北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】

第9章欧几里得空间
9.1复习笔记
一、定义与基本性质
1．欧几里得空间定义
设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：
（1）（α，β）＝（β，α）；
（2）（kα，β）＝k（α，β）；
（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；
（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.
这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．
2．长度
（1）定义
非负实数称为向量α的长度，记为|α|．
（2）关于长度的性质
①零向量的长度是零，
②|kα|＝|k||α|，
③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1
α
α
就是一个单位向量，通常称此为
把α单位化．
3．向量的夹角
（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有
|（α，β）|≤|α||β|
当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．
（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为
（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．
零向量才与自己正交．
（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．
4．有限维空间的讨论
（1）度量矩阵
设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得
a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），
显然a ij＝a ji，于是
利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，
其中
分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．
（2）性质
①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．
②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．
二、标准正交基
1．正交向量组
欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．
按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．
2．标准正交基
（1）定义
在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．
说明：
①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．
②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．
（2）标准正交基的求法
①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．
②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把
α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），
α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）
变成单位正交的向量组．
解：①先把它们正交化，得
β1＝α1＝（1，1，0，0），
②再单位化，得
3．基变换公式
设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即
因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以
矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．
4．正交矩阵
n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．
三、同构
1．同构定义
实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足
（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），
（2）σ（kα）＝kσ（α），
（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），
这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．
同构的欧氏空间必有相同的维数．
每个n维的欧氏空间都与R n同构．
2．同构的性质
同构作为欧氏空间之间的关系具有
（1）反身性；
（2）对称性；
（3）传递性；
（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．
.
四、正交变换
1．定义
欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．
2．性质。