线中的最值范围问题(5年2考) 考向1 构造不等式求最值或范围
[高考解读] 以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，融函数与 方程，均值不等式、导数于一体，重在考查学生的数学建模、数学 运算能力和逻辑推理及等价转化能力.
[解](1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)， ∵2P→N＝ 3M→N，∴2(x0－x，－y)＝ 3(0，－y0)， 即x0＝x，y0＝ 23y， 又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4， 将x0＝x，y0＝ 23y代入得x42＋y32＝1， 即轨迹E的方程为x42＋y32＝1.
设C(p，q)，由2qpp＝＋q21，－2＝0
得p＝q＝2，所以C(2,2)．
高考数学(理科)新精准大二轮：专题五 第三讲 第2课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题
1．(2019·山西太原模拟)已知动点C 到点F (1,0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1，动点C 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且OA →·OB →＝5，证明：直线l 经过一个定点．解析：(1)由题意可得动点C 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线．设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴曲线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k2，Δ＝(2km －4)2－4m 2k 2＝16(1－km )>0.∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5， ∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k .∵km <0，则m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)，∴直线l 必经过定点(5,0)．2．(2019·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解析：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13， 又a 2－c 2＝b 2，∴a ＝3，b ＝22，c ＝1.∴椭圆方程为：x 29＋y 28＝1. (2)由(1)，可知A (－3,0)，B (3,0)，F 1(－1,0)，据题意，F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆的另一交点为M ′，设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)，∵F 1M ∥F 2N ，根据对称性，得N (－x 2，－y 2)，联立⎩⎨⎧8x 2＋9y 2＝72，y ＝26(x ＋1)，消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.∵x 1>x 2，∴x 1＝－37，x 2＝－32， ∵k 1＝y 1x 1＋3＝26(x 1＋1)x 1＋3＝469， k 2＝－y 2－x 2－3＝26(x 2＋1)x 2＋3＝－263. ∴3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝⎛⎭⎫－263＝0， 即3k 1＋2k 2的值为0.3．(2019·山东济宁模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点M 是直线y ＝x 与抛物线E 在第一象限内的交点，且|MF |＝5.(1)求抛物线E 的方程；(2)如图，不过原点的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点Q ，过点A ，B 分别作抛物线E 的切线，与x 轴分别相交于C ，D 两点．判断直线QC 与直线BD 是否平行？直线QC 与直线QD 是否垂直？并说明理由．解析：(1)依题意，设点M (t ，t )(t >0)．由|MF |＝5，得t ＋p 2＝5.① 又点M 在抛物线E 上，则t 2＝2pt (t >0)，即t ＝2p ，②联立①②，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由(1)知抛物线E ：x 2＝4y ，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)，则Q (0，b )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b . 由x 2＝4y 得y ＝14x 2，从而y ′＝12x ， 所以过点A (x 1，y 1)的切线方程为y －14x 21＝x 12(x －x 1)， 令y ＝0，得C ⎝⎛⎭⎫x 12，0，同理可得D ⎝⎛⎭⎫x 22，0， 所以k QC ＝b －00－x 12＝－2b x 1＝－－x 1x 22x 1＝x 22， k BD ＝y 2x 2－x 22＝14x 22x 22＝x 22，所以QC ∥BD .若QC ⊥QD ， 则QC →·QD →＝x 12·x 22＋(－b )·(－b )＝x 1x 24＋b 2＝b 2－b ＝0， 解得b ＝1(b ＝0舍去)，所以当Q 为焦点F 时，b ＝1，此时QC ⊥QD ；当Q 不为焦点F 时，QC 与QD 不垂直．4．(2019·上海模拟)已知抛物线方程y 2＝4x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：d (P )＝|PF ||FQ |. (1)当P ⎝⎛⎭⎫－1，－83时，求d (P )； (2)证明：存在常数a ，使得2d (P )＝|PF |＋a ；(3)P 1，P 2，P 3为抛物线准线上三点，且|P 1P 2|＝|P 2P 3|，判断d (P 1)＋d (P 3)与2d (P 2)的关系．解析：(1)抛物线方程y 2＝4x 的焦点F (1,0)，P ⎝⎛⎭⎫－1，－83， k PF ＝832＝43，PF 的方程为y ＝43(x －1)，代入抛物线的方程，解得x Q ＝14， 抛物线的准线方程为x ＝－1，可得|PF |＝22＋649＝103， |QF |＝14＋1＝54，d (P )＝|PF ||QF |＝83. (2)证明：当P (－1,0)时，a ＝2d (P )－|PF |＝2×2－2＝2，设P (－1，y P )，不妨设y P >0，PF ：x ＝my ＋1，则my P ＝－2，联立x ＝my ＋1和y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，y Q ＝4m ＋16m 2＋162＝2m ＋21＋m 2，2d (P )－|PF |＝2y P y Q －1＋m 2y P ＝2·－2m (2m ＋21＋m 2)＋21＋m 2m ＝－2·1＋m 2－m m ＋21＋m 2m＝2， 则存在常数a ，使得2d (P )＝|PF |＋a .(3)设P 1(－1，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(－1，y 3)，则2[d (P 1)＋d (P 3)]－4d (P 2)＝|P 1F |＋|P 3F |－2|P 2F |＝4＋y 21＋4＋y 23－24＋y 22＝4＋y 21＋4＋y 23－2⎝⎛⎭⎫y 1＋y 322＋4＝4＋y 21＋4＋y 23－(y 1＋y 3)2＋16，由(4＋y 21＋4＋y 23)2－[(y 1＋y 3)2＋16]＝24＋y 214＋y 23－2y 1y 3－8， (4＋y 21)(4＋y 23)－(y 1y 3＋4)2＝4(y 21＋y 23)－8y 1y 3＝4(y 1－y 3)2>0，则d (P 1)＋d (P 3)>2d (P 2)．。
2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：2.5.3 圆锥曲线中的证明、定点及定值问题
所以直线 AB 的方程为 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.易知直线 AB
过定点(1，－2)．
当直线 AB 的斜率不存在时，设其方程为 x＝m，A(m，y3)，B(m， y4)，
则y3－ m 2＋y4－ m 2＝y3＋my4－4＝－4， 易知 y3，y4 互为相反数，所以 y3＋y4＝0， 所以 m＝1，可知直线 x＝1 也过定点(1，－2)．
6ktx＋3t2－12＝0， 则 Δ＝(6kt)2－4(3k2＋2)(3t2－12)>0，即 6k2－t2＋4>0， x1＋x2＝－3k62k＋t 2，x1x2＝33tk22－＋122.
由 l1 与 l2 的斜率之和为－4，可得y1x－1 2＋y2x－2 2＝－4，
又 y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， 所以y1x－1 2＋y2x－2 2＝kx1＋x1t－2＋kx2＋x2t－2＝2k＋t－2x1xx12＋x2 ＝2k＋t－32t2－·3－k1226＋kt2＝－4，化简得 t＝－k－2(t＝2 舍去)．
以 xD＝52，
因为 MG 中点的横坐标为52，所以 D 为线段 MG 的中点，
所以|MD|＝|DG|.
考点二 定点问题
解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆 (其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其 实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这 些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：
(2)若 AC⊥l1，垂足为 C，直线 BC 交 x 轴于点 D，证明：|MD| ＝|DG|.
解析：(1)因为椭圆 E 的焦距为 2 3，所以 c＝ 3， 所以 a2－b2＝3，①
当 l2 垂直于 x 轴时．|MG|＝3，因为△ABG 的面积为32 3，
高考数学复习考点知识讲解课件65 圆锥曲线中的定点 定值问题
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(2)证明：由(1)知F为椭圆
x2 9
＋
y2 8
＝1的右焦点，当直线l1与x轴重合时，|AB|＝6，|CD|
＝2ab2＝136，
∴|A1B|＋|C1D|＝1478.
当直线l1与x轴垂直时，|AB|＝136，|CD|＝6，
∴|A1B|＋|C1D|＝1478.
→ 2NM.
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的
轨迹交于C，D两点，求证：|A1B|＋|C1D|为定值．
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[思路引导] 第(1)问： 求什么 求点P的轨迹E的方程，想到建立点P的横坐标x与 想什么 纵坐标y的关系式 给什么 题目条件中给出N→P＝ 2N→M，利用此条件建立点P 用什么 的横坐标与纵坐标的关系式 要求点P的轨迹方程，还缺少点P，M，N的坐标， 差什么 找什么 可设点P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0,0)，然后用x，y表 示x0，y0
从而k1＋k2＝y1x－1 2＋y2x－2 2 ＝2kx1x2＋kx－1x24x1＋x2 ＝2k－(k－4)42kk2k－－82k＝4.
当直线l的斜率不存在时，得A －1，
14 2
，B
－1，－
14 2
，所以k1＋k2＝4.综上，恒
有k1＋k2＝4.
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[解] (1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4 2为长轴长的椭圆． 由c＝2，a＝2 2，得b＝2. 故动点M的轨迹C的方程为x82＋y42＝1.
2019高考数学二轮复习专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用第二课时圆锥曲线的定点定值存在性
地地道道的达到 第三讲 圆锥曲线的综合应用 第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题251．(2018 ·云南师大附中质检 ) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，离心率等于5 ，且过点2 51，.5(1) 求椭圆 C 的标准方程；→ →(2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于 M 点，若 MA ＝ λ 1AF ，→→MB ＝ λ 2BF ，求证： λ 1＋ λ 2 为定值．分析： (1) 设椭圆 C 的方程为x 2 y 2a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)，c 2 5 a＝5， 则2 5 152a 2＋b 2＝ 1，∴ a 2＝ 5，b 2＝ 1，x 22∴椭圆 C 的标准方程为5 ＋y ＝ 1.(2) 证明：设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2， y 2) ， M (0 ，y 0) ，又易知 F 点的坐标为 (2,0) ．明显直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是 y ＝k ( x － 2) ，将直线 l 的方程代入椭圆C 的方程中，消去 y 并整理得(1 ＋ 5k 2) x 2－20k 2x ＋ 20k 2－ 5＝ 0，20k 220k 2－ 5∴ x 1＋ x 2＝1＋ 5k 2， x 1x 2＝ 1＋ 5k 2 .→1→ →2→1x 12＝ x 2 又∵ MA ＝λ AF ， M ＝λ BF ，将各点坐标代入得λ ＝2－ x 1 ，λ，2－ x 2x 1x 212＝2－ x 1＋2－x 2∴ λ ＋ λ121 2＝ x ＋ x－ 2x x4－ x 1＋ x 2 ＋ x 1x 220k 220k 2－521＋5k 2－1＋5k 2＝20k 220k 2－ 5＝－ 10，4－2·1＋ 5k 2＋ 1＋ 5k 2即 λ 1＋ λ 2 为定值．2．(2018 ·贵阳一模 ) 过抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A ，B 两点，且 | AB | ＝ 8.(1) 求 l 的方程；(2) 若 A 对于 x 轴的对称点为 D ，求证：直线 BD 恒过定点，并求出该点的坐标．分析： (1) 易知点 F 的坐标为 (1,0) ，则直线l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ，代入抛物线方程y 2＝4x 得 k 2x 2－ (2 k 2＋ 4) x ＋k 2＝0，由题意知 k ≠0，且 [ － (2 k 2＋ 4)] 2－ 4k 2·k 2＝ 16( k 2＋1) ＞ 0，2k 2＋ 4设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2，y 2) ，∴ x 1＋ x 2＝ k 2 ， x 1x 2＝ 1，由抛物线的定义知 | AB | ＝x 1＋ x 2＋ 2＝ 8， 2k 2＋ 42∴ k 2 ＝ 6，∴ k ＝1，即 k ＝± 1，∴直线 l 的方程为 y ＝±(x － 1) ．(2) 由抛物线的对称性知，y 2＋ y 1 y 2＋ y 1D 点的坐标为 ( x 1，－ y 1) ，直线 BD 的斜率 k BD ＝ x ＝ 2 2x2 1 y2y－14－4＝ 4，y 2－y 1∴直线 BD 的方程为 y ＋ y 1＝4( x － x 1) ，y 2－ y1即 ( y 2－ 1) ＋2 1－ 2x －4 1，1＝ 4y y y yyx2 ＝ 4x2＝1，∴ ( y y ) 2∵ y1 ，y ＝ 4x ， x x＝16x x ＝ 16，12 2 1 21 21 2即 y 1y 2＝－ 4( y 1， y 2 异号 ) ，∴直线 的方程为 4( x ＋1) ＋( y 1－ 2) y ＝ 0，BD y 恒过点 ( － 1,0) ．21 t .3．(2018 ·南宁模拟 ) 已知抛物线 C ：y ＝ ax ( a ＞ 0) 上一点 P ( t ， ) 到焦点 F 的距离为 22(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 抛物线 C 上一点 A 的纵坐标为 1，过点 Q (3 ，－ 1) 的直线与抛物线 C 交于 M ，N 两个 不一样的点 ( 均与点 A 不重合 ) ，设直线 ， 的斜率分别为 k 1， 2，求证： 1 2 为定值．AM ANk k k分析： (1) 由抛物线的定义可知 || ＝ at ，则＝ 4 t ，＋ ＝ 2PF t 4 a由点 P ( t ， 1) 在抛物线上，得 at ＝1， 2 4∴ a ×a ＝ 1，则 a 2＝1， 4 4由 a ＞0，得 a ＝1，∴抛物线C 的方程为 y 2＝ x .(2) ∵点 A 在抛物线 C 上，且 y A ＝ 1， ∴ x A ＝ 1.∴ (1,1) ，设过点 (3 ，－ 1) 的直线的方程为 x －3＝ ( ＋1) ，A Q m y即 x ＝my ＋ m ＋ 3，代入 y 2＝x 得 y 2－ my － m － 3＝0.设 M ( x 1，y 1) ， N ( x 2，y 2) ，则 y 1＋ y 2＝m ， y 1y 2＝－ m － 3，y 1 －1 y 2－ 1 ∴ k 1k 2＝·x 1 －1 x 2－ 1y y － y ＋y2＋ 1＝212＋1 21＋ ＋＋1＋ 22my ym my ym1＝－ 2，∴ k 1k 2 为定值．x 2 y 24．(2018 ·福州四校联考 ) 已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的两个焦点分别为 F 1， F 2， 短轴的一个端点为，△1 2内切圆的半径为 b，设过点2的直线 l 被椭圆 C 截得的线段为PPFF F3RS ，当 l ⊥x 轴时， | RS | ＝ 3.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 在 x 轴上能否存在一点 T ，使适当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线对于 x 轴对称？若存在，恳求出点 T 的坐标；若不存在，请说明原因．1×2 ×1＋ 2 c b c1分析： (1) 由内切圆的性质，得＝ ×(2 )× ，得 a ＝ .2 c b 2a 3 2 x 2 y 2b 22b 2将 x ＝c 代入 a 2＋ b 2 ＝1，得 y ＝± a ，因此 a ＝ 3.又 a 2＝ b 2＋c 2，因此 a ＝ 2， b ＝ 3，x 2 y 2故椭圆 C 的标准方程为 4 ＋ 3 ＝1.(2) 当直线 l 垂直于 x 轴时，明显x 轴上随意一点 T 都知足 TS 与 TR 所在直线对于 x 轴对称．当直线 l 不垂直于 x 轴时，假定存在 T ( t, 0) 知足条件，设 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ，R ( x 1，y 1) ，S ( x 2， y 2) ．联立方程，得 y ＝ k x －，得 (3 ＋ 4k 2) x 2－ 8k 2 x ＋ 4k 2－ 12＝ 0，3x 2＋ 4y 2－ 12＝ 0，8k 2x 1＋ x 2＝ 3＋ 4 2，由根与系数的关系得k①，此中＞ 0 恒建立，4k 2－ 12x 1x 2 ＝ 3＋ 4k 2由与所在直线对于x 轴对称，得kTS＋ TR ＝ 0( 明显， 的斜率存在 ) ，TS TRkTS TRyy21即x 1－ t ＋x 2－ t ＝② .由于 R ， S 两点在直线 y ＝k ( x － 1) 上，因此 y 1＝k ( x 1－ 1) ，y 2＝ k ( x 2－ 1) ，代入②得k x 1－x 2－ t ＋ k x 2 －x 1－ tk [2 x 1x 2－ t ＋x 1＋ x 2 ＋ 2t ]1－t 2－ t＝12＝ 0，x xx － t x － t即 2x 1x 2－ ( t ＋ 1)( x 1＋ x 2) ＋ 2t ＝ 0 ③，8k 2－24－ t ＋k 2＋ 2t＋ 4k 26t － 24将①代入③得 3＋ 4k 2＝ 3＋ 4k 2 ＝ 0 ④，则 t ＝4，综上所述，存在(4,0) ，使适当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线对于 x 轴对称．T。
高考数学二轮2 第二篇 专题五 第2课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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专题五第2课时圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点问题【典例1】(2021·滨州一模)已知点A(0，－1)，B(0，1)，动点P满足|PB→||AB→|＝P A→·BA→.记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设D为直线y＝－2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F.证明：直线EF过定点．【思维点拨】→||AB→|＝P A→·BA→求出动点的轨迹方程(1)设P(x，y)，利用|PB设D(t，－2)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，利用直线与圆锥曲线相切，得到直线(2)EF的方程，再确定定点【解析】(1)设P(x，y)，则P A＝(－x，－1－y)，PB＝(－x，1－y)，AB＝(0，→＝(0，－2)，2)，BA所以|PB→||AB→|＝P A→·BA→，（－x）2＋（1－y）2＝1＋y化简得x2＝4y，所以C的方程为x2＝4y.(2)由题意可设D (t ，－2)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 由题意知切线DE ，DF 的斜率都存在，由x 2＝4y ，得y ＝x 24 ，则y ′＝x 2 ，所以k DE ＝x 12 ，直线DE 的方程为y －y 1＝x 12 (x －x 1)，即y －y 1＝x 12 x －x 21 2 ，①因为E (x 1，y 1)在x 2＝4y 上，所以x 21 ＝4y 1，即x 21 2 ＝2y 1，②将②代入①得x 1x －2y 1－2y ＝0， 所以直线DE 的方程为x 1x －2y 1－2y ＝0， 同理可得直线DF 的方程为x 2x －2y 2－2y ＝0，因为D (t ，－2)在直线DE 上，所以tx 1－2y 1＋4＝0，又D (t ，－2)在直线DF 上，所以tx 2－2y 2＋4＝0，所以直线EF 的方程为tx －2y ＋4＝0， 故直线EF 过定点(0，2).本例若改为：已知点A (0，4)，B (0，1)，动点P 满足|P A |＝2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的轨迹方程；(2)若Q 是直线l ：y ＝x －4上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．【解析】(1)设点P 的坐标为(x ，y )，|P A |＝2|PB |，即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －42＝2x 2＋⎝⎛⎭⎫y －12，整理得x 2＋y 2＝4，所以曲线E 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4； (2)依题意，ON ⊥QN ，OM ⊥QM ，则M ，N 都在以OQ 为直径的圆F 上，因为Q 是直线l ：y ＝x －4上的动点，设Q (t ，t －4)，则圆F 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 2，t －42 ，且经过坐标原点即圆的方程为x 2＋y 2－tx －(t －4)y ＝0. 又因为M ，N 在曲线E ：x 2＋y 2＝4上，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4x 2＋y 2－tx －（t －4）y ＝0，可得tx ＋(t －4)y －4＝0，即直线MN 的方程为tx ＋(t －4)y －4＝0.由t ∈R 且t (x ＋y )－4y －4＝0可得，⎩⎨⎧x ＋y ＝04y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1，所以直线MN 是过定点(1，－1).直线过定点问题的常见解法(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置． (2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件． 提醒：求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键．(2021·石家庄二模)已知直线l ：y ＝x －1与椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞1，b ＞0)相交于P ，Q 两点，M (－1，0)，MP → ·MQ→ ＝0. (1)证明椭圆过定点T (x 0，y 0)，并求出x 20 ＋y 20 的值；(2)求弦长|PQ |的取值范围．【解析】(1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0. x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2 ，x 1x 2＝a 2－a 2b 2a 2＋b2 ，因为MP → ·MQ → ＝0，所以(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 1－1)(x 2－1) ＝2x 1x 2＋2＝0.所以x 1x 2＝a 2－a 2b 2a 2＋b 2 ＝1，得2a 2＋b 2＝a 2b 2.所以1a 2 ＋2b 2 ＝1，即椭圆过定点T 1(1，2 )，T 2(1，－2 )， T 3(－1，2 )，T 4(－1，－2 )，所以x 20 ＋y 20 ＝1＋2＝3；(2)|PQ |＝2 |x 1－x 2|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 2a 2＋b 22＋4] ＝22 ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2a 2＋b 22＋1 ＝22 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋b 2a 22＋1 .① 由2a 2＋b 2＝a 2b 2，得b 2＝2a 2a 2－1＞0，所以b 2a 2 ＝2a 2－1，代入①，得|PQ |＝22 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2a 2－12＋1 ， 因为a 2＞1，所以|PQ |的取值范围是(22 ，4).圆锥曲线中的定值问题【典例2】(2021·新高考I 卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17 ，0)，F 2(17 ，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12 上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和． 【思维点拨】 (1)利用双曲线的定义可知轨迹方程(2)分别求出|TA |·|TB |，|TP |·|TQ |的表达式，由|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |化简可得斜率之和．【规范解答】(1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2， 所以轨迹C 为双曲线右半支，2分 c 2＝17，2a ＝2， 所以a 2＝1，b 2＝16，所以C 的方程为x 2－y216 ＝1(x ＞0).4分(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n ，设AB ：y －n ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －n ＝k 1⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 2－y 216＝1，所以(16－k 21)x2＋(k 21－2k 1n )x －14 k 21 －n 2＋k 1n －16＝0，6分所以x 1＋x 2＝k 21 －2k 1nk 21 －16，x 1x 2＝14k 21 ＋n 2－k 1n ＋16k 21 －16 ， |TA |＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x 1－12 ，|TB |＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12 ，8分所以|TA |·|TB |＝(1＋k 21 )⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12 ＝（n 2＋12）（1＋k 21 ）k 21 －16，设PQ ：y －n ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫x －12 ，同理|TP |·|TQ |＝（n 2＋12）（1＋k 22 ）k 22 －16， 10分因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以1＋k 21k 21 －16 ＝1＋k 22k 22 －16 ，1＋17k 21 －16 ＝1＋17k 22 －16，所以k 21 －16＝k 22 －16，即k 21 ＝k 22 ，因为k 1≠k 2，所以k 1＋k 2＝0.12分 易错点 化简|TA |·|TB |，|TP |·|TQ |出错 障碍点 误认为直接求两直线斜率，导致无法完成学科素养逻辑推理、数学运算、直观想象评分细则未说明直线AB 斜率不存在情况扣1分，|TA |·|TB |表达式化简正确得2分．求定值问题常见的方法(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2021·南京一模)设F 为椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若点B 为椭圆C 的上顶点，求直线AF 的方程；(2)设直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2(k 2≠0)，求证：k 1k 2为定值．【解析】(1)若B 为椭圆的上顶点，则B (0，1).又AB 过点(2，0)，故直线AB ：x ＋2y －2＝0.代入椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1，可得3y 2－4y ＋1＝0，解得y 1＝1，y 2＝13 ，即点A (43 ，13 )，从而直线AF ：y ＝x －1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，方法一：设直线AB ：x ＝ty ＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t 2)y 2＋4ty ＋2＝0. 所以y 1＋y 2＝－4tt 2＋2 ，y 1y 2＝2t 2＋2.故k 1＋k 2＝y 1x 1－1 ＋y 2x 2－1 ＝y 1ty 1＋1 ＋y 2ty 2＋1＝2ty 1y 2＋（y 1＋y 2）（ty 1＋1）（ty 2＋1） ＝2t ·2t 2＋2＋－4t t 2＋2（ty 1＋1）（ty 2＋1）＝0.又k 1，k 2均不为0，故k 1k 2 ＝－1，即k 1k 2为定值－1.方法二：设直线AB ：x ＝ty ＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t 2)y 2＋4ty ＋2＝0. 所以y 1＋y 2＝－4tt 2＋2 ，y 1y 2＝2t 2＋2.所以y 1y 2y 1＋y 2 ＝－12t ，即ty 1y 2＝－y 1＋y 22 ，所以k 1k 2 ＝y 1x 1－1y 2x 2－1 ＝y 1（x 2－1）y 2（x 1－1）＝y 1（ty 2＋1）y 2（ty 1＋1） ＝ty 1y 2＋y 1ty 1y 2＋y 2 ＝－y 1＋y 22＋y 1－y 1＋y 22＋y 2＝－1，即k 1k 2 为定值－1.方法三：设直线AB ：x ＝ty ＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t 2)y 2＋4ty ＋2＝0. 所以y 1＋y 2＝－4t t 2＋2 ，y 1y 2＝2t 2＋2，所以y 1＋y 2y 1y 2 ＝1y 1 ＋1y 2 ＝－2t .所以k 1k 2 ＝y 1x 1－1y 2x 2－1＝y 1（x 2－1）y 2（x 1－1） ＝y 1（ty 2＋1）y 2（ty 1＋1） ＝ty 1y 2＋y 1ty 1y 2＋y 2＝t ＋1y 2t ＋1y1 ，把1y2 ＝－2t －1y 1 代入得k 1k 2＝－1.方法四：设直线AB ：y ＝k (x －2)，代入椭圆的方程可得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋(8k 2－2)＝0，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2. 所以k 1k 2 ＝y 1x 1－1y 2x 2－1 ＝y 1（x 2－1）y 2（x 1－1） ＝（x 1－2）（x 2－1）（x 2－2）（x 1－1） ＝x 1x 2－2x 2－x 1＋2x 1x 2－x 2－2x 1＋2.因为x 1x 2－x 1－x 2＋2＝－21＋2k 2 ＋2＝4k 21＋2k 2 ，x 2＝8k 21＋2k 2 －x 1，代入得k 1k 2 ＝4k 21＋2k 2－x 24k 21＋2k 2－x 1 ＝4k 21＋2k 2－（8k 21＋2k2－x 1）4k 21＋2k2－x 1 ＝－1. 关闭Word 文档返回原板块。
圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题
1、几个常见的定点模型
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,
以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.
同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,
若,则弦所在直线过点.
同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
2、几个常见的定值模型
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
（1）在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
（2）在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率.
（3）在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
3、解题导语
解决定点、定值问题的关键是检测数学运算的能力，所以只
要细致、耐心的计算就可以得到答案。
又因为此种问题找得分点比较容易，所以千万不要放弃。
圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 高考数学
七、圆锥曲线中的平行弦的问题
在前面一、推论：“若圆锥曲线为圆，直线AB交C于A、B两点，的斜率分别为，当时，为定值，”给出了平移图像法、一般法、参数方程法等多种证明方法。现在我们对一、推论
31.采用另一种思维方式探究如下：设点是圆上的一定点，过点P作x轴的
2. 当 时， 【1】化为： 。即 时，为定值，,
3.当)时，,得， ，，即 ，
，即 。 得：
； 【2】
即： 或 (因为直线AB不过点P，舍去)AB的方程为化为： 即 由得 即直线AB恒过定点( )。
3. 当时， 由 【2】化为： ， ， ， 即：。(因为直线AB不过点P，舍去)或；，即 为定值.
1.当时，， ， ，
，即： ， ，
化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。， ； 【6】AB的方程为化为： 即 由得 即当时，直线AB恒过定点( )。
2.当 时， 【6】化为：； 即当时，为定值，。
3.当时， 即， ，，即 ，
， ； 【7】 ，化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。由，
2.当时，直线AB恒过定点(
3.当时，为定值
4.当时，即直线AB恒过定点( ). 及其证法已知点(其中 是圆锥曲线上的一个定点，过点作直线分别与圆锥曲线C相交于点A、 则必定存在以下结论：
二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论
1.当时，为定值，
2.当时，直线AB恒过定点( )
圆锥曲线中的定点、定值问题的
结论及多种证明方法
主讲人：某某某老师
某某学校
山东东营 徐新华 大家都知道，圆锥曲线的很多重要结论，特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材，但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中，从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明，并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是，个别证法有相当大的难度，其证明过程也极为复杂，因此叙述也就比较详细具体。
圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
数 学
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
[自主解答]
(1)设椭圆 E 的左右焦点分别为 F1，F2，
∵椭圆 E 右焦点为(1,0)，∴c＝1， 又点
3 P1，2在椭圆
E 上， 1＋1
2
∴ 2a ＝ |PF1| ＋ |PF2| ＝ 4，
3 ＋22＋
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圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
x2 y2 2 1．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率 e＝ ，左、右焦点 a b 2 分别为 F1，F2，点 P(2， 3)，点 F2 在线段 PF1 的中垂线上． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l： y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 M， N 两点， 直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α，β，且 α＋β＝π，试问直线 l 是否 过定点？若过，求该定点的坐标．
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圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
2 解得 n＝2k 或 n＝ k. 7 当 n＝2k 时，直线 MN 的方程为 y＝k(x＋2)，过点 A，与 题意不符，舍去； 2 当 n＝ k 时，n2－ 4k2－ 3<0，直线 MN 的方程为 y＝ 7
2 kx＋7，显然过点 2 Q－7，0. 2 Q－7，0.
综上，直线 MN 一定经过 x 轴上一定点
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圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
——————————规律· 总结———————————— 求解直线和曲线过定点问题的基本思路
2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（解析版）3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN 若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足BM=3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB ，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.3已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1)，且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P为直线l：y=y0y0<0上一个动点，过点P作曲线Γ的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数y0，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y0的值，并求定点H的坐标．5已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ，直线x +y +1=0与抛物线C 只有1个公共点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线y =k x -p 2与曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x =1分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.四、椭圆定值问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，短轴长为23．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线y =-34x 相交于点Q ，如果AQ =λAP ，QB =μPB ，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．2在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22，Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若k OM ，k ON 存在，证明：k OM ⋅k ON 为定值.3已知O 为坐标原点，定点F 1-1,0 ，F 21,0 ，圆O :x 2+y 2=2，M 是圆内或圆上一动点，圆O 与以线段F 2M 为直径的圆O 1内切.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为曲线E ，若直线l 与曲线E 相切，过点F 2作直线l 的垂线，垂足为N ，证明：ON 为定值.4设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．5椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F (1,0)，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点.求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列.五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：ABF2H为定值．2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．3已知P 是圆C :(x +2)2+y 2=12上一动点，定点M (2,0)，线段PM 的垂直平分线n 与直线PC 交于点T ，记点T 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 恰有一个共点，且l 与直线l 1:y =33x ，l 2:y =-33x 分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±34x ，焦距为10，A 1，A 2为其左右顶点．(1)求C 的方程；(2)设点P 是直线l ：x =2上的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交双曲线C 于点M 、N ，A 2Q ⊥MN ，垂足为Q ，求证：存在定点R ，使得QR 是定值．5已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P2,26在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切．(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，Q为x轴上一点，满足QA=QB，试问AF1+BF1-4QF2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，MD=43.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2，点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.2已知抛物线C1:y2=2px p>0到焦点的距离为3.上一点Q1,a(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=-1上除-1,-3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-2，-1,32+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.3已知点F是抛物线C：y2=2px p>0的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE=23.(1)求抛物线C的方程；(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求k NA+k NB的值.4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ:x 2=2py ，其中p >0为一给定的实数.(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；(2)若直线l :y =kx -2pk +2p 与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：|AD ||DE |=|EF ||FC |=|DB ||BF |．5已知点A 为直线l :x +1=0上的动点，过点A 作射线AP (点P 位于直线l 的右侧)使得AP ⊥l ,F 1,0 ，设线段AF 的中点为B ，设直线PB 与x 轴的交点为T ,PF =TF .(1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q 0,2 的两条射线分别与曲线C 交于点M ,N ，设直线QM ,QN 的斜率分别为k 1,k 2，若1k 1+1k 2=2，请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 过点M 263,63 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l :y =x +m 与椭圆C 交y 轴右侧于不同的两点A ，B ，试问：△MAB 的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点Q 1,32 ，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 1,2 的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足AP ⋅MB =AM ⋅PB ，证明：点M 总在某定直线上．5椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点1,6在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．八、双曲线定直线问题1如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=-34，AB⊥BD.(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．2已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2，且F1-2,0,F22,0.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P .在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点M4,0；②点P 在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上．(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S 是定值；(2)已知点P12,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 经过点D 4,3 ，直线l 1、l 2分别是双曲线C 的渐近线，过D 分别作l 1和l 2的平行线l 1和l 2，直线l 1交x 轴于点M ，直线l 2交y 轴于点N ，且OM ⋅ON =23(O 是坐标原点)(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1、A 2分别是双曲线C 的左、右顶点，过右焦点F 的直线交双曲线C 于P 、Q 两个不同点，直线A 1P 与A 2Q 相交于点G ，证明：点G 在定直线上.5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，过点E 1,0 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点(异于顶点)．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积(O 为坐标原点)；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB =4，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由九、抛物线定直线问题1过抛物线x 2=2py (p >0)内部一点P m ,n 作任意两条直线AB ,CD ，如图所示，连接AC ,BD 延长交于点Q ，当P 为焦点并且AB ⊥CD 时，四边形ACBD 面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P 1,1 ，证明Q 在定直线上运动，并求出定直线方程.2已知抛物线E :y 2=2px p >0 ，过点-1,0 的两条直线l 1、l 2分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当l 1的斜率为12时，AB =210．(1)求E 的标准方程；(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 在定直线上．3已知抛物线C 1：x 2=2py (p >0)和圆C 2：x +1 2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．(1)求p 的值：(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．4已知拋物线x 2=4y ，P 为拋物线外一点，过P 点作抛物线的切线交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于M ，N 两点.(1)若P -1,-2 ，设△OAB 的面积为S 1，△PMN 的面积为S 2，求S 1S 2的值；(2)若P x 0,y 0 ，求证：△PMN 的垂心H 在定直线上.5已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，直线l:y=2x+1与C交于A，B两点且|AF|+|BF|= 20.(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，。
专题二：圆锥曲线中的定点、定值问题 教案
（2）点 为直线 ： 上任意一点，过 作曲线 的切线，切点分别为 ，求证：直线 恒过定点，并求出该定点．
二、课后巩固：
1．如图所示，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的射影分别是点M，N.若|AM|＝2|BN|，则k的值是()
学生独立思考，培养学生的独立思考能力以及思维的严密性。（1）观察图形中的直线与圆锥曲线 的位置关系：（2）可以利用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，消去某个变量（x或y）后，所得的方程根的情况来研究。
通过运用类比的方法，激发学生的探究热情。通过观察图形，教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，其中有一种方法：数形结合的方法。
课题：专题二：圆锥曲线中的定点、定值问题
第1课时
共1课时
教学目标
知识与技能
通过类比直观判断直线与圆的位置关系的方法即距离法，判断直线与圆锥曲线的三种位置关系，距离法转化为方程组解来研究直线与圆锥曲线的位置关系；
过程与方法
在解答直线与圆锥曲线的相关问题中，体会解决直线与圆锥曲线位置关系问题的一般步骤与方法；
A. B. C. D．2
2.已知左焦点为 的椭圆过点 ．过点 分别作斜率为 的椭圆的动弦 ，设 分别为线段 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 为线段 的中点，求 ；
（3）若 ，求证直线 恒过定点，并求出定点坐标．
观察图形：直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。类比到直线与圆锥曲线 的位置关系，即：相交、相切、相离。从交点的个数相交（二个）、相切（一个）、相离（0个）的特征。
情感态度
价值观
在探究的过程中运用数、形结合和方程组解的思想，以运动的观点去观察、思考、分析直线与圆锥曲线的位置关系，从而提高解决问题的能力；
2019届高三理科数学第二轮专题复习配套文档专题五 第3讲圆锥曲线中的定点与定值
第3讲圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题[真题再现］1．(2017·课标Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C：错误!＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.（1）求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且错误!·错误!＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
[解析](1）设P(x，y），M(x0，y0），设N(x0,0)，错误!＝（x－x0，y)，错误!＝（0，y0)．由NP，→＝ 2 错误!得x0＝x，y0＝错误!y0.因为M（x0,y0)在C上，所以错误!＋错误!＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)由题意知F（－1，0)．设Q（－3，t），P(m，n),则错误!＝（－3,t），错误!＝（－1－m,－n），错误!·错误!＝3＋3m－tn,错误!＝(m,n)，错误!＝(－3－m，t－n）．由错误!·错误!＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1,又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0。
所以错误!·错误!＝0，即错误!⊥错误!。
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
2．(2018·已知点P是y轴左侧（不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A,PB的中点均在C上．(1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2）若P是半椭圆x2＋错误!＝1（x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．［解]（1）解：设P（x0,y0),A错误!,B错误!。
因为P A，PB的中点在抛物线上，所以y1,y2为方程错误!2＝4·错误!即y2－2y0y＋8x0－y错误!＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．（2）解:由(1)可知错误!所以|PM|＝错误!(y错误!＋y错误!)－x0＝错误!y错误!－3x0，|y1－y2|＝2错误!。
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4k 3 因为 MP ＝－ m －x1，m， MQ ＝(4－x1,4k＋m)，
16k 4kx1 12k 2 MQ 由 MP · ＝0，得－ m ＋ m －4x1＋x1＋ m ＋3＝0，
3 1 取k＝－2，m＝2，此时P1，2，Q(4,0)， 52 32 45 以PQ为直径的圆为x－2 ＋y－4 ＝16，
交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
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所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)． 以下证明M(1,0)就是满足条件的点：
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化简得4k2－m2＋3＝0.(*) 4km 4k 3 此时x0＝－ 2 ＝－ m ，y0＝kx0＋m＝m， 4k ＋3
4k 3 所以P－ m ，m. x＝4， 由 y＝kx＋m，
得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上．
k 2 整理，得(4x1－4)m＋x1－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，
4x1－4＝0， 所以 2 x1－4x1＋3＝0，
解得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
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法二：同(2)法一假设前内容． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上． 取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)， 以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4， 交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；
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y＝x， 解：(1)联立方程 2 x ＝2py，
得x2－2px＝0，故O(0,0)，
N(2p,2p)，所以|ON|＝ 4p2＋4p2＝2 2p. 由2 2p＝4 2得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y. (2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为
1 y＝kx＋1，则直线l与x轴交点为M－k，0，
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(2)由题意直线 MN 的方程为 y＝kx＋m， x2 2 ＋y ＝1， 由 2 消去 y 得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. y＝kx＋m 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 2m2－2 kx1＋m 4km 则 x1＋x2＝－ 2 ，x1x2＝ 2 ，且 kF M＝ ， 2 2k ＋1 2k ＋1 x1－1 kx2＋m kF N＝ ， 2 x2－1 由已知 α＋β＝π 得 kF M＋kF N＝0，
4k 3 因为M的坐标为(1,0)，所以 MP ＝ － m －1，m ， MQ ＝
12k 12k MQ (3,4k＋m)，从而 MP · ＝－ m －3＋ m ＋3＝0，
故恒有 MP ⊥ MQ ，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径
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6 ①若AF1－BF2＝ 2 ，求直线AF1的斜率； ②求证：PF1＋PF2是定值． [思路点拨] a，b的值； (2)由(1)可知F1、F2的坐标，设出直线AF1与BF2的方程，然后 利用弦长公式可求|AF1|与|BF2|，从而可求AF1的斜率；分别用AF1 和BF2表示PF1与PF2，即可证明PF1＋PF2为定值． (1)将点(1，e)和
kx1＋1 kx2＋1 y1 所以a＝ ＝－ kx ，同理可得b＝－ kx ， 1－y1 1 2
kx1＋1 kx2＋1 x2＋x1 则a＋b＝－ ＋ kx ＝－2＋ kx x ＝－1， kx1 2 1 2
所以对任意的直线l，a＋b为定值－1.
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a2－1 3 即 a4 ＋4＝1，解得a2＝2. x2 2 因此，所求椭圆的方程是 2 ＋y ＝1.
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(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又因为直线AF1与BF2平行，所 以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0. x2 2 1 ＋y1＝1， 由 2 得(m2＋2)y2－2my1－1＝0， 1 x1＋1＝my1， m＋ 2m2＋2 解得y1＝ ， m2＋2 故AF1＝ ＝ x1＋12＋y1－02 m2＋1 .①
2m2＋1＋m my12＋y2＝ 1 m2＋2
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2m2＋1－m m2＋1 同理，BF2＝ .② 2 m ＋2 2m m2＋1 ⅰ.由①②得AF1－BF2＝ ， m2＋2 2m m2＋1 6 解 ＝ 2 ，得m2＝2，注意到m>0，故m＝ 2. m2＋2 1 2 所以直线AF1的斜率为m＝ 2 . PB BF2 ⅱ.证明：因为直线AF1与BF2平行，所以PF ＝AF ， 1 1
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PB＋PF1 BF2＋AF1 于是 PF ＝ AF ， 1 1 AF1 故PF1＝ BF . AF1＋BF2 1 由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝2 2， AF1 从而PF1＝ (2 2－BF2)． AF1＋BF2 BF2 同理PF2＝ (2 2－AF1)． AF1＋BF2
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AF1 BF2 因此，PF1＋PF2＝ (2 2－BF2)＋ AF1＋BF2 AF1＋BF2 2AF1· 2 BF (2 2－AF1)＝2 2－ . AF1＋BF2 2 2m2＋1 又由①②知AF1＋BF2＝ ， 2 m ＋2 m2＋1 2 3 2 AF1· 2＝ 2 BF ，所以PF1＋PF2＝2 2－ 2 ＝ 2 . m ＋2 因此，PF1＋PF2是定值．
热点一
热点
专 题 五
第 三 讲
第 二 课 时
透析高 考
热点二 热点三
通法——归纳领悟
冲刺
直击高 考
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第二课时
圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
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圆锥曲线中的定点问题
[例1] x2 y2 如图，椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)
1 的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝2.过F1 的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且 与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M， 使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不 存在，说明理由．
记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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y＝kx＋1， 由 2 x ＝4y，
得x2－4kx－4＝0，
所以Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)>0， 故x1＋x2＝4k，x1·2＝－4. x
1 由 MA＝a AF ，得x1＋k，y1＝a(－x1,1－y1)，
e，
3 代入椭圆方程即可求得 2
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[规范解答]
c (1)由题设知a ＝b ＋c ，e＝a.
2 2 2
1 c2 由点(1，e)在椭圆上，得a2＋a2b2＝1， 解得b2＝1.于是c2＝a2－1，
又因为点e，
e2 3 3 在椭圆上，所以a2＋4b2＝1， 2
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所以b＝ a2－c2＝ 3. x2 y2 故椭圆E的方程是 4 ＋ 3 ＝1. y＝kx＋m， 2 2 (2)法一：由x y 4 ＋ 3 ＝1， 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)， 所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
1 2
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kx1＋m kx2＋m 即 ＋ ＝0. x1－1 x2－1 化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0， 2m2－2 4kmm－k 所以2k· 2 － －2m＝0， 2k ＋1 2k2＋1 整理得m＝－2k. 故直线MN的方程为y＝k(x－2)， 因此直线MN过定点，该定点的坐标为(2,0).
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圆锥曲线中的定值问题
[例2] (2012· 江苏高考)如图，在平面直角
x2 y2 坐标系xOy中，椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
3 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． 2
(1)求椭圆的方程； (2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线 BF2平行，AF2与BF1交于点P，
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[思路点拨]
(1)由椭圆的定义求出a，b的值即可确定标
准方程；
(2)首先由题意探求出M的位置应在x轴上，然后假设存 在，并利用MP⊥MQ解决．
[规范解答] (1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 又因为|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 所以4a＝8，a＝2. 1 c 1 又因为e＝2，即a＝2，所以c＝1，
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2 c 2 解：(1)由椭圆C的离心率e＝ 2 ，得a＝ 2 ， 其中c＝ a2－b2， 椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)． 又∵点F2在线段PF1的中垂线上， ∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝( 3)2＋(2－c)2， 解得c＝1，∴a2＝2，b2＝1. x2 2 ∴椭圆的方程为 2 ＋y ＝1.
从而得到定值. 返回
2．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦 点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝ 4 2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点 M，且 MA＝a AF ， MB ＝b BF ，对任意的直线l，a＋b是 否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．
的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
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x2 y2 2 1．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率e＝ 2 ，左、右焦点分 别为F1、F2，点P(2， 3)，点F2在线段PF1的中垂线上． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与 F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定 点？若过，求该定点的坐标．