二项方程

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代数方程数学文章

代数方程数学文章我们知道由数和字母经加、减、乘、除等代数运算所得的数学表达式称为代数式，而把含有未知数的等式称为方程，现在把两者结合起来便成了代数方程，也就是含有未知数的代数式的等式。

主要包括整式方程，分式方程和无理方程。

今天，我们主要是来感性认识一下两种常见的整式方程。

一元整式方程如果方程中有且只有一个未知数且等式两边都是关于未知数的整式（单项式或者多项式），那么这个方程叫做一元整式方程。

如2x+1=3 , 1/x²=4，但1/(x-2)=1这种就不是整式方程，因为她的左边不再是关于未知数的整式而是分式。

一般的，形如的方程叫一元n次方程（n∈N﹢），因为只有一个未知数x，且未知数x的最高次数为n，当n=2时，就叫一元二次方程，当n=3时，就叫一元三次方程。

例1分析与解对于选择题，我们可以一个一个选项带进去测验，比如m=0代入原方程，那么原方程变为x=2, 很明显x=2就是一个解，但是m=-1代进去，就变成了-x+x=2，即 0=2，矛盾，所以m=-1使得方程无解。

其实，我们也可以这么想，把方程左边合并得 mx+x=(m+1)x，而当m=-1，原方程左边为0，右边为2，无论如何都不能使0=2，所以m不能取-1，也就说m=-1使得原方程无解，选D。

二项方程如果一元n次方程（n∈N﹢）的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程。

如对于方程一般有（1）当n为奇数时，方程有且只有一个实数根；（2）当n为偶数时，如果ab＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab＞0，那么方程没有实数根。

初步了解到整式方程，包括一元整式方程，二项方程。

我们再来认识两类重要的代数方程——分式方程和无理方程。

可化为一元二次方程的分式方程一般的，形如ax²+bx+c=0称为一元二次方程的一般式，如x²+2x-3=0。

分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程，如1/(2-x²)=2。

复数与方程

复数与方程重点难点:一元二次方程一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。

例1．在复数集中解下列方程解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根，∵∴其4次方根为(k=0,1,2,3)∴原方程的解为下面4个复数:法2、求方程的解，即求复数的4次方根。

∵由知1-i为的一个4次方根，∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为:∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。

解2) 令,∴,∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。

注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式(k=0,1,2,……,n-1)求其n个n次方根。

如例(1)解法1，此n个复数的几何意义是复平面上n个点，这n个点均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆上，组成一个正n边形。

<二> 若能由已知中找出个Z的n次方根Z0，则可由n次方根的几何意义求其余n-1个n个次根如下:, 。

如例(1)解法2。

<三>若Z的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z的n次方根时，则可以考虑用n次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。

如例(2)。

二、一元二次方程1. a,b,c∈R时基本解法时，两不等实根可由求根公式求出，时，两相等实根。

可由上面公式求出，时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。

另:韦达定理仍成立。

2. a,b,c∈C时基本解法判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。

但可由求根公式, δ是b2-4ac的一个平方根另:韦达定理仍成立。

例2．在复数集中解方程。

解:∵，∴=，∴原方程的根为。

注:∵(x-1)(x2+x+1)=x3-1∴x2+x+1=0的根也是x3=1的根，即1的两个立方虚根。

记,则，其有如下特征:①；②；③；④；⑤要注意此特征，并能灵活运用其解决有关问题。

代数方程复习(教师版讲义)

基本内容代数方程复习知识精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。

二项方程：一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。

其一般式为Ax^n+b=0(其中a ≠0, b ≠0,n 为正整数).双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a ≠0) 无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.二、整式方程的解法1. 一元一次方程和一元二次方程的解法2. 含字母系数的整式方程的解法3. 特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。

关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n可变形为ab x n-= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。

二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n，当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。

当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根。

（2）双二次方程的解法双二次方程的定义：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。

关于x 的双二次方程的一般形式是)0(024≠=++a c bx ax 双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如)0,0,0(024≠≠≠=++c b a c bx ax 的双二次方程。

就是用y 代替方程中的x 2，同时用y 2代替x 4，将方程转化为关于y 的一元二次方程ay 2+by +c =0。

二元线性方程的知识点

二元线性方程的知识点
二元线性方程的知识点
二元线性方程是指含有两个未知数(如X和Y)的方程，每个未知数的度数为1。

以下是边肖编写的二元线性方程组的知识点，仅供参考。

让我们来看看。

首先，二元线性方程
1.二元线性方程：有两个未知数，且未知项的最高次数为1的方程。

这样的积分方程叫做二元线性方程。

2.方程式：由几个方程式组成的一组方程式称为方程式。

如果一个方程组中有两个未知数，且带有未知数的项的次数为1，那么这样的方程组称为二元线性方程组。

二元线性方程的解：一般来说，使二元线性方程两边的值相等的
未知值称为二元线性方程的解。

二元线性方程组的求解：一般来说，二元线性方程组的两个方程的公共解称为二元线性方程组。

二、消元——求解二元线性方程组
二元线性方程组有两种解法：一种是代换消元法，另一种是加减消元法。

1.代换消元法：将二元线性方程中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的公式表示出来，然后代入另一个方程实现消元，进而得到这个二元线性方程组的解。

2.加减消元法：当两个二元线性方程中同一个未知数的系数相反或相等时，可以分别对这两个方程的两边进行加减运算来消元，得到一元的线性方程。

三、实际问题与二元线性方程组
练习：复习题设未知数列方程解方程考试答题。

重点：找到平等关系。

常见的类型有：配送问题、追击问题、顺流逆流、药物配制、出行问题。

初二数学方程组与不等式组试题

初二数学方程组与不等式组试题1.下列方程中是二项方程的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】二项方程的定义：形如的方程叫做二项方程.A.，B.，C.，均不是二项方程；D.，符合二项方程的定义，本选项正确.【考点】二项方程的定义点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二项方程的定义，即可完成.2.用配方法解方程，下列配方正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略3.函数y ＝＋中自变量x的取值范围是A．x≤2B．x＝3C．x＜2且x ≠3D．x ≤2且x≠3【答案】A【解析】2-x≥0，x-3≠0解得：x≤2，所以选A.4.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】设所缺的部分为x，则2y+=y-x，把y=-代入，求得x=2．故选B．5.下列各数中，是不等式2x﹣3＞0的解的是（）A．﹣1B．0C．﹣2D．2【答案】D【解析】首先求出不等式的解决，然后判断各个选项是否是不等式的整数解即可．【考点】一元一次不等式的整数解6.（12分）某蔬菜培育中心决定向某灾区配送无辐射蔬菜和水果共3200箱，其中水果比蔬菜多800箱．（1）求水果和蔬菜各有多少箱？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批水果和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装水果400箱和蔬菜100箱，每辆乙种货车最多可装水果和蔬菜各200箱，则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费4000元，乙种货车每辆需付运费3600元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【答案】（1）2000箱；1200箱（2）3种方案：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是29600元．【解析】（1）设水果有x箱，则蔬菜有（x-800）箱，根据“蔬菜和水果共3200箱”列方程并解答；（2）设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车（8-a）辆，依据“每辆甲种货车最多可装水果400箱和蔬菜100箱，每辆乙种货车最多可装水果和蔬菜各200箱”列不等式组，求其整数解解即可；（3）利用（2）的设计方案分别计算它们的运费，再比较大小即可得到答案．试题解析：解：（1）设水果有x箱，则蔬菜有（x-800）箱，根据题意，得x+（x-800）=3200解方程得x=2000x-800=1200所以水果和蔬菜分别为2000箱和1200箱．（2）设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车（8－a）辆．根据题意，得解得2≤a≤4．因为a为整数，所以a＝2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：①2×4000＋6×3600＝29600元；②3×4 000＋5×3600＝30000元；③4×4000＋4×3600＝30400元．故方案①的运费最少，最少运费是29600元．所以，运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是29600元．【考点】一元一次方程，不等式组的解集7.（每小题4分，共8分）解方程（1）（2）（x－2）（x－5）=－3【答案】（1）x=－4；x=1；（2）无实根．【解析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）整理成一般形式后用公式法解方程即可．试题解析：（1）x+4=0或x-1=0∴x=－4；x=1（x－2）（x－5）=－3a=1，b=-7，c=13，△=49-52=-3＜0，∴原方程无解．【考点】一元二次方程的解法．8.（6分）某一工程进行招标时，接到了甲、乙两个工程队的投标书，施工1天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案（1）：甲工程队单独完成这项工程，刚好如期完成；方案（2）：乙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多5天；方案（3）：若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完成；在不耽误工期的情况下，你觉得哪种方案最省钱？请说明理由．【答案】方案（3）比较省钱【解析】根据方案（1）的叙述可知：甲工程队单独完成时的时间=工期；由方案（2）可得：乙工程队单独完成这项工程时，所用的天数﹣5天=工期；可以设出工期是x天，即可表示出甲、乙单独完成这项工程时所需要的天数，即可表示出各自的工作效率，根据方案（3）即可列方程求得工期，进而计算方案（1）（3）各自需要的工程款，即可作出比较．试题解析：解：设工期是x天，即可表示出甲、乙单独完成这项工程时所需要的天数是x天，（x+5）天．根据题意得：4（+）+=1，解得：x=20，经检验x=20是原方程的解．则甲、乙单独完成这项工程时所需要的天数是20天，25天．则方案（1）的工程款是：20×1.5=30万元；方案（3）的工程款是：1.5×4+1.1×20=28（万元）．综上所述，可知在保证正常完工的前提下，应选择第三种方案：甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做．答：方案（3）比较省钱．【考点】分式方程的应用9.（本题满分10分）解方程：【答案】原分式方程无解．【解析】方程两边同乘以2x-1，化分式方程为整式方程，解整式方程即可，分式方程一定验根．试题解析：解：方程两边同乘以2x-1可得，10x-5=2（2x-1）6x=3解得x=，经检验，x=是原方程的增根，原分式方程无解．【考点】分式方程的解法．10.（本题满分6分）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来。

二项方程概念

二项方程概念二项方程的概念及相关内容概念•二项方程（Binomial Equation）是指形如ax n+bx n−1+ cx n−2+...+kx+l=0的方程，其中a,b,c,...,k,l为已知常数，n为非负整数，x为未知数。

相关内容1.二项方程的解–二项方程的解就是使方程等式成立的值。

–二项方程等式右边为零时，称为二项方程的根或零点。

–二项方程的根可以是实数、复数或无根。

2.二项方程的求解方法–特殊二项方程的求解：。

•一次二项方程（n=1）：ax+b=0，解为x=−ba •二次二项方程（n=2）：ax2+bx+c=0，解为x=−b±√b2−4ac。

2a–一般二项方程的求解：•当n为奇数时，一般二项方程无法用简单的公式求解，需要采用数值或图像方法进行求解。

•当n为偶数时，一般二项方程可以利用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。

3.二项方程的性质和应用–二项方程的性质：•二项方程可经过变形、配方、换元等操作化为其他形式的方程。

•二项方程的解可以有多个，也可以没有解。

–二项方程的应用：•二项方程常用于描述自然界和社会问题中的变化规律。

•在数学和物理领域中，二项方程是各种数学模型的基础方程，具有广泛的应用价值。

以上是关于二项方程的概念及相关内容的简要介绍。

了解二项方程的定义和求解方法对于解决实际问题和深入学习数学知识都具有重要意义。

二项方程的概念及相关内容概念•二项方程（Binomial Equation）是指形如ax n+bx n−1+ cx n−2+...+kx+l=0的方程，其中a,b,c,...,k,l为已知常数，n为非负整数，x为未知数。

相关内容1.二项方程的解–二项方程的解就是使方程等式成立的值。

–二项方程等式右边为零时，称为二项方程的根或零点。

–二项方程的根可以是实数、复数或无根。

2.二项方程的求解方法–特殊二项方程的求解：•一次二项方程（n=1）：ax+b=0，解为x=−b。

八年级上下册数学知识点整理

⎧ ④ a 把第十六章二次根式第一节二次根式的概念和性质16.1 二次根式1．二次根式的概念: 式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或 0。

2．二次根式的性质① a 2 = a =⎨a(a ≥ 0) ⎩ - a(a ≤ 0)；② ( a ) 2 = a(a ≥ 0)③ ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0) ；a = (a ≥ 0,b > 0)bb 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. （1）被开方数中因式的指数都为 1；（2）被开方数不含有分母。

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式。

2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．2.二次根式的乘法:两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。

即a ⋅b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0).3.二次根式的除法:两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。

4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：a c +bc =(a+b)c (c ≥ 0)a ⋅b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0).aa =b b （a ≥ 0,b>0）( a )n = a n ( a ≥ 0)5.混合运算：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。

2a 2a 2a第十七章一元二次方程 17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

2．一般形式 y=ax ²+b x +c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 2叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法-b ± b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac 3．求根公式 x = ： x = , x = ； 1 2△= b 2 - 4ac ≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ：△＞0 时，方程有两个不相等的实数根△＝0 时，方程有两个相等的实数根△＜0 时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1 ．一般来说，如果二次三项式 ax2 + bx + c （ a ≠ 0 ）通过因式分解得ax 2 + bx + c = a( x - x )( x - x ) ； x 、 x 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根 1 2 1 2 2．把二次三项式分解因式时；如果 b 2 - 4ac ≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果 b 2 - 4ac ＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3．实际问题：设，列，解，答第十八章正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y ，如果在变量 x 的允许取之范围内，变量 y 随变量 x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式 y = f ( x )4．函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量 y 是自变量 x 的函数，那么对于 x 在定义域内取定的一个值 a ，变量 y 的对应值叫做当 x=a 时的函数值。

代数方程专题复习

代数方程专题复习例题分析：例1．解方程组例2．例3．例4． k为何值时，方程组。

（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解。

例5．解方程组例6．解方程组。

例7．解方程组例8．解方程组例9．解方程组例10：【代数方程应用题分类】行程问题：路程=速度×时间顺流逆流航行问题中：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速－水速；1、货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是（）（A ）203525-=x x ；（A ）x x 352025=-；（A ）203525+=x x ；（A ）xx 352025=+. 2、A 、B 两地相距900千米，甲、乙两车分别由A 、B 两地同时出发相向而行，经过8小时它们在途中C 处相遇，相遇后甲再过4小时到达B 地，乙再过16小时到达A 地，求两车速度.3、一轮船顺流下行120千米,然后逆流返航,已知水速1千米/小时,逆流比顺流多化3小时,求顺流速度.4、甲、乙两地之间一部分是上坡路，其余是下坡路.某人骑自行车从甲地到乙地共需2小时40分，从乙地返回甲地少用20分钟，已知在他骑自行车走下坡路比上坡路每小时多走6千米，甲、乙两地相距36千米，求从甲地到乙地上、下坡的长度.5、一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时.以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断.张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我一个小时就跑完了全程，还是慢点.”李：“虽然我的时速快，但最大时速不超过我平均时速的10%，可没有超速违法啊.”李师傅超速违法吗？为什么？6、如图1，x 轴表示一条东西方向的道路，y 轴表示一条南北方向的道路.小丽和小明分别从十字路口O 点处同时出发，小丽沿着x 轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着y 轴以5千米/时的速度由南向北前进.有一颗百年古树位于图中的P 点处，古树与x 轴、y 轴的距离分别是3千米和2千米.问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？（2）离开路口后经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 1、某项工程，若甲单独做2天后，剩下部分由乙去做，则乙还需要做的天数等于甲单独做完此项工程的天数；若乙单独做2天后，剩余的工程由甲去做，则甲还需3天完成.问甲、乙单独完成此工程各需多少天？ 2．装配车间原计划在若干天内装配出44台机床，最初3图1x y OP西南东北小AB小3．解方程或方程组：（1）（2）4．解下列方程：（1）；（2）；5．解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=+-023x ，12=2y + x 22y xy （2） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-12092222y xy x y x 【应用】 1）一般行程问题某人驾车从A 地到B 地，出发2小时后，车子出了点毛病，耽搁半小时修好了车，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达。

(完整word版)上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理

上海市沪教版八年级数学上册知识点梳理第十六章二次根式第一节二次根式的概念和性质16.1 二次根式1．二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。

2．二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0) ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0） n ≥0)第十七章一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a---= , = ；△=24b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3．实际问题：设，列，解，答第十八章正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1．如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5．正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数反比例函数的定义域是不等于零的一切实数 3．反比例函数(0)k y k k x =≠是常数,有如下性质：（1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。

专项二方程应用题

1专项二方程解分数应用题例1、甲乙共有人民币440元，甲的钱数的21与乙的53钱数相等，甲乙两人各有多少钱？1、甲乙两班共有84名学生，甲班人数的85与乙班的43共有57人，求甲乙两班各有多少人？2、甲乙两个书架，甲书架的41相当于乙书架的52，甲书架比乙书架多存书120本，两个书架原来各有多少本书？例2、某学校五年级共有学生152名，选出男生的111乙和5名女生参加科技小组，剩下的男女人数刚好相等。

这个年级男女各有多少名？1、两根铁丝一共长33米，第一根铁丝用去32，第二根铁丝用去12米，第二根铁丝剩下的长度是第一根剩下长度的21。

两根铁丝原来各长多少米？2、某班有学生56人，抽出男生人数的41和女生人数的51后，还剩43人，这个班有男女各有多少人？例3、两根绳子，一根长6米，另一根长8米，把两根绳子都剪去同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的53。

两根绳子各减掉多少米？1、有两根铁丝，一根长12米，第二根长15米，两根铁丝各剪去同样长的一段后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的32。

两根铁丝各剪去了多少米？例4、有甲乙两堆煤，原来甲堆煤的质量是乙堆的85，如果从乙堆运22吨煤到甲堆，那么甲堆煤的质量就是乙堆的97。

原来甲乙两堆煤各有多少吨？1、有甲乙两个粮库，原来甲粮库的质量是乙粮库的75，如果从乙粮库调12吨到甲粮库，那么甲粮库存粮的质量就是乙粮库的54，甲乙两个库原来各存粮多少吨？2、弟弟的存钱数是姐姐的32，如果姐姐给弟弟12元，那么弟弟的存钱数就是姐姐的43。

姐弟两人原来各存钱多少元？2例5、糖果盒中奶糖占糖果总数的83乙，后来又放入20块奶糖，这时奶糖占糖果总数的127。

这盒糖果中现在有多少块奶糖？1、口袋里有若干个球，其中红球占了总数的125，后来又放入了8个红球，这时红球占总数的21，现在口袋里有多少个球？2、在操场做游戏的学生中，男生人数占做游戏总人数的73，后来从教室又有11名同学参加游戏，这时男生人数占做游戏总人数的85。

二项式定理中的数学思想方法

二项式定理中的数学思想方法现代化的教育教学理念，要求学生能“综合与灵活的应用所学数学知识、思想方法，进行独立的思考、探索和研究问题，提出解决问题的思路，创造性地把问题解决好”；因此我们学习每一部分知识时，要善于回味、归纳、总结规律，从而提炼出精华的数学思想方法，将知识转化为能力，使所学知识得以升华．笔者仅就二项式定理中数学思想方法的感悟，写给读者，希望能够起抛砖引玉的作用．归纳如下：一、函数与方程思想例1 已知22012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，若12129n a a a n -+++=-，求n ．解析：0111a n =+++=，1n a =．令1x =，则230122222n n a a a a ++++=++++，112102(12)2(21)12312n n n n n a a a a a n n +--+++=--=---=---∴，12329n n n +--=-∴，4n =∴．点评：二项式定理的应用中，求系数的取值总是列出方程，通过赋值求解，把二项展开式看作x 的函数()f x ，其系数问题与函数值(1)f 的展开式相联系．二、转化与化归思想例2 设a ，b 是两个整数，若存在整数d ，使得b ad =，称“a 整除b ”，记作|a b ．给出命题：①22|(1)n n ++；②10100|(991)-；③45|(21)()n n *-∈N ，其中正确命题的题号是．解析：对于①，2(1)n n n n +=+∵必为偶数， 21n n ++∴为奇数，即22|(1)n n ++不正确．对于②，1010010199101010(991)(1001)1100100100C C C -=--=-+-···，∴②正确．对于③，4101112(151)1151515n n n n n n n n C C C ---=+-=+++···，∴③正确，故填②③．点评：利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，转化成便于操作的二项式的结构，这是解决问题的关键，然后再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了．例3 （上海高考题改编）求和：2341012311111(1)11111n nnn n n n n a a a a a C C C C C a a a aa+------+-++------．分析：这是一个与组合数有关的式子求和问题，通常进行合理变形，利用组合数的性质，转化为二项式的结构，再逆用二项式定理，将式子的值求出．解：原式 01230122331[(1)][(1)]11n nn n nn n n n n n n n n n a C C C C C C aC a C a C a C aa-+-++---+-++---1(1)(11)(1)111n n na a a a a a a -=---=---．点评：本例体现了分组求和，创设二项式定理的结构形式，逆用、活用二项式定理的思想；其中第二组的和可以推广为：若数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，则：0123123411(1)(1)n nn n n n n n n a C a C a C a C a C a q +-+-++-=-．0123123411(1)nn n n n n n n a C a C a C a C a C a q ++++++=+．例4 求证：132(2)(2)n n n n n -*>+∈N ，≥．证明：01122113(21)222222(2)n n n n n nn n n nn n n C C C C n n ----=+=++++>+=+·．点评：本题是一个与自然数有关的不等式问题，当然可以考虑用数学归纳法证明，但是与(1)n x +的展开式进行对照，只要令2x =，所证不等式的左边就化为二项式展开式的结构，再进行合理的取舍，问题获证，这不失为一个快捷方法．三、整体思想例5 在8x ⎛+ ⎝的展开式中，哪一项的二项式系数最大？哪一项的系数最大？解析：解决这类问题应注意二项式系数与项的系数的区别，令1r r A A +，分别为展开式的第r 项和第1r +项的系数，仿照研究二项式系数的变化规律的方法，我们来研究本展开式各项系数的变化规律． 1812rr r A C +⎛⎫= ⎪⎝⎭∵·，11812r r r A C --⎛⎫= ⎪⎝⎭·，8111818!192!(8)!28!21(1)!(81)!2rrr r r r C A r r r A r C r r +--⎛⎫⎪--⎝⎭===⎛⎫⎪--+⎝⎭··∵·． ∵当13r ≤≤时，11r r A A +≥，即1r r A A +≥，当38r <≤时，11r rAA +<，即1r r A A +<， {}n A ∴的变化规律是先单调递增，后单调递减．注意到3r =时，34A A =，故展开式的第三、四项的系数最大．点评：二项式的通项公式是求某些特定项或二项式系数最大的项的有利工具，此处用整体思想考虑问题，观察{}n A 的变化规律，做到胸中有全局，方向明确，脉络清楚，正确得结果．二项式系数的求和问题1．赋值求和问题例1 设2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++，求13521n a a a a -++++的值．解：令1x =，得01223n n a a a a ++++=；令1x =-，得0122121n n a a a a a --+--+=，两式相减得：13521312n n a a a a --++++=．2．逆用定理求和问题例2 已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，求和：0121231nnn n n n a C a C a C a C +++++．解：1201221231111n n n nn n n n n n n n n a C a C a C a C a C a qC a q C a q C ++++=++++012211()(1)n nn n n n n a C qC q C q C a q =++++=+．3．倒序相加求和问题例3 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，求和：0121231nnn n n n a C a C a C a C +++++．解：令0121231nn n n n n S a C a C a C a C +=++++，则120111n n n n n n n n n n S a C a C a C a C --+-=++++012111nn n n n n n n a C a C a C a C +-=++++，两式相加，得01211231112()()()()nn n n n n n n n S a a C a a C a a C a a C +-+=++++++++．又在等差数列{}n a 中，11231112n n n na a a a a a a a a n d +-++=+=+==+=+，所以012112(2)()(2)2nn n n n n S a nd C C C C a nd =+++++=+，所以11(2)2n S a nd -=+．4．建模求和问题例4 求和：12()r r r rr r r nC C C C r n ++++++<．解：此式为1(1)(1)(1)r r n x x x +++++++的展开式中r x 项的系数，而11(1)(1)(1)(1)(1)n rr r nx x x x x x+++-+++++++=从而转化为求1(1)(1)n r x x ++-+展开式中1n x +项的系数，所以1121r r r r r r r r n n C C C C C ++++++++=．5．裂项求和问题例5 求和：22222341111nC C C C ++++．解：因为211222(1)(1)12nn n C n n n n ===----，所以222223411112222222212231n C C C C n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．6．递推求和问题例6 求和：12()r r r rr r r n C C C C r n ++++++<．解：因为111m m m n n n C C C ++++=，所以112112r r rr r r rrr r r n r r r n C C C C C C C C ++++++++++=++++11131r rr r r r n n n n C C C C C +++++=++==+=．高考中的二项式定理问题分类解析二项式定理问题相对独立，高考对二项式定理的考查，以二项展开式及其通项公式内容为主，题型繁多，解法灵活且较难掌握。

整式方程知识讲解

整式方程知识讲解责编：杜少波【学习目标】1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.4．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；5．学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.【要点梳理】要点一、一元整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元n 次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。

要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.要点二、二项方程1.概念：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①n ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式：),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+3. 二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，x =；当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.要点三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：)0(024≠=++a c bx ax3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。

二项分布的期望和方差的详细证明

二项分布的期望和方差的详细证明大家好，今天我们来聊聊二项分布的期望和方差。

咱们得明白什么是二项分布。

二项分布呢，就是说，有n次独立的伯努利试验，每次成功的概率都是p。

那么这n次试验中成功了多少次呢？这个我们就用X来表示。

那么问题来了，X的期望是多少呢？方差又是多少呢？别急，我们一步一步来分析。

我们来看期望。

假设这n次试验是完全独立的，那么每次试验成功的概率都是p,失败的概率都是1-p。

所以，每次试验成功的概率加起来就是1。

那么，X次试验中成功的次数加起来就是n*p。

所以，X的期望就是n*p。

这个期望很好理解吧，就是每次试验成功的概率乘以试验的次数。

接下来，我们来看方差。

方差是什么呢？方差就是衡量数据离散程度的一个指标。

有了期望，我们就知道了每次试验成功的概率加起来是1。

那么，X次试验中成功的次数加起来减去期望值就是方差。

所以，X的方差就是n*p*(1-p)/n^2。

这个方差也好理解吧，就是每次试验成功的概率乘以(1-成功的概率),再除以试验次数的平方。

现在我们已经知道二项分布的期望和方差了，那么怎么用这两个概念来解决实际问题呢？比如说，我们要估计一个实验需要进行多少次才能达到95%的可信度。

这个问题呢，我们可以用二项分布来解决。

因为可信度是一个概率问题，而二项分布正好可以描述这种概率问题。

我们要确定成功的概率p和可信度对应的事件数z。

可信度是指在n次独立试验中，至少发生z次成功的概率。

所以，我们可以得到这样一个等式：p^z + (1-p)^(n-z) >= 0.95。

这个等式的意义是：在n次独立试验中，至少有z次成功的概率大于等于95%。

接下来，我们要解这个等式。

这个等式其实挺难解的，但是我们可以用二项分布的期望和方差来帮助我们求解。

我们把等式两边同时取对数：log(p^z + (1-p)^(n-z)) >= log(0.95)。

然后，我们可以把等式左边的指数部分提取出来：z * log(p) + (n-z) * log(1-p) >= log(0.95)。

拉格朗日第二类方程

A M A Q M
T 1 2 P 9Q ; ( R r )2 6 g d T 1 2 P 9Q T 2 ; (R r) 0 dt 6 g
r t 0 对定常系统，r i 中不显含时间t，即，于是 i/
T1 =0，T0 =0
k k 1 T T a q q 2 j j 2 j 1 1
( 6 . 1 . 6 )
故定常系统的动能是广义速度的二次齐次函数（二次型）。
由于动能恒为正，故只有当系统所有质点全部静止时动能才有零值，因而以广义速度表示的动能的二次型是正定的。
于是：
r r i i r q i j q t j 1 j
k
( 6 . 1 . 2 )
其中 r q , r t 都是qj和t的函数 i/ j i/
系统的动能：
1 n1 2 T m r r m r i i i i i 2 2 i 1 i 1
( c )
第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：
F r Q q i i j j
i 1 j 1
n
k
( d )
第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：
r i m a r m a ( qj ) i i i i i qj i 1 i 1 j 1
1n r r i i m i 2i t t 1 k n 1k k n r r r r i i i i ( m ) q q ( m ) q i j i j 2j q q q t 1 1 i 1 j 1 i 1 j j
9
式中： q 广义速度 j—

二项式定理课件

的二项展开式中，的二项展开式中，常数
答案：答案：60
二、题型与方法
考点一通项公式的应用通项公式中含有a，，，，＋个元素个元素，通项公式中含有，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知道了其中的4个元素就可以求出第5个元素个元素，个元素，道了其中的个元素，就可以求出第个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组这里必须注意隐含条件n，均为非负或方程组)．解方程或方程组．这里必须注意隐含条件，r均为非负整数且r≤n. 整数且
n(n −1) 2 (1+ x) ≈1+ nx+ x 2
n
当n为偶数时，f (r ) max = f ( n ) = C n 2
0 1 2 n Cn + Cn + Cn + ⋯ + Cn = 2 n
n 2
n −1 2
n +1 2
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于 2n-1,即
0 2 4 1 3 5 C n + C n + C n + ⋯ = C n + C n + C n + ⋯ = 2 n −1
变式: )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，变式若(2x＋＋＋的值是( 则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是 A ) A．1 B．－1 C．0 D．2 ．．．．
【规律小结】规律小结】对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法，对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法，赋值法一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0 ＝得常数项，可得所有项系数和，＝－1可得奇数得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－可得奇数＝可得所有项系数和＝－次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式次项系数之和与偶数次项系数之和的差，中含负值项时，＝－1则可得各项系数绝对值之和中含负值项时，令x＝－则可得各项系数绝对值之和．＝－则可得各项系数绝对值之和．

§21.2二项方程

预设学生回答： 1、 1、二项方程的概念如果一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程． 2、 2、解二项方程的一般步骤
4
axn b 0 axn b b xn a b (相当于求的n次方根.) a
当 n 为奇数时方程有且只有一个实数根．当 n 为偶数时如果 ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数．如果 ab>0，那么方程没有实数根．
师：我们已经会解一元一次方程和一元二次方程了，那么是否所有的一元高次方程我们现在都能求解呢？我们来看这几个方程—— （教师划出几个二项方程，如果学生没有写出二项方程，那么教师可以补充几个二项方程．例如：） ……
x3 8 0
1 5 x 16 0 2
5 x 3 18 0
（3） (
1 x 1) 5 5 0 2 1 （3）解： x 1) 5 -5 ( 2 1 x 1 5 5 2 1 x 5 5 1 2 x 2 5 5 2
原方程的根是 x 2 5 5 2
5、巩固练习：书 P31/3 一、二、三、课堂小结今天这节课你学到了哪些知识？有哪些收获？
3
（1）是．一元三次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，（2）不是．方程的一边含有未知数项有两项，缺少非零常数项．（3）是．移项后，是一元五次方程，且方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零． (4)不是．方程的一边含有未知数项有两项，缺少非零常数项,同时另一边不是零．
（2） 2(1 3x) 10 0 （2）解： (1 3x ) 4 5

高中数学经典方程

高中数学经典方程在高中数学中，有许多经典的方程和公式，这些方程和公式在数学教学和应用中都有着重要的地位。

以下是一些高中数学中经典的方程和公式：1. 一次方程：\( ax + b = 0 \)，其中\( a \) 和\( b \) 是实数，\( a \neq 0 \)。

2. 二次方程：\( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中\( a \)，\( b \)，和\( c \) 是实数，\( a \neq 0 \)。

3. 勾股定理：对于直角三角形，\( a^2 + b^2 = c^2 \)，其中\( c \) 是斜边，\( a \) 和\( b \) 是两直角边。

4. 两点之间的距离公式：在直角坐标系中，两点\( (x_1, y_1) \) 和\( (x_2, y_2) \) 之间的距离为\( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)。

5. 函数：\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，这是二次函数的一般形式。

6. 直线方程：标准形式\( y = mx + c \)，其中\( m \) 是斜率，\( c \) 是截距。

7. 指数和对数方程：例如\( a^x = b \) 或\( \log_a b = x \)，其中\( a \) 是底数。

8. 正弦、余弦和正切函数：这些三角函数在三角学中非常重要。

9. 等差数列的通项公式：\( a_n = a_1 + (n-1)d \)，其中\( a_1 \) 是首项，\( d \) 是公差。

10. 等比数列的通项公式：\( a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \)，其中\( a_1 \) 是首项，\( r \) 是公比。

这只是高中数学中的一些基础和经典方程和公式。

高中数学涵盖了更多的主题，包括几何、代数、函数、三角学等。

上述方程和公式为学生提供了解决问题的基本工具。

一元高次方程解法

axn b 0(a 0,b 0, n是正整数）
• 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.
• 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.
2.概念辨析
• （1）双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. • 注当常数项不是0时，规定它的次数为0. • （2）一般形式：
q y1 3 2
(q)2 ( p)3 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
y2
3

q 2

(q)2 ( p)3 2 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
y3
2
3

q 2

(q)2 ( p)3 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
•设
• •则
(y-9)(y+9)=19，
•即
y²-81＝19．
•
一般的高次方程及解法
• 一、 1判根法
• 例解方程x4+2x³-9x²-2x+8=0 • 二、常数项约数求根法 • 例1 解方程x4+2x³-4x²-5x-6=0 • （高代第一章的方法）
三、倒数方程求根法
• 1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，或者a= -e,b= -d
一般形式： • 关于x的0(a 0, b 0, n是正整数）
• 注 ①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. • ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.

二项不等式

二项不等式二项不等式是高中数学中的重要内容之一，是研究带有二项式的不等式关系的数学方法。

首先，我们来了解一下什么是二项式。

二项式二项式是指具有形如a m b n 的代数式，其中a 和b 是实数或者变量，m 和n 是非负整数。

例如，2x 3y 2和3a 2b 都是二项式。

二项不等式的定义对于给定的二项式P(x)=∑a k n k=0x k ，其中a k 是实数，n 是非负整数，二项不等式的定义如下：• 当n 为奇数时，P(x)>0 (∀x ≠0)；• 当n 为偶数时，存在至少一个x 0≠0，使得P(x 0)>0且P(x)在x =x 0左侧保持正，而在x =x 0右侧保持负。

二项不等式的解法我们以二元二次函数为例来说明二项不等式的解法。

设二项不等式的二项式为ax 2+bx +c ，其中a >0，b 和c 是实数。

根据二项不等式的定义，我们可以按照以下步骤来求解：步骤1：将二项式化简为标准形将二项式ax 2+bx +c 移项化简为ax 2+bx +c −k =0，其中k >0。

步骤2：求出二项式的判别式△判别式△=b 2−4ac 可以判断二次函数的两个根的性质，从而帮助我们求解二项不等式。

步骤3：根据判别式的值确定解集• 当△=0时，二项式有两个相等的实根x 1=x 2=−b 2a 。

此时整个实数集上，二项式的正负情况按照二项不等式的定义，可以求得解集为(−∞,x 1]∪[x 1,+∞)。

• 当△>0时，二项式有两个不相等的实根x 1和x 2。

此时整个实数集上，二项式的正负情况按照二项不等式的定义，可以求得解集为(−∞,x 1]∪[x 2,+∞)。

• 当△<0时，二项式没有实根。

此时我们需要通过二项式的顶点来判断二项式的正负情况。

二次函数的顶点坐标为(ℎ,k)，其中ℎ=−b 2a ，k =△4a 。

根据二项不等式的定义，我们可以求得解集为(−∞,ℎ]∪(ℎ,+∞)。