第二部分 专题五 第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

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6 ①若AF1－BF2＝ 2 ，求直线AF1的斜率； ②求证：PF1＋PF2是定值． [思路点拨] a，b的值； (2)由(1)可知F1、F2的坐标，设出直线AF1与BF2的方程，然后 利用弦长公式可求|AF1|与|BF2|，从而可求AF1的斜率；分别用AF1 和BF2表示PF1与PF2，即可证明PF1＋PF2为定值． (1)将点(1，e)和
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圆锥曲线中的定值问题
[例2] (2012· 江苏高考)如图，在平面直角
x2 y2 坐标系xOy中，椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
3 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． 2
(1)求椭圆的方程； (2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线 BF2平行，AF2与BF1交于点P，
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所以b＝ a2－c2＝ 3. x2 y2 故椭圆E的方程是 4 ＋ 3 ＝1. y＝kx＋m， 2 2 (2)法一：由x y 4 ＋ 3 ＝1， 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)， 所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
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PB＋PF1 BF2＋AF1 于是 PF ＝ AF ， 1 1 AF1 故PF1＝ BF . AF1＋BF2 1 由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝2 2， AF1 从而PF1＝ (2 2－BF2)． AF1＋BF2 BF2 同理PF2＝ (2 2－AF1)． AF1＋BF2
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AF1 BF2 因此，PF1＋PF2＝ (2 2－BF2)＋ AF1＋BF2 AF1＋BF2 2AF1· 2 BF (2 2－AF1)＝2 2－ . AF1＋BF2 2 2m2＋1 又由①②知AF1＋BF2＝ ， 2 m ＋2 m2＋1 2 3 2 AF1· 2＝ 2 BF ，所以PF1＋PF2＝2 2－ 2 ＝ 2 . m ＋2 因此，PF1＋PF2是定值．
的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
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x2 y2 2 1．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率e＝ 2 ，左、右焦点分 别为F1、F2，点P(2， 3)，点F2在线段PF1的中垂线上． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与 F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定 点？若过，求该定点的坐标．
k 2 整理，得(4x1－4)m＋x1－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，
4x1－4＝0， 所以 2 x1－4x1＋3＝0，
解得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
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法二：同(2)法一假设前内容． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上． 取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)， 以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4， 交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；

kx1＋1 kx2＋1 y1 所以a＝ ＝－ kx ，同理可得b＝－ kx ， 1－y1 1 2
kx1＋1 kx2＋1 x2＋x1 则a＋b＝－ ＋ kx ＝－2＋ kx x ＝－1， kx1 2 1 2
所以对任意的直线l，a＋b为定值－1.
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2m2＋1＋m my12＋y2＝ 1 m2＋2
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2m2＋1－m m2＋1 同理，BF2＝ .② 2 m ＋2 2m m2＋1 ⅰ.由①②得AF1－BF2＝ ， m2＋2 2m m2＋1 6 解 ＝ 2 ，得m2＝2，注意到m>0，故m＝ 2. m2＋2 1 2 所以直线AF1的斜率为m＝ 2 . PB BF2 ⅱ.证明：因为直线AF1与BF2平行，所以PF ＝AF ， 1 1
从而得到定值. 返回
2．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦 点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝ 4 2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点 M，且 MA＝a AF ， MB ＝b BF ，对任意的直线l，a＋b是 否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．
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2 c 2 解：(1)由椭圆C的离心率e＝ 2 ，得a＝ 2 ， 其中c＝ a2－b2， 椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)． 又∵点F2在线段PF1的中垂线上， ∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝( 3)2＋(2－c)2， 解得c＝1，∴a2＝2，b2＝1. x2 2 ∴椭圆的方程为 2 ＋y ＝1.
的圆恒过点M.
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(1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲 线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然
是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的
系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这 个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式： y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程
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化简得4k2－m2＋3＝0.(*) 4km 4k 3 此时x0＝－ 2 ＝－ m ，y0＝kx0＋m＝m， 4k ＋3
4k 3 所以P－ m ，m. x＝4， 由 y＝kx＋m，
得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上．
MQ 设M(x1,0)，则 MP · ＝0对满足(*)式的m，k恒成立．
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4k 3 因为 MP ＝－ m －x1，m， MQ ＝(4－x1,4k＋m)，

16k 4kx1 12k 2 MQ 由 MP · ＝0，得－ m ＋ m －4x1＋x1＋ m ＋3＝0，
记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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y＝kx＋1， 由 2 x ＝4y，
得x2－4kx－4＝0，
所以Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)>0， 故x1＋x2＝4k，x1·2＝－4. x
1 由 MA＝a AF ，得x1＋k，y1＝a(－x1,1－y1)，
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y＝x， 解：(1)联立方程 2 x ＝2py，
得x2－2px＝0，故O(0,0)，
N(2p,2p)，所以|ON|＝ 4p2＋4p2＝2 2p. 由2 2p＝4 2得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y. (2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为
1 y＝kx＋1，则直线l与x轴交点为M－k，0，
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第二课时
圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
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圆锥曲线中的定点问题
[例1] x2 y2 如图，椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)
1 的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝2.过F1 的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且 与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M， 使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不 存在，说明理由．
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(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、 图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表
达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，
而始终是一个确定的值. (2)求定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，
a2－1 3 即 a4 ＋4＝1，解得a2＝2. x2 2 因此，所求椭圆的方程是 2 ＋y ＝1.
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(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又因为直线AF1与BF2平行，所 以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0. x2 2 1 ＋y1＝1， 由 2 得(m2＋2)y2－2my1－1＝0， 1 x1＋1＝my1， m＋ 2m2＋2 解得y1＝ ， m2＋2 故AF1＝ ＝ x1＋12＋y1－02 m2＋1 .①
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(2)由题意直线 MN 的方程为 y＝kx＋m， x2 2 ＋y ＝1， 由 2 消去 y 得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. y＝kx＋m 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 2m2－2 kx1＋m 4km 则 x1＋x2＝－ 2 ，x1x2＝ 2 ，且 kF M＝ ， 2 2k ＋1 2k ＋1 x1－1 kx2＋m kF N＝ ， 2 x2－1 由已知 α＋β＝π 得 kF M＋kF N＝0，
e，
3 代入椭圆方程即可求得 2
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[规范解答]
c (1)由题设知a ＝b ＋c ，e＝a.
2 2 2
1 c2 由点(1，e)在椭圆上，得a2＋a2b2＝1， 解得b2＝1.于是c2＝a2－1，
又因为点e，
e2 3 3 在椭圆上，所以a2＋4b2＝1， 2
5 离为4求p与t的值； (2)利用弦长公式求|AB|，利用点到直线的距离公式求△ABP的 高，即可表示△ABP的面积．
[规范解答] 1 p＝ ， 2 得 t＝1. 2pt＝1， (1)由题意知 p 5 1＋2＝4，
1 2
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kx1＋m kx2＋m 即 ＋ ＝0. x1－1 x2－1 化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0， 2m2－2 4kmm－k 所以2k· 2 － －2m＝0， 2k ＋1 2k2＋1 整理得m＝－2k. 故直线MN的方程为y＝k(x－2)， 因此直线MN过定点，该定点的坐标为(2,0).
4k 3 因为M的坐标为(1,0)，所以 MP ＝ － m －1，m ， MQ ＝

12k 12k MQ (3,4k＋m)，从而 MP · ＝－ m －3＋ m ＋3＝0，
故恒有 MP ⊥ MQ ，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径
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[思路点拨]
(1)由椭圆的定义求出a，b的值即可确定标
准方程；
(2)首先由题意探求出M的位置应在x轴上，然后假设存 在，并利用MP⊥MQ解决．
[规范解答] (1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 又因为|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 所以4a＝8，a＝2. 1 c 1 又因为e＝2，即a＝2，所以c＝1，
圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图，在直角坐标系xOy中，点
1 P1，2到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距
5 离为4.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的 两动点，且线段AB被直线OM平分． (1)求p，t的值； (2)求△ABP面积的最大值．
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[思路点拨]
1 (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P 1，2 到准线的距
3 1 取k＝－2，m＝2，此时P1，2，Q(4,0)， 52 32 45 以PQ为直径的圆为x－2 ＋y－4 ＝16，
交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
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所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)． 以下证明M(1,0)就是满足条件的点：