数字信号习题4讲解

每个蝶形的两节点距离为2m1 ，即从第一级到 第四级两节点距离分别为1，2，4，8。
系数WNr的确定：r (k )2 2L-m 即k的二进制左移L m位补零
(2) 按频率抽取的基-2FFT流图
同样共有L = 4级蝶形运算，每级N / 2 = 8个蝶形运算
基本蝶形是DIT 蝶形的转置
X m1(k ) X m1( j)
W *((N
k ))N
]RN
(k)
由x2 (n) Im[w(n)]得
X 2 (k
)
DFT [x2
(n)]
DFT {Im[ w(n )]}
1 j Wop (k )
1 2 j [W ((k))N
W *((N
k )) N
]RN (k)
解：由题意 X k DFT xn，Y k DFT y n 构造序列 Z k X k jY k 对Z k 作一次N点IFFT可得序列z n z(n) IDFT Z k
高运算效率，试用一个N点IFFT 运算一次完成。
例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用 一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:
DFT[x1(n)] X1(k) DFT[x2 (n)] X 2 (k)
解：利用两序列构成一个复序列
w(n) x1(n) jx2 (n) 则
W (k) DFT[w(n)] DFT[x1(n) jx2 (n)]
log2
N
5
106
512 2
log
2
512
0.01152s
复加所需时间 T2 0.5 106 N log2 N 0.5 106 512log2 512 0.002304s
所以用 FFT 计算所需时间
T T1 T2 0.013824s
2.已知 X k ，Y k 是两个N点实序列 xn ，y n的DFT 值，今需要从 X k ，Y k 求 xn ，y n 的值，为了提
N 2
log2
N
32次复数乘法
N log2 N 64次复数加法
若不计乘 1及乘 j的运算量 则实际乘法次数为10次复数乘法
9. 在下列说法中选择正确的结论。线性调频 z 变换
(CZT) 可以用来计算一个M点有限长序列 hn 在 z 平 面的实轴上各zk 点的 z 变换 H z，使
(1) zk ak , k 0,1 , N 1，α 为实数，α≠±1。
(2) zk ak, k 0,1 , N 1 ， α 为实数，α≠0 。
(3) (1)和(2)两者都行。
(4) (1)和(2)两者都不行。即线性调频 z 变换不能计算 H (z) 在 z 为实数时的抽样。
解：CZT 用于计算z平面上一段螺线作等分角的抽样点zk 上
的复频谱H (zk ) :
N 1
DFT[x1(n)] jDFT[x2 (n)]
X1(k ) jX 2 (k ) Re[w(n)] j Im[w(n)]
Wep (k) Wop (k)
由x1(n) Re[w(n)]得
X1(k) DFT[x1(n)] DFT{Re[w(n)]} Wep (k)
1 [W 2
((k )) N
WNr
-1
X m (k ) Xm( j)
每个蝶形的两节点距离为2Lm ，即从第一级到 第四级两节点距离分别为8，4，2，1。
系数WNr的确定：r (k )2 2m1 即k的二进制左移m 1位补零
N 16 直接计算DFT需要N 2 256次复数乘法
N (N -1) 240次复数加法
利用FFT计算需要
第四章习题讲解
1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘 5s ，
每次复加 0.5s，用它来计算512点的 DFT x n，问
直接计算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间。
解：(1)直接利用 DFT 计算：
复乘次数为 N 2 ，复加次数为 N N 1 。
复乘所需时间 T1 5106 N 2 5106 5122 1.31072s
又根据DFT的线性性质
z(n) IDFT Z k IDFT X k jY k IDFT X k jIDFT Y k x n jy n
而xn ，y n 都是实序列 x n Re z n y n Im z n
3. N=16 时，画出基 -2 按时间抽取法及按频率抽取法 的 FFT 流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数 顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。
解： 自然序
倒位序
0 0000 0000 0 1 0001 1000 8 2 0010 0100 4 3 0011 1100 12 4 0100 0010 2 5 0101 1010 10 6 0110 0110 6 7 0111 1110 14
自然序
8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111
倒位序
0001 1 1001 9 0101 5 1101 13 0011 3 1011 11 0111 7 1111 15
(1) 按时间抽取的基-2FFT流图 N 16 2L, L 4
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共有L = 4级蝶形运算，每级N / 2 = 8个蝶形运算
X m1(k )
X m1( j)
WNr
X m (k ) -1 X m ( j)
复加所需时间
T2 0.5106 N N 1 0.5106 512 512 1 0.130816s
所以直接利用DFT 计算所需时间： T T1 T2 1.441536s
(2) 利用 FFT 计算：
复乘次数为
N 2
log2
N
，复加次数为 N
log2
N
。
复乘所需时间
T1
5 106
N 2
H zk h n zkn
n0
其中抽样点须满足：
zk AW k A0W0ke j0k0 , k 0,1 , N 1
A0 ，W0 ，0 ，0为任意实数。
对于说法（1），只需取
A0 1，W0 a1，0 0 ，0 0
即起点为 z0 1，初始相角和角度差均为 0，a1为 螺线的伸缩率，就形成了实轴上各抽样点 zk ak , k 0,1,..., N 1。因此可以用CZT算法来计算 H (zk )
对于说法(2), zk ak, 则无法通过选择合适的A0和W0， 使之成为z平面上一段螺线作等分角后的一组抽样点。 因此不能用CZT算法来计算各zk点的z变换H (zk )。