5-3频率域稳定判据

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某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有 个开环极 轨迹如下， 例: 某系统 轨迹如下 已知有2个开环极 点分布在s的右半平面 试判别系统的稳定性。 的右半平面， 点分布在 的右半平面，试判别系统的稳定性。 系统有2个开环极点分布在 的右半平面(P=2)， 个开环极点分布在s的右半平面 解：系统有 个开环极点分布在 的右半平面 ， G(jω)H(jω)轨迹在点 轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有 次正穿越， 以左的负实轴有2次正穿越 轨迹在点 以左的负实轴有 次正穿越， N+ − N− = 2 −1 = 1 1次负穿越，因为：N= 次负穿越， , 次负穿越 因为： 求得： 所以系统是稳定系统。 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统 .
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F (s) =
∏ (s + z )
i
n
∏ (s + p )
j j =1
i =1 n
。式中， zi ,− p j 为F(s)的零、极点。 式中， 的零、 式中 − 的零 极点。
•[S] •c [F]
柯西幅角原理： 柯西幅角原理：
设在Ｓ平面的右半侧： 设在Ｓ平面的右半侧：有F(s)的ｚ个 的 零点(闭环极点 闭环极点)和 个极点(开环极点 开环极点) 零点 闭环极点 和Ｐ个极点 开环极点 闭曲线包围，当某点Ｓ 一周时， 被Ｃ闭曲线包围，当某点Ｓ沿Ｃ一周时， 映射到F平面为 平面为： 映射到 平面为：
M 1M 2 N1 N 2
…………… (a) …………… (b)
2
闭环传递函数为： 闭环传递函数为：Φ( s) =
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M1N2 M 1M 2 + N1 N 2
构造闭环特征方程为辅助方程： 构造闭环特征方程为辅助方程： 闭环特征方程为辅助方程
F ( s ) = 1 + GH = 1 + G k = 1 + M 1 M 2 M 1M 2 + N 1 N 2 ⋅ = N1 N 2 N1N 2
∆F (S ) =
∑ ∠(s + z
i =1
Z
i
= z ∗ 360 ° p * 360 ° ( z − p ) * 360 ° − =
) − ∑ ∠(s + p j ) j =1
p
令 R = ( p − z ), R 为包围 F ( S ) 原点的圈数 若R>0，表示逆时针运动，包围原点； ，表示逆时针运动，包围原点； 顺时针运动，包围原点。 若R<0，表示 顺时针运动，包围原点。 ， 若R=0，不包围原点； ，不包围原点； 2011-1-15因此可根据包围原点的情况判别右半平面的零极点
Im Im
0
Re
0
Re
正穿越
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负穿越
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Im
G ( jω ) H ( jω )
ω =∞
( −1, j 0)
0
Re
ω
N +＝2
N −＝1
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若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的 轨迹起始或终止于 以左的 负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 负轴上，则穿越次数为半次，且同样有 1/2 次穿越和 -1/2次穿越。 次穿越。 次穿越
包围临界点（ ， ） 包围临界点（-1，j0）的圈数
R = 2 N = 2( N + − N − ) = −2
开环传递函数的正实部极点数: 开环传递函数的正实部极点数 P = 0
Z = P−R =2≠0 系统不稳定。 系统不稳定。
s右半平面的闭环极点数为 右半平面的闭环极点数为2. 右半平面的闭环极点数为
Γ ， F(s)平面的坐标原点是 平面的坐标原点是GH 平面的 (−1 jο) 点。因此， Γf 因此， 平面的坐标原点是 ， 点的周数。 绕F(s)平面原点的周数等效于Γs 绕GH 平面 (−1 jο) 点的周数。 平面原点的周数等效于Γ
f
F(s)
[F] (-1, j0) 0 1 0 [GH]
曲线这么画？ G ( s ) H ( s ) 曲线这么画？ 无虚轴上的极点时， 当 G ( s ) H ( s ) 无虚轴上的极点时，在〔G(s)H(s)〕平面上的映射 〕 为对应的开环幅相曲线。 为对应的开环幅相曲线。 在虚轴上有极点时： 当 G ( s ) H ( s ) 在虚轴上有极点时： 1）开环系统含有 v 个积分环节时，即在原点处有 个开环极点时： ） 个积分环节时，即在原点处有v个开环极点时 个开环极点时： 在〔G(s)Hs)〕平面上的映射轨线 Γ GH由 G ( j 0 + ) H ( j 0 + ) 起逆时针作半 〕 径无穷大、 的圆弧。 径无穷大、圆心角为 v × 90 0 的圆弧。
Im
ω =0
( −1, j 0)
ω =∞
0
(−1, j 0)
ω
Re
Re
G ( jω ) H ( jω )
G ( jω ) H ( jω )
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奈氏判据又可表述为： 奈氏判据又可表述为： 闭环系统稳定的充要条件是： 闭环系统稳定的充要条件是：当 ω 由0变化到 ∞ 时，G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实 G(jω)H(jω)曲线在 曲线在（ j0） 轴上的正负穿越之和为 P/2 次。 开环传递函数在s右半平面的极点数。 P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时 Z=P-R=PZ=P-R=P-2N, N=N+-N若开环传递函数无极点分布在S右半平面， 若开环传递函数无极点分布在S右半平面， 则闭环系统稳定的充要条件应该是正、 即 P = 0 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是正、 副穿越次数之和N=0 N=0： 副穿越次数之和N=0： 注意：这里对应的ω变化范围是 注意：这里对应的 变化范围是 0 → +∞ 。
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奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件是， 闭环系统稳定的充分必要条件是，G( jω)H( jω) 平面上的开环频率特性， 平面上的开环频率特性，按逆时针方向包围 点P 周。 当位于S平面右半部的开环极点数P= P=0 当位于S平面右半部的开环极点数P=0时，即当系 统的开环传递函数的全部极点均位于S 统的开环传递函数的全部极点均位于 S 平面左半部 包括原点和虚轴） （包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充分必要条 件是奈氏曲线不包围GH GH平面的 件是奈氏曲线不包围GH平面的 (−1, jο) 点。
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包围临界点（ ， ） 包围临界点（-1，j0）的圈数
R = 2 N = 2( N + − N − ) = 0
开环传递函数的正实部极点数: 开环传递函数的正实部极点数 P = 0
Z = P−R =0 系统稳定。 系统稳定。
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包围临界点（ ， ） 包围临界点（-1，j0）的圈数
Gk ( s ) = G ( s ) H ( s )
闭环传递函数为： 闭环传递函数为：
G(s) Φ( s) = 1 + G ( s) H (s)
令： ( s) = G
M 1 ( s) M (s) , H ( s) = 2 N1 ( s ) N 2 (s)
则开环传递函数为： 则开环传递函数为：
Gk ( s) =
Im
P=2
+
+
− (−1, j0)
ω =∞
0
ω =0
ω
G ( jω ) H ( jω )
Re
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例：已知开环系统的幅相曲线分别如下，试根据奈氏判据判定各系 已知开环系统的幅相曲线分别如下， 统的闭环稳定性，若系统不稳定，确定其s右半平面的闭环极点数 右半平面的闭环极点数。 统的闭环稳定性，若系统不稳定，确定其 右半平面的闭环极点数。
5-3 频域稳定判据
奈魁斯特稳定判据是用开环频率 奈魁斯特稳定判据是用开环频率 特性判别闭环系统的稳定性。 特性判别闭环系统的稳定性。
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一、奈氏判据的数学基础
R(s)
−
G (s ) H (s )
C (s)
如图， 阶系统的开环传递函数为 阶系统的开环传递函数为： 如图，n阶系统的开环传递函数为：
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用辅助函数 F(s)=1+G(s)H(s) 来分析系统的稳定性仍然不大方 实际上， 开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单， 便， 实际上， 开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单， 即 G(s)H(s) = F(s) −1 上式意味着将 平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平面， 上式意味着将F(s)平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平面， 平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平面 即为 GH平面（如下图）。 GH平面（如下图）。 平面
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一种简易的奈氏判据
正、负穿越的概念 G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画 ω = 0 → ∞ 曲线对称实轴。 曲线对称实轴 部分。 部分。 所谓“穿越” 所谓“穿越”是指 轨迹穿过 1 , −∞ ) 段。 (− 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加）， ），用 表示。 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用 N 表示。 + 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少）， ），用 表示。 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用 N − 表示。
(−1, jο)
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[例1]设开环系统传递函数为： Gk ( s) = 例 设开环系统传递函数为 设开环系统传递函数为： ，试用奈氏 2 ( s + 1)( s + 2s + 5) 判据判断闭环系统的稳定性。 判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为 ， 解 ：开环极点为-1， -1 ± j2， 都在 左半平面， 左半平面， ， 都在s左半平面 所以 P=0。奈氏图如右。 。奈氏图如右。 从图中可以看出： 从图中可以看出：奈氏图 顺时针围绕 (-1,j0)点2圈。 点 圈 所以闭环系统在s右半极 所以闭环系统在 右半极 点数为： 点数为： Z=P-R=0-2=-2，闭环系统 ， 是不稳定的。 是不稳定的。