凸优化理论与应用-内点法PPT课件

题的 m / t 次优解。
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8
阀方法
初始化：给定严格可行解 x ，t 0 ， 1 ，及 0
LOOP：
中心步骤：以 x 为初始点求解优化问题 x*(t) ，
minimize tf0(x) (x)
subject to Ax b 迭代： x x* (t)
subject to fi (x) s,i 1,..., m Ax b
迭代终止条件：当前解 s(k) 0 ，即终止迭代，严格可 行解为 x(k ) 。
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1 ( x), t
t

0
subject to Ax b
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4
对数阀函数
对数阀函数 (x)是凸函数
对数阀函数二阶连续可微，导数为：
( x)

m i 1

1 fi (
x)
fi
(
x)
2(x)
m i 1
1 fi (x)2
fi (x)fi (x)T

m i 1
凸优化理论与应用
第10章 内点法
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1
不等式约束优化问题
问题描述：minimize f0 (x) subject to fi (x) 0,i 1,..., m Ax b
fi (x) 为凸函数，且二次连续可微，且 A R pn , p n, rankA p
假设最优值 p*存在； 假设存在 x%domf ，满足严格不等式条件 fi (x) 0

1 fi (x)
2
fi (x)
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中心线
对数阀近似问题的等价问题：
minimize tf0 (x) (x),t 0
subject to Ax b 最优解为 x*(t) ，则最优解集 {x*(t) | t 0} 称为优化问
题的中心线。
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6
中心线的对偶点
设 x x*(t) ，则存在 w 满足KKT条件：
tf0 (x)
m i 1

1 fi (x)
fi (x)

AT w

0,
Ax

b
令
i*
(t)


tfi
1 (x*
(t))
,
*
(t)

w
/
t
则 x x*(t) 是拉格朗日函数L(x, *(t), *(t)) 的最小值
解。
m
L(x, *(t), *(t)) f0 (x) i*(t) fi (x) *(t)( Ax b)
终止条件：若 m/ t ，则终止退出。
更新 t ：t t
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收敛性分析
外层循环迭代次数：
log(m /( t(0) ))

log

中心步骤实质为一个无约束或等式约束优化问题，其收 敛性分析与相应优化问题的收敛性分析结果一致。

设 x 为对数阀问题的可行解，则牛顿方向
问题的解 满足：
xnt 和对偶
t2
f0
(
x) A
2
(
x)
AT 0

xnt

vnt



tf0
(x) 0
( x)

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10
例：
LP问题：m 100, n 50
初始值： t (0) 1, 106
近似替代。
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对数阀函数
对于 t 0 ，1/ t log(u) 是 I (u) 的光滑逼近。且 当 t 时，有
1/ t log(u) I (u)
令
m
(x) log( fi (x))
i 1
带示性函数的优化问题可近似为：
minimize
f0 ( x)
i 1
Байду номын сангаас
(*(t), *(t)) 为对偶问题的可行解。
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中心线的对偶点
设 p* 为原始问题的最优值，则有：
p* g(*(t), *(t)) L(x*(t), *(t), *(t))
f0 (x*(t)) m / t
因此，当 t 时，有 f0 (x*(t)) p*。x*(t) 为原始问
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第一阶段方法
对于不等式约束的优化问题，如何寻找严格可行解或验 证不可解？
求解优化问题：minimize s
subject to fi (x) s,i 1,..., m
Ax b 该问题最优解存在，假设最优值为 p*
当 p* 0 时，存在严格可行解； 当 p* 0 时，原始问题不可解； 当 p* 0 时，无法准确确定。
则优化问题具有强对偶性，其对偶问题亦可解。
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2
不等式约束的消去
示性函数消去不等式约束：
m
minimize f0 (x) I ( fi (x)) i 1
subject to Ax b
0 u 0 I (u) u 0
I (u) 不具备良好的连续可微性，考虑用对数阀函数来
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第一阶段方法
优化目标为逐项之和：
minimize 1T s subject to fi (x) si ,i 1,..., m
Ax b 对于固定的 x ，si max{ fi (x), 0}
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寻找严格可行解的方法
牛顿法求解优化问题：
minimize s