9平衡态与分子热运动的统计规律习题思考题

有压强为的理想气体，右边为真空。在隔板上有一面积为的小孔，求打 开小孔后左右两边压强和与时间的关系（已知单位时间与器壁单位面积 相撞的分子数为）。 解：由可知，当温度保持不变时，压强变化是由的改变而引起的. 设小孔未打开时，左边容器内的总分子数为，打开小孔秒后，右边分子 数为，则此时左边容器内的分子数为. 由已知条件在时间内从左边运动到右边的分子数：， 同理：在时间内从右边运动到左边的分子数：. 这样，在时间内左边分子数净减少： . 而，所以得：，当时，. 积分得：。故：左边的压强. 由，右边的压强：
9-6．氦气、氧气分子数均为，，速率分布曲线如图，且阴影面积为， 求：（1）哪条是氦气的速率分布曲线？
（2）； （3）的意义？ （4）为多少？对应的物理意义是什么？ 答：（1）由可知，对于氧气和氦气，即使，氦气的还是大于氧气，所 以图形中，大的曲线是氦气，即B图是氦气的； （2）； （3）的意义：在这速率附近、速率区间dv内的氦气和氧气的分子数相 同； （4）为在v0右边的两曲线的面积差乘以N，
9-11．已知某种理想气体，其分子方均根率为，当其压强为时，求气体 的密度。
解： ∵，由气体方程：，
又∵，∴。
9-12．容器的体积为2V0，绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个部 分，A内储有1mol单原子理想气体，B内储有2mol双原子理想气 体，A、B两部分的压强均为p0。
（1）求A、B两部分气体各自的内能； （2）现抽出绝热板C，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温 度。 解：（1）由理想气体内能公式： A中气体为1mol单原子理想气体：， B中气体为2mol双原子理想气体：； （2）混合前总内能：， 混合后内能不变，设温度为，有： ∴； 9-13．金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体 分子类似），设金属中共有个自由电子，其中电子的最大速率为 ，电子 速率在之间的概率为：，式中为常数．则电子的平均速率为多少？ 解：由平均速率的定义：，考虑到：， 有： 。
那么内能之比为： 。 9-9．水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2O→H2+0.5O2，内能增加 了多少？ 解：水蒸气分解后，一份的水分子的内能变成了1.5份的双原子的内 能，而水分子的自由度为6，氢气和氧气作为刚性双原子分子，其自由 度均为5，利用气体内能公式：，所以内能的变化为： 。 9-10．体积为的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时 间后，测得瓶中气体的压强为，此时氧气的内能为多少？ 解：由理想气体状态方程：，以及双原子气体内能公式：， 可得到： 。
9-19．理想气体分子沿方向的速度分布函数：，试据此推导压强公式。 （已知：） 解：设方向垂直于容器壁。单位面积内速度处于到速度分量的分子数 为，在时间内与器壁上碰撞的次数为，每一次器壁给一个分子的冲量， 压强，用积分形式表示： 令，上式可写成： 得证。
思考题 9-1．气体在平衡状态时有何特征？平衡态与稳定态有什么不同？气体 的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同？ 答：平衡态的特征：
9-4．容器内有质量为，摩尔质量为的理想气体，设容器以速度作定向 运动，今使容器突然停止，问：（1）气体的定向运动机械能转化什么 形式的能量？（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少？单 原子分子；②双原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度， 那么容器内理想气体的温度是否还会改变?为什么? 答：（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是 当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以 及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升 高。
习题9 9-1．在容积的容器中盛有理想气体，气体密度为=1.3g/L。容器与大气 相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm。若温度不变，求排出气 体的质量。 解：根据题意，可知：，，。 由于温度不变，∴，有：， 那么，逃出的气体在下体积为：， 这部分气体在下体积为： 则排除的气体的质量为： 。 根据题意，可得：，
9-16．在麦克斯韦分布下，（1）计算温度和时氧气分子最可几速率 和；（2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间内的分子 数占总分子数的比率；（3）计算时氧分子在处单位速率区间内分子数 占总分子的比率。 解：根据最可几速率的定义： （1）温度：，
：；
（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就 是麦克斯韦分布函数：
对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念； 从一个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算 分子的平均速度都用到了统计平均的概念； 压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对 大量分子对时间对面积的一个统计平均值。对一个分子而言，它对器壁 的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为 持续的均匀压强。
9-2．有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如 果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中 央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少？ 解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用，知两气 体摩尔数相同，即：，∴，代入数据有： 。
9-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用 一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水 银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，则氮气的温度 应是多少？
（2），所以：，温度增加多少，其速度平方的平均值也做相应的 增加。
（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集 体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系 的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．所以当容 器再从静止加速到原来速度，那么容器内理想气体的温度不会改变。 9.5．叙述下列式的物理意义： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 答：（1）在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由 度上的能量均为； （2）在平衡态下，分子平均平动动能； （3）在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量； （4）1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为； （5）由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内 能为。 （6）由质量为m，摩尔质量为M，自由度为i的分子组成的系统的内能 的变化为。
（1）系统与外界在宏观上无能量和物质的交换 （2）系统的宏观性质不随时间改变。 热平衡态是指：在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过 足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。 它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。 1．平衡态是一种热动平衡状态。处在平衡态的大量分子并不是静止 的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但 是系统的宏观量不随时间改变。
例如：粒子数问题： 箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越
界线，但两侧粒wenku.baidu.com数相同。 2．平衡态是一种理想状态。
9-2．对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小 面增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两 种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别? 答：有区别。从微观上看：
个；
【或：】 （3）所有个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式：
由平均速率定义：，有：
； （4）速率大于的那些分子的平均速率： 。 9-15．理想气体分子沿方向的速度分布函数：，试据此推导压强公式 （已知：）。 解：由于压强为，关键在求出个分子在方向上速度分量平方的平均 值：，
而： 故： 。
9-14．大量粒子（个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速 率小于的分子数约为多少？（2）速率处在到之间的分子数约为多少？ （3）所有个粒子的平均速率为多少？（4）速率大于的那些分子的平均 速率为多少？ 解：根据图像信息，注意到。 图形所围的面积为分子的全部数目，有： ，所以，利用 ，有：，。 （1）速率小于的分子数：个； （2）速率处在到之间的分子数：
（1）分子数密度； （2）分子间的平均距离； （3）分子的平均平动动能； （4）分子的方均根速度。 解：（1）由气体状态方程得： ； （2）分子间的平均距离可近似计算：； （3）分子的平均平动动能：； （4）分子的方均根速度： 。 9-8．在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦 气的体积比，则其内能之比为多少？ 解：根据，有：，因题设条件为，，可得：，又∵氦气是单原子分子， 知：，
解：已知氮气和氧气质量相同，水银滴停留在管的正中央， 则体积和压强相同，如图。 由：，有：， 而：，，可得： 。
9-4．高压氧瓶：，，每天用，，为保证瓶内，能用几天？ 解：由，可得：， ∴； 而：，有：， 那么：能用的天数为天 。
9-5．如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为的大气中。在 封闭端加热达，另一端保持，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端， 并使管子冷却到，求管内压强。 解：根据题意，管子一端，另一端保持， 所以，温度沿管长线性分布，设管长为，函数关系为： ，其中：。 由公式：，考虑到金属管上端开口，有：， ∴ 当封闭开口端，并使管子冷却到时，有 ，而， 再考虑到管子封闭前后的不变，有： 。 9-6．氢分子的质量为，如果每秒有个氢分子沿着与容器器壁的法线成 角的方向以的速率撞击在面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的 压强为多少？ 解：由：，再根据气体压强公式：，有： 。 9-7．一容器内储有氧气，其压强，温度，求容器内氧气的
，代入： ，代入：； （3）计算时氧分子在处单位速率区间内分子数占总分子的比率。 将，代入： 得： 。 9-17．试将质量为的单原子理想气体速率分布函数改写成按动能分布的 函数形式，然后求出其最可几动能及平均动能。 解：由于，而分子速率在和之间的概率； = 最可几动能必须满足：，得 平均动能 。
9-18．一容器体积为，一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛
当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：当一定 时，体积减小，n越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P就越 大；
当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：当n一定时，越 大，即单位时间内分子对器壁的碰撞越厉害，则P就越大。
9-3．在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的 分子模型?什么地方用到了平衡态的概念?什么地方用到了统计平均的概 念？压强的微观统计意义是什么? 答：压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来 研究；
对应的物理意义是v0→∞的速率区间内氦气分子比氧气分子多多少 个。
9-7．两种理想气体分子数分别为和，某一温度下，速率分布函数分别 为 和，问此温度下和组成系统的速率分布函数如何？
答：。