9-10次作业答案
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华东理工大学
复变函数与积分变换作业（第5册）
班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________
第九次作业
教学内容：5.1孤立奇点 5.2.1 留数的定义 5.2.2极点处留数的计算 1．填空题： （1）函数)1(1)(i e z f z
+-=
的全部孤立奇点是
,.......1,0),24
(
2ln 2
1±=++k k i ππ
（2）0=z 是
z
z -sin 1的____三____级极点.
（3）2-=z 是
3
2
3)
4(8--z z 的____三_级极点.
（4）若()f z 在0z 点解析，0z 是()g z 的本性极点，0z 是()()f z g z ⋅的_本性_奇点,
是
()()
f z
g z 的___本性__奇点.
（5）=]0,1cos [Res z
z 2
1
2．指出下列函数的奇点及其类型（不考虑∞点），若是极点，指出它的级. (1)
21n
n
z
z
+;
解：由,1,01-==+n
n
z z 得)
1,,1,0()12(-==+n k e
z i
n
k k π
为原式一级极点。
(2)
z
z )
1(ln +
解1：10,1
)
1()1ln(0
1
<<+-=
+∑∞
=+z n z
z n n n
，
∑∞
=+-=
+0
1
)
1()
1ln(n n
n
n z
z
z 无负幂项，故0
=z
为其可去奇点。 解2：1)
1(1lim
)
1ln(lim
=+=+→→z z
z z z ，故0=z 为可去奇点。
(3)1z
z
e
-
解：由于1z
z e -∑∞
=---+---=
==0
11
1
111)
1()
1(1
n n
n z z
z z e
e e e ，所以1=z 为本性奇点。
(4)
3
sin z z
;
解：0=z 为z sin 的一级零点，而0=z 为3z 的三级零点，故0=z 为
3
sin z
z 的二级极点。
01sin lim
sin lim 0
3
2
≠==→→z
z z
z z
z z ，故0=z 为
3
sin z
z 的二级极点。
(5)
2
1(1)
z
z e -;
解：因),!
32
1()!
1(12
++
+
=+=-∑
∞
=z
z z n z
z e n n
z
故0=z 为
2
1(1)
z
z e -的三级极点，而
,2,1,2±±==k i k z π均为一级极点。
(6)
2
sin z
e z z
解：由于
2
sin z
e z z
z
z
e z
z z e z
z
...)
!
31(....)
!
3(2
2
3
+-
=
+-=
所以1sin lim 2
=⋅
→z
z e z z
z ，因此 0z =是一级极点
3 证明：如果0z 是()f z 的(1)m m >级零点，那么0z 是()f z '的1m -级零点. 证明：0z 是()f z 的()1m m >级零点，可设()()()0m
f z z z z ϕ=-，
其中()z ϕ在0z 点解析，且()00z ϕ'≠，
()()
()()()1
00m m
f z m z z z z z z ϕϕ-''=-+-
令()()()()0z m z z z z φϕϕ'=+-， 则()()
()1
0m f z z z z φ-'=-，
因为()z ϕ在0z 点解析，所以()z φ也在0z 点解析，且()00z ϕ≠，所以
()()000z m z φϕ=≠，即0z 是()f z '的1m -级零点。
4 求下列函数在各有限奇点的留数. (1)
241z
e z
-;
解：
223
4
4114822!3!z
e z z
z z
z ⎛⎫-=---- ⎪⎝⎭
()1
4R e ,03
s f
z c -==-
⎡⎤⎣⎦；
(2)
cos z
z i
-;
解：i z =为一级极点
==--=-→i i
z z i z i i
z z i
z cos cos )
(lim ],cos [
Res 1cosh
(3)
2
3
1(1)
z +;
解：i z ±=为三级极点
=
+-=+→])
1(1)
[(lim
],)
1(1[
Re 3
2
3
2
23
2
z i z dz
d i z s i
z 316
i -
=
++=-+-→])
1(1)
[(lim
],)
1(1[Re 3
2
3
2
232
z i z dz
d i z s i
z 316
i
(4)2
1sin
z z
;
解：()(
)2
2
21
011sin
21!n
n n z z z
n z ∞
+=-=
+∑，