理科数学参考答案及评分标准

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高三理科数学试卷(含答案)

理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是相交．三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分（Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ．（Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值．解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分（Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ，在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分（Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -．则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？（II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24．故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=．当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分由已知，AM AN ⊥ ，且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。

高二数学(理科)参考答案及评分标准

2007-2008学年第二学期高中学业质量监测高二数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 9．6 10． 3，2 11．(1,)+∞ 12．53 13；1()2-a +b c 14．88，228．（有两空者，第一空2分，第二空3分）15．（本小题满分12分）本题主要考查椭圆的定义、标准方程等基础知识．解：（1）设椭圆C 的方程为：22221x y a b+=（0)a b >>， ………2分而椭圆经过点A (0,4) ，则2222041+=a b∴4=b ………4分而椭圆C 的左、右焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，则3c =， …………5分∴5a = ………6分所以椭圆C 的方程为2212516x y += ………7分（2）由椭圆定义知：122PF PF a +=，即 1210PF PF += ………9分而16F F = ， ………10分则12PF F ∆的周长为 121210616P F P F F F ++=+=因此， 12PF F ∆的周长为16 …………12分 16．（本小题满分12分）本题主要考查归纳推理、合情猜想的能力以及简单的演绎推理能力．解: （1）11sin 30sin(30120)sin(30240)1022++++=+-=， ………3分sin 60sin(60120)sin(60240)00++++== ……… 6分（2）sin sin(120)sin(240)0ααα++++= ……… 9分证明：左边sin sin cos120cos sin120sin[180(60)]αααα=+++++111sin sin sin(60)sin sin sin 0222ααααααααα=-+-+=-+-= 因此，等式成立． ……… 12分（注：第（2）问答案不唯一，如α，β，γ构成公差为23π的等差数列，则sin sin sin 0αβγ++=） 16．（本小题满分14分）本题主要考查立体几何的的基础知识以及利用向量解决立体几何的能力．解:(1)证明:连结DE ,BE ,连AC ,DB 交于点O ,连结OE ……… 2分在PAC ∆中, ,E O 点分别是PC 、AC 的中点∴EO 是PAC ∆的中位线EO PA //∴ ……… 4分而⊂EO 平面EDB ，PA ⊄平面EDB∴ PA//平面EDB. ……… 6分(2)方法1:以,,为方向向量建立空间直角座标系xyz D -(如图), ……… 7分依题意，D (0,0,0)，P (0,0,2), ,B (1,2,0),C (0,2,0),E (0,1,1),()()0,2,1,1,1,0==DB DE , ……… 9分设平面EBD 的法向量为()z y x ,,=则⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅y x y z y x z y DE n 202000, 取1-=y 的()1,1,2-=. ……… 11分平面CBD 的法向量为()2,0,0=, ……… 12分cos ,⋅=n DPn DP n DP……… 13分201010cos ,⨯+-⨯+⨯=== n DP . 则二面角E —BD —C 大小的余弦值是.66……… 14分方法2: PD=DC=2,AD=1,过点E 作EH ⊥DC 于H, P D ⊥底面ABCD,PD ⊂平面PDC,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD,又平面PDC ⋂底面ABCD=CD,⊥∴EH 平面ABCD.过点H 作HM ⊥DB 于点M,连EM,由三垂线定理知EMH ∠即是所求二面角的平面角. ……… 8分在∆∆Rt 和DMH Rt DCB 中,DCB MDH ∠=∠,∴ DMH Rt ∆～∆Rt DCB,，BCMHDB DH =∴1.CD 21DH 1PD 21EH PC E EH//PD CD PD CD EH PDC ====∴∴⊥⊥，的中点，是，又，，中，在平面 DB=.512CB CD 2222=+=+ ……… 10分，51511DB BC DH MH =⨯=⋅=∴ ……… 12分在∆Rt EHM 中,.5511tan ===∠MHEH EMH∴cos EMH ∠=∴二面角E —BD —C 大小的余弦值是.66……… 14分 18．（本小题满分14分）本题主要考查数学期望以及条件概率的基础知识和基本运算，考查分析问题和解决问题的能力．解：（1）X 的可能取值为2，3，4，5，6； …………2分2611(2)15P X C ===， …………3分1122264(3)15C C P X C ===， …………4分112222261(4)3C C C P X C +===， …………5分1122264(5)15C C P X C ===， …………6分2611(6)15P X C ===， …………7分则X 的概率分布列为：14141234564151531515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………9分（2）设抽出的两张都为蓝色卡片的事件为A ，抽取的两张卡片所标数字之和等于4为事件B ，则若已知抽出的都是蓝色卡片，求抽取的两张卡片所标数字之和等于4的概率为(/)P B A …………10分由于()(/)()P AB P B A P A =，而261()P AB C =， …………11分 2326()C P A C =， …………12分则23()11(/)()3P AB P B A P A C ===． …………14分也可以用()1n AB =，23()3n B C ==，则24()21(/)()3P AB P B A P A C ===完成．19．（本小题满分14分）本题主要考查应用导数知识解决实际问题的能力．解：（1）依题意，函数关系式为 2()(43)(13)=---L x x x [8,12]∈x …………4分（2）由于2()(13)2(7)(13)3(13)(9)'=-+--=--L x x x x x x …………6分令()0'=L x ，得13=x ，或9=x ，而[8,12]∈x ，∴9=x …………8分当89<<x 时，()0'>L x ，()L x 在区间(8,9)上为增函数；当912<<x 时，()0'<L x ，()L x 在区间(9,12)上为减函数；∴2(9)(97)(139)32=--=L 为()L x 在(8,12)上的极大值， …………11分又(8)25=L ，(12)5=L ，因此，当9=x 时，()L x 在闭区间[8,12]上取得最大值32， …………13分答：每件产品售价9元时，分公司一年的利润最大，且最大值为32万元．…………14分20．（本小题满分14分）本题主要考查综合导数、数列、抛物线以及不等式等知识解决问题的能力，考查推理能力与创新意识．解：（1）由于24x y =，则214y x =，12y x '=， …………1分抛物线在点(,)n n A x y ，(,)n n n B s t 处的切线的斜率为12n x ，12n s …………3分而抛物线在点(,)n n n A x y ，(,)n n n B s t 处的两切线相互垂直，∴12n x 112n s ⨯=-， …………3分因此4n n x s =-， …………4分（2）显然(0,1)F …………5分由于抛物线在点(,)n n n A x y 处的切线的斜率为12n x ，则抛物线24x y =在点(,)n n n A x y 处的切线方程为 ()2n n n x y y x x -=-，而214n n y x =，则可化为：2124n n x y x x =- ① …………7分同理，抛物线24x y =在点(,)n n n B x y 处的切线为 2124n n s y x s =-，② …………8分联立①、②并注意到4n n x s =-得n n x s x +=，1y =-，即点n C (,1)2nnx s +- …………9分则n FC ==4n n x s =-，则142n n nFC x x ==+， …………10分 ∴2111[1()]111112(12)22(222)2(2)21224221212n n nn k n k FC =--=++++++++=⨯+⨯--∑∴12212nn k n k FC ==-+∑ …………11分当2n ≥时，2122212(1)22nn n k n k FC ==-+≥+-∑，即 12121222nn n k n k FC ==-+≥+∑， …………12分而2n ≥又有：2n =20122(11)2n n n n n n C C C +++≥++=， …………13分因此2113222nnk k n n FC =++≥+≥∑． …………14分也可以用数学归纳法证明：当2n ≥时，2232122nn n n ++-+≥，（1）2n =时，由于292122n n -+=，23922n n ++=，则2232122nn n n ++-+≥成立；（2）假设(2)n k k =≥时不等式成立，即2232122kk k k ++-+≥，当1n k =+时，21212233212(21)12122222k kk k k k k k k ++++-+=-++->⨯-=++，而22k k ++-22(1)132(1)(2)0222k k k k k k ++++--+-==≥，因此22k k ++2(1)132k k ++++≥，从而2232122k k k k ++-+≥，这就是说，当2n ≥时，2232122nn n n ++-+≥．。

高二数学试题(理科)参考答案及评分标准

高二数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13、 22y x = . 14、135-. 15、2212x y +=.16、 m 2≤-三、解答题：17、解：如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则1A B =（0，1，-1），平面11BB D D 的法向量 n =(-1,1,0)， ……3分cos θ〈n, 1A B 11n A B n AB〉==12， …………………………6分⇒〈n,AB 〉=60所以斜线1A B 和对角面11BB D D 所成的角为30. ……………… 10分 18、解：由题意得500CD =米，300DA =米，…………………2分 60CDO ∠=,则在△COD 中 2222cos60OC CD OD CD OD =+- …………………………………………… 7分而300OD OC =-代入上式（略）⇒490044511OC =≈米. 120ADOC1yCx……………………………………………12分（其它方法仿此酌情给分）19、解⑴当过点A 的直线没有斜率时，方程为0x =与抛物线22y x =-切于点（0，0）。

…………………………………………………3分 ⑵当过点A 的直线有斜率时设斜率为k ，方程为2y kx =+，代入22y x =-得：22(21)40kx k x +++=。

………………………………5分①当0k =时，直线为2y =，与抛物线22y x =-只交于一点（-2，2）…7分 ②当0k ≠时，△=0⇒14k =-，⇒ 直线：480x y +-=…………10分综上所述：所求直线方程为0x =和2y =及480x y +-=。

…12分 20、解：(1)因为已知直三棱柱的底面三边分别是3、4、5，所以1,,AC BC CC 两两互相垂直，。

如图以C 为坐标原点,直线1,,CA CB CC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角标系， ……………………………2分则，1(0,0,0),(3,0,0),(0,0,4)C A C 13(0,4,0),(0,4,4),(,2,0)2B B D . ∴1(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=-∴10AC BC = ，∴ 1AC BC ⊥； ……………………………………… 4分（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ,则(0,2,2)E则1131(,0,2),(3,0,4),22DE AC DE AC =-=-⇒= …………… 6分∴DE ∥1AC ， ∵DE ⊂平面1CDB 内，1AC ⊄平面1CDB∴1AC ∥平面1CDB ；…………………………………………… 8分（3）∵11(3,0,4),(0,0,4),AC CB =-= ∴1116AC CB =，119165,16AC CB =+==+=………………… 10分∴1111112cos ,5AC CB AC CB AC CB <>==； ∴所求角的余弦值为5. ………………………………………12分（其它方法仿此酌情给分）21、解（1）由已知,点(P 在椭圆上，所以有22211a b+=，有因为2PM F M +=0,M 在y 轴上，所以M 为2PF 的中点，c ⇒= 3分而222a b c =+，于是222,(1)b b ⇒==-舍去，于是24a ⇒=故所求的椭圆方程为22142x y += . …………………………… 6分（2）00(,)M x y 关于直线2y x =的对称点为111(,)M x y ，∴0101010121222y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得001001435345y x x y x y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 110345x y x ⇒-=-…………………………………………… 9分00(,)P x y 在椭圆:C 221(42x y a +=＞b ＞0)上， ∴0022,10510x x -≤≤∴-≤-≤，则1134x y -的取值范围是[]10,10-.…………………………………………… 12分22、解：由1113,12(2,)5n n n a a a a n n N --+=+=≥∈可知112(2)n n a n a -=-≥，………………………………………… 2分（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，又由条件可推出1111n n b a --=-，…………………………… 4分∴111111(2)11n n n n n a b b n a a -----=-=≥--，又由135a =可求1153215b ==-- ∴数列{}n b 是首项为52-，公差为1的等差数列； …………… 6分（2）由1()1n n b n N a +=∈-可求得11n n a b =+，57(1)122n b n n =-+-⨯=-，∴1172n a n =+-，………………………………………………… 8分考察函数17()722y x x =≠-在区间7(,)2+∞内为单调递减函数，且0y >；在区间7(,)2-∞内为单调递减函数，且0y <；…… 10分 ∴11()72n a n N n +=+∈-中，当3n =时，1n a =-为最小值，当4n =时，43a =为最大值. ………………………………………… 12分。

2023乌鲁木齐高三第二次质量监测理科数学答案

乌鲁木齐地区2023年高三年级第二次质量监测理科数学参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1~5．AADBD 6~10．CACBD 11~12．DB 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．2y x =14．21516三、解答题17．⑴易知()110.118522911P B ==+++，()310P A =()3100P AB =，()()()311000.131010P AB P B A P A ====；…6分⑵列22⨯列联表得参加校外不参加校外合计成绩优秀或良好103040成绩不为优秀或良好204060合计3070100()22100600400500.794 2.7063070406063k K ⨯-===≈<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过为0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关．…12分18．⑴由2n n S a n =+可得11a =-，且2n ≥时，()1121n n S a n --=+-，所以()1212n n a a n -=-≥∴2n ≥时，()1121n n a a --=-，∴数列{}1n a -构成以112a -=-为首项，2q =为公比的等比数列；…6分⑵由⑴知12n n a =-∴()21log 11n n b a n +=-=+∴()()2211111111n n n n n b n =<=-+++，∴21111111111122311nn i iT n n n b =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1n T <成立．…12分⑴证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，11CC A F ⊥,又AB AC =,F 为11B C 中点，∴111A F B C ⊥又1111CC B C C = ，1CC ⊂平面11B C CB ，11B C ⊂平面11B C CB ∴1A F ⊥平面11B C CB ，1B E ⊂平面11B C CB ，∴11A F B E ⊥…4分⑵∵120BAC ∠=︒,12AA AB=以F 为原点，1FC 所在直线为x 轴，1FA 所在直线为y 轴的空间直角坐标系，设2AB a =，1C E b =，则14AA a =，于是(0,0,0)F ,1(0,,0)A a,1(,0,0)B，,0,)E b ，(0,,4)A a a ，∴()()()111,,4,,0,,0,,0AB a a B E b FA a =--==，设平面1AB E 的一个法向量为(),,x y z =m ，有1100AB B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即400ay az bz ++=+=⎪⎩得2463,a a b b ⎫=--⎪⎭m ，又1sin 60cos ,FA ︒==m=，∴134a b =∴1134EC a =，∴34CE a =∴1:3:13CE EC =．…12分20．⑴设00(,)M x y，则0y =02x =又0522px =+，∴1p =，即抛物线C 的方程为22y x =，点M 的坐标为()2,2±；…5分⑵由⑴知(2,2)M ,可设QN l x my n =+：与22y x =联立得：2220y my n --=设221212,,,22y y Q y N y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12122,2y y m y y n +=⋅=-，且222222222MN y k y y -==+-，∴22:2(2)2MN l y x y -=-+∴1221122,2y y y y P y -+⎛⎫⎪⎝⎭，由点P 在直线2+3=0x y -上，可得：12211222302y y y y y -+-+=即：()1212260y y y y -++=，∴2460n m --+=，即：230m n +-=由:0QN l my x n -+=，即:320QN l my x m -+-=∴QN l 过定点()3,2．…12分⑴()21ln a xf x x--'=，令()0f x '=，即1a x e -=，∴()(),,x f x f x '的关系如下表：x()10,ae -1ae -()1,ae-+∞()f x '+0-()f x 极大值∴1a x e -=时，()f x 的极大值为11ae -，()f x 无极小值.…5分⑵由题意得，()1ln 1x x ag x a e x-+=+⋅-，即方程1ln 0x x ax e x a -+⋅--=有4个不相等的实根.令()1ln x h x x ax e x a -=+⋅--，∴()()()111x x x e ax h x xe ----'=令()1x x e ax ϕ-=-，可知要使()h x 有四个零点，则()h x '至少应有三个零点，∴()x ϕ至少有两个零点，()1x x e a ϕ-'=-，其中0x >，①当1a e ≤时，()0x ϕ'≥，则()x ϕ在()0,+∞上单调递增，()x ϕ至多只有一个零点不合题意；②当1a e>时，()0,ln 1x a ∈+时，()0x ϕ'<；()ln 1,x a ∈++∞时，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在()0,ln 1a +上递减，在()ln 1,a ++∞上递增，要使()x ϕ有两个零点，()()ln 11ln 1ln 1ln 0a a e a a a a ϕ+-+=-+=-<，解得1a >此时()110a ϕ=-<，01aea -<<，∴111aae e a a aa ae e a e e e a aϕ-------⎛⎫=-⋅=-⎪ ⎪⎝⎭∵110ae a --<-<，1a -<-，10aea a a e e e a ϕ----⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭，∴()x ϕ在,1a e a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭存在一个零点1x ，且1110x e ax --=下面证明当1x >时，2x e x x >>当1x >时，()210x x x x -=->令()()2,2x x m x e x m x e x '=-=-，令()2x p x e x =-，()2x p x e '=-当1x >时，()0p x '>，()p x 在()1,+∞上递增，()()120p x p e >=->∴()m x 在()1,+∞上递增，()()110m x m e >=->，即2x e x >∵21,11a a e +>->，∴()()()()222122222212220a a ea a a a a a e e a e e a e e e a e a a ϕ++-++++++=-⋅>--⋅>⋅-->⋅+--=∴()x ϕ在()21,a e +存在一个零点2x ，且2120x e ax --=∴()()120,1,x x x ∈ 时，()0h x '<，()()12,1,x x x ∈+∞ 时，()0h x '>∴()h x 在()10,x 和()21,x 上单调递减，在()()12,1,,x x +∞上单调递增∵1ln ln 0aea a a a aa e e e e e h a e a a a a a a a a a -------⎛⎫=+⋅⋅-->++->⎪ ⎪⎝⎭()()222221222ln 22222220a a a a ea a h e e a e e e a e a a a a a ++++-++=+⋅⋅-->-->+--=++>∴只需()()()120100h x h h x <⎧⎪>⎨⎪<⎩，()g x 在()()()21122,,,1,1,,,a a e x x x x ea -+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭各有一个零点其中()110h a a =+->，()111111111ln 1ln 2ln x x e h x x ax e x a x a a aa--=+⋅--=+--=+-令()()12ln ,10t a a a t a a'=+-=-<∴()t a 在()1,+∞上单调递减，()()3ln 310,4ln 420t t =->=-<，存在()03,4a ∈，使得()00t a =，∴当0a a >时，()()120,0h x h x <<又因为a 是整数，∴a 的最小值是4．…12分22.⑴由已知:2sin C ρθ=，∴22sin ρρθ=，即222x y y +=由11222x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得):21l y x -=-20y -+=；…5分⑵将直线参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到222x y y +=中得221314444t t t +++++=+，即)2110t t ++=∴)121t t +=-，则由t 的几何意义可知，122t t PQ +=-=.…10分23.⑴∵1a b c ++=，∴111c 3a b c a b c a b c b a c a ba b c a b c a a b b c c++++++++=++=++++++39≥+∴1119abc++≥；…5分⑵∵,,a b c +∈R ，∴a b a c b c +≥+≥+≥≥2221119a b c a b c ⎫=++=++≥=⎪⎭≥…10分。

高二数学试题参考答案及评分标准(理科)

高二数学试题参考答案及评分标准(理科)一、选择题：(每小题5分，满分50分)CDBAD CBDCA二、填空题：(每小题5分，满分25分)11.真 12.90 13.③④三、解答题(本大题共6小题，满分75分)16.解：∵直线3470x y +-=的斜率为34-，∴直线l 的斜率为34-. ………(3分)设直线l 的方程为34y x b =-+，令0y =，得43x b =；令0x =，得y b =. ………(7分)由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是24，∴142423S b b =⋅||⋅||=，解得6b =±， ………(10分)∴直线l 的方程是364y x =-±(或34240x y +±=). ………(12分)17.证明：⑴(必要性)∵⊿ABC 三个内角成等差数列，不妨设这三个内角依次为B B B αα-+，，，由()()180B B B αα-+++= ，得60B = ，∴⊿ABC 有一个内角等于60 . …………(5分)⑵(充分性)若ABC ∆有一个内角为60 ，不妨设60B = ，则180601202A C B +=-== ， ∴A B B C -=-，∴三个内角A B C ，，成等差数列. …………(10分) 综合⑴⑵得，⊿ABC 三个内角成等差数列的充要条件是有一个内角等于60 . …………(12分) (说明：混淆了必要性与充分性，或未注明必要性与充分性，扣4分) 18.证明：⑴∵BC ABE ⊥平面，AE ABE ⊂平面，∴AE BC ⊥.又∵BF ACE ⊥平面，AE ACE ⊂平面，∴AE BF ⊥. …………(3分) ∵BF BC B = ， ∴AE BCE ⊥平面.又∵BE BCE ⊂平面，∴AE BE ⊥． …………(6分) ⑵取DE 的中点P ，连接PA PN ，.∵点N 为线段CE 的中点，∴PN ∥DC ，且12P N D C =. …………(8分)又∵四边形A B C D 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM ∥DC ，且12AM DC =，∴PN ∥AM ，且P N A M =， ∴四边形A M N P 是平行四边形，∴MN ∥AP . …………(10分) ∵AP ⊂平面D A E ，M N ⊄平面D A E ，∴MN ∥平面D A E ． …………(12分) 19.解：∵O M O N C M C N ==，，∴OC 垂直平分线段MN . ……………(4分)∵2MN k =-，∴12OC k =，∴直线OC 的方程是12y x =，∴212t t =，解得2t =或2t =-. ……………(8分)⑴当2t =时，圆心C 的坐标为(2，1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==<C 相交，符合题意.⑵当2t =-时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==>直线与圆C 相离，不符合题意.………………(11分)综合⑴⑵得，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=. ………………(12分) 20.解：⑴如图，取AB 的中点E ，则//DE BC . ∵BC AC ⊥，∴DE AC ⊥.∵1A D ⊥平面ABC ，∴分别以1DE DC DA ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，得()01 0A -，，，()0 1 0C ，，，()2 1 0B ，，，()10 0 A t ，，，()10 2 C t ，，.由21130AC BA t ⋅=-+=，得t =…………(3分)设平面1A AB 的法向量为()1111n x y z =，，.∵(10 1AA = ，，()2 2 0AB = ，，，∴11111110220n AA y n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩. 设11z =，可得)1n =……………(5分)∴点1C 到平面1A AB的距离111AC n d n ⋅==||||. ……………(7分)(2)再设平面1ABC 的法向量为()2222n x y z =，，.∵(10 1CA =- ，，()2 0 0CB = ，，，∴212222020n CA y n CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩. 设21z =，可得()20n =， ……………(9分)∴121212cos ||||n n n n n n ⋅<>==⋅ ，……………(11分)根据法向量的方向可知，二面角1A ABC --. …………(13分) 21.解：⑴根据题意得22121914ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2243.a b ⎧=⎨=⎩，. …………(2分)∴椭圆C 的方程为 22143x y +=. …………(5分)⑵由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理，得 222(34)84120k x kmx m +++-=.∵直线l 与椭圆C 交于两点，∴0∆>，得22430k m -+> (*)设点A 、B 的坐标分别为1122()()A x y B x y ，，，，则212122284123434km m x x x x k k -+=-⋅=++，. ………………(8分) ∵11A A AB ⊥，∴110A A A B ⋅=. 又∵点1A 的坐标为1(2 0)A ，，∴1212(2)(2)0x x y y --+=，即1212(2)(2)()()0x x kx m kx m --+++=，221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=， ∴222224128(1)(2)()403434m km k km m k k-+⋅+--++=++，化简并整理得2271640m km k ++=，解得2m k =-，或27m k =-，均满足条件(*). ………………(12分)当2m k =-时，:(2)l y k x =-，所过的定点为(2，0)，与1A 重合，不合题意.当27m k=-时，2:()7l y k x=-，所过的定点为(27，0)，符合题意.综上所述，直线l经过定点(27，0). ………………(14分)命题人：和县一中贾相伟含山二中王冲审题人：庐江中学汪京怀。

高三联考卷理科数学参考答案及评分标准

高三联考卷理科数学参考答案及评分标准命题、审题组教师杨昆华张宇甜顾先成李春宣王海泉莫利琴蔺书琴张远雄崔锦杨耕耘一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCBBDCBACCD1. 解析：因为()31i 22i z =-=--，所以22i z =-+选A. 2. 解析：因为集合{}0,1A =，{}0,1AB =，则B A ⊆，所以集合B 可能的情况有{}0，{}1，{}0,1，∅，共有4个.选D.3. 解析：记每天走的里程数为{}n a ，易知{}n a 是以12为公比的等比数列，其前6项和6378S =，则166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，所以341192()242a =⨯=.选C.4. 解析：该几何体是由一个底面半径为1，高为3的半圆锥，和一个底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥组成，所以该几何体的体积为：21111=(13(213132322V ππ⨯⋅⋅⨯+⨯⨯⨯⨯=+）），选B ．5. 解析：画出可行域如下，可知当直线经过点()13，或者()0，4时取得最大值4，选B.6. 解析：发言的3人来自3家不同企业的概率为32162436164205C C C P C -===，选D ． 7. 解析：对于A ：()2222222222f x x x x x =+=++-++222≥-中，22222x x +=+的等号不成立，A 错；当0m =时210mx mx ++≥也成立，B 错；当13x =，2y =时1xy <也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，所以D 错；选C.8. 解析：1i =时，()1021121S =+⨯+-=-；2i =时，()()()()2212212141S =-+⨯+-=-++；3i =时，()()()()()()32141231214161S =-+++⨯+-=-+++-； ……6i =时，()()()()214161121241242S =-+++-+++=+++=，所以输出42，选B.9. 解析：因为12PF PF -=22112224PF PF PF PF m -⋅+=，又因为12PF PF +=221122212PF PF PF PF +⋅+=，所以221226PF PF m +=+，由12PF PF ⊥得：22128PF PF m +=，所以826m m =+，所以1m =，选A ．10. 解析：以O 为原点，以OA ，OB 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A （1,0），B （0,3）,由题意可设C ,)m ,由OC xOA yOB =+可得，,)=(1,0)(0,3)m x y +，所以xy=选C . 11. 解析：设AB 的中点为E ，连结PE ，CE ，易知AB ⊥平面PEC ，所以AB PC ⊥，又PC BD ⊥，所以PC ⊥平面PAB ，所以PC PA ⊥，PC PB ⊥，所以PA PB ⊥，因此，以PA ，PB ，PC 为同一顶点出发的正方体的八个顶点在球O 的表面上，所以2222412R PA PB PC =++=，所以球O 的表面积为12π，选C ．12. 解析：2242312e 2e 2e (2)()()=0x x x x x x x f x a a x x x x x ---'=--=-，因为x ∈（0,2），e =xa x所以函数e =x y x 的图象与函数=y a 图象有两个不同的交点，所以a ∈2e e,2（），选D. 二、填空题13. 解析：(2)1(6)0.22P X P X ≤=-<=．14. 解析：因为(+)()632x x πππ--=，所以cos()cos()sin()3626x x x ππππ-=+-=+，所以5()sin(+)66f x x π=，所以函数()f x 的最大值为56.15. 解析：因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，从而2121a a -=⨯，3222a a -=⨯，…，12(1)(2)n n a a n n --=-≥，累加可得21(1)2[12(1)]22n n na a n n n --=⨯++⋅⋅⋅+-=⨯=-，所以221n a n n =-+， 221211n a n n n n n n -+==+-，因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减，在[5,)+∞递增当4n =时，338.254n a n ==，当5n =时，418.25n a n ==，所以n a n 的最小值为415.16. 解析：双曲线的两个焦点分别为（4,0-），（4,0），则这两点刚好是两圆的圆心，由几何性质知，13PM PF ≤+,21PN PF ≥-,所以12316PM PN PF PF -≤+-+=,所以最大值为6.三、解答题（一）必考题17. 解：（1）在△ABC 中，由cos A =sin A =由sin B C 得sin()A C C +=，sin cos cos sin A C A C C +=，C C C C C =，tan C . ………6分（2）因为tan C =，所以sin C =，cos C =sin 1B C =，由sin sin b cB C=得sin c b C =，因为△ABC2111sin sin sin 222bc A b b C A b =⋅⋅=26b =，b =. ………12分 18. 解：（1）由频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=，即概率为0.6．设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X ，则35~3,X B ⎛⎫⎪⎝⎭，于是3328(0)5125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；2133236(1)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；2233254(2)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；333327(3)5125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望39()355E X =⨯=．………6分（2）频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=，则样本中优质花苗的株数为60株，列联表如下表所示：可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．………12分119. （1）证明：因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以BC ∥11B C ，且11BC B C =，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，且BC AD =，所以AD ∥11C B ，且11AD C B =，所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以A ，D ，1C ，1B 四点共面；因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 正方形，连接1AC 交1A C 于E ，所以11A C AC ⊥，在ADC ∆中，2CD AD =，60ADC ∠=，由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅，所以AC ，所以222CD AC AD =+，所以AD AC ⊥，又1AA AD ⊥，所以AD ⊥平面11A ACC ，所以1AD A C ⊥，又因为!ADAC A =，所以1A C ⊥平面11ADC B ；所以11A C DC ⊥. ………6分（2）解：由（1）知，可如图建立直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()C，()1A ，()1C， ()()111,0,3,DA DC λ∴=-=-，设平面11A C D 的法向量为()1111,,n x y z =，由 111100n DA nDC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111100x z x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取()13,0,1n λ=设平面1AC D 的法向量为()2222,,n x y z = 由22100n AD nAC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得22200x z =⎧+=,取()20,,1n λ=-，由12212cos ||3n n n n θλ⋅===⋅21λ=，因为0λ>，所以1λ= 此时1AD =，1CC AC ==，所以四边形11A ACC 正方形，因为11A C AC ⊥，1A C AD ⊥，又因为!ADAC A =，所以1A C ⊥平面11ADC B ，所以1CC 与平面11ADC B 所成角为145EC C ∠=. .………12分20. 解：(1) 设(,)M x y2=，即22222(1)2(2)x y x y -+=-+，所以曲线22:2E x y += .………4分(2)当PQ所在直线斜率不存在时，其方程为：x =此时PQ = 当PQ 所在直线斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，()0,0O 到直线PQ 的距离d r ==，所以2222m k =+.直线PQ 与椭圆C 联立22163x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214260k x kmx m +++-=，所以12221224212621mk x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以PQ ==2211t k =+≥，(]10,1t ∈ 22222224121112(1)2(21)k t t z k k t t t ++--=+==+++，因为(]10,1t ∈，所以924z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以PQ ⎡⎤∈⎣⎦，所以OPQS PQ ⎡=∈⎢⎣⎦.………12分 21. 解：（1）因为()()e e 10x xf x ax =--≥，且e 0x >，所以e 10x ax --≥，构造函数()e 1x u x ax =--，则()'e x u x a =-，又()00u =，若0a ≤，则()'0u x >，则()u x 在R 上单调递增，则当0x <时，()0u x <矛盾，舍去；若01a <<，则ln 0a <，则当ln 0a x <<时，'()0u x >，则()u x 在(ln ,0)a 上单调递增，则()()ln 00u a u <=矛盾，舍去；若1a >，则ln 0a >，则当0ln x a <<时，'()0u x <，则()u x 在(0,ln )a 上单调递减，则()()ln 00u a u <=矛盾，舍去；若1a =，则当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >，则()u x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，故()()00u x u ≥=，则()()e 0x f x u x =⋅≥，满足题意；综上所述，1a =. ………6分（2）由（1）可知()()2e 1e x x f x x =-+⋅，则()()'e 2e 2x x f x x =--，构造函数()2e 2x g x x =--，则()'2e 1x g x =-，又()'g x 在R 上单调递增，且()'ln 20g -=，故当ln2x <-时，'()0g x <，当ln2x >-时，'()0g x >，则()g x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，又()00g =，()2220e g -=>，又33233332223214e16e 022e 2e 8e 2e g --⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭+，结合零点存在性定理知，在区间3(2,)2--存在唯一实数0x ，使得()00g x =，当0x x <时，()'0f x >，当00x x <<时，()'0f x <，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,x -∞单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,+∞单调递增，故()f x 存在唯一极大值点0x ，因为()0002e 20x g x x =--=，所以00e 12x x =+，故()()()()022200000011e1e 11112244x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0322x -<<-，所以()201133144216f x ⎛⎫<--+< ⎪⎝⎭. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

2023年高三4月学科网大联考(全国乙卷)理科数学参考答案

2023年高三4月大联考（全国乙卷）理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】由题意，知21i (1i)i i i i 1=1i i i 11z ，则zz =22(1i)(1i)1i 1(1)2 ，故选B ．2．C 【解析】由e 2x ，得ln 2x ，所以{|ln 2}B x x .又{|31}A x x ，0ln 21 ，所以A B {|3ln 2}x x .故选C ．3．D 【解析】易知抛物线22(0)x py p 的焦点为(0,)2F p.因为点(2,)P m 在抛物线C 上，所以2m p .根据抛物线的定义，得2||22pPF p ，即2440p p ，解得2p ，所以(0,1)F .故选D ．4．A 【解析】A 选项，2022年8月同比增长率为负数，说明2022年8月原油产量低于2021年8月，故A 正确； B 选项，2021年9月至2021年12月的原油产量的同比增长率呈逐月下降趋势，但均大于0，则原油产量依然可能会增加，故B 错误；C 选项，虽然2022年4月的同比增长率最高，但如果2021年4月原油产量比2021年3月低较多，那么增加量也不一定最大，故C 错误；D 选项，因为3.94 3.6 3.63(0.2) 1.4 2.5 2.92.79，所以2022年3月至11月的同比增长率的平均数约为2.7%，故D 错误.故选A ．5．A 【解析】由B ，M ，D 三点共线，可设1)0(BM xBD x ,则()AM AB x AD AB，所以(1)2x AM AC x AB ，所以22(1)AM x AB xAC .又2AM AB AC,所以2(1)1x x，所以12x．故选A ． 6．C 【解析】如图，设H 为底面正方形ABCD 的中心，G 为BC 的中点，连接,,PH HG PG ，则,PH HG ,PG BC 所以PG 13.16 ，则14422PBCABCDBC PGS PG S AB BC AB△正方形26.32 1.3719.2 ，故选C ．7．D 【解析】令sin cos t ，则22(sin cos )1sin 2t ，所以sin 21sin cos 可化为220t t ，解得1t 或2t ，而sin cos [4，所以sin cos 1 ．故选D ．8．D 【解析】因为函数(1)y f x 的图象关于坐标原点O 中心对称，所以(1)f x 为奇函数，所以()()110f x f x ，令0x ，得2(1)0f ，所以(1)0f .令3x ，得4(20)()f f ，所以()2(4)f f .因为当1x 时3,()1f x x ，所以(4)1f ，所以()12f ，所以(2)(1)101f f ．故选D ．9．B 【解析】易知直线l ：10kx y k 过定点()1,1Q ，且点Q 在圆O 内，当Q 是弦AB 的中点时，弦长AB 最小，此时||AB =()()PA PB PQ QA PQ QB 221||||4PQ AB 2||2PQ .当P 是线段QO 的延长线与圆O 的交点时，|PQ |最大，且最大值是2PA PB的最大值是2(22 4 ．故选B ．10．B 【解析】由正弦定理及1cos 2cos c a C A ，得sin 1cos sin 2cos C C A A， ∴sin sin cos 2sin cos sin A A C C A C ，∴sin sin cos cos sin 2sin A A C A C C ，即sin sin()2sin A A C C ， ∴sin sin 2sin A B C ，∴由正弦定理，得2.a b c 又4a b ，∴ 2.c ∵22222()4cos =12212262ab a b c a b C ab ab ab abab.∵a b ，∴4ab ，当且仅当2a b 时等号成立，∴614o 2c s 1C ，∴03C，∴0sin C.故选B ． 11．D 【解析】将平行四边形ABCD 补成如图1所示的矩形AC CA ，在矩形AC CA 中（如图1所示），设,AB b BD a ，则22244AC a b .如图2，沿对角线BD 折起后的三棱锥A BCD 的外接球也是直三棱柱ABC A DC 的外接球，且在ABC △中，120ABC ，所以30BAC AC B ．设ABC △的外接圆1O 的半径为r ，由正弦定理，得22sin sin 30AB br b AC B，则r b .设三棱锥A BCD 外接球的球心为O ，半径为R ，连接11,,OB OO BO ，则22222222111(24AA R OB O O BO r a b221(4)14a b ，所以1R ，所以所求外接球的表面积为4 ．故选D ．图1 图212．B 【解析】由题意，知0,a 令()e e ,0x a f x x a x ，则()e 10x f x ，所以()f x 在区间(0) ，上单调递增，易知()0f a ，所以当x a 时，()0f x ；当0x a 时，()0f x .令21()e 2ln 1x x a a g x ，则对任意的(0)x ，，不等式21(e e )(e x a x x a x 2ln 1)0a a 恒成立，等价于当x a 时，()0g x ；当0x a 时，()0g x . 易知21()e 2ln 1x x a a g x 在区间(0,) 上单调递增，所以x a 是21()e 2ln 1x x a a g x 的零点，即21e 2ln 10a a a a ，即212ln e 1a a a a ，所以2ln 1e 2ln e 1a a a a . 构造函数()e t h t t ，显然h (t )在R 上单调递增，由2ln 1e 2ln e 1a a a a ，得(2ln )(1)h a h a ，所以2ln 1a a ，即2ln 10a a .令()2ln 1a a a ，显然()a 在区间(0) ，上单调递增，易知(1) =0，故1a ．故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学理答案及评分参考.pdf

12． 2 39
P
【解析】该几何体的还原图如右图
且 OA 3 ， OD=1 ， OP 3
∴ S△ADP =
39 2
，则该四棱锥的侧面积为 S侧 =2
39
13. 1 n ； 1 33
3 D
A
1
C
3O
B
【解析】⑴由于
An (an , n)
在函数
y

log1
3
x
上，∴
n

log 1
3
an
，即 an
则 B0，2，0 ， C 1，1，0 ， D1，0，0 ， E 0，1，1 ，

所以 BC 1，1，0，BE 0，1，1 ，

设平面 BCE 的一个法向量为 n x，y ，z ．

所以
n n

BC BE

43
故离心率为 1 ，焦点坐标为 1，0，1，0 ．…………………………4 分
2
⑵ 由题意，直线 AB 的斜率存在．可设直线 AB 的方程为 y kx m，A x1 ，y1 ，
B x2 ，y2 ，则 y1 kx1 m，y2 kx2 m ．
由
y
3 2 2
7 ．…………6 分
sin CAD
21
14
（Ⅱ）在△ACD 中，由余弦定理得， AC2 AD2 4 2 2 AD cos120 ，
整理得 AD2 2AD 24 0 ，解得 AD 4 （舍负）．过点 D 作 DE AB 于 E ，则 DE 为梯形 ABCD 的高．因为 AB ∥CD ， ADC 120 ，所以 BAD 60 ．

2023 年高三 2 月大联考(全国乙卷)理科数学参考答案

2023年高三2月大联考（全国乙卷）理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】由(2i)8i z ，得8i 1510i32i 2i 5z ，所以32i z ．故选B ． 2．A 【解析】由103x x ，得(1)(3)0x x 且30x ，解得13x ，所以{|13}M x x . 由22y x ，得2y ，所以{|2}N y y ，所以[2,3)M N ．故选A ．3．B 【解析】根据全称命题的否定为特称命题，可知p 为“1x ，(1)0x x ”，故选B ．4．C 【解析】A ：a 可能在平面内，所以A 错误；B ：a 与m 可能平行，从而与可能相交，所以B 错误；C ：a ∥且b ∥ ∥ m ∥ ，所以C 正确；D ：如图，考虑正方形沿对角线折叠，另一条对角线折起后形成的两条直线，以及折痕和一条半平面内与折痕平行的直线，它们符合垂直关系，但两个半平面不一定垂直，所以D 错误．故选C ．5．D 【解析】因为(,)42 ，所以2(,)2 .又4sin 25 ，所以3cos 25 ，所以2312sin 5 ，解得sin （负值舍去）．故选D ．6．B 【解析】由函数的值域，可以排除A.由函数的奇偶性，可以排除D.C:2cos sin ()x x xf x x，令()cos sin g x x x x ，则()sin g x x x ．当(0,)x 时，()0g x 恒成立，所以()g x 在(0,) 上单调递减．因为(0)0g ，所以()(0)0g x g 在(0,) 上恒成立，所以当(0,)x 时，()0f x 恒成立，所以()f x 在(0,) 上单调递减，所以排除C ．故选B ．7．C 【解析】（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有12C 种不同的安排方法，后续项目分两类：①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有122442C C C 种不同的安排方法；②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有212432C C C种不同的安排方法.（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自行车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有21122432C C C C 种不同的安排方法，所以，一共有1122212211224424322432C (C C C C C C )C C C C 96 种不同的安排方法．故选C ．8．C【解析】2()2sin (cos sin )1sin 22sin 1sin 2cos 24f x x x x x x x x x，所以()f x 的，将8x代入())4f x x，得884f （，故A 和D 错误；将2y x 的图象向右平移4个单位长度得到2(242y x x x的图象，所以B 错误；由2224k x k kZ ，得5()88k x k k Z ，所以5[ 88，是()f x 的一个单调递减区间，所以()f x 在3( 48，上单调递减．故选C ． 9．A 【解析】由题意，知x ，y 满足约束条件0,0113x y x y x y x y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示（五边形OEBCD （包含边界）），作出直线24x y ，易得52(,)33A ，(2,1)B ，(1,2)C ，(0,1)D ，(1,0)E ，连接DE ，则非负数x ，y对应的可行域的面积为151122ODE BCDE S S△正方形，事件“24x y ”对应的可行域的面积为1112233ABC S AB BC △，所以所求概率为1235152P ．故选A ．10．D 【解析】由题图（2）得，．设截得的四边形木板为ABCD ，A ，AB c ，,,,BD a AD b BC n CD m ，如图．由3cos 5得4sin 5 ．在ABD △中，由正弦定理，得2sin 2a ，解得a 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos abc bc ， ∴226805b c bc ，配方，得216()805b c bc (*)．∵2()2b c bc ，∴(*)式可化为22161()()55b c bc b c ， ∴21()805b c ，∴20b c ，当且仅当10b c 时等号成立．同理，在CBD △中，得10m n ，当且仅当5m n 时等号成立， ∴这块四边形木板周长的最大值为30．故选D ．11．A 【解析】设1||MF m ，2||MF n ，椭圆C 的半焦距为c ，则2m n a ，24mn c ，所以224a c22()()22m n m n mn 2()m a ．因为a c m a c ，所以22224()[0,]a c m a c ，即224c a25c ，则21154e ，所以152e ．故选A ． 12．B 【解析】（1）先比较,a b ：∵0.40.40.40.6e e (1ln e )a ，2ln 42(1ln 2)b ， ∴可以构造函数()(1ln )f x x x ，则0.4(e )a f ，(2)b f ．对()f x 求导，得()ln f x x ，当(1)x ,时，()0f x ， ∴()f x 在(1) ，上单调递减． ∵00.40.51e e e 2 ，∴0.4(e )(2)f f ，即a b ．（2）再比较,b c ：∵4ln 4e 42ln 2e b c ．∴可以构造函数()2ln e g x x x x ，则()1ln g x x ，当(0,e)x 时，()0g x ；当(e,)x 时，()0g x ，∴()g x 在(0e)，上单调递增，在(e ) ，上单调递减，∴max ()(e)0g x g ，∴(2)0g ，∴0b c ，即b c ．（3）最后比较,a c ： ∵0.4(10.4)e e 2a c ，∴可以构造函数()(1)e e 2x h x x ，则()e x h x x ，当(0,1)x 时，()0h x ， ∴()h x 在(0,1)上单调递减．又∵0.5(0.5)0.5e e 2h ，且0.5e 1.6 ，∴(0.5)0h ， ∴(0.4)(0.5)0h h ，∴0a c ，即a c ．综上得，a c b ．故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年度第一学期高三期中考理科数学标准答案与评分细则

湛江市第六中学2019-2020年度第一学期高三期中数学试卷理科数学参考答案及评分细则一、选择题：13.21-14. 71- 15. 2 16. 35π 17.【解答】解：（1）3cos2sin()102A A π+-+=． cos2cos 10A A ∴-+=，可得：22coscos 0A A -=，解得：1cos 2A =，或cos 0A =， ABC ∆为锐角三角形，1cos 2A ∴=，∴可得：3A π=．（2）113sin 3322ABC S bc A bc ∆===，可得：12bc =，又3b =，可得：4c =，在ABC ∆中，由余弦定理可知，22212cos 1692342512132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=-=， a ∴=ABC ∆中，由正弦定理可知：sin sin a cA C=，可得：4sin sin c A C a ===18.（本小题满分12分）（1）证明：因为PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PC DE ⊥.…………1分由2,CE CD DE ===得CDE ∆为等腰直角三角形，故CD DE ⊥．………………2分又PCCD C =，且PC ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，……3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分；全部不写，本得分点不给分）故DE ⊥平面PCD ．……………4分PEDCBA（2）解：如图所示，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF FC FE ===，又1EB =，故2FB =．由2ACB π∠=，得//DF AC ，23DF FB AC BC ==，故3322AC DF ==．………………………………5分以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系C xyz -， ……………………………………6分(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3(,0,0)2A ，(0,2,0)E ，(1,1,0)D ，1(1,1,0),(1,1,3),(,1,0)2ED DP DA =-=--=- ……………………………………7分设平面PAD 的法向量为()1111,,n x y z =，则10n DP ⋅=，即1111130102x y z x y --+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，……………………………………8分令12x =，则111,1y z ==，故可取1(2,1,1)n =．…………9分（注：与1n 共线的非零向量都可给分）由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取为ED ，即2=(1,1,0)n -.………10分则121212cos ,62||n n n n n n ⋅===，……11分（注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分）又二面角A PD C --为锐二面角，所以二面角A PD C --………12分（注：无此步骤，本得分点不能给分） 19解：（1）若按“项目一”投资，设获利1X 万元，则1X 的分布列为：)万元(2001503)300(535001=⨯+⨯-+⨯=EX . ………………………2分若按“项目二”投资，设获利2X 万元，则2X 的分布列为)万元(20092)150(973002=⨯-+⨯=EX ………………………4分又140000151)2000(31)200300(53)200500(2221=⨯-+⨯--+⨯-=DX………………………5分3500092)200150(97)200300(222=⨯--+⨯-=DX ………………………6分所以21EX EX =，21DX DX >，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目二更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目二投资． ………………………8分（2）假设n 年后总资产可以翻一番，依题意：2001000(1)20001000n+=，即1.22n =，………10分两边取对数得：lg 20.30103.80532lg 2lg3120.30100.47711n ==≈+-⨯+-．所以大约4年后，即在2020年底总资产可以翻一番． ………………………11分答：建议该投资公司选择项目二投资；大约在2020年底，总资产可以翻一番．…………………12分 20．（本小题满分12分）21【解答】解：（1）由题意可知，0x >，2221()1a x x af x x x x -+-'=--=，.），2），减区间为（2,0的增区间为（)(综上所述，）单调递减；，2在（)(,2,时0）x （）单调递增；2,0在（)(,20时，0）x （;2x 或1,0）（时，令2a 当’’‘∞+∞+><<<>=-==-=x f x f x f x f x f x x f（2）原式等价于(1)21x a xlnx x ->+-，即存在1x >，使211xlnx x a x +->-成立．设21()1xlnx x g x x +-=-，1x >，则22()(1)x lnx g x x --'=-，⋯（9分）设()2h x x lnx =--，则11()10x h x x x-'=-=>，()h x ∴在(1,)+∞上单调递增．又h （3）332130ln ln =--=-<，h （4）4422220ln ln =--=->，根据零点存在性定理，可知()h x 在(1,)+∞上有唯一零点，设该零点为0x ，则0(3,4)x ∈，且000()20h x x lnx =--=，即002x lnx -=，∴0000021()11min x lnx x g x x x +-==+⋯-（11分）由题意可知01a x >+，又0(3,4)x ∈，a Z ∈， a ∴的最小值为5．⋯（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数可得1C 的普通方程为30x y +-=，…………1分由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，………………………………2分又因为222,cos x y x ρρθ=+=，…………3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分）所以2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．……………………4分（2）解法1：2C 标准方程为22(2)4x y -+=，表示圆心为2(2,0)C ，半径2r =的圆．………5分2C 到直线30x y +-=的距离22d =，………………………………………………6分故AB ==……………………………………………………………7分原点O 到直线30x y +-=的距离d =，…………………………………………8分所以1122OAB S AB d ===△ …………………………………9分综上，OAB △的面积为2……………………………………10分解法2：联立方程组223(2)4y x x y =-+⎧⎨-+=⎩得221090x x -+=，…………………5分 ∴121295,2x x x x +==，……………………………………………………………6分∴12|||AB x x =-==……………7分原点O 到直线30x y +-=的距离d =，……………………………………8分所以11222OAB S AB d ===△．…………………………………9分综上，OAB △ ……………………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）解法1：当1a =时，不等式()3f x ≥可化简为13x x ++≥．………1分当1x <-时，13x x ---≥，解得2x ≤-，所以2x ≤-；………………………2分当10x -≤<时，13,13x x +-≥≥，无解；………………………………………3分当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥．………………………………4分综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．………5分（注：解集必须是集合或区间形式）解法2：当1a =时，21(1)()11(10)21(0)x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++=-≤<⎨⎪+≤⎩………1分当1x <-时，213x --≥，解得2x ≤-，所以2x ≤-； ………………2分当10x -≤<时，13≥，无解； …………………………………………3分当0x ≥时，213x +≥，解得1x ≥，所以1x ≥． ……………………4分综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞． ………………5分（2）解法1：当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥．……………6分令()(1)1g x a x =-+，则()g x 的图像为过定点(1,1)斜率为a 的一族直线， ………7分数形结合可知，当0a ≥时，11ax a -+≥在[)1,+∞上恒成立………………………9分所以，所求a 的取值范围为[0,)+∞．………10分（注：最终结果可以是集合、区间或不等式）解法2：当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥．……………6分由不等式的性质得11ax a -+≤-或11ax a -+≥，即(1)2a x -≤-或(1)0a x -≥．……………………………………………………7分当x ≥1时，a R ∀∈，不等式(1)2a x -≤-不恒成立；…………………………8分为使不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥．………………………9分综上，所求a 的取值范围为[0,)+∞．……………………………………………10分。

数学(理科)试题参考答案及评分标准

2010 年广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 910．1- 11. ①②③ 12．3413. ()(),01,-∞+∞14．50 15．()1,1- 简答或提示：7．解1：设圆心为2,(0)a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则r =≥=1a =时等号成立.当r 最小时，圆的面积2S r π=最小，此时圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=，选A .解2：画图可得，当直线20x y m ++=与曲线2(0)y x x=>相切时，以切点为圆心，切点到直线210x y ++=的距离为半径的圆为所求.设切点为000(,)(0)P x y x >，因为22'y x =-，所以222x -=-，解得001,2x y ==，r =22(1)(2)5x y -+-=为所求，选A . 8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ．12．22012132()4(2)P A x x dx ⨯⨯==-+⎰． 14．由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠()180A C =-∠+∠()180607050=-+=．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（1）解：依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-，……………………………2分所以()(222cos 3sin ABθθ=-+136cos 13θθ=-+=，……………………………………………………4分3cos θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan θ=． ……………………………………………………………6分（2）解：由02πθ≤≤，得6AOB πθ∠=+． ………………………………………………8分所以1sin 2AOB S OA OB AOB∆=∠ 11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………10分所以当3πθ=时，△AOB …………………………………………12分17．（本小题满分12分）（1）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．………………………………………………………1分依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===． ∴ξ的分布列为ξ 0 1 2P5153 51∴ 10121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………………………………………………………6分（2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==， ……………………………………………………10分∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C ，从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为25C 10=，…………………………8分男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为14C 4=，……………………………………………10分∴()1425C 42C 105P C ===．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分18．（本小题满分14分）方法1：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，……………4分z()11,0,1A ，()10,0,1D ．…………………………………………………………………1分设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．………………………………2分（1）证明：∵()101,,1D E y =-，()11,0,1A D =--．则()()1101,,11,0,10D E A D y =---=， ∴11D E A D ⊥，即11D E A D ⊥． ……………………………4分（2）解：当2AE =-1D EC D --的平面角为4π．…………………………5分 ∵0(1,2,0)EC y =--，()10,2,1D C =-， …………………………………………………6分设平面1D EC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则10110(2)0200EC x y y y z D C ⎧=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎩⎪⎩n n ， ………………………………………………………8分取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC 的一个法向量．…………………………………9分而平面ECD 的一个法向量为()20,0,1=n ， ………………………………………………10分要使二面角1D EC D --的平面角为4π，则121212coscos 42(2π=<>===⋅n n n ,nn n ，………………………12分解得02y =()002y ≤≤．∴当2AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为4π．………………………………14分方法2：（1）证明：连结1AD ，在长方体1111ABCD A B C D -中，∵BA ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴1A D AE ⊥．……………………………1分 ∵11AD AA ==，则四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥．…………………………2分∵1AEAD A =，∴1A D ⊥平面1AD E ．………3分∵1D E ⊂平面1AD E ，∴11D E A D ⊥． …………4分（2）解：当2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为6π． …………………………………………………………5分连结DE ，过D 作DH EC ⊥交EC 于点H ，连结1D H ．………………………………6分在长方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，∴1D D ⊥EC ．…………………………………………………………………………………7分 ∵1DHD D D =，∴EC ⊥平面1D DH ．…………………………………………………8分∵1D H ⊂平面1D DH ，∴EC ⊥1D H ．……………………………………………………9分 ∴1D HD ∠为二面角1D EC D --的平面角，即16D HD π∠=．…………………………10分设AE x =()02x ≤≤，则2EB x =-，进而EC = ……………………11分在△DEC 中，利用面积相等的关系有，EC DH CD AD ⨯=⨯， ∴DH =． ……………………………………………………………12分在Rt △1D DH 中，∵16D HD π∠=，∴1tan6D DDHπ=． ………………………………13分=，解得23x =-()02x ≤≤．故当2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为6π．………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．……………2分1由||||MN NP MN MP ⋅=⋅，得2(1)x =+，…………………………………………………………………4分化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………………5分（2）解：由点(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ． ………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………7分当4m ≠时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=，…………8分圆心(0,2)到直线AK的距离d =令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．…………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-.…………………………………………1分∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．……2分即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，……………………………………………………………………3分 3321223x <⨯=，∴1a ≥．故实数a 的取值范围为[)1,+∞．……………………………4分（2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．…………………………5分 ①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-．……………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >．∴()f x 在21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数．∴()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．…8分④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数．所以()()284h a f a ==-．………………9分综上()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩…………10分（3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不同的交点．……………………………………………11分而直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．……14分21．（本小题满分14分）1（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．……………………………1分当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．…………………………………………………2分即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a ma m-=+()2n ≥．…………………………………………3分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．………………………………………4分（2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==． ………………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+，…………………………………………………………………6分∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．………………………………………………7分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………………8分 ∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（∈n N *）．………………………………9分（3）证明：由（2）知221n b n =-，则()22421n b n =-．…………………………………10分所以2222123n n T b b b b =++++ ()2444492521n =++++-，………………………11分当2n ≥时，()()24411222121n n n n n <=----， ………………………………………12分所以()2444492521n T n =++++-41111114923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭4011899218n =+-<．…………………………………………………………………14分。

数学(理科)参考答案及评分意见

ABC 的直线为z 轴,建立如图所示的空间直
角坐标系 Axyz．
易知 C(０,２,０),A１(０,２,２),B(２,０,０),
B１(２,２,２),C１(０,４,２)． ∵ ３EB→１＝BB→１,
∴E(２,２－２３３,２－２３３)．
则A１C→１＝(０,２,０),A１→E＝(２,－２３３,－２３３)．
∴原不等式等价于５＋(x－k)ex ＋k＞０当x∈(０,＋∞)时恒成立,
∵当x∈(０,＋∞)时,ex －１＞０,
即
原
不
等
式
等
价
于
x＋５ x＋ex －１＞k
对x∈
(０,＋
∞
)时
恒
成
立
．
�� ６分
设
h(x)＝x＋exx＋－５１．则
h′(x)＝ex
(ex －x－６) (ex －１)２．
随机抽取３只的抽取情况有 a１a２a３,a１a２a４,a１a２a５,a１a３a４,a１a３a５,a１a４a５,
a２a３a４ ,a２a３a５,a２a４a５ ,a３a４a５ ,共１０种．
�� ９分
随机抽取的３只小白鼠中至少有一只 B 项指标数据高于３的情况有a１a２a４,
�� ４分
∵A１A ∩AB ＝A ,
∴CD ⊥平面 ABB１A１．
�� ５分
(Ⅱ)以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,

高二数学试题参考答案及评分标准(理科)

高二数学试题参考答案及评分标准(理科)一、选择题：(每小题5分，满分50分)CDBAD CBDCA二、填空题：(每小题5分，满分25分)11.真 12.90 13.③④三、解答题(本大题共6小题，满分75分)16.解：∵直线3470x y +-=的斜率为34-，∴直线l 的斜率为34-. ………(3分) 设直线l 的方程为34y x b =-+，令0y =，得43x b =；令0x =，得y b =. ………(7分) 由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是24， ∴142423S b b =⋅||⋅||=，解得6b =±， ………(10分) ∴直线l 的方程是364y x =-±(或34240x y +±=). ………(12分) 17.证明：⑴(必要性)∵⊿ABC 三个内角成等差数列，不妨设这三个内角依次为B B B αα-+，，，由()()180B B B αα-+++= ，得60B = ，∴⊿ABC 有一个内角等于60 . …………(5分) ⑵(充分性)若ABC ∆有一个内角为60 ，不妨设60B = ，则180601202A C B +=-== ， ∴A B B C -=-，∴三个内角A B C ，，成等差数列. …………(10分) 综合⑴⑵得，⊿ABC 三个内角成等差数列的充要条件是有一个内角等于60 . …………(12分) (说明：混淆了必要性与充分性，或未注明必要性与充分性，扣4分)18.证明：⑴∵BC ABE ⊥平面，AE ABE ⊂平面，∴AE BC ⊥.又∵BF ACE ⊥平面，AE ACE ⊂平面，∴AE BF ⊥. …………(3分) ∵BF BC B = ， ∴AE BCE ⊥平面.又∵BE BCE ⊂平面，∴AE BE ⊥． …………(6分) ⑵取DE 的中点P ，连接PA PN ，.∵点N 为线段CE 的中点，∴PN ∥DC ，且12PN DC =. …………(8分) 又∵四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM ∥DC ，且12AM DC =， ∴PN ∥AM ，且PN AM =，∴四边形AM NP 是平行四边形，∴MN ∥AP . …………(10分) ∵AP ⊂平面DAE ，M N ⊄平面DAE ，∴MN ∥平面DAE ． …………(12分)19.解：∵OM ON CM CN ==，，∴OC 垂直平分线段MN . ……………(4分)∵2MN k =-，∴12OC k =，∴直线OC 的方程是12y x =， ∴212t t =，解得2t =或2t =-. ……………(8分)⑴当2t =时，圆心C 的坐标为(2，1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==<C 相交，符合题意.⑵当2t =-时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==>，直线与圆C 相离，不符合题意.………………(11分)综合⑴⑵得，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=. ………………(12分)20.解：⑴如图，取AB 的中点E ，则//DE BC .∵BC AC ⊥，∴DE AC ⊥.∵1A D ⊥平面ABC ，∴分别以1DE DC DA ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，得()01 0A -，，，()0 1 0C ，，，()2 1 0B ，，，()10 0 A t ，，，()10 2 C t ，，.由21130AC BA t ⋅=-+= ，得t =…………(3分)设平面1A AB 的法向量为()1111n x y z = ，，.∵(10 1AA = ，，()2 2 0AB = ，，，∴11111110220n AA y n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ . 设11z =，可得)1n = ……………(5分)∴点1C 到平面1A AB的距离111AC n d n ⋅= ||||. ……………(7分) (2)再设平面1A BC 的法向量为()2222n x y z = ，，.∵(10 1CA =- ，，()2 0 0CB = ，，，∴212222020n CA y n CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ . 设21z =，可得()20n = ， ……………(9分)∴121212cos ||||n n n n n n ⋅<>==⋅ ，……………(11分) 根据法向量的方向可知，二面角1A A B C --…………(13分) 21.解：⑴根据题意得22121914ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2243.a b ⎧=⎨=⎩，. …………(2分) ∴椭圆C 的方程为 22143x y +=. …………(5分) ⑵由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理，得 222(34)84120k x kmx m +++-=. ∵直线l 与椭圆C 交于两点，∴0∆>，得22430k m -+> (*) 设点A 、B 的坐标分别为1122()()A x y B x y ，，，，则21212228412 3434km m x x x x k k -+=-⋅=++，. ………………(8分) ∵11A A A B ⊥，∴110A A A B ⋅= .又∵点1A 的坐标为1(2 0)A ，，∴1212(2)(2)0x x y y --+=，即1212(2)(2)()()0x x kx m kx m --+++=，221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=， ∴222224128(1)(2)()403434m km k km m k k-+⋅+--++=++，化简并整理得2271640m km k ++=，解得2m k =-，或27m k =-，均满足条件(*). ………………(12分) 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，所过的定点为(2，0)，与1A 重合，不合题意. 当27m k =-时，2:()7l y k x =-，所过的定点为(27，0)，符合题意. 综上所述，直线l 经过定点(27，0). ………………(14分)命题人：和县一中贾相伟含山二中王冲审题人：庐江中学汪京怀。

数学(理科)试题参考答案及评分标准

3
时，二面角
D1

EC

D
的平面角为
4
．…………………………5
分

∵ EC (1, 2 y0 , 0) ， D1C 0, 2, 1 ， …………………………………………………6 分
设平面 D1EC 的法向量为 n1 (x, y, z) ，

则
n1 n1
∵ D1E 1, y0, 1 ， A1D 1, 0, 1 ．

则 D1EAA1D 1, y0, 1A1, 0, 1 0 ，
x
∴ D1E A1D ，即 D1E A1D ． ……………………………4 分
（2）解：当 AE 2
2
6
所以 SAOB

1 2
OA
OB
sin AOB
12 2
3
1
sin

6

3
sin

6

，…………………………………10
分
所以当时，△ AOB 的面积取得最大值 3 ． …………………………………………12 分 3
17．（本小题满分 12 分）
AEC 0 AD1C 0

2
x y

y z
(2 0
y0 ) 0 ，
………………………………………………………8 分
取 y 1，则 n1 2 y0 ,1, 2 是平面 D1EC 的一个法向量．…………………………………9 分
而平面 ECD 的一个法向量为 n2 0, 0,1 ， ………………………………………………10 分

数学理科答案与评分标准

2014届高三年级八校联合调研考试试卷数学（理科）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格二．选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．三．解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求：（1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小；（2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．解：（1）因为11//B C BC ，所以1ACB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1AC 所成角. ………………1分因为BC ^AB ,BC ^BB 1,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. ………………3分在1Rt A BC 中,11tan A BACB BC∠==所以1ACB ∠=………………5分所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为 ………………6分（2）因为11B C //平面1A BC所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离 ………………8分设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，所以11111133A BC B BC S d S A B ∆∆⨯=⨯ ………………10分可得5d =………………11分直线11B C 与平面1A BC ………………12分 20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)函数()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数且R b ∈．（1）若函数()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：函数()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．解：（1）解法一：设()y f x =定义域为D ,则：因为()x f y =是奇函数，所以对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，…………3分得1b =. …………5分此时，())lgf x x =，D R =，为奇函数。