第二章基本定理第二讲解的延拓

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常微分方程第二章

第二章基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville ）证明了里卡蒂（Riccati ）方程)0)(()()()(2≠++=x p x r y x q y x p dydx 除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22y x dxdy +=就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1 解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程),(y x f dxdy = （2.1）如果给出了初始条件00)(y x y =，我们就得到了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy （2.2）这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1 存在唯一性定理的叙述定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(y x f 在闭矩形区域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-00002,:上满足如下条件：（1）在2R 上连续；（2）在2R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数N ，使对于2R 上的任何一对点),(y x 和),(x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题（2.2）在区间],[0000h x h x +-上存在唯一解00)(),(y x x y ==ϕϕ 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==. 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N 难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数),(y x f 在闭矩形区域2R 关于y 的偏导数),(y x f y '存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为),(y x f y '有界，故设N y x f y ≤'),(，对2),(),,(R x y x ∈∀，由拉格朗日中值定理得：y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ我们验证),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上连续.由闭区域上连续函数的性质知：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：),(y x f y '在2R 上连续⇒),(y x f y '在2R 上存在且有界⇒李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解)(x y ϕ=的存在区间为],[0000h x h x +-，其中 ),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.为什么解的存在区间不是],[00a x a x +-呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域2R ，方程的解)(x y ϕ=不能超出2R 的范围，又因为),(max ),(y x f M Ry x ∈=，所以M y x f M ≤≤-),( 即 M dxdy M ≤≤- 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)(y x y M dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==00)(y x y M dx dy 得：001)()(y x x M x y +--=，002)()(y x x M x y +-= 因此)()()(21x y x y x y ≤=≤ϕ，即)(x y ϕ=夹在)(1x y 与)(2x y 之间.又，)(1x y 与)(2x y 在2R 上的存在区间为],[0000h x h x +-，故)(x y ϕ=的存在区间也是],[0000h x h x +-.2.1.2 存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解)(x y ϕ=，等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0))(,(0ξξξ （2.3）事实上，如果)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解，即有))(,()(x x f x ϕϕ='且00)(y x =ϕ从0x 到x 积分得：⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 即)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解.反过来，如果)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解，即有⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 则00)(y x =ϕ且))(,()(x x f x ϕϕ='即)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard ）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列{})(x n ϕ任取一个满足初值条件00)(y x y =的函数)(0x y ϕ=作为首项（初始项），并要求在2R 上的存在区间为：],[0000h x h x +-，简单起见，取00)(y x =ϕ，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用)(1x ϕ表示，并称为一次近似，即⎰+=xx d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ 再将)(1x ϕ代入方程（2.3）的右端就得到二次近似⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ 序行此法，可以得到n 次近似⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有2))(,(R x x n ∈ϕ，即当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ 下面用数学归纳法证明b y x n ≤-0)(ϕ.显然，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y y y x ≤=-=-0)(0000ϕ假设，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y x n ≤--01)(ϕ，那么，对于)(x n ϕ有⎰-=-xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 从而有b Mb M Mh x x M d f y x xx n n =≤≤-≤≤-⎰-00100))(,()(ξξϕξϕ 由数学归纳法知，当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ这样，我们就可以得到一个近似函数列{})(x n ϕ.2、证明近似函数列{})(x n ϕ在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.由于无法得到{})(x n ϕ的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列{})(x n ϕ的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数+-++-+-)]()([)]()([)(1010x x x x x n n ϕϕϕϕϕ （2.4）它的部分和是)()]()([)]()([)()(10101x x x x x x x S n n n n ϕϕϕϕϕϕ=-++-+=-+因此，证明{})(x n ϕ的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项)(x n μ⎰=-xx d f x x 0))(,()()(001ξξϕξϕϕ 即⎰=-xx d y f y x 0),()(001ξξϕ 所以00010),()(x x M d y f y x x x -≤≤-⎰ξξϕ 因为⎰+=x x d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ，⎰+=x x d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ，所以 ⎰-≤-x x d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ由李普希兹条件，得 !2)()()()(200011200x x MN d x MN d N x x x x x x -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξϕξϕϕϕ 下面用数学归纳法证明!)()(011n x x MN x x nn n n -≤---ϕϕ 显然，2,1=n 的时候，不等式成立（上面已经给出），假设!)()(011n x x MN x x n n n n -≤---ϕϕ成立，那么对于1+n 的情形有 )!1(!)()())(,())(,()()(100111000+-=-≤-≤-≤-+--+⎰⎰⎰n x x MN d n x MN d N d f f x x n n x x n n xx n n x x n n n n ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ由数学归纳法知，对一切自然数n ，均有!)()(011n x x MNx x nn n n -≤---ϕϕ 又00h x x ≤-，所以级数（2.4）的通项满足： !)(011n h MN v x n n n n -+=≤μ （ ,2,1=n ）利用比式判别法，可知以n v 为通项的级数收敛，从而以)(x n μ为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个)(x n μ是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为)(x ϕ，其存在区间也是],[0000h x h x +-.因此函数列{})(x n ϕ就收敛于)(x ϕ.3、证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在⎰-+=x x n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ两端取极限，得到 ⎰-∞→∞→+=xx n n n n d f y x 0))(,(lim )(lim 10ξξϕξϕ 即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 所以)(x ϕ是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3 唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman ）不等式.贝尔曼引理设)(x y 为区间],[b a 上的非负连续函数，b x a ≤≤0.若存在,0≥δ 0≥k ，使得)(x y 满足不等式],[,)()(0b a x d y k x y xx ∈+≤⎰ττδ （2.5）则有],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ证明仅证明0x x ≥的情形，0x x ≤的情形类似.令)(x y 的原函数为⎰=xx d y x R 0)()(ττ，代入（2.5）得 δ≤-')()(x kR x R两边同时乘以积分因子)(0x x k e --，得)()(00)]()([x x k x x k e x kR x R e ----≤-'δ从0x 到x 积分得)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ 由（2.5）知，)()(x kR x y +≤δ，所以],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解)(1x y 和)(2x y ，我们只需要证明：)(1x y )(2x y ≡，],[0000h x h x x +-∈事实上，因为⎰+=x x d y f y x y 0))(,()(101ξξξ，⎰+=xx d y f y x y 0))(,()(202ξξξ 所以有⎰-≤-xx d y f y f x y x y 0))(,())(,()()(2121ξξξξξ由李普希兹条件知⎰-≤-xx d y y N x y x y 0)()()()(2121ξξξ 令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ，由贝尔曼引理可知，0)(=x y ，即)(1x y )(2x y ≡. 这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.2.1.4 三点说明为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列{})(x n ϕ，其中首项为：00)(y x =ϕ，递推关系式为：⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用n 次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-101!)()()()(n k k k nk k k n k x x N N M x x x x ϕϕϕϕ 0)!1()(!)!1()(!10001010Nh n k k k n n k k k e n Nh N M k h N n Nh N M k h N N M +=+<≤+∞=+∞+=∑∑ 2、如果方程（2.1）是线性方程，即)()(x q y x p dxdy +-= 其中)(x p 和)(x q 在区间],[b a 上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域+∞<<-∞≤≤y b x a R ,:2满足定理2.1的条件.事实上，)()(),(x q y x p y x f +-=在2R 上连续，而且)(),(x p y x f y -='在2R 上也连续，所以),(y x f 关于变量y 满足李普希兹条件.这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为],[b a .3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是解唯一的充分非必要条件.下面我们给出一个例子来说明李普希兹条件是解唯一的非必要条件，也就是说，即使李普希兹条件不成立，初值问题（2.2）的解也可能是唯一的.例1 试证方程0,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 经过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.证明由00,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 可得：0=y 或x Ce e y ±=. 任给xOy 平面上的一个点),(00y x ，只会对应0=y 或xCe e y ±=中的一个解，也就是说，过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.但是，我们有0ln ln )0,(),(-==-y y y y x f y x f 因为+∞=→y y ln lim 0，所以找不到0>N ，使得 0)0,(),(-≤-y N x f y x f从而方程右端函数在0=y 的任何邻域上不满足李普希兹条件，但是初值问题（2.2）的解却是唯一的，这说明李普希兹条件是非必要条件.习题 2.11.试判断方程y x dx dy tan =在区域（1）π≤≤≤≤-y x R 0,11:1；（2）44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.1的条件？2.讨论方程3123y dx dy =在怎样的区域中满足定理2.1的条件.并求通过)0,0(的一切解.3.试用逐次逼近法求方程2y x dxdy -=满足初值条件0)0(=y 的近似解： )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ并在闭矩形区域11,11:2≤≤-≤≤-y x R 给出三次近似的误差估计.4.利用逐次逼近法求方程22x y dxdy -=适合初值条件1)0(=y 的近似解： )(),(),(210x x x ϕϕϕ并在闭矩形区域111,11:2≤-≤-≤≤-y x R 给出二次近似的误差估计.5.试证明定理2.1中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式：10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ 6.在条形区域+∞<≤≤y b x a ,内，假设方程（2.1）的所有解都唯一，对其中任意两个解)(),(21x y x y ，如果有)()(0201x y x y <，则必有b x x x y x y ≤≤<021),()(.7.讨论方程323y dx dy = 解的唯一性.2.2 延展定理和比较定理由解的存在唯一性定理，我们知道，初值问题（2.2）的解在满足一定条件的情况下存在且唯一，但是解的存在区间不是],[00a x a x +-，而是],[0000h x h x +- 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.如果M 比较大的话，则解的存在区间就非常小，这对我们研究解的性质产生了很大的局限性，只能在很小的范围内有解，当x 超出这个范围时，解的情况就不清楚了.为了解决这个问题，我们有下面的延展定理.2.2.1 延展定理定理2.2（延展定理）如果方程（2.1）的右端函数在区域R R D ⨯⊂上连续，且关于变量y 满足局部的李普希兹条件，即对于D 内的任一闭矩形区域都满足李普希兹条件，则对任何一点D y x ∈),(00，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=可以向左右无限延展，直到))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在给出定理的证明之前，先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”进行说明.当区域D 有界时，积分曲线向左右延展可以任意接近；当区域D 无界时，积分曲线向左、右延展，或者任意接近区域D 的边界（边界存在的话），或者无限远离坐标原点.证明首先证明区域D 有界的情形.设区域D 的边界为D D L -=（D 为D 的闭包）.对于任意给定的正数ε，记L 的ε邻域为εU ，记L 的2ε邻域为2εU ，记L 的4ε邻域为4εU .则集合22εεU D D -=为闭集，且D D ⊂2ε，所以2εD 有界. 只要证明积分曲线可以到达2εD 的边界2εL ，由ε的任意性知，积分曲线就可以任意接近区域D 的边界L .事实上，以2εD 中的任意一点为中心，以4ε为半径的闭圆区域均包含在区域D 的内部.且在闭区域44εεU D D -=之内.从而，以2εD 中的任意一点为中心，以4221ε=a 为边长的正方形也在闭区域4εD 之内.记 ),(max 4),(1y x f M D y x ε∈= 则过2εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线，必至少可在区间],[**h x h x +-上存在，其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε==. 于是，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向左或向右延展一次，其存在区间就伸长一个确定的正数h ，由于2εD 有界，)(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2εD的边界2εL .于是也就可以任意接近区域D 的边界L .其次考虑区域D 为无界的情形.这时，我们可以用闭圆区域,2,1},),{(222=≤+=n n y x y x S n与区域D 取交集，令n n S D D =，则 ∞==1n n D D .由于n D 为有界的区域，根据前面的证明，我们可知，过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.因此，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=可以无限接近区域D 的边界.延展定理的证明，关键是第一步证明，也就是区域D 有界的时候，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=向左向右延展的时候，一定要做等速延展，即延展步幅h 是不变的. 例1 试讨论方程2y dxdy=通过点)1,1(的解和通过点)1,3(-的解的存在区间. 解该题目中研究问题的区域D 为整个坐标平面xOy .方程右端函数满足延展定理的条件.由2y dxdy=可以解得方程的通解为 xC y -=1代入1)1(=y 得：2=C .故通过点)1,1(的解为xy -=21 它可以向左无限延展，而当-→2x 时，+∞→y ，所以通过点)1,1(的解xy -=21的存在区间为)2,(-∞.代入1)3(-=y 得：2=C .故通过点)1,3(-的解为xy -=21它可以向右无限延展，而当+→2x 时，-∞→y ，所以通过点)1,3(-的解xy -=21的存在区间为),2(+∞.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，解上的点))(,(x x ϕ也能无限接近区域D 的边界，但是延展的方向却不一定是无限向右和向左，可能是向上或向下，从而导致解的存在区间不是),(+∞-∞. 例2 试证明：对任意的0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程221)1(y x y y dx dy ++-=的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(+∞-∞上存在.证明：令221)1(),(y x y y y x f ++-=，则222222)1(122),(y x x y y x y y x f y ++--++=' 显然),(),,(y x f y x f y '在xOy 平面上连续，满足解的存在唯一性条件及延展定理的条件，而1,0==y y 是),(y x f dxdy=的解，因此，满足00)(y x y =，100<<y 的解存在，而且可以无限延展到xOy 平面的边界，且不能穿过1,0==y y ，故只能向左右无限延展，所以，)(x y y =在),(+∞-∞上存在.该例题说明，),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，当方程的解不能穿过1,0==y y 时，它就不能向上向下无限延展了，只能向左、向右延展，所以解的存在区间就是),(+∞-∞.在这里，1,0==y y 控制了解的延展方向，使它按照我们的要求进行延展，因此就有了下面的比较定理. 2.2.2 比较定理我们在使用延展定理的时候，通常会和比较定理配合使用，从而起到控制延展方向的作用.下面介绍一下比较定理.我们在考察方程（2.1）),(y x f dxdy=时，通常将右端函数),(y x f 进行放缩的处理，比如),(),(),(21y x F y x f y x F <<这时，我们可以同时考察),(1y x F dx dy =和),(2y x F dxdy = 我们有如下的比较定理：定理2.3 （第一比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F <<设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ<<Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ>>Φϕ证明仅证当0x x >时，)()(2x x Φ<ϕ，其它的情形相类似. 由比较定理的条件（1），初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解在0x 的某一邻域内存在且唯一，分别记为)(x y ϕ=和)(2x y Φ=，它们满足0020)()(y x x =Φ=ϕ令)()()(2x x x h ϕ-Φ=，则0)()()(0020=-Φ=x x x h ϕ且0))(,())(,()()()(0002020020>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ所以函数)(x h 在0x 的某一右邻域内是严格单调增加的.如果在0x x >时，0)(>x h 不是总成立，则至少存在一点01x x >，使得0)(1=x h ，且当10x x x <<时，0)(>x h ，因此在点1x 的左导数0)0(1≤-'x h ，这与0))(,())(,()()()(1112121121>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ矛盾.因此当0x x >时，0)(>x h 总成立，即)()(2x x Φ<ϕ.比较定理的应用，关键是),(1y x F 和),(2y x F 的选取，因为初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解)(x y ϕ=的存在区间的延展，受到)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的控制，即)(x y ϕ=夹在)(1x y Φ=和)(2x y Φ=之间.因此，我们必须能确定出)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的存在区间，这就是我们选取),(1y x F 和),(2y x F 的标准，即⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解)(1x y Φ=和)(2x y Φ=必须能够求得. 下面我们给出第二比较定理.定理2.4 （第二比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F ≤≤设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ≤≤Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ≥≥Φϕ习题 2.21．设方程为),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f y '在xOy 平面上连续，试证明：对于任意的0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.2.指出方程2)1(2xy e y dxdy -=的每一个解的最大存在区间，以及当x 趋于这个区间的右端点时解的极限.3.讨论方程xx dx dy 1cos 12-= 解的存在区间.4.设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程),(y x f dxdy=的任一解)(x y ϕ=在区间+∞<<∞-x 上有定义. 5.讨论方程212-=y dx dy 的通过点)0,0(的解，以及通过点)3,2(ln -的解的存在区间.6.在方程)(y f dxdy=中，如果)(y f 在),(+∞-∞上连续可微，且 )0(0)(≠<y y yf ，求证方程满足00)(y x y =的解)(x y 在区间),[0+∞x 上存在，且有0)(lim =+∞→x y x .2.3 解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理通过前两节的存在唯一性定理和延展定理，加上比较定理，我们知道了初值问题（2.2）在什么样的条件下，解是存在的，是唯一的，而且存在区间比较小的时候，通过延展定理和比较定理可以将解的存在区间变大，从而在实际问题中可以达到我们的要求.但是，在实际问题中，还有一个问题需要解决，那就是误差问题.我们的初始条件00)(y x y =如果产生了微小的偏差，这个偏差对我们的初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=会有什么影响呢？下面我们来解决这个问题. 我们在研究初值问题（2.2）的时候，习惯上把0x 和0y 当作常数来看待，这样初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=被看作x 的函数.实际上，如果0x ，0y 变化，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=也会发生变化.例如方程xydx dy = 经过点),(00y x 的解为x x y y 0=，可以看作00,,y x x 的函数.对于一般的情形，初值问题（2.2）的解也可以看作00,,y x x 的函数，记为),,(00y x x y ϕ=，代入00)(y x y = 得：0000),,(y y x x =ϕ.如果我们的初始条件00)(y x y =发生了微小的误差，变为了**0)(y x y =，初值问题（2.2）的解也变化不大的话，称解连续依赖于初值.下面我们给出连续依赖性的严格定义.定义2.1 设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==**0)(),(y x y y x f dxdy的解),,(*0*0y x x y ϕ=在区间],[b a 上存在，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ (δ的选取与,ε**0,y x 有关)，使得对于满足δδ<-<-*00*00,y y x x （2.2）的解),,(00y x x y ϕ=都在],[b a 上存在，且有],,[,),,(),,(*0*000b a x y x x y x x ∈<-εϕϕ则称初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在点),(*0*0y x 连续依赖于初值,0x 0y .定理2.4 （解对初值的连续依赖性定理）设),(y x f 在区域D 内连续，且关于变量y 满足李普希兹条件.如果D y x ∈),(*0*0，初值问题（2.2）有解),,(*0*0y x x y ϕ=,且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，则对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x证明对于任意给定的正数ε，取εδ<<10，使得闭区域}),,(,),{(1*0*0δϕ≤-≤≤=y x x y b x a y x U整个含在区域D 内，这是可以做到的，因为区域D 是开区域，且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，所以，只要1δ的选取足够小，以曲线),,(*0*0y x x y ϕ=为中线，宽度为12δ的带形开区域U 就整个包含在区域D 内，选取δ满足)(110a b N e M--+<<δδ其中N 为李普希兹常数，),(max ),(y x f M Uy x ∈=，同时还要求δ的选取，必须保证闭正方形δδ≤-≤-*0*02,:y y x x R含于带形开区域U 内.由存在唯一性定理知，对于任一200),(R y x ∈，初值问题（2.2）在0x 的某邻域上存在唯一解),,(00y x x y ϕ=，而且),,(00y x x y ϕ=在0x 的该邻域上可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(000000⎰+=而),,(*0*0y x x y ϕ=可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(*0*0*0*0*0*⎰+=对上述两式做差得：ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx x x )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*⎰⎰-+-=-ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx xx )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*0⎰⎰-+-≤-ττϕτττϕττϕτd y x f d y x f y x f y y x x xx |)),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000*0*0*00**0⎰⎰+-+-≤δττϕττϕτδM d y x f y x f xx +-+≤⎰|)),,(,()),,(,(|00*0*0*0ττϕτϕδd y x y x N M xx |),,(),,(|)1(00*0*0*0-++≤⎰由贝尔曼引理，得εδδδϕϕ<<+≤+≤---1)(*0*000)1()1(),,(),,(*a b N x x N e M e M y x x y x x因此，只要在),,(00y x x y ϕ=有定义的区间上，就有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .下面我们证明：),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.事实上，因为εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x即解),,(00y x x y ϕ=夹在εϕ+=),,(*0*0y x x y 和εϕ-=),,(*0*0y x x y 之间，而且，初值问题（2.2）满足延展定理的条件，所以，解),,(00y x x y ϕ=可以向左向右无限延展，直到无限接近区域D 的边界，于是，它在延展的时候，必须由直线a x =和直线b x =穿出区域U ，从而),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.解对初值的连续依赖性说明，初值),(00y x 无法准确得到，但是我们能得到测量数据),(*0*0y x ，只要误差比较小，即δδ<-<-*00*00,y y x x .我们就可以用),(*0*0y x 代替),(00y x 去计算，得到初值问题的解),,(*0*0y x x y ϕ=，这个解可以非常接近真实解),,(00y x x y ϕ=，即εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .同理，如果方程的右端函数),(y x f 不能准确得到，只能得到),(y x f 的近似函数),(~y x f ，即)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ我们就可以用),(~y x f 代替),(y x f 去计算，得到初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=，那么),,(00~y x x y ϕ=能否代替),,(00y x x y ϕ=呢？我们有下面的解的连续依赖性定理.定理2.5 （解对被积函数的连续依赖性定理）在区域D 上，),(y x f 和),(~y x f 都连续，而且关于变量y 满足李普希兹条件，若初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 在b x a ≤≤上有解),,(00~y x x y ϕ=，则对任意给定的正数ε，存在0>δ，只要),(y x f 满足)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ则初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(00~00y x x y x x .证明由解的存在唯一性定理知，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=存在，设其存在区间为],[b a ，且有⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00~~000~ξξϕξϕ而初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也存在，且可以表示为⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00000ξξϕξϕ则⎰⎰-=-xx xx d y x f d y x f y x x y x x 0))],,(,([))],,(,([),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξξϕξϕϕ从而有⎰-≤-xx d y x f y x f y x x y x x 0|)),,(,()),,(,(|),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξϕξϕϕ⎰-+-=xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,()),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ ⎰-+-≤xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ⎰+-≤xx d y x y x N 0)|),,(),,((|0000~ξδξϕξϕ ⎰-+-≤xx d y x y x N a b 0|),,(),,(|)(0000~ξξϕξϕδ由贝尔曼引理，得)(0000~)(),,(),,(a b N e a b y x x y x x --≤-δϕϕ取)(a b N e ab ---<εδ，则εϕϕ<-),,(),,(0000~y x x y x x .且解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在. 例1 考虑方程,ln ,0≠=⎩⎨⎧-=y y y y dx dy 解的情况.解显然1,1,0-===y y y 是方程的解，当1,1,0-≠≠≠y y y 时，有y y dxdyln -= 这时解得上半平面的通解为x Ce e y -=，下半平面的通解为xCe e y --=.可以看到，对于Ox 轴上的初值)0,(0x ，在任意有限闭区间上解对初值连续依赖，但是，在),0[+∞上，无论),(00y x ，00≠y 如何接近)0,(0x ，只要x 充分大，过),(00y x 的积分曲线就不能与过)0,(0x 的积分曲线（即0=y ）任意接近了.这个例子说明，解在有限闭区间上对初值连续依赖，不能推广到无限区间，即，在无限区间上解对初值的连续依赖定理就不成立了.我们有时不仅要求解对初值连续依赖，而且还要知道解),,(00y x x y ϕ=对初值00,y x 的偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ是否存在.下面给出解对初值的可微性定理. 定理2.6 （解对初值的可微性定理）如果函数),(y x f 以及),(y x f y '在区域D 内连续，则初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=在它有定义的区间上有连续偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ.并且有 ⎰-=∂∂'x x y d y x f e y x f x y x x 000)),,(,(00000),(),,(ττϕτϕ 及⎰=∂∂'xx y d y x f e y y x x 000)),,(,(000),,(ττϕτϕ 习题 2.31.若函数),(y x f ，),(y x R 在区域D 内连续且满足李普希兹条件，设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=*0*0)(),(),(y x y y x R y x f dx dy 的解为),,(*0*0~y x x y ϕ=，存在区间为],[b a .对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满足)),((,),(D y x y x R ∈<δ的),(y x R ，以及满足δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*0~00y x x y x x 2.已知方程)sin(xy dxdy = 试求0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x x y x x y 和0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x y y x x y 3.设),,(00y x x ϕ是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，试证明0),(),,(),,(00000000=∂∂+∂∂y x f y y x x x y x x ϕϕ 2.4 欧拉折线法在第一章，我们介绍了方程的初等解法，即用微积分的知识求得常微分方程的函数解.但是绝大多数的方程不能用初等方法求解，在第二章的前三节中，我们给出了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在什么样的条件下，解存在且唯一；在什么条件下，解的存在区间可以延展；在什么条件下连续依赖于初值；在什么条件下，解对初值是可微的.有了这些准备，我们就可以研究柯西初值问题的近似解.下面我们介绍求近似解的方法，欧拉折线法.假定函数),(y x f 在区域：+∞<<-∞≤≤y b x a ,上连续，且关于变量y 满足李普希兹条件，求柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在区间],[0b x 上的近似解，我们采用的方法是：（1）等分区间],[0b x ，分点为n k kh x x k ,,1,0,0 =+=；小区间长度nx b h 0-=，（2）第一个小区间上用切线段逼近曲线：))(,(0000x x y x f y y -+=，（3）求出1x 所对应的纵坐标))(,(010001x x y x f y y -+=，（4）依次重复（2），（3）得到每个小区间上的线段，从而得到欧拉折线. 这样，我们就用欧拉折线作为柯西初值问题在区间],[0b x 近似解.欧拉折线法的前提是：柯西初值问题的解存在且唯一，而且解的存在区间是],[0b x .例1试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(22y y x dx dy 的解在4.1=x 时的近似值.解令22),(y x y x f +=，2)1,1(=f ，这时12-=x y ，代入1.11=x 得：2.11=y ，65.2)2.1,1.1(=f ，这时2.1)1.1(65.2+-=x y ，代入2.12=x 得：465.12=y ，586225.3)465.1,2.1(=f ，这时465.1)2.1(586225.3+-=x y ，代入3.13=x 得：8236225.13=y ，0155990225.5)8236225.1,3.1(=f ，这时8236225.1)3.1(0155990225.5+-=x y ，代入4.14=x 得：53251824022.24=y 习题 2.41. 试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(22y y x dx dy 的解在5.1=x 时的近似值.2．试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=2)1(22y y x dx dy 在区间]4.1,1[上的近似解.。

解的延拓和对初值的连续性和可微性

• 存在唯一性定理如向量函数g(t,y)在域R上
连续且关于y满足利普希茨条件，
• 则方程组存在唯一解y=(t,t0,y0) ，
它在区间|t-t0|≤h上连续且 (t0,t0,y0)= y0
• 这里
h

min

a,
b M

,
M max g(t, y) .
(x, y)R
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解的延拓与连续性定理
d y g(t, y), dt
y(t0 ) y0.
• 解的延拓与连续性定理如向量函数g(t,y)在某域G上连续且关于y满足局部利普希茨条件，
• 则方程组满足初值条件的解y=(t,t0,y0)可以延拓，
或延拓到±∞，或延拓到边界。
• 且解y= (t,t0,y0) 作为 t,t0,y0 的函数
围内是连续可微的。
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它滿足 y0=(x0,x0,y0) 。
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解对初值的连续性定理
d y f (x, y) dx
• 解对初值的连续性定理如 f(x,y) 在域 G内连续且满足局部利普希茨条件，
则方程的解y=(x,x0,y0) 作为x,x0,y0 的
函数在它的存在范围内是连续的。
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ds

y0

exp

x f (s,)
x0
y
Hale Waihona Puke ds 目录上页下页返回结束
附注
一阶非线性方程组
dy dt

g (t ,
y),
y
n
• 关于存在唯一连续可微性定理可推广到一阶非线性方程组。证明方法类似。

解的延拓-PPT精品

上有定.这义样的我们唯已 (3一 .1把 )满方解足 (2)的程解
y(x),在定义区间向一右段 . 延长了
即方 (3.1)满程 (2足 )的y 解 *(x)为y 解 (x)在定
区x 间 x0h0的向右 , 方延拓即将解延拓到 x0较 h0大 x区 x0h间 0h1上,
注如果函数 f ( x, y )在整个 xy 平面上有定义 , 连续和有界 , 同时存在关于 y的一阶连续偏导数 , 则方程 (3.1)的解可以延拓到区间 ( , ).
作业
1
研究方程
dy1y2满足y条 (0)件 1, dx
的解存在区间 .
对定义2也可如下定义
对定义在G上平函面 f(x,数区 y)若 , 域对 (x1,y1)G, 矩R 形 1{x(,y)| xx1a1,yy1b1}G及常 L1(与 x1,y1,a1,b1有)关使 , 对 (x,y')(,x,y'')R1有
f(x,y')f(x,y")L 1y'y" 恒,则成 f(x 称 ,立 y )在 G 内y 关满于足 Li局 p条 s.c 部
§3.2 解的延拓
问题提出
对于初值问题
dy dx

f (x, y),
R:xx0a,yy0b,
y ( x0 ) y0
上节解存在唯一告性诉定我,在理们一定条, 件下
它的解在 x这区 x0 h 间 h 里上 m存 a i,b n 在 )M (,,唯 M 一fa (x,y x )
此时把不可义延区 (1,拓间 1)称解为的一定个 .
2 局部李普希茨(Lipschitz)条件

《解的延拓定理》课件

解的局部唯一性定理
1
什么是解的局部唯一性定理？
解的局部唯一性定理是指在某个特定区域内，解的存在且唯一。
2
它的证明过程是怎样的？
证明过程涉及数学推导和逻辑思维，通过严谨的推理来证明解的局部唯一性。
部唯一性定理解决了很多实际问题，例如流体力学中的流动问题和电磁学中的分布问题。
《解的延拓定理》PPT课件
解的延拓定理PPT课件，介绍解的延拓定理的应用、解的局部唯一性定理、解的延拓定理的证明过程，以及与解的局部唯一性定理的联系。
简介
解的延拓定理是什么？
解的延拓定理是数学中的一个重要定理，它描述了解在某些特定条件下的延伸和唯一性。
它有什么应用？
解的延拓定理在物理、工程和经济学等领域中有广泛的应用，可以帮助解决实际问题。
解的延拓定理
1 什么是解的延拓定理？
解的延拓定理是指在某些情况下，解可以延伸到更广泛范围的区域。
2 它是如何证明的？
证明过程基于数学分析和函数的性质，通过严密的推导来证明解的延拓定理。
3 它与解的局部唯一性定理有什么联系？
解的局部唯一性定理是解的延拓定理的特例，可以看作是解的延拓定理在特定区域的应用。
进一步研究的方向
未来可以进一步研究解的延拓定理在更复杂情况下的应用和推广，以解决更多的实际问题。
参考文献
• 相关学术文献参考1 • 相关学术文献参考2
应用举例
工程实际中的应用举例
解的延拓定理在工程领域中有广泛的应用，例如结构分析、材料研究和流体力学等。
它解决了哪些实际问题？
解的延拓定理解决了很多实际问题，例如天气预测、电路设计和金融风险评估等。
总结
解的延拓定理的重要性

第二章基本定理第二讲解的延拓

第⼆章基本定理第⼆讲解的延拓第⼆讲解的延拓（3学时）教学⽬的：讨论解的延拓定理。

教学要求：理解解的延拓定理，并⽤解的延拓定理研究⽅程的解教学重点：解的延拓定理条件及其证明教学难点：应⽤解的延拓定理讨论解的存在区间。

教学⽅法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。

教学⼿段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

教学过程：解的存在唯⼀性定理的优点是:在相当⼴泛的条件下,给定⽅程:),(y x f dxdy =有满⾜初值条件00)(y x y =的唯⼀解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的⼀个区间),min(,||0mb a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很⼩,因⽽相应的微分曲线也只是很短的⼀段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ?=+ =?当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯⼀区间.21}21,1min{||==≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯⼀区间.41}41,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增⼤,解存在的唯⼀区间反⽽缩⼩,这显然是我们不想看到的,⽽且实际要求解存在下载向尽量⼤,这就促使我们引进解的延拓概念.扩⼤解存在不在此区间.1．局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每⼀点P,有以P 为中⼼完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满⾜Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的⼤⼩和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满⾜局部Lipschitz 条件.2. 解的延拓定理. 如果⽅程(3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满⾜局部Lipschitz 条件,那么⽅程(3.1)的通解过G 内任何⼀点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ?任意接近G 的边界.以向X 增⼤的⼀⽅延拓来说,如果)(x y ?=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ?趋于区间G 的边界.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯⼀性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很⼩”的.通常⽅程(2.1)的右端函数f (x ,y )存在区域D 可能是很⼤的，这样，我们⾃然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩⼤.2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设1()y x ?=是初值问题（2，2）在区间 1I R ?上的⼀个解，如果（2.2）有⼀个在区间 2I R ?上的解 2()y x ?=，且满⾜(1) 12,I I ?(2)当 1x I ∈时， 12()(),x x ??≡则称解 1()y x ?=，1x I ∈是可延展的，并称 2()x ?是 1()x ?在2I 上的⼀个延展解. 否则，如果不存在满⾜上述条件的解 2()x ?，则称 1x I ∈，1()x ?是初值问题(2.2)的⼀个不可延展解(亦称饱和解)。

常微分方程的几何解释

(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y

x1
,
y1

x2
,
y2

f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与线素场的线素相切.
证明必要性设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx

f ( x, y),的解是存在,是否唯一?

解的延拓,饱和解

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P’2
R1
定理3.3（解的延拓定理）如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件，则过D内任意点的饱和解存在，令饱和解为 (x) x a 0或x b 0 时，点 ( x, ( x)) 无限接近于D的边界。注. 饱和区间可以是有界区域，也可以是无界区域。如果D是无界区域，在延拓定理的条件下 (x) 向x 增大的方向的延拓有两种可能：（1）可以延拓到区间 [ x0, ) （2）只能延拓到区间 [ x0, d ] ，其中d 是有限数，
（1）经过(0, 0) 的饱和解和饱和区间。（2）经过（ln2, -3）的饱和解和饱和区间。
解: (1)定义域为全平面，关于y的偏导数连续，因此经过(0,0) 的 x 解 1 e 存在且唯一。 y x
1 e 解的存在区间为（-∞，+∞）
饱和区间为（-∞，+∞）
（2）经过（ln2, -3）的解为
1 ( x) 2 ( x)Βιβλιοθήκη 2 ( x)是解
1 ( x) 一个延拓。
P2 P1(x0,y0)
R2
今后设f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件。
R’2 如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件，则过 D内任意点的唯一解必可延拓至 D 的边界，这种延拓到了“尽头 ”的解称为饱和解，饱和解对应的区间称为饱和区间。饱和区间是开集
向左可以无限延拓，因此饱和区间为当 x0 时向左只能延拓到 x 向右可以无限延拓，因此饱和区间为
当y0=0时：唯一解为y=0,它是饱和解，饱和区间为 (,)
(, )
x
( ,)
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第2节解的延拓定理(解的整体存在唯一性定理)

1 . (1) 过点 (1,1)的解 : y = 2− x 1 ⎧ ⎪y = 由 ⎨ 2 − x, ⎪y = 2 ⎩ 3 解得 x = . 2 Q lim ρ [( x , y( x )), ∂G ] = 0,
3 x→ −0 2
y 2
• (1,1)
o
3 2
2
x
3 1 而当 x ∈ ( −∞ , )时，解 y( x ) = 有界 2 2− x
∴ 该方程过 G内任一点的解存在且唯一 (1) 过点 ( 0,0 )的解 : y = 0 其最大存在区间为： (− 4,4 )
1 − = x+c y 1 所给方程的通解： y = − . x+c 1 . y ( 2 ) 过点 (1,1)的解 : y = 2− x 2 1 ⎧ ⎪y = 由⎨ • (1,1) 2 − x , 解得 3 ⎪y = 2 o 3 2 4 x –4 ⎩ x= . 2 2 –2 3 (− ∴ 该解的最大存在区间为： 4, ) 2
解Q
∴
f ( x, y) = x 2 + y2 , f y ( x, y) = 2 y 在 D1 , D2上连续 ,
f ( x , y )在 D1 , D2上满足皮卡的解的存在唯一性定理的条件
在 D1上， M 1 = max
= max ( x 2 + y 2 ) = 2
( x , y )∈ D1
三、解的延拓定理
引理设 f ( x , y )在开区域 G内满足： 1) 连续 ; 2) 关于y 满足局部 Lip 条件，
对于每一点 ( x0 , y0 ) ∈ G , 若
y = ϕ ( x ), x ∈ I = [ x0 − h, x0 + h]是初值问题 (1)

3.2解的延拓定理

x
0ห้องสมุดไป่ตู้
;
(4)
d4x dt 4
5
d2 dt
x
2
3x sin t
;
(5) z z z ; x y
2u 2u (6) x y uz 0 .
x2 y 2
§ 3.2 解的延拓定理
/ Theorem on extension of solution/
内容提要/Constant Abstract/
向右可以延拓到，但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y x ln x 0 (趋于G的边界 y=0 )
这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。
例3 用解的延拓定理证明
如果 f (x, y)在整个 x y 平面上定义、连续和有界，
存在关于 y 的一阶连续偏导数，则方程
dy f (x, y) dx
以及 h 的最大值。
2）设f(x, y)在整个 x y 平面上连续，证明从
两曲线 y ex 之间任一点(x0 , y0 ) 出发
的且满足方程 dy ( y2 e2x ) f (x, y)的解必
dx
可延拓到半无限区间 (x0,) 。
3）求具有性质 x(t s) x(t) x(s) 的函数 x(t)， 1 x(t)x(s)
只能延拓的区间 x0 x m上，则当 x m时，
(x,(x)) 趋近于区域 G 的边界。
2 推论
如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下,
方程(3.1)的通过点 (x0 , y0 )的解 y (x) 可以延拓，以向 x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况:
(1) 解 y (x) 可以延拓到区间 [x0 ,)
(1,2), (0,3)

常微分方程Ch22

区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的
矩形域R，在 R 上 f (x, y) 满足利普希兹条件。
（注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同）Fra bibliotek常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
4/18
2 解的延拓
设 y (x) x [a,b] 是
dy
dx
f (x, y).........(3.1.1)
(x0 ) y0.............(3.1.2)
的解，若 y (x) x [a1,b1] 也是初值问题的解，
[a,b] [a1,b1] ，当 x [a,b] 时， (x) (x)
则称解 (x) 是解 (x) 在区间 [a,b] 上的延拓。
常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
8/18
解 ts0
2x(0) x(0) 1 x2 (0)
x(0) 0
常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
18/18
x(t
s) s
x(t)
x(t) x(s) 1 x(t)x(s)
常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
12/18
注意：
过点(ln2,-3)的解
y
1ex 1 ex
向右可以延拓到
但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y (无界)
这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。 y
1
ln2 x
-1
-3 (ln2,-3)
常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
以向 x 增大的一方的延拓来说，如果 y (x)
只能延拓的区间 x0 x m上，则当 x m时，
(x,(x)) 趋近于区域 G 的边界。

解析延拓法-概述说明以及解释

解析延拓法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述解析延拓法是一种常用的数学工具，它在不同领域都有广泛的应用。

通过对问题进行解析建模，该方法能够将问题转化成解析函数的延拓，从而更好地理解和解决问题。

在解析延拓法中，解析函数是指在复数域上定义的函数。

而延拓则是指将函数从定义域延拓到更广泛的域，通常是将函数在实轴或复平面上的一部分延拓到整个实轴或者复平面上。

通过对延拓之后的函数进行分析和计算，我们可以得到更全面和深入的信息，解决原问题中的困难或疑惑。

这种方法的优势在于它不仅能够处理具体问题，还能够揭示问题的本质和内在规律。

通过解析延拓法，我们能够理解函数的性质和行为，从而更好地研究和解决与之相关的问题。

因此，无论是在物理、工程、经济学还是其他各个领域，解析延拓法都是一种非常重要的工具和方法。

在接下来的文章中，我们将对解析延拓法进行详细的探讨。

首先，我们将介绍解析延拓法的定义，阐述其基本原理和思想。

然后，我们将进一步探讨解析延拓法的应用，以及它在不同领域中的具体应用案例。

最后，我们将总结解析延拓法的优势，并展望未来对该方法的发展和应用。

通过对解析延拓法的深入研究和理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并推动相关领域的发展。

希望本文能够为读者提供有益的信息和观点，引起大家对解析延拓法的兴趣和思考。

接下来，我们将开始探索解析延拓法的定义和基本原理。

1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织框架，它决定了文章的逻辑顺序和层次结构。

对于本文来说，其结构主要分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要用于引导读者进入文章的主题，并对解析延拓法进行概述。

首先，需要对解析延拓法进行简单介绍，包括其定义、原理和应用。

然后，介绍文章的结构和目的，以及大致的内容安排。

最后，对整篇文章进行总结，提供一个概览。

正文部分是文章的核心部分，用于详细解析解析延拓法。

首先，给出解析延拓法的定义，解释它是一种什么方法，并说明其在科学研究中的重要性。

解的延拓

设y (x)为方程(3.1)定义在区间(1, 1)的连续解,
若存在方程(3.1)的另一解y (x),它在区间(2, 2 )上
有定义,且满足
(1) (2, 2 ) (1, 1)但(2, 2 ) (1, 1), (2) 当x (1, 1)时, (x) (x); 则称解y (x), x (1, 1)是可延拓的,并且称解 y (x)是解y (x)在(2, 2 )的一个延拓.
存在唯一解y (x),解的存在唯一区间为 x x1 h1 0
因(x1) (x1),由唯一性定理,在两区间的重叠部分应有(x) (x), 即当x1 h1 x x1时(x) (x),
定义函数

*
(
x)

(x), (x),
x0 h0 x x0 h0 , x0 h0 x x1 h1
那么, y *(x)为方程(3.1)满足(2)(或(3)),在[x0 h0, x1 h1]
上有定义的唯一解. 这样我们已把方程(3.1)满足(2)的解
y (x),在定义区间向右延长了一段.
即方程(3.1)满足(2)的解y *(x)为解y (x)在定义
区间x x0 h0的向右方延拓,
对定义2也可如下定义
对定义在平面区域 G上函数f (x, y), 若对(x1, y1) G, 矩形R1 {( x, y) | x x1 a1, y y1 b1} G及常数 L1(与x1, y1, a1, b1有关), 使对(x, y' ), (x, y'' ) R1有
推论1 对定义在平面区域G上的初值问题
dy dx

f (x, y),

3.2 解的延拓

x x
为( x , ( x ))到区域G边界G的距离，即 ( x ) inf

( x x )2 ( ( x ) y )2 ( x , y )第32-33页)。
推论3：如果G是一个无界区域，在定理2的条件下，微分方程(3.1)的通过( x0 , y0 ) G的解y ( x )可以延拓。以向x 增加一方的延拓来说，有下面两种情形：
推论1：对于定义在平面R2上一个区域G中的Cauchy问题
dy f ( x, y) dx y( x0 ) y0 其中( x0 , y0 ) G .
如果f ( x , y )在G内连续且关于y满足局部Lipschitz条件，则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解(见尤秉礼《常微分方程补充教程》第30-31页)。 dy f ( x, y) 推论2：设y ( x )为Cauchy问题 dx ，其中 y( x0 ) y0
设y ( x )是方程(3.1)的定义于区间(1 , 1 )内的一个解。若存在方程(3.1)的另一个解y ( x )，它在区间( 2 , 2 ) 内有定义，并且满足
(1)(2 , 2 ) (1 , 1 )但(2 , 2 ) (1 , 1 )；
定理1：对于定义在平面R 2上一个区域G中的微分方程(3.1)，设f ( x , y )在G内连续且关于y满足局部Lipschitz条件。如果 y ( x )为(3.1)的定义在闭区间，上的一个解，则 y ( x )在，上必可延拓。
由定理可知，一个由存在唯一性定理得到的解总可以向左、右两边延拓。我们的问题是：是否任意一个解都可以延拓为饱和解呢?
( x0 , y0 ) G的一个饱和解，I是该饱和解的饱和区间，

解的延拓定理

（注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同）
§ 3.2 Extension Theorem
2 解的延拓
设 y (x) x [a,b] 是
dy dx
f
(x,
y)........(.3.1.1)
(x0 ) y0.............(3.1.2)
的解，若 y (x) x [a1,b1] 也是初值问题的解，
注意：
§ 3.2 Extension Theorem
过点(ln2,-3)的解
1 ex y
1 ex
向右可以延拓到
但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y (无界)
这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。 y
1
ln2 x
-1
-3 (ln2,-3)
§ 3.2 Extension Theorem
例2 讨论方程 dy 1 ln x 满足条件 y(1) 0
dx
的解的存在区间。
解方程右端函数右半平面 x > 0 上定义且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。
通过点(1,0)的解为 y x ln x 其存在区间为 (0,)
向右可以延拓到，但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y x ln x 0 (趋于G的边界 y=0 )
y (x)
与 f (x1, y1) K 矛盾。
o 由解的延拓定理推论，方程的
任一解均可以延拓到区间 (,) 。
x x0 x1
y y0 K (x x0 )
练习
1 讨论方程 dy y2 dx
§ 3.2 Extension Theorem
在 1 x 3 上满足条件
y(1) 1 and y(1) 1 的解的存在区间。

第二章基本定理山东师范大学

第二章基本定理§2.1 常微分方程的几何解释一、教学目的与要求：（1）理解并掌握线素场的概念以及一阶显式方程),(y x f dxdy= 的线素场与它的积分曲线的关系.（2）理解并掌握欧拉折线法和初值问题解的存在性定理. 二、教学重点，难点：（1）线素场的概念以及一阶显式方程),(y x f dxdy= 的线素场与它的积分曲线的关系. （2）欧拉折线法和初值问题解的存在性定理.2.1.1 线素场我们在1.1节已经给出了微分方程及其解的定义. 本节将就一阶显式方程),(y x f dxdy= (1.9) 给出这些定义的几何解释. 由这些解释，我们可以从方程(1.9)本身的特性了解到它的任一解所应具有的某些几何特征. 首先，我们要给出“线素场”的概念.设(1.9)的右端函数),(y x f 在区域G 内有定义(图2-1),即对G 内任意一点),(y x ，都存在确定值),(y x f .以点),(y x 为中点，作一单位线段，使其斜率恰为),(y x f k =，称为在),(y x 的线素.于是在G 内每一点都有一个线素.我们说，方程(1.9)在区域G 上确定了一个线素场.图2-1例1 试讨论方程xy dx dy = 所确定的线素场.解右端函数除oy 轴以外的左右两个半平面处处有定义，因而方程在这两个半平面上都确定了线素场. 易于看出这个线素场在点),(y x 的线素与过原点),(y x 和点),(y x 的射线重合(图2-2).图2-2例2 考虑方程yx dx dy -= 所确定的线素场.解右端函数除了ox 轴以外的上下两个半平面上都有定义，方程在每一点),(y x 所确定的线素都与原点到该点的射线垂直(图2-3).图 2-3 s在例1中，右端函数xy在y 轴上无定义(变为无限). 在例2中，右端函数x y -在x 轴上无定义(变为无限). 为了进行弥补，一般的，当方程),(y x f dxdy= （1.9）的右端函数),(y x f 在某些点取无限值时，我们同时考虑方程),(),(11y x f y x f dy dx == (1.9)′ 易见，在),(y x f 取无限值的点，0),(1=y x f .于是, 可以说线素场在这些点平行于oy 轴. 例如，在例1中，同时考虑方程xydx dy = 及y x dy dx =. 在例2中，同时考虑方程y x dx dy -= 及xydy dx -=. 这样，这两个方程，除点(0,0)外，都在全平面上确定了线素场.下面来讨论方程(1.9)的解与它确定的线素场的关系. 前面，我们已经把(1.9)的解)(x y ϕ=的图象称为(1.9)的积分曲线.现在有如下定理.定理2.1 曲线L 为(1.9)的积分曲线的充要条件是：在L 上任一点，L 的切线与(1.9)所确定的线素场在该点的线素重合；亦即L 在每点均与线素场的线素相切.证明必要性.设L 为(2.1)的积分曲线,其方程为)(x y ϕ=, 则函数)(x y ϕ=为(2.1)的一个解.于是,在其有定义的区间上有))(,()(x x f x ϕϕ=', 其左端为曲线L 在点))(,(x x ϕ的切线的斜率, 右端恰为方程(2.1)的线素场在同一点))(,(x x ϕ处的线素的斜率. 从而, 曲线L 在点))(,(x x ϕ的切线与线素场在该点线素重合. 又因上式为恒等式, 这就说明沿着整个曲线L 都是这样.充分性. 设方程为)(x y ϕ=的曲线L , 在其上任一点))(,(x x ϕ处, 它的切线方向都与方程(2.1)的线素场的线素方向重合, 则切线的斜率与线素的斜率应当相等. 于是, 在函数)(x y ϕ=有定义的区间上, 有恒等式))(,()(x x f x ϕϕ='. 这个等式恰好说明函数)(x y ϕ=为方程(2.1)的解. 从而曲线L 为方程的积分曲线.这个定理表明这样一个事实：(1.9)的积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切. 或者直观地说成积分曲线是始终“顺着”线素场的线素行进的曲线.2.1.2 欧拉折线在这一段里,我们利用线素场的概念简略地介绍一下欧拉折线法.以下假定函数),(y x f 在区域:b x a ≤≤,∞<y 上连续且有界, 于是),(y x f 在这个区域上确定了一个线素场. 为了求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy(2.2) 在区间],[0b x 上的近似解)(x y y =, 就是要在由),(y x f 所确定的线素场中, 求出经过点),(00y x 的近似积分曲线(图2-4). 为此, 把区间],[0b x n 等分, 其分点为:,0kh x x k += n k ,,1,0 =, nx b h 0-=, b x n =. 先求出),(00y x f .因为积分曲线在点),(00y x 的斜率应为),(00y x f ,于是用经过点),(00y x 而斜率为),(00y x f 的直线段来近似积分曲线,其方程为 ))(,(0000x x y x f y y -+=.求出直线上横坐标为的点的纵坐标:=-+=))(,(010001x x y x f y y h y x f y ),(000+如果h 很小,则)(11x y y ≈.从而点),(11y x 就很接近积分曲线上的点))(,(11x y x . 如果),(y x f 连续,则),(11y x f 就近似于))(,(11x y x f . 于是由点),(11y x 出发的斜率为),(11y x f 的直线段又近似于原积分曲线. 它的方程为))(,(1111x x y x f y y -+=.求出这直线段上横坐标为2x 的点的纵坐标2y :))(,(121112x x y x f y y -+=h y x f y ),(111+=依此类推, 可以求出方程(2.1)过点),(00y x 的积分曲线在各分点的近似值h y x f y y k k k k ),(111---+=, n k ,,2,1 =由于各近似直线段的方程为已知, 所以对区间],[0b x 的任一点x , 都可以求得解)(x y y =的近似值.这样求得的积分曲线的近似折线称为欧拉折线. 可以证明,在一定条件下, 当n 无限增大而0→h 时, 欧拉折线趋近于方程的积分曲线.欧拉折线法是利用“离散化”的方法来求初值问题解的近似值. 这方面的研究工作是计算方法中微分方程数值解的计算理论. 2.1.3 初值问题解的存在性设函数),(y x f 定义在平面区域G 中,点G y x ∈),(00,考虑微分方程),(y x f dxdy= (2.1) 的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy(2.2) 关于初值问题解的存在性,我们在此不加证明的给出如下的经典结果.佩亚诺定理如果),(y x f 在区域G 上连续, G y x ∈),(00, 则初值问题(2.1)存在定义在点0x 的某一邻域中的解.)(x y y =.也就是说,方程右端函数的连续性保证初值解的存在性.如果除了初值解的存在性, 我们还希望保证解的唯一性, 我们有理论上经常用到的解的存在唯一性定理. 在下一节,我们将给出并证明这个重要的定理.思考题：1. 何谓线素场? 如何画线素场?2. 一阶显式方程),(y x f dxdy=所确定的线素场与它的积分曲线有何关系?3. 何谓欧拉折线法?4. 何谓初值问题解的存在性定理?§2.2 解的存在唯一性定理一、教学目的与要求：（1）一阶微分方程的解的存在与唯一性定理.（2）熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在性，会用Picard 逼近法求近似解.. （3）用贝尔曼(Bellman )不等式证明一阶微分方程初值问题解的唯一性.二、教学重点，难点：（1）Picard 存在唯一性定理及其存在性的证明. （2）逐次逼近分析法的应用及其思想.（3）用贝尔曼(Bellman )不等式证明一阶微分方程初值问题解的唯一性. （4）由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解存在唯一的充分条件, 可以举例说明它不是保证初值问题解存在唯一的必要条件.本节利用逐次逼近法，来证明微分方程),(y x f dxdy= (2.1) 的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy(2.2) 的解的存在与唯一性定理.2.2.1 存在性与唯一性定理的叙述定理2.2 (存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数),(y x f 在闭矩形域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-0000,:上满足如下条件： (1) 在R 上连续;(2) 在R 上关于变量y 满足李普希兹(Lipschitz )条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一对点),(y x 和),(y x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题(2.2)在区间0000h x x h x +≤≤-上存在唯一解)(x y ϕ=， 00)(y x =ϕ,其中),(max ),,min(),(0y x f M Mba h R y x ∈== .在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它. 即如果函数),(y x f 在闭矩形域R 上关于y 的偏导数),(y x f y '存在并有界，N y x f y ≤'|),(|. 则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ其中ξ满足y y <<ξ，从而R x ∈),(ξ. 如果),(y x f y '在R 上连续，它在R 上当然就满足李普希兹条件.2.现对定理中的数0h 做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这时，过点),(00y x 的积图 2-5分曲线)(x y ϕ=当1x x =或2x x =时，其中),(001a x x x +∈，),(002x a x x -∈，到达R 的上边界b y y +=0或下边界 b y y -=0.于是，当1x x >或2x x <时，曲线)(x y ϕ=便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间a x x a x +≤≤-00上存在.但是，由2.1节的常微分方程的几何解释可知，定理2.1就是要证明：在线素场R 中，存在唯一一条过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=. 它在其上每点处都与线素场在这点的线素相切. 现在定理假定),(y x f 在R 上连续, 从而存在(,)max (,)x y RM f x y ∈=于是，如果从点),(00y x 引两条斜率分别等于M 和M -的直线，则积分曲线 )(x y ϕ= (如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取),min(0Mb a h =则过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ= (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之中.图 2-6 2.2.2 存在性的证明求解初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=,0000h x x h x +≤≤- , 等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0),(0ξξ （2.3）在区间0000h x x h x +≤≤- 上的连续解.事实上，若)(x y ϕ=为（2.2）的解，则：⎪⎩⎪⎨⎧==00)())(,()(y x x x f dxx d ϕϕϕ (2.4) 对第一式从0x 到x 取定积分可得ξξϕξϕd f y x xx ⎰+=0))(,()(0 (2.5)反之，若)(x y ϕ=为（2.3）的连续解，则有ξξϕξϕd f y x xx ⎰+=0))(,()(0由于对f(x,y)在R 上连续，从而))(,(x x f ϕ连续故对上两式两边求导得))(,()(x x f dxx d ϕϕ= 且000))(,()(0y dx x x f y x xx =+=⎰ϕϕ即y x =)(ϕ为（2.2）的连续解.因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在0000h x x h x +≤≤-上存在而且唯一就行了.下面用毕卡(Picard )逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:1. 构造逐次近似函数序列. 00)(y x =ϕ ξξϕd y f y x xx ),()(0001⎰+= (2.4)⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ (2.5)⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ (2.6)近似序列)}({x n ϕ的每一项都在],[0000h x h x +-上有定义,这是因为Mb h ≤0, 于是b Mh x x M d f xx x ≤≤-≤⎰-0010))(,(ξξϕξ这样，我们在区间],[0000h x h x +-上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)),(,),(),(21x x x n ϕϕϕ2. 证明近似序列 )}({x n ϕ在区间0000h x x h x +≤≤-上一致收敛（序列. 为此考虑函数项级数：∑∞=--+110))()(()(n k k x x x ϕϕϕ （2.7）它前几项和为)())()(()()(1101x x x x x s n nk k kn ϕϕϕϕ=-+=∑=-+于是{)(x n ϕ}一致收敛性等价于级数(2.7）的一致收敛性，我们对级数（2.7）的通项进行诂计2000101120001||!2||||||)()(||||))(,())(,(|||)()(|||))(,(|||)()(|00x x MNd x MN d N d f f x x x x M d f x x xx xx xx xx -=-≤-≤-≤--≤≤-⎰⎰⎰⎰ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕξξϕξϕϕ假设对正整数n 有不等式n n n n x x n MN x x ||!|)()(|011-≤---ϕϕ则当0000h x x h x +≤≤-时，由Lipsthits 条件有100111||)!1(||!||)()(||||)(,())(,(|||)()(|0+--+-+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n n nxx n xx n n n xx n n n x x n MN d x n MN d N d f f x x ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n 有n n n n x x n MN x x ||!|)()(|011-≤---ϕϕ 0000h x x h x +≤≤- （2.8）从而当00h x x ≤-时nn n n h n MN x x 011!|)()(|--≤-ϕϕ由于正级数∑∞=-101!n nn h n MN 收敛，由weierstrass 判别法知，级数（2.7）在],[0000h x h x +-一致收敛，因而{)(x n ϕ}在],[0000h x h x +-上一致收敛.现设)()(lim x x n n ϕϕ=∞→，0000h x x h x +≤≤-则由)(x n ϕ连续性和一致收敛性得)(x ϕ在],[0000h x h x +-上连续且b y x ≤-|)(|0ϕ.3.证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解.在n 次近似序列（2.6）两端取极限有⎰⎰-∞→-∞→∞→+=+=xx n n xx n n n n d f y d f y x 00))(,(lim ))(,(lim )(lim 1010ξξϕξξξϕξϕ即 ⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这表明. )(x ϕ是积分方程(3.5)在],,[00h x x +的连续解.2.2.3 唯一性的证明下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman )不等式.贝尔曼引理设)(x y 为区间],[b a 上非负的连续函数，b x a ≤≤0. 若存在0,0≥≥k δ使得)(x y 满足不等式⎰+≤xx dt t y k x y 0)()(δ, ],[b a x ∈ (2.9)则有0)(x x k ex y -≤δ, ],[b a x ∈证明先证明0x x ≥的情形. 令⎰=xx dt t y x R 0)()(，于是从(2,9)式立即有δ≤-')()(x kR x R上式两端同乘以因子)(0x x k e--,则有)()(00])([x x k x x k e e x R dxd----≤δ 上式两端从x 0到x 积分，则有)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ由(2.9)知， )()(x k x y +≤δ,从而由上式得到)(0)(x x k e x y -≤δ ,0x x ≥0x x < 的情形类似可证，引理证毕.积分方程(2.3)解的唯一性证明，采用反证法.假设积分方程(2.3)除了解)(1x y 之外，还另外有解 )(2x y ，我们下面要证明：在 00h x x ≤-上，必有)()(21x y x y ≡. 事实上，因为dt t y t f y x y xx ))(,()(0101⎰+≡及dt t y t f y x y xx ))(,()(0202⎰+≡将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有 ⎰⎰-≤-≤-xx xx dt t y t y N dt t y t f t y t f x y x y 0)()())(,())(,()()(212121令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ, 从而由贝尔曼引理可知，在00h x x ≤-上有0)(=x y ，即 ).()(21x y x y ≡至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完. 2.2.4 二点说明为了加深对定理的理解，下面我们再作二点说明.1. 存在唯一性定理不仅保证了初值解的存在性和唯一性，并且给出求方程近似解的一种方法——Picrcl 逐步逼近法.在区间00h x x ≤-上, 当用n 次近似解来逼近精确解时, 不难估计它的误差. 事实上, 有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-11!)()()()(n k kk nk k k n k x x N N Mx x x x ϕϕϕϕ这样，我们在进行近似计算的时候，可以根根据误差的要求，先取适当的逐步逼近函数)(x n ϕ. 2. 如果方程(2.1)是线性方程，即)()(x q y x p dxdy+= 其中p (x )和q (x )在区间],[b a 上连续，我们不难验证，此时方程的右端函数关于y 满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理2.2中的方法，可以证明对任意初始值),(00y x ,],[0b a x ∈,),(0+∞-∞∈y .线性方程满足00)(y x y ≡的解在整个区间 ],[b a 上有定义.事实上，只要注意到，此时逐次近似序列的一般项(2.6)ξξξϕξϕd q p y x xx n n ⎰++=-0)]()()([)(10在区间 ],[b a 上存在且连续即可.由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的呢?下面的例子回答了这个问题.例1 试证方程⎩⎨⎧≠==0,ln 0,0y y y y dx dy 当当经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明右端函数除x 轴外的上、下平面都满足定理2.2的条件，因此对于Ox 轴外任何点),(00y x ，该方程满足00)(y x y =的解都存在且唯一. 于是，只有对于Ox 轴上的点，还需要讨论其过这样点的解的唯一性.我们注意到y = 0为方程的解. 当y ≠0时，因为y y dxdyln = 故可得通解为xCee y ±=x Ce e y =为上半平面的通解, xCe e y -=为下半平面的通解.这些解不可能y = 0相交. 因此，对于 Ox 轴上的点)0,(0x ，只有y = 0通过，从而保证了初值解的唯一性.但是，y y y y x f y x f ln ln )0,(),(==-因为+∞=→y y ln lim 0,故不可能存在0>N ,使得y N x f y x f ≤-)0,(),(从而方程右端函数在y = 0的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件.为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件.直到现在，唯一性问题仍是一个值得研究的课题.下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数f (x , y )在R 上连续，不能保证任何初值问题(2.2)的解是唯一的.例2 讨论方程323y dxdy= 解的唯一性.解方程的右端函数323),(y y x f =,在全平面连续，当0≠y 时，用分离变量法可求得通解3)(C x y +=，C 为任意常数.又y = 0也是方程的一个特解，积分曲线如图2-7.图 2-7从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过x 轴上任一点)0,(0x 的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为)(x y y =，它可表为：对任意满足b x a ≤≤0的a 和b .⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-=b x b x b x a a x a x x y 当当当33)(0)()(思考题：(1) 何为毕卡(Picard ) 逐次逼近序列和毕卡(Picard )近似解? 如何构造毕卡(Picard ) 逐次逼近序列?(2) 定理2.2 的条件和结论是什么? 如何用毕卡(Picard ) 逐次逼近法证明一阶微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy解的存在性?(3) 为什么选取0min(,)bh a M=? (4) 何谓贝尔曼(Bellman )不等式？怎样证明贝尔曼(Bellman )不等式？如何用贝尔曼(Bellman )不等式证明一阶微分方程初值问题解的唯一性？(5) 第n 次近似解与精确解之间的误差估计式是什么? 怎样进行误差估计?(6) 由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解存在唯一的充分条件, 那么这个条件是否是必要的呢? 为什么？§2.3 解的延展一、教学目的与要求：（1）掌握解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解的存在区间. （2）掌握第一、二比较定理的内容和作用.（3）理解并掌握在解决解的延展性问题时, 将延展定理和比较定理配合使用的技巧. 二、教学重点，难点：（1）解的延拓定理条件及其证明.（2）应用解的延拓定理讨论解的存在区间.（3）在解决解的延展性问题时, 如何将延展定理和比较定理配合使用.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯一性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函数),(y x f 存在区域D 可能是很大的，这样，我们自然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩大.2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设)(1x y ϕ=是初值问题（2.2）在区间R I ⊂1上的一个解，如果（2，2）还有一个在区间R I ⊂2上的解)(2x y ϕ=，且满足(1) 21I I ⊂(2)当1I x ∈时，)()(21x x ϕϕ≡则称解)(1x y ϕ=,1I x ∈是可延展的，并称)(2x ϕ是)(1x ϕ在2I 上的一个延展解. 否则，如果不存在满足上述条件的解 )(2x ϕ，则称)(1x ϕ,1I x ∈是初值问题(2.2)的一个不可延展解，(亦称饱和解). 这里区间1I 和2I 可以是开的也可以是闭的. 2.3.2 不可延展解的存在性定义 2.2 设),(y x f 定义在开区域2R D ⊆上，如果对于D 上任一点),(00y x ，都存在以),(00y x 为中心的，完全属于D 的闭矩形域R ，使得在R 上 ),(y x f 的关于y 满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R 的大小以及常数N 可以不同，则称),(y x f 在D 上关于y 满足局部李普希兹条件.结论: 如果方程(2.1)的右端函数 ),(y x f 在区域2R D ⊂上连续，且对y 满足局部李普希兹条件，则对任何D y x ∈),(00，初值问题(2.2)存在唯一的不可延展解.证明思路：仅证0x x >方向，（0x x <方向同理）．任取点−−→−∈2.2000),(定理D y x p 存在唯一解)(0x y ϕ=在],[)1(000x x I = =],[000h x x +上有定义．又点−−→−∈2.2)1(0)1(01),(定理D y x p 存在唯一解)(1x y ϕ=在],[)2(001x x I == ],[1000h h x x ++上有定义．图2—8由解的唯一性，在I 0和I 1的公共部分上，)()(10x x ϕϕ= )()(01x x ϕϕ是⇒的一个延展解．继续这种延展过程，直到一个解)(x y ϕ=,),(βα∈x ，它再也不能向左右两方延展了，这个解就是不可延展解，),(βα就是初值问题（2.2）不可延展解的存在区间，这样，就完成了定理的证明．显然，不可延展解的存在区间必定是一个开区间. 因为如果区间右端点β是闭的，那么解)(x y ϕ=的曲线可以达到β.于是点D ⊂))(,(βϕβ，由定理2.2，可将)(x y ϕ=延展到β的右方，这与)(x y ϕ=,),(βα∈x 是不可延展解矛盾. 同理，这个区间的左端点也必定是开的.2.3.3 不可延展解的性质定理 2.3 如果方程(2.1)的右端函数),(y x f 在区域2R D ⊂中连续,且对y 满足局部Lipschitz 条件,那么对任何一点D y x ∈),(00, 初值问题(2.1)的以(00,y x )为初值的解)(x y ϕ=可以向左右延展, 直到点))(,,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在证明之前, 先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”的含义解释一下.这句话是说:当区域D 有界时,积分曲线向左右延展可以任意接近区域D 的边界,当区域D 无界时,积分曲线向左右延展,或者任意接近D 的边界(如果有的话),或者无限远离.证明先证区域D 有界的情况. 设区域D 的边界为D D L -=(的闭包为D D ).对于任意给定的正数ε,记L 的ε邻域为εU .于是,集合2/2/εεU D D -=为一闭集.易知D D ⊂2/ε,且2/εD 有界.(图)只要能够证明曲线)(x y ϕ=可以到达2/εD 的边界2/εL ,由0>ε的任意性,也就证明了积分曲线)(x y ϕ=可以任意接近D 的边界L 了.事实上,以2/εD 中的任意一点为中心,以4/ε为半径的闭圆域均在区域D 之内.且在闭区域4/4/εεU D D -=之内.从而,以2/εD 中的任意一点为中心,以4/21ε=a 为边长的正方形也应该在4/εD 之内,记),(max 4/),(1y x f M D y x ε∈=则过2/εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线,必至少可在区间h x x ≤-*上存在,其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε== 于是,过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向右或向左延展一次,其存在区间就伸长一个确定的正数h ,由于2/εD 有界, )(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2/εD 的边界2/εL ,于是命题得证.其次考虑区域D 为无界的情况. 这时我们考虑D 与闭圆域222:n y x S n ≤+, ,2,1=n的交集n n n D S D D ⋅= 的边界上的点,或者是D 的边界上的点,或者是n S 圆周上的点.同时有n n D D ∞==1.根据前面的认证,过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.于是,过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=,或者保持在某个圆域n S 之内延展而无限接近D 的边界,或者可以越出任意大的圆域n S 而无限远离.定理证毕.例1 试讨论方程2y dxdy=通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间. 解此时区域D 是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是x C y -=1 故通过(1,1)的积分曲线为xy -=21 它向左可无限延展，而当x →2-0时，y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)，参看图2-10.图 2-10 通过(3,-1)的积分曲线为xy -=21它向左不能无限延展，因为当x →2+0时，y →-∞,所以其存在区间为(2,+∞).顺便指出：这个方程只有解y = 0可以向左右两上方向无限延展.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域D 的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例2 讨论方程x xdx dy 1cos 12-= 解的存在区间.解方程右端函数在无界区域 },0),{(1+∞<<-∞>=y x y x D 内连续，且对y 满足李普希兹条件，其通解为+∞<<+=x C xy 0,1sin过D １内任一点),(00y x 的初值解.图 2-1101sin 1sinx y x y -+= 在(0,+∞)上有定义，且当x →＋0时，该积分曲线上的点无限接近D １的边界线x = 0，但不趋向其上任一点(图2-11).在区域内的讨论是},0),{(2+∞<<-∞<=y x y x D 类似的.延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的.例3 考虑方程),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f '在 xoy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及a y <0,方程满足00)(y x y =的解都在(-∞,+∞)上存在.图 2-12证明根据题设，可以证明方程右端函数在整个 xoy 平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，a y ±=为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知，满足000,)(x y x y =任意，a y <0的解)(x y y =上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性， )(x y y =又不能穿过直线 a y ±=，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在(图2-12).2.3.4 比较定理在解决许多问题时,我们经常将延展定理和比较定理配合使用.下面就来介绍比较定理. 我们在考察方程),(y x f dxdy= (2.1) 之外,还同时考察),(y x F dxdy= )1.2(' 我们有如下的定理:定理2.4 (第一比较定理)设定义在某个区域D 上的函数),(y x f 和),(y x F 满足条件: (1) 在D 上满足存在唯一性定理条件; (2) 在D 上有不等式),(y x f <),(y x F设方程(2.1)和方程)1.2('满足相同初值条件00)(y x y =的初值解分别为)(x y ϕ=和)(x y Φ=,则在它们的共同存在区间上有下列不等式:时当0),()(x x x x >Φ<ϕ 时当0),()(x x x x <Φ>ϕ证明由条件(1),根据存在唯一性定理,方程(2.1)和方程)1.2('的满足初值条件00)(y x y =的解在0x 的某一邻域内存在且唯一,它们满足000)()(y x x =Φ=ϕ.构造辅助函数)()()(x x x z ϕ-Φ=.因为)()()(000x x x z ϕ-Φ==0 )()()(000x x x z ϕ'-Φ'='0))(,())(,(0000>-Φ=x x f x x F ϕ所以函数)(x z 在0x 的某一右邻域内是严格增加的,故在0x 的这一右邻域内为正.如果不等式0)(>x z 不是对所有的0x x >成立,则至少存在一点01x x >,使得0)(1=x z ,且当10x x x <<时, 0)(>x z ,因此在点1x 处应有)()()(111x x x z ϕ'-Φ'='0))(,())(,(1111≤-Φ=x x f x x F ϕ但这是不可能的.因为0)()()(111=-Φ=x x x z ϕ,所以由条件(2)有0))(,())(,(1111>-Φx x f x x F ϕ矛盾.因此当0x x >时恒有0)(>x z (只要)(x z 存在),即)()(x x Φ<ϕ.当0x x <时,同理可证)()(x x Φ>ϕ.定理证毕.下面我们不加证明的给出第二比较定理.定理 2.5 (第二比较定理) 设定义在某个区域D 上的函数),(y x f 和),(y x F 满足条件: (3) 在D 上满足存在唯一性定理条件; (4) 在D 上有不等式),(y x f ≤),(y x F设方程(2.1)和方程)1.2('满足相同初值条件00)(y x y =的初值解分别为)(x y ϕ=和)(x y Φ=,则在它们的共同存在区间上有下列不等式:时当0),()(x x x x >Φ≤ϕ 时当0),()(x x x x <Φ≥ϕ.思考题：（1）不可延展解是否一定存在?（2）不可延展解在区间端点的性状是怎样的?右端函数(,)f x y 与不可延展解有何关系?如何判断方程解在(-∞,+∞)上整体存在?（3）解的延展定理的条件是什么? 结论是什么?（4）在解决解的延展性问题时, 如何将延展定理和比较定理配合使用？2.4 奇解与包络一、教学目的与要求：（1）掌握常微分方程的包络和奇解的概念及其之间的关系. （2）掌握奇解的求法二、教学重点，难点：包络和奇解的求法.本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法. 2.4.1 奇解在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程323y dxdy=的通解是3)(C x y +=，还有一解0=y ，除解0=y 外，其余解都满足唯一性，只有解0=y 所对应的积分曲线上每一点，唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.例1 求方程21y dxdy-=的所有解.解该方程的通解是)sin(C x y +=此外还有两个特解1=y 和1-=y .由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-13显然解1=y 和1-=y 所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏.本节主要讨论一阶隐式方程0),,(='y y x F (1.8)和一阶显式方程),(y x f dxdy= (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内.对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用yf∂∂无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程),(y x f dxdy=, k i ,,2,1 = 那么对每一个方程，应用定理2.2即可.其次对于方程(1.8)，如果函数(,,)F x y y '对所有变量连续且有连续偏导数，并且在000,,y y x '的邻域内有⎩⎨⎧≠''=''0),,(0),,(000000y y x F y y x F y 成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得),(y x f y =', 其中函数f(x,y)是连续的且有连续偏导数，特别有y y F F y f'''-=∂∂这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了. 因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义.定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解. 奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线.由上述定义，可见2.2节例2中的解0=y 是方程323y dxdy=的奇解，而例1中的解1y =和1-=y 是方程21y dxdy-=的奇解. 2.4.2 不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数),(y x f 在区域2R D ⊆上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解.如果存在唯一性定理条件不是在整个),(y x f 有定义的区域D 内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解. 例2 判断下列方程(1)22y x dx dy += (2) 2+-=x y dxdy是否存在奇解.解 (1)方程右端函数22),(y x y x f +=, y f y 2=',均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解.(2) 方程右端函数2),(+-=x y y x f 在区域x y ≥上有定义且连续，xy f y -='121在y > x 上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y = x ，即若方程(2)有奇解必定是y = x ，然而y = x 不是方程的解，从而方程(2)无奇解. 2.4.3 包络线及奇解的求法下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分0),,(=ΦC y x 求它奇解的方法.当任意常数C 变化时，通积分0),,(=ΦC y x 给出了一个单参数曲线族(C )，其中C 为参数，我们来定义(C )的包络线.定义2.4 设给定单参数曲线族0),,(:)(=ΦC y x C (2.10)其中C 为参数，Φ对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L ，其上任一点均有(C )中某一曲线。

解的延拓

从而它是非饱和解 ,矛盾
对I [, )时,同样讨论即x (或 )时, (x,(x)) G.
推论3 如果G是无界区域,在上面延拓定理条件下,
方程(3.1)的通过点(x0, y0 )的解y (x)可以延拓,以
向x增大(减少)一方的延拓来说, 有下面的两种情况
(1) 解y (x)可以延拓到区间 [x0,)((, x0 ], (2) 解y (x)可以延拓到区间[x0, m)((m, x0 ], 其中m为有限数,当x m时,或者y (m)无界, 或者(x,(x)) G
解的存在唯一区间x h min{2, 2} 1 . 84
1 饱和解及饱和区间
定义1 对定义在平面区域G上的微分方程 dy f (x, y), (3.1) dx
设y (x)为方程(3.1)定义在区间(1, 1)的连续解,
若存在方程(3.1)的另一解y (x),它在区间(2, 2 )上
有定义,且满足
注若f (x, y)及f y (x, y)在G内连续,则f (x, y)在G内关于 y满足局部Lipschitz条件.
3 解的延拓定理
定理如果方程(3.1)右侧函数f (x, y)在有界区域G 中连续,且在在G内f (x, y)关于y满足局部Lipschitz条
件.那么方程(3.1)通过G内任一点(x0, y0 )的解y (x) 可以延拓, 直到点( x, ( x))任意接近G的边界.
(1)x (1, 1)时, (x) (x); 则称解y (x), x (1, 1)是可延拓的,并且称解 y (x)是解y (x)在(2, 2 )的一个延拓.
若不存在满足上述条件的解y (x),则称解y (x), x (1, 1)为方程的一个不可延拓解,或饱和解.
§3.2 解的延拓

解的延拓定理

解的延拓定理
延拓定理是一种数学定理，它指出，如果一个函数f(x)在某一点x0处可导，那么在x0处的导数f'(x0)等于f(x)在x0处的切线斜率。

延拓定理的证明是基于泰勒级数的，它可以用来证明函数的可导性。

延拓定理的公式可以表示为：f'(x0)=lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h。

这里，f'(x0)是函数f(x)在x0处的导数，h是一个极小的正数，f(x0+h)是函数f(x)在x0+h处的值，f(x0)是函数f(x)在x0处的值。

延拓定理的应用非常广泛，它可以用来证明函数的可导性，也可以用来求解函数的导数。

它还可以用来求解曲线的切线斜率，以及求解曲线的极值点。

此外，延拓定理还可以用来求解微分方程，以及求解积分方程。

总之，延拓定理是一种重要的数学定理，它可以用来证明函数的可导性，也可以用来求解函数的导数，以及求解曲线的切线斜率，极值点，微分方程和积分方程。

第二章 基本定理 第二讲 解的延拓

常微分方程第二章

解的延拓和对初值的连续性和可微性

解的延拓-PPT精品

《解的延拓定理》课件

第二章基本定理第二讲解的延拓

常微分方程的几何解释

解的延拓,饱和解

第2节 解的延拓定理(解的整体存在唯一性定理)

最新3-21 3-26 -解的延拓、解对初值和参数连续性定理、可微性定理

3.2解的延拓定理

常微分方程Ch22

解析延拓法-概述说明以及解释

解的延拓

3.2 解的延拓

解的延拓定理

第二章 基本定理 山东师范大学

解的延拓

解的延拓定理

第二章基本定理第二讲解的延拓

第2节解的延拓定理(解的整体存在唯一性定理)

第二章基本定理山东师范大学