第二章 基本定理 第二讲 解的延拓

第二讲 解的延拓（3学时）

教学目的：讨论解的延拓定理。

教学要求：理解解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解

教学重点：解的延拓定理条件及其证明

教学难点：应用解的延拓定理讨论解的存在区间。

教学方法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。

教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

教学过程：

解的存在唯一性定理的优点是:在相当广泛的条件下,给定方程:),(y x f dx

dy =有满足初值条件00)(y x y =的唯一解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的一个区间),

min(,||0m

b a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很小,因而相应的微分曲线也只是很短的一段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩

当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯一区间.21}21

,1min{||=

=≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯一区间.4

1}41

,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增大,解存在的唯一区间反而缩小,这显然是我们不想看到的,而且实际要求解存在下载向尽量大,这就促使我们引进解的延拓概念.扩大解存在不在此区间.

1． 局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每一点P,有以P 为中心完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满足Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的大小和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满足局部Lipschitz 条件.

2. 解的延拓定理. 如果方程(

3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满足局部Lipschitz 条件,那么方程(3.1)的通解过G 内任何一点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ϕ任意接近G 的边界.以向X 增大的一方延拓来说,如果)(x y ϕ=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ϕ趋于区间G 的边界.

上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯一性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函数f (x ,y )存在区域D 可能是很大的，这样，我们自然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩大.

2.3.1 延展解、不可延展解的定义

定义2.1 设1()y x ϕ=是初值问题（2，2）在区间 1I R ⊂上的一个解，如果（2.2）有一个在区间 2I R ⊂上的解 2()y x ϕ=，且满足

(1) 12,I I ⊂

(2)当 1x I ∈时， 12()(),x x ϕϕ≡

则称解 1()y x ϕ=，1x I ∈ 是可延展的，并称 2()x ϕ是 1()x ϕ在2I 上的一个延展解. 否则，如果不存在满足上述条件的解 2()x ϕ，则称 1x I ∈，1()x ϕ是初值问题(2.2)的一个不可延展解(亦称饱和解)。这里区间1I 和2I 可以是开的也可以是闭的.

2.3.2 不可延展解的存在性

定义2.2 设 ),(y x f 定义在开区域2D R ⊂上，如果对于D 上任一点 00(,)x y ，都存在以 00(,)x y 为中心的，完全属于D 的闭矩形域R ，使得在R 上 ),(y x f 的关于y 满

足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R 的大小以及常数N 可以不同，则称 在D 上关于y 满足局部李普希兹条件.

定理2.3 如果方程(2.1)的右端函数 ),(y x f 在区域 2D R ⊂上连续，且对y 满足局部李普希兹条件，则对任何 00(,)x y D ∈，初值问题(2.2)存在唯一的不可延展解.

证明思路 仅证 0x x >方向，（ 0x x <方向同理）．

任取点000(,) 2.2P x y DTheorem

∈ 存在唯一解0()y x ϕ=在 (1)000000[,][,]I x x x x h ==+

上有定义．

又点 11100(,) 2.2P x y DTheorem

∈ 存在唯一解 0()y x ϕ=在 (2)1000001[,][,]I x x x x h h ==++

上有定义．

图2—8 由解的唯一性，在I 0和I 1的公共部分上， 011()()()x x x ϕϕϕ=⇒是 0()x ϕ的一个延展解．

继续这种延展过程，直到一个解(),(,)y x x ϕαβ=∈，它再也不能向左右两方延展了，这个解就是不可延展解， (,)αβ就是初值问题（2.2）不可延展解的存在区间，这样，就完成了定理的证明．

显然，不可延展解的存在区间必定是一个开区间。因为如果区间右端点 α是闭的，那么解 ()y x ϕ=的曲线可以达到 β.于是点(,())D βϕβ∈，由定理2.2，可将 ()y x ϕ=延展到 β的右方，这与 (),(,)y x x ϕαβ=∈是不可延展解矛盾. 同理，这个区间的左端点也必定是开的.

2.3.3 不可延展解在端点的性状

下面讨论初值问题(2.2)的不可延展解 (),(,)y x x ϕαβ=∈，当x 趋于区间

的

端点时的性状

引理 设20D R ⊂是有界开区域， (,)f x y 在0D 上有界 (,)f x y M ≤，且对y 满足局部李普希兹条件。如果 (),(,)y x x ϕαβ=∈是初值问题(2.2)在0D 上的不可延展解， 则当0x α→+或 0x β→-时，相应积分曲线上的点(,())x x ϕ都趋于0D 的边界.

证明 首先证明极限 00

(0)lim (),(0)lim ()x x x x αβϕαϕϕβϕ→+→-+=-= 的存在性。事实上，由于初值问题(2.2)的解 ()y x ϕ=满足下面的积分方程

00()(,()),x

x x y f s s ds x ϕϕαβ=+<<⎰ 因此对任意 12,(,)x x αβ∈，有

211212()()(,())x x x x f s s ds M x x ϕϕϕ-≤

≤-⎰