高考数学考试大纲变化对照.doc

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数学高考考试说明三大变化

2019年数学高考考试说明三大变化作者：罗彦东《2019年普通高等学校招生考试全国统一考试大纲的说明》(以下简称《考试说明》)与往年比有3处变化：变化1：今年的《考试说明》的45页第2行有“了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式”，往年的考试说明中此处要求是“了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)”，去掉了“不要求记忆公式”的要求。

变化2：今年的《考试说明》的47页第10行有“理解样本数据标准差的意义和作用”去掉了往年的“理解样本数据标准差的意义和作用(不要求记忆公式)”中的“不要求记忆公式”的要求。

变化3：今年的《考试说明》的54页第3行有“能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程”，往年的考试说明中此处要求是“能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程”，去掉了“如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆”的具体说明。

死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。

但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

这些变化考生应予注意，往年高考(微博)有些数学公式(如球的体积公式、几何体的表面积和体积公式、统计概率等相关公式都不要求考生记忆，主要的参考公式)都印在试卷上，但从去年开始就已经不再给出这些公式了。

死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。

其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

数学二考试大纲2024

数学二考试大纲2024一、考试概况数学二考试是2024年中学毕业生高考数学科目中的一部分，属于高等数学知识的延伸和扩展。

本次考试旨在考察学生对数学理论和实践应用的综合能力，重点检验学生在数学建模、数据分析和解决实际问题方面的能力。

二、考试要点1. 数学推理与证明本部分重点考察学生对数学定理和命题的理解与应用能力。

要求学生能够灵活运用数学推理和证明方法，以解决数学问题。

2. 函数与方程本部分重点考察学生对函数与方程的理解与应用能力。

要求学生能够熟练掌握常见函数的性质、图像和变换规律，并能运用函数的知识解决实际问题。

3. 三角学本部分重点考察学生对三角函数、三角恒等式和三角方程的掌握与应用能力。

要求学生能够理解三角函数的定义、性质和图像，能够熟练运用三角函数解决三角关系和实际问题。

4. 数列与数学归纳法本部分重点考察学生对数列与数学归纳法的理解与应用能力。

要求学生能够熟练掌握常见数列的性质与变化规律，并能运用数学归纳法解决数列相关问题。

5. 导数与微分本部分重点考察学生对导数与微分的理解与应用能力。

要求学生能够熟练掌握导数的计算方法和性质，并能灵活运用导数解决函数的极值、曲线的切线等相关问题。

6. 不定积分本部分重点考察学生对不定积分的理解与应用能力。

要求学生能够熟练掌握不定积分的基本规则与计算方法，并能运用不定积分解决相关问题。

7. 几何与向量本部分重点考察学生对几何与向量的理解与应用能力。

要求学生能够熟练掌握几何图形的性质与关系，并能运用向量解决平面几何和空间几何相关问题。

8. 概率与统计本部分重点考察学生对概率与统计的理解与应用能力。

要求学生能够熟练掌握概率计算方法和统计分析技巧，并能运用概率与统计解决实际问题。

三、考试要求1. 考试时间数学二考试共计120分钟，考试时间自9:00开始，至11:00结束。

考试期间严禁学生携带通讯工具，如手机、平板电脑等。

2. 考试形式本次考试采用闭卷形式，学生需自备数学工具、文具和计算器等必要物品。

2020年高考数学《考试大纲》新解理.docx

2020 年高考理科数学《考试大纲》新解《考试大纲》是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的依据. 国家教育部有关部门每年都邀请专家，依据高校人才选拔需求、国家课程标准调整以及考生实际水平变化，对《考试大纲》进行修订，以适应高校对新生基本能力和综合素质的要求.日前教育部考试中心函件《关于 2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》（教试中心函﹝2020﹞ 179 号），公布了 2020 年高考各学科考试大纲的修订内容，其中数学学科的修订内容如下：1．在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求，同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体. 具体内容详见（二）考纲综合解读中的第二点内容. 2．在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”，其余 2 个选考模块的内容和范围都不变，考生从“坐标系与参数方程”“不等式选讲” 2 个模块中任选 1 个作答 . 具体内容详见（二）考纲综合解读中的第三点内容 .“一不变”：核心考点不变2020 年的高考中，核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等.在选择题或填空题中，集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、线性规划、平面向量、数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频考点 . 在解答题中，除数列和三角函数轮流命题外，立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数与不等式、选考内容仍然是必考内容 .备考锦囊1．函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系. 首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；2．选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；3．求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或不等式，用函数的定义域或值域或解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；4．恒成立问题或它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复、不遗漏；5．圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系求解，使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别式；6．求椭圆或双曲线的离心率，建立关于a、 b、 c 之间的关系等式即可；7．求三角函数的周期、单调区间或最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；8．数列的题目与和有关，优选作差的方法；解答的时候注意使用通项公式及前n 项和公式，体会方程的思想；9．导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；10．概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；“二变”：数学文化解读名师解读教育部考试中心函件《关于2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用. 比如，在数学中增加数学文化的内容”因此我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.样题展示一、数学文化与算法【例 1】在《算法统宗》中有一“以碗知僧”的问题，具体如下“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧.”记该寺内的僧侣人数为S0，运行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为A． 414B． 504C． 462D． 540【答案】 C【例 2】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为，则输入的a的值为214593189 A．8B．16C．32D．64【答案】 C【解析】起始：m2a 3 ， i 1 ，第一次循环：m2(2a3)34a 9， i 2 ；第二次循环：m2(4 a9)38a 21， i3；第三次循环：m2(8a21)3 16 a45， i 4 ；接着可得93m2(16a45)332a 93，此时跳出循环，输出m的值为32a93 ．令 32a93，解得a32 ，故选 C．二、数学文化与数列【例 3】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为5345A．3 钱B．2 钱C．3钱D．4钱【答案】C【例 4】《孙子算经》是中国古代重要的数学专著，其中记载了一道有趣的数学问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”则这个数学问题中动物有 ______________只．（数字作答）【答案】 590490【解析】由题意，知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项a 19，公比q 9的等比数列a n，其通项公式为 a n 9 9n 19na 5 a 6 95 96 951 9 590490（只）．，则动物的数量为三、数学文化与概率统计【例 5】欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见 “行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为 1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为49A ． 9B ． 44C ． 9D ． 4【答案】 Ar2(1.5)29 (cm 2 )0.520.251(cm 2 )【解析】圆的面积为216 ，正方形的面积为4，所以油（油滴14P49 9的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为16，故选 A.【例 6】南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率 π3.1415927之间，的值在 3.1415926与成为世界上第一个把圆周率的值精确到7 位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平 . 我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子，在正方形中的 80 颗豆子中，落在圆内的有64 颗，则估算圆周率的值为A ． 3.1B ．3.14C ． 3.15 D．3.2【答案】 D四、数学文化与立体几何【例 7】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语。

高考新课标大纲及解读：数学

高考新课标大纲及解读：数学2021年高考考试说明(课程规范实验版)数学(文)I.考试性质普通初等学校招生全国一致考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参与的选拔性考试.初等学校依据考生效果.按己确定的招生方案。

德、智、体片面权衡.择优录取.因此.高考应具有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度.Ⅱ.考试内容依据普通初等学校正重生文明素质的要求，依据中华人民共和国教育部2021年公布的«普通搞好总课程方案(实验)»和«普通高中数学课程规范(实验)»的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。

数学科考试，要发扬数学作为主要基础学科的作用，要调查考生对中学的基础知、基本技艺的掌握水平，要考察考生对数学思想方法和数学实质的了解水平，要调查考生进入初等学校继续学习的潜能。

一、考核目的与要求1.知识要求知识是指«普通高中数学课程规范(实脸)»(以下简称«课程规范»)中所规则的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法期、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括依照一定顺序与步孩停止运其。

处置数据、绘制图表等基本技艺.各局部知识的全体要求及其定位参照«课程规范»相应模块的有关说明对知识的要求依次是了解、了解、掌握三个层次。

(1)了解:要求对所列知识的含义有初步的、理性的看法.知道这一知识内容是什么，依照一定的顺序和步骤照样模拟，并能(或会)在有关的效果中识别和看法它.这一层次所触及的主要行为动词有:了解，知道、识别，模拟，会求、会解等.(2)了解:要求对所列知识内容有较深入的理性看法.知道知知识间的逻辑关系，可以对所列知识做正确的描画说明并用数学言语表达，可以应用所学的知识内容对有关效果停止比拟、判别、讨论，具有应用所学知识处置复杂效果的才干。

这一层次所触及的主要行为动词有：描画，说明，表达，推测、想象。

年高考数学考试大纲

2020年高考数学考试大纲：出现新考点题型有变化考纲摘录知识要求对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次，分别用A，B，C 表示。

（1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能解决相关的简单问题；（2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，并加以解决；（3）掌握（C）：要求系统地掌握知识的内在联系，能够利用所学知识对具有一定综合性的问题进行分析、研究、讨论，并加以解决。

试题类型全卷分选择题、填空题、解答题三种题型。

选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程。

文、理科全卷题型、题量和赋分分别如下：试卷结构文科卷：1.全卷22道试题均为必做题；2.试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题7道，每道5分，共35分；解答题5道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共65分。

理科卷：1.全卷22道试题，分为必做题和选做题。

其中，20道试题为必做题，在填空题中设置2道选做题（需要考生在这2道选做题中选择一道作答，若两道都选，按前一道作答结果计分），即考生共需作答21道试题；2.试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题6道，每道5分，考生需作答5道，共25分；解答题6道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共75分；试题按难度（难度=实测平均分/满分）分为容易题、中等题和难题. 难度在0.70以上的题为容易题，难度在0.40-0.70之间（包括0.40和0.70）的题为中等题，难度在0.40以下的题为难题。

控制三种难度的试题的合适分值比例，试卷总体难度适中。

题型变化对文科生影响更明显武钢三中高三数学组王老师在评点2012年新高考大纲时直言“变化很大”，这些变化既包括出现的新考点，也包括题型上的调整。

高考数学《考试大纲》解读

高考数学《考试大纲》解读2017年高考数学《考试大纲》解读2017年高考考纲做了较大修订，有三大变化，增加了中华传统文化的考核内容，完善了考核目标，调整了考试内容。

那么，数学考纲有哪些调整呢?以下是店铺搜索整理的关于2017年高考数学考试大纲解读，供参考。

一、考试内容与范围在考试内容与范围方面，删去了选修4—1里的“几何证明选讲”。

删去的理由：几何证明选讲考察的是初中平面几何的知识，作为基础知识，可以在立体几何、解析几何知识中考察，不需要再单独设置专题考察，同时在以前的教学大纲和2017年修订的课程标准中都不包含。

选考模块的试题由三道变为两道，可以说减轻了师生备考的负担，对于大多数学生来讲，可以从原来面对平面几何题较为尴尬的境地解放了出来！可以更具有针对性的复习备考另外两个选考模块。

针对新考纲中删去了选考模块“几何证明选讲”的内容，北京大学数学科学学院教授刘和平认为，这体现了削枝强干，减少重复考查，强化学科体系的导向以及对数学教育的更深层次的认识。

“数学能力，包括推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力等，是一种综合的能力，其培养训练应体现在数学教学的全过程，对数学各种能力的考查应体现在数学学科完整的知识体系中。

考查内容删去‘几何证明选讲’模块并不意味削弱了对推理论证能力的考查。

”刘和平强调。

总的来说，从试卷的难易程度来说并没有太大的变化，对于使用全国课标卷的考生来说，有利的影响：这样的修改无异于帮助所有考生缩小备考范围，提高了我们备考选做题的效率；不利的因素：最后一个大题的选择性减少，我们在备考阶段的聚焦点只能在“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”两部分下功夫。

二、考核目标与要求在考核目标与要求方面，考纲对能力要求的内涵进行了修改，增加了基础性、综合性、应用性和创新性的要求，增加了对数学文化的`要求。

同时对能力要求进行了加细说明，使得能力要求更加明确具体。

在整个考纲的修改部分，特别强调了要增加对于数学文化的考查，实际上在近年的高考新课标卷中对于这一点的考查已明显加强，2016年就已经有所体现，全国课标卷中选择题部分对于多项式的考查，就很好的说明了全国课标卷对于这种题型的命题意图是通过解题让学生感受中国的传统文化之美并予以传承。

2019高考数学全国卷《考纲》变化解读

全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析2019年高考数学全国卷《考试大纲》和《考试说明》变化解读2019年1月31日教育部考试中心官方网站正式发布2019年版高考全国卷《考试大纲》数学《考试大纲》有2处变化：变化1:" I考核目标与要求“第一句2018年版：“根据普通高等学校对新生文化素质的要求“改为2019年版：“根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求“变化2:" I考核目标与要求“最后一句2018年版：“努力实现全面考查综合数学素养的要求“改为2019年版：“努力实现全面考查综合数学素养的要求，促进新生德智体美劳全面发展”理科数学《考试说明》有2处变化：在“统计与概率“知识模块，增加2道例题：2018年全国1卷理10题（数学文化题）2018年全国田卷理18题（开放题）文科数学《考试说明》有1处变化：在“统计与概率“知识模块，增加1道例题：2018年全国田卷文18题（开放题）2018年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第11题）已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，=++++)50()3()2()1(f f f f （）A．-50B．0C．2D．50【分析】本题是高考中比较典型的题型，涉及抽象函数的奇偶性、对称性和周期性问题.注意到题设条件)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+可知，函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，从而)(x f 的周期为4.再利用周期性求解即可.【解析】解法1：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,故()()f x f x -=-且(0)0f =.又(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+.从而(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=.于是函数)(x f 的周期为4，且(4)(2)(0)0f f f =-==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C．解法2：因为)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+，所以函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，且函数)(x f 的周期为4.不妨设()sin 2f x A x π=，由(1)2f =得2A =，()2sin 2f x x π=.于是3(1)(2)(3)(4)2sin 2sin 2sin 2sin 2022f f f f ππππ+++=+++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C．【评注】若对于小题中含周期性的问题通常可以考虑构造sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++.函数图象的对称性问题是近十年高考数学全国卷每年必考的问题，因此要熟悉函数图象的对称性的有关性质，详见本书第7章例2.例2（理科第12题）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的左、右焦点，A是椭圆左顶点，点P 在过点A 且斜率为63的直线上，21F PF ∆为等腰三角形， 12021=∠P F F ，则C 的离心率为（）A．32B．21C．31D．41【分析】求椭圆C 的离心率的关键是建立,,a b c 间的等量关系，本题题设条件很多，路径宽广.【解析】因为21F PF ∆为等腰三角形，︒=∠12021P F F ，所以c F F PF 2212==，设(,)P x y ，则2cos602x c c c =+= ，2sin 603y c c == ，所以(2,3)P c c ，又(,0)A a -，6323=+=ac c k AP ，所以c a 4=，41=e ，故选D．【评注】本题可推广到一般：已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为k 的直线上,12PF F ∆满足212PF F F =且12F F P α∠=,则C 的离心率2sin (2cos 1)ke k αα=+-.例3（文科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与底面所成的角为30，若SAB ∆的面积为8，则该圆锥的体积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，圆锥的高h 和底面半径r ，再代入圆锥的体积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h .因为母线SB SA ,互相垂直，所以SAB ∆的面积为：8212=l ，所以4=l .又因为SA 与圆锥底面所成角为30，所以2,32==h r ，所以该圆锥的体积为2183V r h ππ==.【评注】求圆锥的体积即求圆锥的底面半径和高，要注意圆锥的轴截面中母线长，高和底面半径构成直角三角形.例4（理科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为87，SA 与圆锥底面所成角为45，若SAB ∆的面积为155，则该圆锥的侧面积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，底面半径r ，再代入圆锥的侧面积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r .因为母线SA ，SB 所成角的余弦值7cos 8ASB ∠=，所以15sin 8ASB ∠=.因为SAB ∆的面积为21sin 5152l ASB ∠=，所以280l =.因为SA 与圆锥底面所成角为30，所以22r l =.圆锥的侧面积为224022S rl l πππ===.【评注】例3和例4为姊妹题，可推广到一般：已知圆锥顶点为P ，母线,PA PB 所成角的角为(0)θθπ<<，PA 与圆锥底面所成角为02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.若PAB ∆的面积为S ，则该圆锥的侧面积为2cos =sin S S πϕθ侧，体积为sin 2cos 23sin sin SV πϕϕθθ=.例5（文科第21题）已知函数)1(31)(23++-=x x a x x f .（Ⅰ）若3=a ，求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：)(x f 只有一个零点.【分析】第（Ⅰ）问利用()f x '正负，写出)(x f 的单调区间.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，一般利用函数的单调性和零点存在定理来判断.【解析】（Ⅰ）当3a =时，321()3(1)3f x x x x =-++，36)(2--='x x x f .令()0f x '=，解得323x =-或323x =+.当(,323)(323,)x ∈-∞-++∞ 时，()0f x '>；当(323,323)x ∈-+时，()0f x '<.故()f x 单调递增区间为)323,(--∞，),323(+∞+；)(x f 的单调递减区间为)323,323(+-．（Ⅱ）证法1：由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++.设32()31x g x a x x =-++，则2222(23)()0(1)x x x g x x x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点，从而()f x 至多有一个零点.又22111(31)626()0366f a a a a -=-+-=---<,1(31)03f a +=>.故()f x 有一个零点.综上，()f x 只有一个零点.证法2：由于210x x ++>，所以()f x 只有一个零点等价于32()3(1)x g x a x x =-++只有一个零点.因为2222(23)()03(1)x x x g x x x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点.又1(31)03g a a a --<---<，1(91)09g a a a +>+->.故()g x 只有一个零点.从而()f x 只有一个零点.【评注】解决函数零点个数问题一般要用函数零点存在定理，而应用函数零点存在定理的关键就是准确迅速找到函数零点所在的区间，这也是高考的重点和难点．观察函数)1(31)(23++-=x x a x x f 的结构特征，注意到321(1)(1)x x x x -=-++，可得2(1)(31)1()33x x x a f x ++--=+，1(31)03f a +=>.要使()0f x <，只需2(1)(31)1x x x a ++--<-，注意到221331()244x x x ++=++≥，所以只需4313x a --<-，即133x a <-，为了便于计算取31x a =-，得22111(31)626()0366f a a a a -=-+-=---<，这就是第（Ⅱ）问证法1寻找函数零点所在的区间的思考过程.注意到当1x >时，22013xx x <++<，22113xx x >++，()9x g x a >-，要使()0g x >，只需9x a >，取91x a =+即可；当1x <-时，2201x x x <++<，2211x x x >++，()3xg x a <-，要使()0g x <，只需3x a <，取31x a =--即可，这就是第（Ⅱ）问证法2寻找函数零点所在的区间的思考过程.例6（理科第21题）已知函数2()x f x e ax =-.（Ⅰ）若1=a ，证明：当0≥x 时，1)(≥x f ；（Ⅱ）若)(x f 在),0(+∞只有一个零点，求a .【分析】第（Ⅰ）问适当变形构造函数，利用函数最值证明，或直接二次求导，利用函数最值证明.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，可利用函数的单调性和零点存在定理来判断进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当1a =时，()1f x ≥等价于2(+1)10x x e --≤.设2()(+1)1x g x x e -=-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--.当1x ≠时，()0g x '<.所以()g x 在(0,)+∞单调递减.而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥.证法2：当1a =时，()1f x ≥等价于21+1xe x ≥.设2()+1xe g x x =，则222(1)()(1)x x e g x x -'=+.当1x ≠时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞单调递增.而(0)1g =，故当0x ≥时，()1g x ≥，即()1f x ≥.证法3：当1a =时，2()x f x e x =-，则()2xf x e x '=-，()2xf x e ''=-.当(0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '在(0,ln 2)单调递减，当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '在(ln 2,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，ln 2()(ln 2)2ln 222ln 20f x f e ''≥=-=->，()f x 在(0,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)1f x f ≥=.即当0≥x 时，1)(≥x f .（Ⅱ）解法1：设函数2()1x h x ax e -=-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，()(2)x h x ax x e -'=-.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故24(2)1ah e =-是()h x 在[0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点.由（Ⅰ）知，当0x >时，2xe x >，所以33342241616161(4)11110()(2)a a a a a h a e e a a=-=->-=->故()h x 在(2,4)a 有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法2：设函数2()xe h x a x=-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，3(2)()xx e h x x -'=.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)4e h a =-是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，在(0,2)内存在11x a =，使得1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法3：（1）当0a ≤时，()0f x >，()f x 没有零点；（2）当0a >时，设函数()2ln ln h x x x a =--，则2()x h x x-'=，且()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)ln 4e h a=是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即204e a <<，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24ea >，在(0,2)内存在11x a=，使得1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.【评注】第（Ⅱ）问解法2中1()0h x >的计算过程是1121()(1)01()aaeh a a e a a=-=->，2()0h x >的计算过程是2743322224422()()10()ae a a a e e e e a h ae a a a a ae a e e a a=->-=⋅->⋅-=；解法3中1()0h x >的计算过程是1111()2lnln 0h a aaaa=--=>，2()0h x >的计算过程是222()2ln ln 743ln 4(1)3(ln )0h ae ae ae a a a a a a =-->--=-+->.30分钟限时训练练习1已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．2C．3D．2【解析】设两个圆的圆心分别为1O ，2O ，球心为O ，两圆的公共弦为AB ，其中点为E ，则四边形12O OO E 为矩形，于是对角线12O O OE =.而2222213OE OA AE =-=-=，所以123O O =，故选C．练习2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行．类似地，空间中一个四棱柱为平行六面体的一个充要条件是_________.【解析】两组相对侧面分别平行.（本题为开放题，答案不唯一）练习3设函数sin ()2cos xf x x=+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++.当222233k x k ππππ-<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；当242233k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<.因此)(x f 在每一个区间222,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）内是增函数，)(x f 在每一个区间242,233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）内是减函数.（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x g x a a x x x +'=-=-++++.故当13a ≥时，()0g x '≥.又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，即()f x ax ≤.当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-.故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得当0[0,)x x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在0[0,)x 上单调递增.故当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，于是当0(0,)x x ∈时，sin sin ()2cos 3x xf x ax x =>>+.当0a ≤时，有10222f a ππ⎛⎫=>≥⋅ ⎪⎝⎭.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（本章作者：张国治、聂文喜、杨续亮、侯有岐、汪仁林）高考数学全国卷备考策略请见《全国高考数学考什么：高考数学压轴题全解全析》！该书对近十年高考数学课标全国卷进行了深入分析：追根溯源，抽丝剥茧，揭秘命题规律；小题活做，大题精做，传授解题策略！进淘宝、京东、当当、亚马逊搜“全国高考数学考什么”！2018年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）压轴题解析例1（文科第12题）设函数20,()1 0,x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（）A．(]1-∞，B．()0+∞，C．()10-，D．()0-∞，【分析】本题考查分段函数及不等式的解法，既可以利用零点分段法进行分类讨论，也可以利用函数的图象采用数形结合加以解决，还可以利用函数单调性求解．【解析】因为当0x ≤时，()f x 单调递减且()1f x ≥；当0x >时，()1f x =，所以(1)(2)f x f x +<等价于210x x <+≤或201x x <<+，解得1x ≤-或10x -<<，所以0x <，故选D.【评注】本题深刻考查函数单调性的概念，函数的单调性具有“双向性”：既能通过自变量的大小推出函数值的大小，也能通过函数值的大小推出自变量的大小.李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”在复习备考过程中要注意深刻理解核心概念，准确把握概念的内涵和外延.另外，本题与2017年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）文科第16题理科第15题类似，详见本书第5章例3.例2（理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．334B．233C．324D．32【分析】本题关键是构造出合理的图形，认清截面图形的特点．对于截面面积最值的处理，既可以建立严格的函数关系，从函数的最值角度入手定量分析解决，也可以从最值取得的条件（即特殊位置）入手定性分析解决．【解析】解法1：正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即正方体中同一个顶点出发的三条棱所在直线与平面α所成的角都相等.如图，易知平面'ACD 满足题意，再将其平移至平面EFGHIJ ．设EF GH IJ x ===，根据对称性与相似可得，2FG HI JE x ===-，故六边形EFGHIJ 的周长为定值．所以当2x x =-，即22x =时，截面EFGHIJ 是正六边形，2max32336424S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故选A．解法2：如图，建立空间直角坐标系D xyz -．因为正方体的12条棱可以分为三组，分别与单位向量(1,0,0)=a ，(0,1,0)=b ，(0,0,1)=c 互相平行．设截面EFGHIJ 的法向量为(,,)x y z =n ，当每条棱所在直线与平面α所成的角都相等时，满足⋅⋅⋅==a n b n c n |a ||n ||b ||n ||c ||n |，即222222222x y zx y z x y z x y z==++++++，令1x y ==，则截面EFGHIJ 的法向量(1,1,1)=n ．设截面EFGHIJ 与三个坐标轴的交点分别为,,R S T ，令DR DS DT t ===，易知RS ST TR ==，即RST ∆是等边三角形，同时REJ ∆也是等边三角形．于是2()2(1)RJ DR DA t =-=-，23(1)2REJ S t ∆=-．同理23(1)2SFG S t ∆=-，23(1)2THI S t ∆=-，又232RST S t ∆=，所以截面EFGHIJ 面积22233333(1)(263)222RST REJ S S S t t t t ∆∆=-=--=-+-．于是当32t =时，max 33324S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选A ．【评注】解答本题的一个关键是平面α处于什么位置时，正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，其实人教A 版必修2课本多次出现这个几何模型，如第57页例2的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第11题理科第11题也是源于此图；再如第79页第2题的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第18题也是源于此图.所以，在复习备考过程中，要注意回归课本.解答本题的另一个关键是平面α处于什么位置时，α截此正方体所得截面的面积最大，如果注意到正方体的对称性，不难猜想：当平面α过正方体的中心，且与各棱交点为相应棱的中点时，截面的面积最大，此时截面是正六边形，不难得到正确答案．例3（文科第16题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．【分析】注意到题设条件2228b c a +-=符合余弦定理中222cos 2b c a A bc+-=的结构特征，从而容易想到求ABC △的面积应选择公式1sin 2ABC S bc A =△，进而想到要利用正弦定理将题设条件sin sin 4sin sin b C c B a B C +=化边为角.【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，因为sin sin 0B C ≠，所以1sin 2A =.因为2228b c a +-=，由余弦定理得2224cos 02b c a A bcbc +-==>，所以3cos 2A =，83bc =，118123sin 22233ABC S bc A ==⨯⨯=△．【评注】在解三角形有关问题时，如果涉及到边角关系，那么可以利用正弦定理或余弦定理进行边角互化．到底是化边为角还是化角为边，要根据题设具体问题具体分析.例4（理科第16题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．【分析】对于函数最值问题的处理，我们通常优先考虑利用导数或均值不等式．【解析】解法1：2()2cos 2cos 22cos 2(2cos 1)2(cos 1)(2cos 1)f x x x x x x x '=+=+-=+-.令()0f x '>，得1cos 2x >，即()f x 在2,233k k ππ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递增；令()0f x '<，得1cos 2x <，即()f x 在52,233k k ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递减.则min 33()232f x f k ππ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭．解法2：因为()2sin 2sin cos 2sin (1cos )f x x x x x x =+=+,所以2223()4sin (1cos )4(1cos )(1cos )f x x x x x =+=-+4(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )3x x x x =-+++44(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )34x x x x -++++++⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦44327324⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．当且仅当33cos 1cos x x -=+，即1cos 2x =时，取等于号．根据()()f x f x -=-可知，()f x 是奇函数，于是3333(),22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，min 33()2f x =-，此时3sin 2x =-，1cos 2x =．解法3：()2sin 2sin cos f x x x x =+222sin 2sin cos 3(sin cos 1)x x x x x =+++-2223233333cos 2sin cos sin sin 2sin 3322x x x x x x =+++++-22323333(3cos sin )(sin )3322x x x =+++-332≥-当且仅当3cos sin 0,3sin 0,2x x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即23x k ππ=-，k ∈Z 时，()f x 取得最小值332-.【评注】若注意到()f x 是周期函数，周期为2π，且()f x 是奇函数，当[0,]x π∈时，()0f x ≥，则只需要求函数()f x 在区间[,0]π-上的最小值，容易利用导数求得min 33()32f x f π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭．本题与2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题类似，都是利用导数或均值不等式求函数最值问题，详见本书第4章例4.解法3利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分析式子的结构，堪称妙法.类似的题目可参考本书主编发表在《中学数学》（高中版）2015年第7期上的文章《巧用配方法妙解调考题》.例5（文科第21题）已知函数()ln 1xf x ae x =--．（Ⅰ）设2x =是)(x f 的极值点，求a ，并讨论)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【分析】（Ⅰ）先求出()f x '，由(2)0f '=求a ，再由()f x '的正负，写出)(x f 的单调区间.（Ⅱ）常规思路是转化为证明()f x 的最小值min ()0f x ≥．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()xf x ae x '=-.由题设知，(2)0f '=，所以212a e =.从而21()ln 12x f x e x -=--，211()2x f x e x-'=-.当02x <<时，0)(<'x f ；当2x >时，0)(>'x f .所以)(x f 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．（Ⅱ）证法1：当1a e ≥时，()ln 1x e f x x e ≥--.设()ln 1xeg x x e =--，则1()x e g x e x '=-.当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()(1)0g x g ≥=.故()(1)0f x f ≥=.因此，当1a e≥时，()0f x ≥.证法2：当1a e ≥时，1()ln 1x f x e x -≥--，故只需证明当1a e =时，()0f x ≥，即要证1ln 1x e x -≥+.设1()x g x e x -=-，则1()1x g x e -'=-.当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．因为(1)0g =，所以1x ex -≥，当且仅当1x =时取等号．不等式两边取对数的1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．从而ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号．所以1ln 1x ex -≥+．所以当1a e≥时，()0f x ≥．证法3：当1a e≥时，()0f x ≥等价于ln 1x ae x x x +³.设函数()x ae g x x =（1a e≥），则2(1)()xa x e g x x -'=.所以当(0,1)x Î时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.故()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为(1)1g ae =³.设函数ln 1()x h x x+=，则2ln ()x h x x '=-.所以当(0,1)x Î时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<.故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为(1)1h =综上，当1a e ≥，0x >时，()()g x h x ³，即()0f x ≥．证法4：当1a e≥时，()0f x ≥等价于ln 1xx a e +³.设函数ln 1()xx g x e+=，则1ln 1()x x x g x e --'=.设函数1()ln 1h x x x=--，则211()h x x x '=--.所以当(0,)x Î+¥时，()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.因为(1)0h =，所以当(0,1)x Î时，()0h x >，从而()0g x '>，()g x 在(0,1)单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，从而()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减.从而()g x 在(0,)+∞的最大值为1(1)g e=.又因为1a e≥，所以()a g x ³，即()0f x ≥．【评注】本题与2013年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）理科第21题如出一辙，第（Ⅰ）问解法和第（Ⅱ）问的证法1和证法2也与该题完全类似，详见本书第13章例6.第（Ⅱ）问的证法3与2014年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的证法1类似，详见本书第12章例6.第（Ⅱ）问的证法4与2013年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的解法2类似，详见本书第14章例6.例6（理科第21题）已知函数1()ln f x x a x x=-+．（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】第（Ⅰ）问先求出导函数()f x '的零点，进而对参数a 进行分类讨论，得到()f x的单调性；第（Ⅱ）问要注意()f x 有两个极值点1x ，2x 的隐含条件2a >且121x x =，将不等式1212()()2f x f x a x x -<--等价转化为当12x x <时，22212ln 0x x x -+<或11112ln 0x x x -+>，而这就是要研究函数1()2ln g x x x x=-+的单调性，此时利用第（Ⅰ）问的结果即可.【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-.（1）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时，()0f x '=，所以)(x f 在(0,)+∞单调递减．（2）若2a >，令()0f x '=得，242a a x --=或242a a x +-=．当2244(0,)(,)22a a a a x --+-∈+∞ 时，0)(<'x f ；当2244(,)22a a a a x --+-∈时，0)(>'x f .所以)(x f 分别在24(0,)2a a --，24(,)2a a +-+∞单调递减，在2244(,)22a a a a --+-单调递增．（Ⅱ）证法1：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--．证法2：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则101x <<．由于12121211212121211()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ---=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于11112ln 0x x x -+>.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(0,1)x ∈时，()0g x >．所以11112ln 0x x x -+>，即1212()()2f x f x a x x -<--．【评注】对于含有两个变量的不等式，一般转化为只含有一个变量的不等式，并构造函数结合单调性进行证明，本题与2011年高考数学湖南卷文科第22题如出一辙，通过分析和解析，我们容易发现，本题实际上就是要证明11ln ()2x x x >-（01x <<）或11ln ()2x x x<-（1x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.30分钟限时训练练习1设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+ ，[1.)x ∈+∞，则当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是（）A．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．[)284,28,563⎛⎫ ⎪⎝⎭ D．16284,,2833⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦【解析】由题设知[)883,,2,256,2,3.(1)x x x C x x x ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎪∈⎪-⎩因为函数8x C 在区间3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭和[)2,3上分别单调递减，且328163C =，2828C =，所以当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选D．练习2对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,,}m m n ++ （m 是给定的正整数，且22m n ≤≤-），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于_________.【解析】当1i j m ≤<≤时，21ij mP C =，这样的ij P 共有2m C 个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为2211m m C C ⋅=；当1m i j n +≤<≤时，21ij n mP C -=，这样的ij P 共有2n m C -个，故所有ij P （1m i j n +≤<≤）的和为2211n m n mC C --⋅=；当1,1i m m j n ≤≤+≤≤时，4()ij P m n m =-，这样的ij P 共有()m n m -个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为4()4()m n m m n m ⋅-=-；综上所述，所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于6.练习3已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的n *∈N 都成立（其中e 是自然对数的底数），求α的最大值.【解析】（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(1,)-+∞，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)x x x x x x xf x x x x ++++--'=-=+++.设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-.令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211xh x x x'=-=-++.当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以()h x 在0x =处取得极大值，而(0)0h =，所以()0g x '<（0x ≠），函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数.于是，当10x -<<时，()(0)0g x g >=；当0x >时，()(0)0g x g <=.所以，当10x -<<时，()0f x '>，)(x f 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0f x '<，)(x f 在(0,)+∞上为减函数.故函数)(x f 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞.（Ⅱ）不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭等价于不等式1()ln 11n n α⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭.由111n +>知，11ln 1n n α≤-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.设11()ln(1)G x x x=-+，(0,1]x ∈，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++.由（Ⅰ）知，22ln (1)01x x x+-≤+，即22(1)ln (1)0x x x ++-≤.所以()0G x '<，(0,1]x ∈.于是()G x 在(0,1]上为减函数.故函数()G x 在(0,1]上的最小值为1(1)1ln 2G =-.综上所述，α的最大值为11ln 2-.（本章作者：杨瑞强）高考数学全国卷备考策略请见《全国高考数学考什么：高考数学压轴题全解全析》！该书对近十年高考数学课标全国卷进行了深入分析：追根溯源，抽丝剥茧，揭秘命题规律；小题活做，大题精做，传授解题策略！进淘宝、京东、当当、亚马逊搜“全国高考数学考什么”！2018年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第10题）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A．123B．183C．243D．543【分析】本题考查三棱锥的外接球问题，求三棱锥D ABC -体积的最大值，底面积已知，关键是求三棱锥D ABC -的高的最大值.【解析】如图，设球心为O ，ABC ∆的外接圆的圆心为1O ，则当球心O 在线段1DO 上时，三棱锥ABC D -的体积最大．因为ABC ∆的面积3960sin 212=⋅⋅=∆ AB S ABC ，所以6=AB .所以ABC ∆的外接圆的半径为1232sin 60ABO A ==．所以球心O 到平面ABC 的距离2222114(23)2OO OA O A =-=-=．所以三棱锥D ABC -的高的最大值11426DO DO OO =+=+=．所以三棱锥D ABC -体积的最大值16931833D ABC V -=⨯⨯=.故选B.【评注】三棱锥的外接球问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第16题，详见本书第4章例3，三棱锥的体积最值问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题，详见本书第4章例4，本题可以看成是由以上两题改编而成.例2（理科第12题）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A．0a b ab +<<B．0ab a b <+<C．0a b ab +<<D．0ab a b<<+【分析】比较大小的常用方法是作差法和作商法，注意到a ，b 是两个底数不同，真数相同的对数，可考虑利用对数函数的单调性和对数换底公式.【解析】解法1：因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，22log 0.3log 0.5<，所以01a <<，1b <-，从而0a b +<，0ab <.又因为0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b ab a b+=+=+=，0.30.30.3log 1log 0.4log 0.3<<，所以01a bab+<<，从而0ab a b <+<，故选B.解法2：因为0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.4log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ⋅+=+=+=<⋅，0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.3log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ab ⋅=⋅=⋅=<⋅，ln 0.3ln 0.4ln 0.3ln 0.3ln 0.3(ln 0.4ln 0.3)0ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ab ⋅⋅-+-=-=>⋅⋅⋅，所以0ab a b <+<，故选B.【评注】虽然是选择题压轴题，但考查却都是通性通法，导向鲜明.例3（文科第16题）已知2()ln(1)1f x x x =+-+，4)(=a f ，则=-)(a f _____．【分析】已知()f a 求()f a -，容易想到利用函数的奇偶性或直接利用函数的解析式.【解析】解法1：因为2()ln(1)1f a a a =+-+，2()ln(1)1f a a a -=+++，所以22()()ln(1)1ln(1)12f a f a a a a a +-=+-+++++=，因为4)(=a f ，所以()2f a -=-．解法2：设2()ln(1)g x x x =+-，则1)()(+=x g x f .因为22()()ln(1)ln(1)0g x g x x x x x +-=+-+++=，所以21)(1)()()(=+-++=-+a g a g a f a f ，又因为4)(=a f ，所以2)(-=-a f ．【评注】一个奇函数与一个常数的和在高考数学全国卷中曾多次考查，例如2012年高考数学全国卷文科第16题，详见本书第15章例3.例4（理科第16题）已知点)1,1(-M 和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若90=∠AMB ，=k _____．【分析】解答本题的关键是将条件90=∠AMB 合理转化，转化的途径很多，如0=⋅MB MA ，1MA MB k k ⋅=-，222MA MB AB +=，点M 在以线段AB 为直径的圆上等.【解析】解法1：设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，代入x y 42=，得0)42(2222=++-k x k x k .设),(),,(2211y x B y x A ，则222142kk x x +=+，121=x x .因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA )1)(1()1)(1(2121----+++=k kx k kx x x 022))(1()1(2212212=++++-+-+=k k x x k k x x k .将222142kk x x +=+，121=x x 代入上式整理得，0442=+-k k ，所以2=k ．解法2：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+，124y y =-.因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA 1212(2)(2)(1)(1)ty ty y y =+++--21212(1)+(21)()50t y y t y y =+-++=．将t y y 421=+，124y y =-，代入上式整理得，01442=+-t t ，所以21=t ,2=k ．解法3：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+.设线段AB 的中点为N ，则12(,2)2x x N t +,因为以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，90=∠AMB ，所以M 为切点，所以21t =,21=t ,2=k ．【评注】比较解法1和解法2，对于抛物线2:2C y px =而言，一般设直线方程为x ty a =+，计算量要小一点.抛物线的焦点弦有很多常用性质，如能灵活运用，可以有效减少计算量.本题与2013年高考数学大纲全国卷理科第11题如出一辙，试题如下：已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若0=⋅MB MA ，则=k （）A．12B．22C．2D．2将这两道题推广到一般，即可得到抛物线焦点弦的一个性质：已知点0(,)2p M y -和抛物线22(0)C y px p =>：，过C 的焦点作斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若90=∠AMB ，0pk y =．例5（文科第21题）已知函数xex ax x f 1)(2-+=.（Ⅰ）求)(x f y =在(0,1)-处的切线方程；（Ⅱ）证明：当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【分析】第（Ⅰ）问由导数的几何意义，容易求出.第（Ⅱ）问注意到当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210xx x e e +-+≥.【解析】（Ⅰ）2(21)2()exax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=．（Ⅱ）证法1：当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1e x g x x x +=+-+，则1()21e x g x x +'=++．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．证法2：当1a ≥时，≥+e x f )(e x x e x+-+12．令,1)(2e e x x x g x +-+=则xex x x g )2)(1()(-+-='．当1x <-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当21<<-x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；当2>x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减.所以当2x <时，()(1)0g x g ≥-=，又当2x ≥时，0)(>x g ，所以()0g x ≥，即当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【评注】比较第（Ⅱ）问两种证法，都注意到了当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210xx x e e +-+≥，证法1还注意到了0xe >，进一步转化证明211e 0x x x ++-+≥，更胜一筹.例6（理科第21题）已知函数x x ax x x f 2)1ln()2()(2-+++=．（Ⅰ）若0=a ，证明：当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f ；（Ⅱ）若0=x 是()f x 的极大值，求a .【分析】第（Ⅰ）问注意到(0)0f =．利用导数研究函数()f x 的单调性即可证明．第（Ⅱ）问要充分利用(0)0f =和0=x 是()f x 的极大值这两个条件，注意到()f x 解析式的结构特征，可考虑构造函数22()ln(1)2xh x x x ax =+-++，也可考虑多次求导，使得求导后的有关函数解析式中不再出现ln(1)x +，从而便于求出极值，进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当0=a 时，x x x x f 2)1ln()2()(-++=，()ln(1)1x f x x x'=+-+.设()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2)1()(x x x g +='.当01<<-x 时，0)(<'x g ，当0>x 时，0)(>'x g .故当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，当且仅当0=x 时，0)(=x g ，从而0)(≥'x f ，当且仅当0=x 时，0)(='x f .所以)(x f 在),1(+∞-上单调递增.又0)0(=f ，故当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .证法2：当0=a 时，2()(2)ln(1)2(2)ln(1)2x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦.设2()ln(1)2xg x x x=+-+，则222()0(1)(2)x g x x x '=≥++，仅当0x =时等号成立.所以()g x 在),1(+∞-上单调递增.又(0)0g =，故当01<<-x 时，()0g x <；当0>x 时，()0g x >.因为20x +>，所以当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .（Ⅱ）解法1：（1）若0≥a ，由（Ⅰ）知，当0>x 时，)0(02)1ln()2()(f x x x x f =>-++≥，这与0=x 是()x f 的极大值点矛盾.（2）若0<a ，设函数2222)1ln(2)()(ax x x x axx x f x h ++-+=++=.由于当1min{1,}x a<时，022>++ax x ，故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x x ax ++-++++'=-=++++++.如果016>+a ，则当a a x 4160+-<<，且1min{1,}x a<时，0)(>'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016<+a ，则016422=+++a ax x a 存在根01<x ，故当)0,(1x x ∈，且1min{1,}x a<时，0)(<'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016=+a ，则223)126)(1()24()(--+-='x x x x x x h .则当01<<-x 时，0)(>'x h ，当10<<x 时，0)(<'x h ，所以0=x 是)(x h 的极大值点，从而0=x 是)(x f 的极大值点.综上，61-=a .解法2：因为2'()(21)ln(1)1ax xf x ax x x -=++++，且'(0)0f =.令2()(21)ln(1)1ax xg x ax x x -=++++，则2(341)'()2ln(1)(1)ax a x g x a x x ++=+++，且'(0)0g =.令2(341)()2ln(1)(1)ax a x h x a x x ++=+++，则232661'()(1)ax ax x a h x x +-++=+.令'(0)0h =，则16a =-.下面证明，当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点.当16a =-时，31(6)3'()(1)x x h x x -+=+.当(1,0)x ∈-时，'()0h x >，()h x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减.所以当(1,)x ∈-+∞时，'()()(0)0g x h x h =≤=，()g x 在(1,)-+∞上单调递减.所以当(1,0)x ∈-时，'()g()g(0)0f x x =>=，()f x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()g()g(0)0f x x =<=，()f x 在(0,)+∞上单调递减.所以0x =是()f x 的极大值点.综上，16a =-.【评注】本题第（Ⅰ）问实际上就是要证明2ln(1)2xx x +<+（10x -<<）或2ln(1)2xx x +>+（0x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.第（Ⅱ）问解法1的关键一步是通过构造函数)(x h ，将函数)(x f 的极大值点转化为)(x h 的极大值点，由于函数()f x 的定义域为()1,-+∞，当0a <时，适当放缩获得0的一个邻域.因为222+1+x ax ax +>，故可以令21+0ax >可得1x a<，所以当1min{1,}x a <时，22+0x ax +>，使得故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.解法2的关键一步是通过多次求导，先利用必要条件求出参数a 的值，再证明所求a 的值满足充分性.构造函数和多次求导是破解高考导数压轴题的有效策略，详见本书第2章例7和例10.30分钟限时训练。

新高考大纲变化数学

新高考大纲变化数学
新高考数学大纲的变化主要表现在以下几个方面：
1. 总体变化：新教材知识点设置走向全国卷考试大纲。

使用新教材后，从各区统考、市重月考题的难易度来看，2023年高考数学卷的难易度上升，接近全国卷的概率较高。

2. 必修一反函数部分在新教材中中标星级，不再作为考察点。

有些普高学校不再教反函数的内容。

3. 必修二旧教材高一教三角函数和数列，新教材是三角函数、复数和向量。

三角函数的部分没什么变化，追加了积化和差和差化的积式。

在新教材中，目标选择的多个三角表示形式和辐角的主值变多，意味着多个三角表示可以在大问题上直接使用。

在平面矢量一章中明确了三角形重心坐标的求法，这意味着重心公式可以直接使用。

4. 增加对于数学文化的考查。

在近年的高考新课标卷中对于这一点的考查已明显加强，2016年就已经有所体现。

全国课标卷中选择题部分对于多项式的考查，就很好的说明了全国课标卷对于这种题型的命题意图是通过解题让学生感受中国的传统文化之美并予以传承。

总的来说，新高考数学大纲的变化更加强调数学的实际应用和文化内涵，同时也增加了对于学生数学思维和能力的考查。

2020北京高三数学高考考试大纲说明及解析素材

其中空间想象能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力分别和旧考试说明中的空间想象能力、运算能力、分析问题和解决问题的要求基本一致.抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力为新增能力.
推理论证能力是伴随着课标中推理与证明的内容产生的，课标指出，推理与证明的内容是对学生已经学过的基本证明方法的总结，所以对于这部分内容我们更加注重方法层面的考查，注重各种推理与证明方法的应用，而对概念的抽象表述不做过多追究。
√表示现行《考试说明》的要求；△或☆表示原《考试说明》的要求，用☆，√表示提高要求，用√，△意味降低要求； ◇表示新增的考点.
理科二、考试范围与要求层次
考试内容1
要求层次
A
B
C
集合与
常用逻辑用语
集合
集合的含义
√
△
集合的表示
√
集合间的基本关系
√
集合的基本运算
√
常用
逻辑
用语
“若，则 ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题
一、总体分析：
1.试卷结构：
全卷共20题，分为选择题、填空题和解答题三种题型。三种题型题目的个数分别为8、6、6，分值分别为40、30、80.试卷由容易题、中等题、难题组成，并以中等题为主，总体难度适当.2020年北京市数学高考试卷不设选做题.
2.考试内容：
2020年北京高考数学理科考试含19个板块内容，其中包括课标必修的5个模块和选修系列2、选修系列4的4-1和4-4.其中，对选修系列4中的4-1及4-4内容，试题将按照实际难度排列在试卷中，题型为选择题或填空题，分值为10分.文科数学考试含16个板块内容，其中包含课标中必修的5个模块及选修系列１的相关内容.
条件概率
√
事件的独立性

普通高中数学新课标与旧考试大纲的对比分析(值得细读)

普通高中数学新课标与旧考试大纲的对比分析1．2 基本初等函数(I)1.3 函数的应用2.1空间几何体2．2 点、直线、平面之间的位置关系2．3 直线与方程2．4 圆与方程3.1 算法初步3．2 统计3．3 概率4．1 三角函数4．2 平面向量4.3 三角恒等变换5．1 解三角形5．2 数列5．3不等式选修1-1选修1—2选修2—1选修2—2选修2—3普通高中新课标与旧考试大纲相比提高、降低的要求及增、减点１、函数与基本初等函数增加了幂函数❖用二分法求方程近似解❖函数模型及其应用❖对于分段函数要求学生能掌握和应用❖要求对分段函数的理解和运用．❖对于反函数降低了教学要求，只是把指数函数和对数函数作为反函数的具体例子，❖不要求学生掌握反函数的一般定义，也不要求求某个函数的反函数。

❖对求函数定义域和值域降低了要求2、平面解几初步，立体几何初步❖增加了空间直角坐标系，简单几何体的三视图，要求掌握柱、锥、台、球及其简单组合体的特征性质；❖降低要求的内容有三垂线定理，不把它作为定理提出，而只作为例题出现。

❖对球的表面积、体积公式由掌握变为了解，降低了要求．❖课标要求了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式，大纲则不作要求．❖文科：对空间角、距离的求法不作要求。

理科：强调空间向量的应用。

3、算法❖是新增的必修内容.是数学及其应用的重要部分，又是计算机科学的重要基础；❖了解算法的意义，利用逻辑框图表示解决问题的过程，理解逻辑框图的三种基本逻辑结构顺序、条件分支、循环；❖掌握五种基本的算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句；❖统计增加了茎叶图，并要求了解最小二乘法的思想。

4、三角函数，平面向量，三角变换❖三角函数中，删减了知三角函数值求角。

❖在平面向量内容中删减了线段的定比分点公式，以及坐标平移公式等。

❖在三角恒等变换内容中，要求能推导和、差、二倍角的正弦余弦正切公式，并能推导和差化积、积化和差以及半角公式等，但不要求记忆。

2024新高考数学考纲

2024年新高考数学考纲一、数学基础知识数学基础知识是高考数学考试的重要内容，涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面。

考生需要掌握以下内容：1. 代数部分：（1）函数：包括函数的定义、函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数的应用等。

（2）数列：包括等差数列、等比数列的通项公式、求和公式等。

（3）不等式：包括不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明等。

（4）解析几何：包括直线、圆、椭圆、双曲线的方程和性质等。

2. 几何部分：（1）平面几何：包括三角形、四边形、圆等图形的性质和判定等。

（2）立体几何：包括空间点、线、面的关系，空间几何体的性质和判定等。

3. 概率与统计部分：（1）概率：包括事件的概率、独立事件的概率、条件概率等。

（2）统计：包括数据的收集、整理、分析、描述等。

二、几何与空间几何与空间部分主要考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力，考生需要掌握以下内容：1. 平面几何：包括三角形的重心坐标、四边形的对角线长度相等、圆的半径相等等基本性质。

2. 立体几何：包括空间点、线、面的关系，空间几何体的性质和判定等。

在解题过程中，考生需要能够将几何问题转化为代数问题，运用方程的思想解决几何问题。

3. 解析几何：包括直线与圆的位置关系，椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质等。

在解题过程中，考生需要能够将几何问题转化为代数问题，运用方程的思想解决几何问题。

4. 空间向量：包括空间向量的加减运算、数乘运算、数量积运算等基本运算规则。

在解题过程中，考生需要能够运用空间向量的运算规则解决空间位置关系问题。

5. 图形变换：包括平移变换、旋转变换等基本变换规则。

在解题过程中，考生需要能够运用图形变换的规则解决几何作图和判断问题。

6. 圆的性质：包括圆的标准方程、一般方程和参数方程的求法，直线与圆的位置关系等。

在解题过程中，考生需要能够运用圆的性质解决直线与圆的位置关系问题。