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中考初三数学冲刺拔高专题训练含答案

中考数学冲刺拔高专题训练目录专题提升（一）数形结合与实数的运算. (1)专题提升（二）代数式的化简与求值 (5)专题提升（三）数式规律型问题 (9)专题提升（四）整式方程（组）的应用 (15)专题提升（五）一次函数的图象与性质的应用. (22)专题提升（六）一次函数与反比例函数的综合. (31)专题提升（七）二次函数的图象和性质的综合运用. (41)专题提升（八）二次函数在实际生活中的应用. (48)专题提升（九）以全等为背景的计算与证明. (54)专题提升（十）以等腰或直角三角形为背景的计算与证明. (60)专题提升（十一）以平行四边形为背景的计算与证明. (69)专题提升（十二）与圆的切线有关的计算与证明. (77)专题提升（十三）以圆为背景的相似三角形的计算与. (83)专题提升（十四）利用解直角三角形测量物体高度或宽度. (92)专题提升（十五）巧用旋转进行证明与计算. (99)专题提升（十六）统计与概率的综合运用. (106)专题提升（一）数形结合与实数的运算类型之一数轴与实数【经典母题】如图Z1- 1,通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把.2和—2表示在数轴上.图Z1 — 1【思想方法】（1）在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数.我们说实数和数轴上的点 --- 对应；（2）数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题.利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题.【中考变形】1. [2017北市区一模]如图Z1 —2,矩形ABCD的边AD长为2, AB长为1,点A在数轴上对应的数是一1,以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（C ）图Z1—2A. 5+ 1B. 5C. 5—1 D . 1—5【解析】：AD长为2, CD长为1,二AC= . 22+ 12= 5,v A点表示—1 ,二E 点表示的数为,5— 1.2. [2016娄底]已知点M , N, P, Q在数轴上的位置如图Z1—3,则其中对应的数的绝对值最大的点是（D ）图Z1—3A. MB. NC. PD. Q3. [2016天津]实数a, b在数轴上的对应点的位置如图Z1 —4所示，把一a,—b, 0按照从小到大的顺序排列，正确的是（C ）图Z1—4A . —a v 0v—b B. 0v —a v —b【解析】•••从数轴可知a v O v b,A—b v0,—a>0,二—b v O v — a.4. [2017余姚模拟]如图Z1 —5,数轴上的点A, B, C, D, E表示连续的五个整数，若点A, E表示的数分别为x, y,且x+ y = 2，则点C表示的数为（B ）图Z1—5A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】根据题意，知y—x=4,即y= x+ 4,将y=x+ 4代入x+ y= 2,得x+x + 4= 2,解得x=—1,则点A表示的数为一1,则点C表示的数为一1 + 2= 1.5. 如图Z1 —6,在平面直角坐标系中，点P的坐标为（一2, 3）,以点0为圆心，以0P为半径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于（A ）图Z1—6A . —4和一3之间B. 3和4之间C.—5和一4之间 D . 4和5之间【解析】•••点P的坐标为（一2, 3）,••• OP= 22+ 32= 13.•••点A, P均在以点0为圆心，以0P为半径的圆上，二OA= OP=%13,•/ 9v 13v 16,二3v 13v 4.•••点A在x轴的负半轴上，•••点A的横坐标介于一4和一3之间.故选A.6. [2017成都改编]如图Z1 —7,数轴上点A表示的实数是 -V2 .图Z1—7【中考预测】如图Z1 —8,数轴上的点A, B分别对应实数a, b,下列结论中正确的是（C ）图Z1—8A . a> b B. |a|> |b|C. —a v bD. a+ b v 0【解析】由图知，a v0v b且|a|v|b|,；a+ b>0,即一a v b,故选C.类型之二实数的混合运算【经典母题】计算：2X (3+ ,5) + 4-2X 5.解：2X (3 + 5)+ 4- 2X 5 = 2X 3 + 2X 5 + 4-2X 5 = 6+ 4+ 2X 5-2X 5=10.【中考变形】1. [2016 台州]计算：4- - 2 + 2「I.1 1 解:原式=2—2+ ~1= 2.1 — 12. [2017 临沂]计算：|1—慣| + 2cos45—<8+ 2 .1 —1 2解：|1—2| + 2cos45°—8+ 2 = 2- 1+ 2X/-2 2+ 2= 2- 1+ 2-2 2+ 2= 1.3. [2017 泸州]计算：(一3)2+ 2 0170- . 18X sin45° .解：(一3)2+ 2 0170- .18X si n45°= 9+ 1-3.2X~2=10-3= 7.【中考预测】1 —1计算：P12 —3tan30 + ( n—4)°— 2 .I —1 ^[3解：.12—3tan30°+ ( — 4)0—= 2 3—3X& + 1—2= 3—1.专题提升(二)代数式的化简与求值类型之一整式的化简与求值【经典母题】已知x+y= 3, xy= 1,你能求出x2+ y2的值吗？(x—y)2呢？解：x2+ y2= (x + y)2—2xy= 32—2X 1 = 7;(x—y)2= (x+ y)2—4xy= 32—4X 1 = 5.【思想方法】利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题.完全平方公式的一些主要变形有：(a+ b)2+ (a—b)2= 2(a2+ b2), (a + b)2—(a —b)2 =4ab, a2+ b2= (a + b)2—2ab= (a—b)2+ 2ab,在四个量a+ b, a—b, ab 和a2+ b2 中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量.【中考变形】1•已知(m—n)2= 8, (m+ n)2= 2,贝U m2+ n2的值为(C )A . 10 B. 6 C. 5 D. 31 o 12. 已知实数a满足a—-= 3,则a2+y的值为11 .a a1 1 1【解析】将a—舌二3两边平方，可得a2—2+孑=9, 即卩a2+孑=11.3. [2017 重庆B 卷]计算：(x+ y)2—x(2y —x).解:原式=x2+ 2xy+ y2—2xy+ x2= 2x2+ y2.4. [2016漳州]先化简(a+ 1)(a—1)+ a(1 —a) —a,再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)?解：原式=a2—1 + a —a2—a=—1.故该代数式的值与a的取值没有关系.【中考预测】1先化简，再求值：(a —b)2+ a(2b—a)，其中a= —q,b = 3.解：原式=a2—2ab+ b2+ 2ab—a2= b2.1当a= —2， b = 3 时，原式=32= 9.类型之二分式的化简与求值【经典母题】a 2+b 2 ； ab ； x 2 — 4 x-b 2 a 2+ b 2 -2b 2 _ 2b ； ab — ab —【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；(2) 注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；(3) 分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；(4) 要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别. 【中考变形】解：原式_ 3a 2— 4 (a — 1) 2 a + 2 a +2a +2(a + 1) (a — 1) a + 2 a +1_ a + 2 • (a — 1) 2_a — 1x 2— 1 卄 x + 1 x 2+ x ，其中 x = 2.x — 1 X (x + 1) _ X x + 1 (x + 1)( x — 1) _x + 1. 22当x _ 2时，原式_笫_ 3 【中考预测】计算：⑴b —b~3x x⑵ x —2—X T 2 2 解:⑴原式二-ab (2)原式=3x (x + 2) — x (x — 2) ~(x — 2)( x + 2)~x 2_ 4 2x 2+ 8x x — x 2 — 4x 2— 42x + 8.1. [2017重庆A 卷]计算:七+a —2 宁 a!^ a + 2 a + 2 2. [2017攀枝花]先化简，再求值:解：原式= x + 1 — 2 X (x + 1)(x + 1)( x — 1)1.解：原式=x 2— 4x + 3 1 x 2 —2x + 1 2x — 3 「3-x x 2一 3x + 2 x — 2，4x + 3 1 1(x — 1) 2 2 3x — 3 (x — 1) (x — 2)一 x — 2 先化简，再求值: 其中x = 4. (x — 2) 2 x 2— x x — 1 2x — 2 x — 2 x 一 3x — 3 x —2=x — 2.当 x =4 时，原式=x — 2 = 2.类型之三二次根式的化简与求值【经典母题】已知 a = 3+ 2, b = 3— 2,求 a 2 — ab + b 2 的值. 解：va = ,3+ 2,b = ,3— ,2,：a + b = 2,3, ab = 1, ••• a 2 — ab + b 2 = (a + b)2— 3ab = (2.3)2 — 3= 9. 【思想方法】在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把 a + b ，a — b ， ab 当作整体进行代入.整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单.整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一. 【中考变形】1 .已知m = 1 + 2, n = 1 — 2,则代数式.m 2+ n 2— 3mn 的值为C . 3 2. [2016仁寿二模]先化简，再求值: 2 a —2 1^2a —b —2ab + b 2 1 1 a —b ，其中 a = V 2+ 1, b=V 2—(a — b ) 2解：原式=丫 +b )( b )十吟=匕(a + b )( a — b ) ab a + bab = ab b — a a +b ，当a =@+ 1, b =迈一1时，原式=—才2 =X — yx y3. [2017绵阳]先化简，再求值：x — 2xy + y ? — x 2_2xy 宁X —"2y ，其中X = 2农，丫=卩解:原式=F —A 一x(^yr 亠总x —y x — 2y ' x — 2y(x — 2y ) — ( x — y )(x —y )( x — 2y )【中考预测】ab + a (a + b ) + b 2(a + b ) 2=ab ( a + b ) = ab ，解：原式=「a + b =^ + 些=5, ab =^x 些=1,y x — 2y =(x — y )( x — 2y )x — 2y = 1x —y当 x = 2 2, y = 2时, 原式=一 1不=—2= 1__ J22 .1先化简，再求值： 1 + _ +a +b + b +a (a +b )b ，其中5+ 1 5—1a= 2，b =2 a + bab (a + b )专题提升(三) 数式规律型问题经典母题】观察下列各式：52= 25;152 = 225;252= 625;352= 1 225;你能口算末位数是 5 的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．解：把末位数是5的自然数表示成10a+ 5的一般形式，其中a为自然数，则(10a + 5)2= 100a2+ 100a + 25= 100a(a+ 1) + 25,因此在计算末位数是 5 的自然数的平方时，只要把100a 与a+ 1 相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之【中考变形】1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2= 1 ;8+ 7－6－5= 4;15+14+13－12－11－10=9; 24+23+22+21－20－19－18－17=16;根据以上规律可知第10 行左起第 1 个数是( C )A．100 B．121 C．120 D．82【解析】根据规律可知第10行等式的右边是1/= 100,等式左边有20个数加减.••• 这20 个数是120+ 119+ 118+...+ 111—110— 109- 108— (102)101,二左起第1 个数是120.2. [2016邵阳]如图Z3—1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B )图 Z3— 1A . y = 2n + 1B . y = 2n + nC . y = 2n +1 + nD . y = 2n + n + 1【解析】•••观察可知：左边三角形的数字规律为 1, 2,…，n ,右边三角形的数字规律为21, 22…，2n ,下边三角形的数字规律为1 + 2, 2 + 22,…，n + 2n ,「.最后一个三角形中y 与n 之间的关系为y =2n + n.3. [2018中考预测]根据图Z3 — 2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019, 箭头的方向是下列选项中的（D ）图 Z3 — 2【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2 017- 4= 504……1,••• 2 017是第505个循环组的第2个数， •••从2 017到2 018再到2 019,箭头的方向是故选D.4. 挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走.如 Z3 —3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走（D ）A .②号棒B .⑦号棒C .⑧号棒D .⑩号棒【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒.5. [2017烟台]用棋子摆出下列一组图形（如图Z3 — 4）:图 Z3 — 4按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为A. 3nB . 6nC . 3n + 6D.3 n + 3 图 Z3— 3 条图【解析】•••第1个图需棋子3+ 3 = 6;第2个图需棋子3X 2 + 3= 9;第3个图需棋子3X 3+ 3= 12;….••第n个图需棋子（3n+3）个.6•古希腊数学家把数1, 3, 6, 10, 15, 21,…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__, 2 016是第__63—个三角形数.【解析】根据所给的数据发现：第n个三角形数是1 + 2+ 3+- + n,则第9个三角形数是1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9= 45;由 1 + 2+ 3+ 4+ - + n =2 016,得门（罗"=2 016,解得n = 63（负数舍去）.7. 操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序1 1 1数的倒数加1.如：第1位同学报+ 1，第2位同学报1+ 1，第3位同学报+ 1，… 这样得到的100个数的积为_101_ .1 2 1 3【解析】•••第1位同学报的数为1+ 1= *第2位同学报的数为扌+ 1=号，第3位1 4同学报的数为3+1 = 4，…1 101•••第100位同学报的数为盘+ 1=気1，234 101•这样得到的100个数的积=2乂^X4X —X 100= 101.8. [2017潍坊]如图Z3-5,自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为_9n + 3_ .图Z3 - 5【解析】•••第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，•正方形和等边三角形的和=6+ 6= 12= 9+ 3; v第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，•正方形和等边三角形的和= 11+ 10= 21 = 9X 2 + 3; v第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，•正方形和等边三角形的和= 16+ 14= 30 =9X 3+ 3,….••第n个图中正方形和等边三角形的个数之和= 9n + 3.9. 观察下列等式：第一个等式：a1= — = .2- 1;1 + 7 2第二个等式：4 ,2+;3- 3 2；第三个等式：a3= ,31+ 2=3；第四个等式：1a4= 2+：5= 5 —2；按上述规律，回答以下问题：1 __________⑴用含n的代数式表示第n个等式：a n= 需十= n+ 1 -斤；(2)a i + a2 + a3+・・・+ a n= \/n+ 1 —1【解析】a i + a2+ a3 +…+ a n= ( .2—1)+ ( . 3—, 2) + (2 —. 3) + ( , 5—2) + …+ (n+ 1—n) = n+ 1 —1.10. [2016山西]如图Z3—6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有4n+ 1个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示).图Z3 — 6【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5+ 4( n—1) = 4n+ 1(个).11. 如图Z3 —7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有一5n+ 1__根小棒.图Z3 —7【解析】•••第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6+ 5X 1= 11根小棒，第3个图案中有6+ 5X 2= 16根小棒，….••第n个图案中有6+ 5(n—1)= 5n+ 1根小棒.12. 《庄子天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3 —8所示.1 1 1 1 1由图易得2+22+艺+…+歹=_1—刁_.图Z3 —813. [2016安徽](1)观察图Z3 —9中的图形与等式的关系，并填空：图Z3 —9【解析】1 + 3+ 5+ 7= 16= 42,观察，发现规律：1 + 3= 22, 1 + 3+ 5= 32, 1 + 3 + 5+ 7= 42,…二 1 + 3+ 5 + …+ (2n—1)= n2.⑵观察图Z3 —10,根据⑴中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：图Z3 —101 + 3+ 5+-+ (2n- 1)+ 2n+ 1__+ (2n- 1)+…+ 5+ 3+ 1= 2n2+2n+ 1__.【解析】观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n+ 1行，n + 2行到2n+ 1 行，即 1 + 3+ 5+ - + (2n—1)+ [2(n+ 1)—1] + (2n—1)+…+ 5+ 3+ 1 =1 + 3+ 5+ ••• + (2n—1)+ (2n+ 1)+ (2n—1)+ …+ 5+ 3+ 1 = n2+ 2n+ 1+ n2= 2n2 + 2n+ 1.【中考预测】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3—11方式进行拼接.(1) 若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2) 若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？图Z3 —11解：(1)把4张餐桌拼起来能坐4X 4+ 2= 18(人);把8张餐桌拼起来能坐4X 8+ 2= 34(人);⑵设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x+ 2= 90,解得x = 22.答：这样的餐桌需要22张.专题提升（四）整式方程（组）的应用类型之一一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物•若每辆车装 4 t,还剩下8 t未装；若每辆车装4.5 t,恰好装完•这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x辆车，依题意，得4x+ 8= 4.5x，解得x= 16.答：这个车队有16辆车.【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式（组）等的基础，是课标要求，也是热门考点. 【中考变形】1 •学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（C ）A. 25 台B. 50 台C. 75 台 D . 100 台【解析】设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100—x）台, 根据题意可得x= 3（100—x），解得x= 75.2. [2016盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤.妈妈说: “今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”.爸爸说: “报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”.小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）.解：设上月萝卜的单价是x元/斤，则排骨的单价节产元/斤，根据题意，得3（136 —3x+ 50%)x + 2(1 + 20%) 一2 = 45，…-“36—3x 36—3X 2 .一解得x = 2，贝U 2 = 2 = 15.•••这天萝卜的单价是(1 + 50%)X 2= 3(元/斤)，这天排骨的单价是（1+ 20%）X 15= 18（元/斤）.答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.【中考预测】[2016株洲模拟]根据如图Z4—1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格.图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x+ 5X 3x= 30, 解得x= 1.2,—3x= 3.6.答：笔的价格为 1.2元/支，笔记本的价格为 3.6元/本．类型之二二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4 —2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有 1 000张正方形纸板和 2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4—2解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，可恰好将库存的纸板用完.4x+ 3y = 2 000, x = 200，根据题意，得解得x+ 2y= 1 000, y = 400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完.【思想方法】利用方程（组）解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想. 【中考变形】1. 小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节.折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4 —3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰 3.8cm；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰 1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽.①②图Z4—3解：设信纸的纸长为x cm，信封口的宽为y cm.答：信纸的纸长为28.8 cm,信圭寸的口宽为11 cm.2•某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有 10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同•安全检查中，对 4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时， 2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生.⑴求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？⑵检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低 20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在 5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由.解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过 y 名学生, 由题意，得2x + 4y = 560,4x + 4y = 800, 答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过 80名学生;(2) 由题意得共有学生45X 10X 4= 1 800(人),45学生通过的时间为 1 800 -[(120 + 80) X 0.8X 2] = (min). 8I 5v 等，：该教学楼建造的这4个门不符合安全规定.【中考预测】随着“互联网+ ”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价).小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：由题意，得X c c y = 4+ 38,y = 3+1.4,解得 x= 28.8, y= 11.解得 x = 120,(1)求p , q 的值；⑵如果小华也用该打车方式，车速 55 km/h ，行驶了 11 km ,那么小华的打车总费用为多少？解:(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ;小刚的里程数为10 km,时间为12 min.⑵小华的里程数是11 km ,时间为12 min. 则总费用是11p + 12q = 17(元). 由题意得 8p + 8q = 12, 10p + 12q = 16, 解得P = 1,1q = 2；类型之三一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费 50元.⑴当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到 306 600 元？答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆.⑵设每辆车的月租金定为(3 000+ x)元，贝UX x100— 50 [(3 000 + x)— 150] — 50 X 50= 306 600，解得 X 1 = 900, X 2= 1 200， ••• 3 000+ 900= 3 900(元)，3 000+ 1 200= 4 200(元).答：当每辆车的月租金为 3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元.【思想方法】利润=收入一支出，即利润=租出去车辆的租金一租出去车辆的维护费一未租出去车辆的维护费.【中考变形】1. [2017眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为 6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元.调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元.(1) 若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2) 由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10 + 2(a —1)= 14,解得a = 3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品.(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10 + 2(x — 1)][76 — 4(x — 1)] = 1 080,解得 X 1 = 5, X 2= 11(舍去).解：(1)100— 3 600— 3 000 50答：该烘焙店生产的是第5档次的产品.2. [2017重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产.(1) 该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2) 该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售•该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg,销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg,销售均价为20元/kg,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值.【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解.解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400- x)kg，依题意，得400—x<7x，解得x>50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.⑵由题意，得3 000X (1 —m %) + 4 000X (1 + 2m%) X (1 —m%) = 7 000,解得m1=0(不合题意，舍去)，m2= 12.5.答：m的值为12.5.中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少20 kg.(1) 当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2) 若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元.则y= (10+x)(400—20x)=—20x2+ 200x+ 4 000= —20(x—5)2+ 4 500.当x= 5时，y取得最大值，最大值为4 500元.答：当每千克涨价 5 元时，每天的盈利最多，最多为 4 500元；⑵设每千克应涨价a元，则(10+ a)(400 —20a) = 4 420.解得a= 3 或a= 7，为了使顾客得到实惠，••• a= 3.答：每千克应涨价 3 元.专题提升(五)一次函数的图象与性质的应用类型之一一次函数的图象的应用【经典母题】图 Z5 — 1【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线•从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从 “形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标；(2) 一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数形结合的思想. 【中考变形】1 •高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便•五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h 后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(km)与乘车时间t(h)的关系如图Z5 — 2所示•请结合图象解决下列问题：图 Z5 — 2(1) 高铁的平均速度是每小时多少千米？(2) 当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？⑶若乐乐要提前18 min 到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？240解：(1)v = 2—1 = 240(km/h)，答：高铁的平均速度为240 km/h ；⑵设乐乐离开衢州的距离y 与时间t 的函数关系为y = kt ,贝U 1.5k = 120，k = 80，二函数表达式为y = 80t ，当 t = 2 时，y = 160，216— 160= 56(km). 答：乐乐距离游乐园还有56 km ；如图Z5- 1,由图象得5x — 2y + 4 = 0,3x + 2y + 12 = 0的解是x = — 2,⑶把 y = 216 代入 y = 80t ，得 t = 2.7,答：乐乐要提前18 min 到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h.2. [2017宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2 min ，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7: 39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早 1 min 到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程 y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5 — 3所示.图 Z5 — 3(1) 求点A 的纵坐标m 的值；(2) 小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程.解：⑴校车的速度为3詔=0.75(km/min)，点A 的纵坐标m 的值为3+ 0.75X (8 — 6) = 4.5. 答：点A 的纵坐标m 的值为4.5;(2)校车到达学校站点所需时间为 9P.75+ 4= 16(min)，出租车到达学校站点所需时间为16— 9— 1= 6(min)，出租车的速度为9^6= 1.5(km/min)，两车相遇时出租车出发时间为 0.75X (9 — 4)十1.5 — 0.75) = 5(min)，相遇地点离学校站点的路程为 9— 1.5X 5= 1.5(km).答：小刚乘坐出租车出发后经过 5 min 追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5 km. 3.方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地.设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y 与t 的函数关系如图Z5 — 4①所示.方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发 1 h ;甲出发0.5 h与乙相遇…请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC , CD 所在直线的函数表达式；18沪2伽，21624=90(km/h).⑵当20v y v 30时，求t 的取值范围；⑶分别求出甲，乙行驶的路程s 甲, s 乙与时间t 的函数表达式，并在图②所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；4(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从 N 地沿同一公路匀速前往 M 地，若丙经过3 h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？图 Z5 — 4解：(1)设直线BC 的函数表达式为y = kt + b ，k = 40，解得b = — 60， •••直线BC 的表达式为y =40t —60. 设直线CD 的函数表达式为y 1 = k 1t + b 1，100 7..把3，呼，(4，0)分别代入，得33 1 + 10 = 4k 1+ b 1，k 1 = — 20，解得二直线CD 的函数表达式为y 1 = — 20t + 80;b 1 = 80，⑵设甲的速度为a km/h ，乙的速度为b km/h ，根据题意，得0.5a = 1.5b ， 7 彳 7 100 a 3—1= 3b + 2，•••甲的速度为60 km/h ，乙的速度为20 km/h ， •••OA 的函数表达式为y = 20t(0<t < 1)，•••点A 的纵坐标为20, OA 段，AB 段没有符合条件的t 值；9 5当 20v y v 30 时，即 20v 40t — 60v 30或 20v — 20t + 80v 30,解得 2v t v 4或2<t3 7 100把3，0， 7，一亍分别代入，得30 = 2k + b ， 100 73 = 3k + b，解得a = 60,b = 20,v 3;⑶根据题意，得s甲=60t—60 1< t< 7 ,s乙=20t(0< t< 4),所画图象如答图所示；中考变形3答图⑷当t = 3时，s乙= 80,此时丙距M地的路程s丙与时间t的函数表达式为s丙二一40t+ 80(0< t< 2),当—40t + 80= 60t-60 时，解得t= 5,答：丙出发5 h与甲相遇.【中考预测】[2017义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍•两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)的函数图象如图Z5 —5所示.图Z5 — 5(1) 直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式y = 60x(0vx w 6)__;⑵求乙组加工零件总量a的值；(3) 甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？解：(1)：图象经过原点及(6, 360)，二设表达式为y= kx,—6k= 360,解得k= 60,••• y= 60x(0 v x< 6);(2) 乙2 h加工100件，•••乙的加工速度是每小时50件，•更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件，a= 100+ 100X (4.8—2.8)= 300;(3) 乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为y= 100+。

初三提升数学的试卷

1. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. πC. -2D. 2√22. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √253. 已知a、b是方程x^2-4x+3=0的两个实数根，则a+b的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 下列各函数中，一次函数是（）A. y=2x^2+3x-1B. y=3x-4C. y=√xD. y=5x^35. 已知函数y=2x-3，当x=2时，y的值为（）A. 1B. 2D. 46. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=（）A. a1+(n-1)dB. a1+dC. a1-dD. 2a17. 下列各式中，正确的是（）A. a^2+b^2=abB. (a+b)^2=a^2+b^2C. (a-b)^2=a^2+b^2D. (a+b)^2=a^2+b^2+2ab8. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn=（）A. b1q^(n-1)B. b1qC. b1q^2D. b1q^39. 下列各函数中，二次函数是（）A. y=3x^2+2x-1B. y=2x^2-3x+4C. y=√x^2D. y=5x^310. 已知函数y=x^2-2x+1，当x=1时，y的值为（）B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知x^2-5x+6=0，则x=______。

12. 等差数列{an}的前三项分别为1、4、7，则公差d=______。

13. 等比数列{bn}的前三项分别为2、4、8，则公比q=______。

14. 已知函数y=2x-3，当x=5时，y=______。

15. 已知函数y=√x，当x=16时，y=______。

16. 已知函数y=3x^2-4x+1，当x=1时，y=______。

17. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第10项an=______。

18. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第5项bn=______。

九年级数学拓展提高题

九年级数学拓展提高题（一）1.问题：构造ax2+bx+c=0解题，已知：+－1=0，b4+b2－1=0，且≠b2，求的值．2．已知：关于x的两个方程①2x2+（m+4）x+m－4=0与②mx2+（n－2）x+m－3=0，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．（1）求证：方程②两根的符号相同；（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．3. 设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2+2（m－2）x+m2－3m+3=0•有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若x12+x22=0，求m的值;（2）求的最大值．九年级数学拓展提高题（二）12、（3分）（2017德阳）当221≤≤x 时，函数b x y +-=2的图象上至少有一点在函数xy 1=的图象下方，则b 的取值范围为（） A. 22>bB. 29<bC. 3<bD. 2922<<b17（3分）（2013德阳）.2210b b -+=，则221||a b a+-＝＿＿＿＿＿答案：622、（10分）（ 2017德阳）如图，函数()⎩⎨⎧>+-≤≤=3,9)30(,2x x x x y 的图象与双曲线()0,0,>≠=x k xky 相较于点A(3，m)和点B 。

①求双曲线的解析式及点B 的坐标；②若点P 在y 轴上，连接PA,PB ，求当PA+PB 的值最小时点P 的坐标；九年级数学拓展提高题（三）10. （3分）（2016.德阳）已知关于x 的分式方程xx m -=---12111的解是正数则m 的取值范围是 A.34≠<m m 且 B.4<m C.34≠≤m m 且 D.65≠>m m 且17．（3分）（2014•德阳）如图，直线a∥b，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是22.（10分）（2016.德阳）如图，一次函数b x b y ++-=)2(的图像经过点A （-1,0），且与y 轴相较于点C ，与双曲线xky =相较于点P. （1）求b 的值；（2）作PM ⊥PC 交y 轴于点M ，已知S △MPC =4，求双曲线的解析式.九年级数学拓展提高题（四）12．（3分）（2015德阳）已知m=x+1，n=﹣x+2，若规定y=，则y的最小值为（）A．0 B． 1 C．﹣1 D．217. 如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O. 则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③AH＋CH＝DH；④AD2＝OD·DH中，正确的是（填番号）21．（2015德阳）如图，直线y=x+1和y=﹣x+3相交于点A，且分别与x轴交于B，C两点，过点A的双曲线y=（x＞0）与直线y=﹣x+3的另一交点为点D．（1）求双曲线的解析式；（2）求△BCD的面积．九年级数学拓展提高题（五）11.（2017年成都模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；③9a+3b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＜0；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．422．（11分）（2014•德阳）为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：农产品种类 A B C每辆汽车的装载量（吨）4 5 6（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y 轴交于点C，且OC=OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．九年级数学拓展提高题（六）11．（3分）（2014•德阳）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（）C．2D．A．B．18.（3分）（2013德阳）已知二次函数y=ax2＋bx＋c (a 0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0; ②b＜a＋c; ③4a＋2b+c>0④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）其中正确结论的序号有＿＿＿＿＿＿21．（10分）（2014•德阳）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．九年级数学拓展提高题（七）12．（3分）（2014•德阳）已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤3B．2＜b≤3C．8≤b＜9 D．3≤b＜421．（2012•德阳）已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的解析式；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．22．（2015德阳）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．（1）求面料和里料的单价；（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润=销售价﹣布料成本﹣固定费用）②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP 客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．九年级数学拓展提高题（八）12（2017年成都中考）.”和线段按照一定规律摆成下列图形.第1 ”的个数为1a ，第2幅图形中“ ”的个数为2a ，第3幅图形中“ ”的个数为3a ，…，以此类推，则193211111a a a a ++++ 的值为（）A ．2120B ．8461 C.840589 D ．76042124、（14）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：)0(2≠+=m n mx y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴的负半轴交于点C ，其中A(1-,0),C(0，1-).①求抛物线1C 及直线AC 的解析式；②沿直线AC 由A 至C 的方向平移抛物线1C ，得到新的抛物线2C ，2C 上的点D 为1C 上的点C 得对应点，若抛物线2C 恰好经过点B ，同时与x 轴交于另一点E ，连接OD 、DE ，试判断△ODE 的形状，并说明理由。

人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》拓展练习

《实际问题与一元二次方程》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A．x（x﹣1）＝30B．x（x+1）＝30C．＝30D．＝30 2．（5分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（）A．1+x+x2＝111B．x+x2＝111C．2x+1＝111D．2x＝1113．（5分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由460元降为215，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．460（1+x）2＝215B．460（1﹣x）2＝215C．460（1﹣2x）2＝215D．460（1﹣x2）＝2154．（5分）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m5．（5分）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（）A．x（58﹣x）＝200B．x（29﹣x）＝200C．x（29﹣2x）＝200D．x（58﹣2x）＝200二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为．7．（5分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为．8．（5分）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有名同学．9．（5分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给个人．10．（5分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x（元∕件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？12．（10分）列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x 元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？13．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．14．（10分）利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：销售单价（元）x销售量y（件）销售利润W（元）（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？15．（10分）某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是公斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？《实际问题与一元二次方程》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A．x（x﹣1）＝30B．x（x+1）＝30C．＝30D．＝30【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可．【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．2．（5分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（）A．1+x+x2＝111B．x+x2＝111C．2x+1＝111D．2x＝111【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2＝111，整理即可．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝111，故选：A．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题设长为x个支干，把小分枝用x2表示是关键．3．（5分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由460元降为215，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．460（1+x）2＝215B．460（1﹣x）2＝215C．460（1﹣2x）2＝215D．460（1﹣x2）＝215【分析】设每次降价的百分率为x，根据该运动服的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：460（1﹣x）2＝215．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（5分）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据题意得：（30﹣2x）x＝100，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，∴x＝5舍去．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（5分）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（）A．x（58﹣x）＝200B．x（29﹣x）＝200C．x（29﹣2x）＝200D．x（58﹣2x）＝200【分析】由建筑材料的长度结合垂直于墙的边长为xm，即可表示出平行于墙的一边的长度，然后根据长方形的面积公式结合牛饲养室的面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：∵垂直于墙的边长为xm，∴平行于墙的一边为（58﹣2x）m．根据题意得：x（58﹣2x）＝200，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：（1）根据建筑材料的长度用含x的代数式表示出平行于墙的一边的长度；（2）根据长方形的面积公式列出一元二次方程．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是500（1+x）吨，三月份的产量是500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1750吨列方程即可．【解答】解：依题意得二月份的产量是500（1+x），三月份的产量是500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，∴500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．7．（5分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为x（x+12）＝864．【分析】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．【解答】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．8．（5分）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有11名同学．【分析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【解答】解：设参加聚会的有x名学生，根据题意得：x（x﹣1）＝110，解得：x1＝11，x2＝﹣10（舍去），即参加聚会的有11名同学，故答案为：11．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．9．（5分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给7个人．【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．故答案为：7．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（5分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为x（x﹣1）＝110．【分析】设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共送礼物110件，列出方程．【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，由题意得，x（x﹣1）＝110．故答案是：x（x﹣1）＝110．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x（元∕件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得．【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意可得，解得：，则y＝﹣10x+800；（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，∵销售单价最高不能超过45元/件，∴x＝40，答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系．12．（10分）列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x 元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为（1120﹣2x）个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？【分析】（1）根据每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，可得现在销售数量为[160+2（480﹣x）]个，化简即可；（2）根据单件利润×销售量＝总利润，列方程求解即可．【解答】解：（1）根据题意，可得现在销售数量为160+2（480﹣x）＝（1120﹣2x）个．故答案为（1120﹣2x）；（2）由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]＝20000，整理，得：x2﹣920x+211600＝0，解得：x1＝x2＝460，答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．13．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．【解答】解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，解得x1＝1，x2＝5，当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．14．（10分）利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：销售单价（元）x销售量y（件）﹣x+100销售利润W（元）﹣x2+130x﹣30000（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？【分析】（1）根据销售单价每涨10元，销售量就减少1件，可以表示出y与x的关系，根据利润＝每件的利润×销售量，即可表示出W与x的关系．（2）列出方程即可解决问题；【解答】解：（1）由题意y＝60﹣＝﹣x+100．W＝（x﹣300）•（﹣x+100）＝﹣x2+130x﹣30000．故答案为﹣x+100，﹣x2+130x﹣30000．（2）由题意﹣x2+130x﹣30000＝10000，解得x＝500或800，为了尽可能增加销售量，x＝500．答：该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是500．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，记住利润、销售量、每件的利润之间的关系．15．（10分）某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+200x公斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（公斤）；故答案为：100+200x；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x＝或x＝1，当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（公斤）．∵每天至少售出260公斤，∴x＝1．则4﹣1＝3（元）答：售价应为3元．【点评】题主要考查的是一元二次方程的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．。

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题(含答案)

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题基础题训练（一）：限时30分钟1．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．2．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？3．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，根据市场需求和生产经验甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65﹣x15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？4．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．5．重庆不仅是网红城市，更是拥有长安，力帆等大型车企的一座汽车城，为了更好的推广和销售汽车，每年都会在悦来会展中心举办大型车展．去年该车展期间大众旗下两品牌汽车迈腾和途观L共计销售240辆，迈腾销售均价为每辆20万元，途观L销售均价为每辆30万元，两种车型去年车展期间销售额共计5600万元．（1）这两种车型在去年车展期间各销售了多少辆？（2）在今年的该车展上，各大汽车经销商纷纷采取降价促销手段，而途观L坚持不降价，与去年相比，销售均价不变，销量比去年车展期间减少了a%，而迈腾销售均价比去年降低了a%，销量较去年增加了2a%，两种车型今年车展期间销售总额与去年相同，求a的值．基础题训练（二）：限时30分钟6．小王开了一家便利店．今年1月份开始盈利，2月份盈利5000元，4月份的盈利达到7200元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？8．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路（即图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．9．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？10．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？参考答案1．解：（1）设第二批制作x个风筝，（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，解得，x≥90，答：第二批至少应该制作90个风筝；（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，解得，a＝20或a＝5（舍去），答：a的值是20．2．解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得3250（1+x）2＝6370．解得，x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%；（2）3250×40%×0.8＝1040（万元）．答：该市财政部门今年需要准备1040万元补贴资金．3．解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120﹣2x）元，每天可生产2（65﹣x）件甲产品．故答案为：2（65﹣x）；120﹣2x．（2）依题意，得：15×2（65﹣x）﹣（120﹣2x）•x＝650，整理，得：x2﹣75x+650＝0解得：x1＝10，x2＝65（不合题意，舍去），∴15×2（65﹣x）+（120﹣2x）•x＝2650．答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．4．解：（1）设班长代买A种品牌同学录x本，B种品牌同学录y本，依题意，得：，解得：．答：班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+a%）+10（1﹣a%）×175[1+（a+20）%]＝2550，整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．答：a的值为20．5．解：（1）设去年车展期间迈腾销售了x辆，途观L销售了y辆，依题意，得：，解得：．答：去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L销售了80辆．（2）依题意，得：20（1﹣a%）×160（1+2a%）+30×80（1﹣a%）＝5600，整理，得：8a﹣0.64a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（舍去）．答：a的值为12.5．6．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640，答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到8640元．7．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，∴16﹣5x＝±8，∴x1＝，x2＝；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（2）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y ≤时，则PB ＝16﹣3y ， ∴PB •BC ＝12，即×（16﹣3y ）×6＝12，解得y ＝4； ②当＜x ≤时，BP ＝3y ﹣AB ＝3y ﹣16，QC ＝2y ，则BP •CQ ＝（3y ﹣16）×2y ＝12，解得y 1＝6，y 2＝﹣（舍去）； ③＜x ≤8时，QP ＝CQ ﹣PQ ＝22﹣y ，则QP •CB ＝（22﹣y ）×6＝12，解得y ＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．8．解：设道路的宽x 米，则（32﹣x ）（20﹣x ）＝540，解得：x ＝2，x ＝50（舍去），答：道路的宽是2米．9．解：（1）∵售价每降低1元，每天可多售出200斤，∴售价降低x 元时，每天销售量为：100+200x ．故答案为：200x +100．（2）由已知得：（4﹣2﹣x ）（200x +100）＝300，整理得：2x 2﹣3x +1＝0，解得：x1＝＝0.5，x2＝1，当x＝0.5时，200x+100＝200，∵200＜260，∴x＝0.5不合适．∴销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元．10．解：（1）设每次降价的百分率为x，200（1﹣x）2＝162解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），即每次降价的百分率是10%；（2）设店主将售价降价x元，（200﹣150﹣x）（20+2x）＝1750解得，x1＝15，x2＝25∴200﹣15＝185，200﹣25＝175，即应把售价定为185元或175元．。

初三数学提升试题及答案

初三数学提升试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 4x + 4 = 0的解？A. x = 0B. x = 2C. x = -2D. x = 42. 已知a、b、c是等差数列，且a + c = 10，b = 4，那么a和c的值分别是？A. a = 2, c = 8B. a = 3, c = 7C. a = 4, c = 6D. a = 5, c = 53. 一个圆的半径是5厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？A. 25πC. 75πD. 100π4. 函数y = 2x + 3的图象不经过哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列哪个选项是不等式2x - 3 < 5的解集？A. x < 4B. x > 4C. x < 2D. x > 26. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是多少？A. 4C. 2D. -27. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，那么这个三角形的周长是多少？A. 16厘米B. 18厘米C. 20厘米D. 22厘米8. 一个二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是(1, -2)，且经过点(0, 3)，那么a的值是多少？A. 1B. -1C. 2D. -29. 一个正方体的体积是8立方厘米，那么这个正方体的棱长是多少？A. 2厘米B. 4厘米C. 8厘米D. 16厘米10. 一个角的余角是30°，那么这个角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算：(3x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 4x + 3) = ________。

12. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长是______。

13. 已知一个函数的解析式为y = 3x - 2，当x = 2时，y的值是______。

九年级数学拓展培训试题

班级：___________姓名：___________九年级数学拓展培训数学试卷时间：120分钟总分：150分1．反比例函数xky =的图象经过点（-1，2），则这个函数的图象位于（） A ．第一,二象限 B ．第三,四象限 C ．第一,三象限 D ．第二,四象限2．下列各点在双曲线） A ．（3，－4） B ．（－2，－6） C ．（－2，6） D ．（4，－3） 3．二次函数ｙ＝（ｘ－1）2＋2的顶点的坐标是（）A ．（1，2）B ．（1，－2）C ．2）D ．2）4k<0）的图象上有两点1P （2，1y ）和2P （3，2y ），那么（） A ．021<<y y B ．021>>y y C ．012<<y y D ．012>>y y5．已知二次函数c x x y ++=2的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则它与x 轴的另一个交点坐标是（）A.（1，0）B.（－1，0）C.（2，0）D.（－2，0）6．抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是（） A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位7．根据下图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为） A8．图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则a 、b 、c 满足（） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<09．如图,矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C 在反比例A 的坐标为（－2,－2）,则k 的值为（）A ．1B ．－3C ．4D ．1或－310．函数2y ax a =-与） A ． B ． C ． D ．11．如图，过x 轴正半轴上的任意一点P ，作y 轴的平行线，A 、B 两点.若点C 是y 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．1012．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c ＜0；②a-b+c ＞2；③abc ＞0；④4a-2b+c ＜0；⑤c-a ＞1．其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤二、填空题（24分）13．在抛物线2x y =，22x y =，23x y =中，开口最大的是_______________. 14．y ＝(m-2)23mx- 是反比例函数，则m 的值为.15．把二次函数225y x x =++化成顶点式为： . 16．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则此二次函数的对称轴为 .17．已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为。

初三提升数学的试卷答案

1. 下列哪个数是整数？A. √4B. √9C. √16D. √25答案：D解析：√25=5，5是整数。

2. 若a+b=5，ab=6，则a²+b²的值为？A. 23B. 25C. 27D. 29答案：C解析：由(a+b)²=a²+2ab+b²得a²+b²=(a+b)²-2ab=5²-2×6=25-12=27。

3. 已知等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，求第10项an的值。

A. 29B. 30C. 31D. 32答案：C解析：an=a1+(n-1)d=2+(10-1)×3=2+27=29。

4. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(5,6)，则线段AB的中点坐标为？A. (3,4)C. (5,6)D. (6,7)答案：B解析：线段AB的中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)=((2+5)/2, (3+6)/2)=(4,5)。

5. 已知一元二次方程x²-4x+3=0的解为x1和x2，则x1+x2的值为？A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A解析：由韦达定理得x1+x2=-b/a=-(-4)/1=4。

6. 若x+y=5，xy=6，则x²+y²的值为？A. 19B. 21C. 23D. 25答案：A解析：由(x+y)²=x²+2xy+y²得x²+y²=(x+y)²-2xy=5²-2×6=25-12=19。

7. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B的度数为？A. 60°B. 90°C. 120°答案：A解析：直角三角形中，两个锐角的和为90°，∠A=30°，则∠B=90°-∠A=90°-30°=60°。

初三数学综合能力提升试卷

初三数学综合能力提升试卷题目1：选择题：计算下列表达式的值：\(2^{3x+1}\)A. \(2^{3x+1} = 8x^2 + 16x + 16\)B. \(2^{3x+1} = 8x^2 + 8x + 2\)C. \(2^{3x+1} = 8x^2 + 16x + 2\)D. \(2^{3x+1} = 8x^2 + 8x + 16\)题目2：填空题：计算下列表达式的值：\(3^{2x+1}\)答案：\(3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 9x \cdot 3\)题目3：判断题：下列等式是否正确？\(3^2 = 6\)答案：错误题目4：解答题：计算下列表达式的值：\(4^{3x+1}\)答案：\(4^{3x+1} = 4^{3x} \cdot 4^1 = 64x \cdot 4\) 题目5：选择题：下列哪个等式是正确的？A. \(2^3 = 8\)B. \(2^3 = 6\)C. \(2^3 = 4\)D. \(2^3 = 10\)题目6：填空题：计算下列表达式的值：\(5^{2x+1}\)答案：\(5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 25x \cdot 5\)题目7：判断题：下列等式是否正确？\(4^2 = 8\)答案：正确题目8：解答题：计算下列表达式的值：\(6^{3x+1}\)答案：\(6^{3x+1} = 6^{3x} \cdot 6^1 = 216x \cdot 6\)题目9：选择题：下列哪个等式是正确的？A. \(3^3 = 9\)B. \(3^3 = 12\)C. \(3^3 = 15\)D. \(3^3 = 27\)题目10：填空题：计算下列表达式的值：\(7^{2x+1}\)答案：\(7^{2x+1} = 7^{2x} \cdot 7^1 = 49x \cdot 7\)题目11：判断题：下列等式是否正确？\(5^2 = 10\)答案：正确题目12：解答题：计算下列表达式的值：\(8^{3x+1}\)答案：\(8^{3x+1} = 8^{3x} \cdot 8^1 = 512x \cdot 8\)题目13：选择题：下列哪个等式是正确的？A. \(4^3 = 64\)B. \(4^3 = 32\)C. \(4^3 = 16\)D. \(4^3 = 8\)题目14：填空题：计算下列表达式的值：\(9^{2x+1}\)答案：\(9^{2x+1} = 9^{2x} \cdot 9^1 = 81x \cdot 9\)题目15：判断题：下列等式是否正确？\(6^2 = 12\)答案：正确题目16：解答题：计算下列表达式的值：\(10^{3x+1}\)答案：\(10^{3x+1} = 10^{3x} \cdot 10^1 = 1000x \cdot 10\)题目17：选择题：下列哪个等式是正确的？A. \(5^3 = 125\)B. \(5^3 = 200\)C. \(5^3 = 250\)D. \(5^3 = 300\)题目18：填空题：计算下列表达式的值：\(11^{2x+1}\)答案：\(11^{2x+1} = 11^{2x} \cdot 11^1 = 121x \cdot 11\)题目19：判断题：下列等式是否正确？\(7^2 = 49\)答案：正确题目20：解答题：计算下列表达式的值：\(12^{3x+1}\)答案：\(12^{3x+1} = 12^{3x} \cdot 12^1 = 1728x \cdot 12\)题目21：选择题：下列哪个等式是正确的？A. \(6^3 = 216\)B. \(6^3 = 189\)C. \(6^3 = 144\)D. \(6^3 = 96\)题目22：填空题：计算下列表达式的值：\(13^{2x+1}\)答案：\(13^{2x+1} = 13^{2x} \cdot 13^1 = 169x \cdot 13\)题目23：判断题：下列等式是否正确？\(8^2 = 64\)答案：正确题目24：解答题：计算下列表达式的值：\(14^{3x+1}\)答案：\(14^{3x+1} = 14^{3x} \cdot 14^1 = 2744x \cdot 14\)题目25：选择题：下列哪个等式是正确的？A. \(7^3 = 343\)B. \(7^3 = 210\)C. \(7^3 = 280\)D. \(7^3 = 350\)题目26：填空题：计算下列表达式的值：\(15^{2x+1}\)答案：\(15^{2x+1} = 15^{2x} \cdot 15^1 = 225x \cdot 15\)题目27：判断题：下列等式是否正确？\(9^2 = 81\)答案：正确题目28：解答题：计算下列表达式的值：\(16^{3x+1}\)答案：\(16^{3x+1} = 16^{3x} \cdot 16^1 = 4096x \cdot 16\)题目29：选择题：下列哪个等式是正确的？A. \(8^3 = 512\)B. \(8^3 = 256\)C. \(8^3 = 128\)D. \(8^3 = 64\)题目30：填空题：计算下列表达式的值：\(17^{2x+1}\)答案：\(17^{2x+1} = 17^{2x} \cdot 17^1 = 289x \cdot 17\)题目31：判断题：下列等式是否正确？\(10^2 = 100\)答案：正确题目32：解答题：计算下列表达式的值：\(18^{3x+1}\)答案：\(18^{3x+1} = 18^{3x} \cdot 18^1 = 5832x \cdot 18\)题目33：选择题：下列哪个等式是正确的？A. \(9^3 = 729\)B. \(9^3 = 656\)C. \(9^3 = 594\)D. \(9^3 = 513\)题目34：填空题：计算下列表达式的值：\(19^{2x+1}\)答案：\(19^{2x+1} = 19^{2x} \cdot 19^1 = 361x \cdot 19\)题目35：判断题：下列等式是否正确？\(11^2 = 121\)答案：正确题目36：解答题：计算下列表达式的值：\(20^{3x+1}\)答案：\(20^{3x+1} = 20^{3x} \cdot 20^1 = 8000x \cdot 20\)题目37：选择题：下列哪个等式是正确的？A. \(10^3 = 1000\)B. \(10^3 = 900\)C. \(10^3 = 800\)D. \(10^3 = 700\)题目38：填空题：计算下列表达式的值：\(21^{2x+1}\)答案：\(21^{2x+1} = 21^{2x} \cdot 21^1 = 441x \cdot 21\)题目39：判断题：下列等式是否正确？\(12^2 = 144\)答案：正确题目40：解答题：计算下列表达式的值：\(22^{3x+1}\)答案：\(22^{3x+1} = 22^{3x} \cdot 22^1 = 10304x \cdot 22\)。

人教版数学九年级上册期中综合拓展练习

人教版数学九年级上册期中综合拓展一．选择题1．关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1B．1C．3D．3或﹣12．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）3．若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则a2+a+1的值为（）A．12B．6C．9D．164．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≠0B．m≤C．m＜D．m＞5．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）26．二次函数y＝x2+3x+化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（）A．B．C．D．7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x8．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定9．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴是直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣m＝0（m为实数）在﹣1＜x＜2的范围内有实数根，则m的取值范围为（）A．2≤m＜6B．m≥2C．6＜m＜11D．2≤m＜1110．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④二．填空题11．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1…y…﹣8﹣3010…当y＜﹣3时，x的取值范围是．12．写出一个根为1的一元二次方程是．13．已知代数式2x﹣y的值是5，则代数式4x﹣2y﹣13的值是．14．点P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．15．据权威部门发布的消息，2019年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收入为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是．16．如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B（1，0），C（1，1），D（0，1）．若抛物线y＝（x﹣h）2与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是．三．解答题17．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（x+2）＝3x+6．18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．19．关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）请你选择一个合适的m的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．20．如图，抛物线顶点为A（1，2），且过原点，与x轴的另一个交点为B，（1）求抛物线的解析式和B点坐标；（2）抛物线上是否存在点M，使△OBM的面积等于2？若存在，请写出M点坐标，若不存在，说明理由；21．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：第x天12345销售价格p（元23456/只）销量q（只）7075808590物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为．22．有这样一个问题，探究函数y＝的图象与性质．小范根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小范的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥1时，y＝，当x＜1时，y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：；（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝只有一个实数解，直接写出实数a的取值范围：．参考答案一．选择题1．解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，m﹣3≠0，解得m＝﹣1或m＝3．m＝3不符合题意，舍去，所以它的一次项系数﹣m＝1．故选：B．2．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．3．解：∵a为方程x2+x﹣5＝0的解，∴a2+a﹣5＝0，∴a2+a＝5则a2+a+1＝5+1＝6．故选：B．4．解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，解得：m≤，故选：B．5．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；故选：C．6．解：y ＝x 2+3x +＝（x 2+6x +9﹣9+5）＝（x +3）2+2．故选：A ．7．解：设饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式是：y ＝x •（50+2﹣x ）＝﹣x 2+26x ．故选：D ．8．解：∵△＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选：B ．9．解：∵抛物线y ＝x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝1， ∴﹣＝1，得b ＝﹣2，∴y ＝x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2，∴当x ＝1时，y 最小值＝2，当x ＝﹣1时，y 最大值＝6． ∴当﹣1＜x ＜2时，y 的取值范围是2≤y ＜6，当y ＝m 时，m ＝x 2﹣2x +3，即x 2+bx +3﹣m ＝0，∵关于x 的一元二次方程x 2+bx +3﹣m ＝0（m 为实数）在﹣1＜x ＜2的范围内有实数根， ∴m 的取值范围是2≤m ＜6，故选：A ．10．解：设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．二．填空题11．解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线的开口向下，且x＝0时，y＝﹣3，所以，y＜﹣3时，x的取值范围为x＜﹣4或x＞0．故答案为x＜﹣4或x＞0．12．解：形如（x﹣1）（ax+b）＝0（a≠0）的一元二次方程都有一个根是1，当a＝1，b＝0时，可以写出一个一元二次方程：x（x﹣1）＝0．故答案可以是：x（x﹣1）＝0．13．解：由2x﹣y＝5，得到原式＝2（2x﹣y）﹣13＝10﹣13＝﹣3，故答案为：﹣314．解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的二次项系数a＝﹣1，∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．15．解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y＝0.75（1+x）2．故答案为：y＝0.75（1+x）2．16．解：∵函数y＝（x﹣h）2的图象为开口向上，顶点在x轴上的抛物线，∴其图象与正方形OBCD的边若有两个公共点为点O和点B，把点O坐标代入y＝（x﹣h）2，得0＝（0﹣h）2∴h＝0；把点B坐标代入y＝（x﹣h）2，得0＝（1﹣h）2∴h＝1．抛物线y＝（x﹣h）2与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是0＜h＜1．故答案为：0＜h＜1．三．解答题17．解：（1）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1；（2）x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．18．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，解得a＝或a＝﹣1，∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．19．（1）证明：△＝（m+2）2﹣4×2×m，＝（m﹣2）2，无论m取任何实数，（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：∵△＝（m﹣2）2，由求根公式，得x1＝，x2＝，∴原方程的根为：x1＝﹣1，x2＝﹣，∵方程的两个根都是整数，∴取m＝﹣2，方程的两根为x1＝1，x2＝﹣1．20．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，把（0，0）代入得a（0﹣1）2+2＝0，解得a＝﹣2∴抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+2（即y＝﹣2x2+4x）；解方程﹣2x2+4x＝0得x1＝0，x2＝2，则B（2，0），（2）存在．M点坐标为（1，2）或或；设M点坐标为（x，﹣2x2+4x），∵，∴|﹣2x2+4x|＝2，∴﹣2x2+4x＝2或﹣2x2+4x＝﹣2，解得x1＝x2＝1，，∴存在这样的M点，M点坐标为（1，2）或或．21．解：（1）根据表格数据可知：前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；（2）当1≤x≤5且x为整数时，W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）＝5x2+x+；当6≤x≤30且x为整数时，W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）＝﹣x2+40x﹣100．即有W＝，当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，故当x＝5时，W有最大值为：495元；当6≤x≤30且x为整数时，W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，故当x＝20时，W有最大值为：300元；由495＞300，可知：第5天时利润最大为495元．（3）根据题意可知：获得的正常利润之外的非法所得部分为：（2﹣1）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），∴1250m≥2000，解得m≥．则m的取值范围为m≥．故答案为：m≥．22．解：（1）当x≥1时，y＝＝x，当x＜1时，y＝＝1；故答案为：x；1；（2）根据（1）中的结果，在所给坐标系中画出函数y＝的图象如下：（3）结合函数图象，该函数的一条性质为：不过原点；故答案为：不过原点；（4）∵y＝ax+1过点（0，1）∴当a＜0或a≥1时，方程ax+1＝只有一个实数解．故答案为：a＜0或a≥1．。

初三数学提高试卷答案下册

一、选择题1. 下列各数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √25D. √27答案：D解析：无理数是不能表示为两个整数之比的数，其中√27是一个无理数，因为它不能表示为两个整数的比例。

2. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2C. y = 3/xD. y = 5x答案：C解析：反比例函数的一般形式是y = k/x（k≠0），所以选项C符合反比例函数的定义。

3. 已知直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，那么斜边的长度是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根，即√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。

4. 下列各图中，能正确表示函数y = 2x - 1的是（）A.B.C.D.答案：C解析：根据函数y = 2x - 1的图像特征，斜率为2，截距为-1，只有选项C的图像符合这个特征。

5. 下列等式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2C. (a - b)^2 =a^2 - 2ab + b^2 D. a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)答案：B解析：选项B是平方差公式，是正确的等式。

其他选项中的公式都是错误的。

二、填空题6. 已知a = 3，b = -2，那么a^2 + b^2的值是______。

答案：13解析：将a和b的值代入公式，得到3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13。

7. 函数y = 2x + 3在x = 2时的函数值是______。

答案：7解析：将x = 2代入函数y = 2x + 3，得到y = 22 + 3 = 4 + 3 = 7。

8. 直角三角形的两条直角边分别是6cm和8cm，那么斜边长度是______cm。

2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》应用解答题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》应用解答题专题提升训练（附答案）1．某小区准备购入一架滑梯供小区儿童使用，物业选定了左图的滑梯，但受小区儿童区域场地的限制，需知晓滑梯的水平长度．滑梯的截面如右图所示，已知梯子AE长度为3m，坡度为57°，顶台DE∥AB，且长度为1m，滑坡BD的坡度i＝1：3.2，滑梯的缓冲长度BC为1.5m，求滑梯的水平长度AC．（结果精确到0.1m．参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）2．如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18m，它的坡角为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡AD，在CB方向距点B处9m 处有一座房屋．（参考数据；）（1）求∠DAB的度数；（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？3．如图（1）是一天桥的梯步图，为了方便残疾人出行，准备对梯步进行改建降低坡度，绘制了如图（2）的侧面示意图，点A为梯步顶端，点C为梯步底端，AB垂直于水平地面BC，并测得∠ACB＝40°，CB＝5米．要使改建后的梯步与水平面的夹角∠ADC＝36°，求梯步底端向外延伸的长度DC（精确到0.1米，sin36°≈0.588，tan36°≈0.727，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）．4．如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1.732，结果精确到1米）？5．高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，请求出立柱AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）6．如图，某水库大坝的横截面是梯形，其迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝的高为20m，坝顶CD的宽为10m．求大坝横截面的周长．7．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.7328．浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图②），测量知，∠A＝30°，∠C＝49°，AB＝60m．请你利用以上数据，求出悬索AC和支架BC的长（结果取整数）．参考数据：≈1.73，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15．．9．如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线．已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°．求电线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．10．如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC 处放置一个广告牌，请问广告牌EC的高度为多少？（sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8）11．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm．使用时发现：光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°，求光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长．【参考数据：sin25°＝0.42，cos25°＝0.91，tan25°＝0.47】．12．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角α；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）13．如图，幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由45°降为30°，已知原滑滑梯AB的长为5m，点D，B，C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑梯会加长多少？（精确到0.01m）（2）若滑滑梯的正前方能有3m长的空地就能保证安全，原滑滑梯的前方有6m长的空地，像这样改造是否可行？说明理由（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）14．如图，身高1.75m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度（∠A＝30°），已知她与树之间的距离为5m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m）15．一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角，且BD＝5m，现再在C点上方2m处加固另一根钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留根号）16．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MB＝m米，梯子的倾斜角度∠MCB＝45°．若梯子斜靠在对面墙上，梯子的倾斜角度∠NCA＝60°．试求该房间的宽和梯子的长度．17．如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光与水平面75°角时．测得该树坡上的树影BC的长为4（）米．求树高．18．如图，为迎接全国文明城市检查，某单位准备在一斜坡EF上安装衣服悬挂“社会主义核心价值观”宣传牌的金属架A﹣C﹣B，若CA与地面垂直，斜坡的坡角∠E＝30°，∠C＝45°，小王测得从A到B的距离是5m，已知每米金属架106元，请你帮该单位算一下安装这副金属架共需多少元（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449，结果保留整数）．19．海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时通过植被、下沉式绿地、渗透塘等设施吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水“释放”并加以利用．我市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地（四边形ABCD），经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D ＝45°，求该绿地边界的周长（结果保留根号）．20．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°．（1）求下管BC的长；（2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）参考答案1．解：作ME⊥AC于M，DN⊥AC于N，则四边形MNDE为矩形，则MN＝DE＝1，EM＝DN，在Rt△AEM中，∠EAM＝57°，AE＝3，∴EM＝AE×sin57°≈3×0.84＝2.52（m），AM＝AE×cos57°≈3×0.55＝1.65（m），在Rt△DNB中，i＝1：3.2，即＝，∴BN＝2.52×3.2＝8.064（m），又∵BC＝1.5m，∴AC＝AM+MN+NB+BC＝1.65+1+8.064+1.5＝12.214≈12.2（m），答：AC的长度约为12.2m．2．解：（1）∵坡度为的斜坡AD，∴tan∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∵AB的坡角为45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵AB＝18m，∠BAC＝∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝×18＝9（m），∴tan30°＝＝＝，解得：DC＝9，故DB＝DC﹣BC＝9﹣9≈9.324（米），∵9.324＞9，∴在背水坡改造的施工过程中，此处房屋需要拆除．3．解：由题意可得：tan40°＝＝≈0.839，解得：AB≈4.195，tan36°＝＝≈0.727，∴DB≈5.77（米），故DC＝DB﹣BC＝5.77﹣5≈0.8（米），答：梯步底端向外延伸的长度约为0.8米．4．解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BDE中，BD＝400m，∠D＝30°，∴BE＝BD＝200m，∴DE＝＝200≈346（m），答：另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上．5．解：设AH的长为x米，则CH的长为（x﹣2）米．在Rt△ABH中，AH＝BH•tan45°，∴BH＝x，∴DH＝BH﹣BD＝x﹣10；在Rt△CDH中，CH＝DH•tan65°，∴x﹣2＝2.14（x﹣10），解得：x＝17.01≈17.0．答：立柱AH的长约为17.0米．6．解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，∴AE＝15m，∴AD＝＝25（m），∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，∴BF＝40m，∴BC＝＝20（m），则周长C＝AD+DC+BC+AB＝（100+20）m，答：大坝横截面的周长为（100+20）m，7．解：在Rt△CDE中，∵sin∠C＝，cos∠C＝∴DE＝sin30°×DC＝×14＝7（m），CE＝cos30°×DC＝×14＝7≈12.124≈12.12，∵四边形AFED是矩形，∴EF＝AD＝6m，AF＝DE＝7m在Rt△ABF中，∵∠B＝45°∴DE＝AF＝7m，∴BC＝BF+EF+EC≈7+6+12.12＝25.12≈25.1（m）答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．8．解：过点B作BD⊥AC于点D，∵∠A＝30°，AB＝60，∴BD＝AB＝30，∴AD＝BD＝30，在Rt△CBD中，tan49°＝，sin49°＝，∴CD≈26，BC≈40，∴AC＝AD+CD≈78．9．解：作DF⊥AE于点F，则四边形ABDF是矩形．DF＝AB＝8（米），EF＝AE﹣AF＝AE﹣BD＝12﹣6＝6（m）．在直角△DEF中，DE＝＝＝10（m）．在直角△BCD中，sin∠DCB＝，则DC＝＝BD＝4（m）．则电线CDE的总长L＝DE+DC＝10+4（m）．答：电线CDE的总长L是（10+4）m．10．解：在Rt△CDB中，tan∠BDC＝，∴BC＝BD tan40°≈4，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，∴BE＝BD tan∠BDE＝5，∴CE＝BE﹣BC≈4.66（m），答：广告牌EC的高度约为4.66m．11．解：由题意得：AD⊥CD，过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°，∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，∴sin25°＝＝，∴CF＝30×0.42＝12.6（cm），∴CD＝CF+FD+2＝CF+AB+2＝12.6+40+2＝54.6（cm）答：光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长54.6cm．12．解：（1）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ACH中，∵tan∠CAH＝＝＝，∴∠CAH＝30°，即新坡面的坡角α为30°；（2）文化墙需要拆除．理由如下：∵tan∠CBH＝＝，∴BH＝CH＝6米，∵＝，∴AH＝CH＝6≈10.392（米），∴AB＝AH﹣BH＝6﹣6＝4.392（米），∵3+4.392＞7，∴文化墙需要拆除．13．解：（1）Rt△ABC中，AC＝AB×sin45°＝（m），Rt△ADC中，BC＝AB×cos45°＝（m），AD＝＝5（m），∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后滑滑梯会加长2.07 m；（2）这样改造能行．在直角△ACD中，CD＝＝（m），因为CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59．因此，像这样改造是可行的．14．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，解得：CD＝≈2.89（m），故CE＝DC+DE＝2.89+1.75≈4.6（m），答：这棵树大约有4.6m．15．解：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，BD＝5，∴BC＝BD＝5．∵在Rt△BED中，∠EBD＝90°，BE＝BC+CE＝5+2＝7，BD＝5，∴ED＝＝＝（m）．答：钢缆ED的长度为m．16．解：∵CB⊥MB，∠BCM＝45°，∴∠BMC＝45°，∵MB＝m米，∴CB＝m米，∴MC＝＝＝m米，∵NC＝CM，∴NC＝m米，∵∠NCA＝60°，∴∠ANC＝30°，∴AC＝m米，∴AB＝AC+BC＝m+m＝m（米）；答：该房间的宽是m米，梯子的长度是m米．17．解：过点B作BE⊥AC于E，以B为顶点，BE为一边，在∠ABE的内部作∠EBN＝60°，交AE于N．∵∠D＝30°，∠AMH＝75°，∴∠DCM＝∠AMH﹣∠D＝45°，∴∠ECB＝∠DCM＝45°．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝90°，∠ECB＝45°，BC＝4（﹣1），∴BE＝CE＝BC＝2﹣2，在Rt△BNE中，∵∠BEN＝90°，∠EBN＝60°，∴∠BNE＝30°，∴EN＝BE＝6﹣2，BN＝2BE＝4﹣2，∵∠BNE＝30°，∠A＝90°﹣∠AMH＝15°，∴∠ABN＝∠BNE﹣∠A＝15°，∴AN＝BN＝4﹣4，在Rt△ABE中，∵∠BEA＝90°，BE＝2﹣2，AE＝2+2，∴AB＝＝8（米），答：树高为8米．18．解：延长CA至D，则CD⊥ED，作BG⊥AC，∵∠E＝30°，∴∠CAB＝60°，则∠ABG＝30°，∵AB＝5，∴AG＝AB＝，∵∠C＝45°，∴CG＝BG＝AG＝，∴BC＝BG＝，∴AC+BC＝AG+CG+BC＝++≈2.5+4.33+6.12＝12.95米，∴安装这副金属架共需12.95×106≈1373元．19．解：连接AC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20米，∠ACB＝60°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝60°，在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝20×＝10（米），CE＝AC•cos60°＝20×＝10（米），在Rt△AED中，∠D＝45°，∴DE＝＝＝10（米），AD＝＝＝10（米），∴AB+BC+CD+AD＝20+20+10+10+10＝（50+10+10）米，∴该绿地边界的周长为（50+10+10）米．20．解：（1）∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝27cm，AC＝36cm，∴BC＝＝＝45（cm），∴下管BC的长为45cm；（2）过点E作EF⊥BD，垂足为F，∵AE＝18cm，AB＝27cm，∴BE＝AE+AB＝45cm，在Rt△BEF中，∠ABD＝75°，∴EF＝BE•sin75°≈45×0.97＝43.65（cm），∴座垫E离地面的距离＝43.65+30≈74（cm），∴座垫E离地面的距离约为74cm．。

初三数学提升试题及答案

初三数学提升试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √42. 一个数的平方根是它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是3. 一个二次函数的顶点坐标为（1，2），则该函数的解析式可能是：A. y = (x - 1)^2 + 2B. y = (x - 2)^2 + 1C. y = (x + 1)^2 + 2D. y = (x + 2)^2 + 14. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度是：A. 3B. 4C. 7D. 不能确定5. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmC. 15cmD. 20cm6. 下列哪个选项是正确的不等式？A. 3 > 2B. 3 < 2C. 3 = 2D. 3 ≤ 27. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么它的体积是：A. 24cm³B. 12cm³C. 8cm³D. 6cm³8. 一个数的相反数是-5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 109. 一个角的补角是它的余角的两倍，那么这个角的大小是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么它的第五项是：A. 17B. 14D. 8二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果一个数的立方根是它本身，那么这个数可以是______。

2. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______。

3. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。

4. 一个圆的周长是62.8cm，那么它的直径是______。

5. 如果一个等差数列的第二项是5，公差是2，那么它的第四项是______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个二次函数的图像通过点（1，0）和（2，3），求这个二次函数的解析式。

初三数学提高题(含答案解析)

初三数学提高题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条笔直的公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．两车离乙地的距离y （单位：km ）和两车行驶时间x （单位：h ）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（）．A ．两车出发2h 时相遇B ．甲、乙两地之间的距离是360kmC ．货车的速度是80km/hD ．3h 时，两车之间的距离是160km 2．如图，在 ABC 中，AB ＝10，BC ＝16，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 是线段DE 上的一点，连接AF 、BF ，若∠AFB ＝90°，则线段EF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．53．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了m 个人，则第二轮被传染上流感的人数是（）A ．1m +B ．()21m +C ．()1m m +D ．2m 4．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是10km/h ，甲客轮沿着北偏东30︒的方向航行，3h 后到达小岛A ，乙客轮4h 到达小岛B ．若A ，B 两岛的直线距离为50km ，则乙客轮离开港口时航行的方向是（）A ．北偏西30︒B ．南偏西60︒C ．南偏东60︒或北偏西60︒D ．南偏东60︒或北偏西30︒5．已知抛物线y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+1（x 1＜x 2），抛物线与x 轴交于（m ，0），（n ，0）两点（m ＜n ），则m ，n ，x 1，x 2的大小关系是（）A ．x 1＜m ＜x 2＜n B ．m ＜x 1＜x 2＜n C ．m ＜x 1＜n ＜x 2D ．x 1＜m ＜n ＜x 26．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（）A ．2B ．52C ．2D ．27．如图，小聪要在抛物线y ＝x （2-x ）上找一点M （a ，b ），针对b 的不同取值，所找点M 的个数，三个同学的说法如下，小明：若b ＝-3，则点M 的个数为0；小云：若b ＝1，则点M 的个数为1；小朵：若b ＝3，则点M 的个数为2．下列判断正确的是（）．A ．小云错，小朵对B ．小明，小云都错C ．小云对，小朵错D ．小明错，小朵对8．某天，小南和小开两兄弟一起从家出发到某景区旅游，开始大家一起乘坐时速为50千米的旅游大巴，出发2小时后，小南有急事需回家，于是立即下车换乘出租车，一个小时后返回家中，办事用了30分钟后自己驾车沿同一路线以返回时的速度赶往景区，结果小南比小开早30分钟到达景区（三车的速度近似匀速，上下车的时间忽略不计，两地之间为直线路程），两人离家的距离y （千米）与出发时间x （小时）的关系如图所示，则以下说法错误的是（）A ．出租车的速度为100千米/小时B ．小南追上小开时距离家300千米C ．小南到达景区时共用时7.5小时D ．家距离景区共400千米9．A 、B 两地相距350km ，甲骑摩托车从A 地匀速驶向B 地．当甲行驶1小时途径C 地时，一辆货车刚好从C 地出发匀速驶向B 地，当货车到达B 地后立即掉头以原速匀速驶向A 地．如图表示两车与B 地的距离(km)y 和甲出发的时间(h)x 的函数关系．则下列说法错误的是（）A ．甲行驶的速度为80km/hB ．货车返回途中与甲相遇后又经过3h 8甲到B 地C ．甲行驶2.7小时时货车到达B 地D ．甲行驶到B 地需要35h 8二、填空题10．中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A 距离水面10m ，运动过程中的最高点B 距池边2.5m ，入水点C 距池边4m ，根据上述信息，可推断出点B 距离水面______m ．11．对于实数x ，y 我们定义一种新运算(),F x y mx ny =+（其中m ，n 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如3,1m n ==时，()2,4321410F =⨯+⨯=．若()()1,36,2,51F F -==，则()3,2F -=_______．12．如图，已知ABC 中，24cm AB AC ==，16cm BC =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以4cm/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．当点Q 的运动速度是__________cm/秒时，能够在某一时刻使BPD △与CQP V 全等．13．中国的元旦，据传说起于三皇五帝之一的颛顼，距今已有3000多年的历史．“元旦”一词最早出现于《晋书》．“元旦节”前夕，某超市分别以每袋30元、20元、10元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为50元、40元、20元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量第一天腊排骨数量的3倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠数量的2倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的15，卖出腊香肠的数量是前两天腊香肠数量和43，卖出腊肉的数量是第二天腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天所售出的三种年货的总利润为______元．14．如图，点O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点A ，D 在半圆上，且//,60,8AD BO ABO AB ∠=︒=，过点D 作DC BE ⊥于点C ，则阴影部分的面积是________．15．唐代诗人杜甫曾到“读书破万卷，下笔如有神”．为了提升全民素养，某书店搞了一次现场促销活动，活动中名著和儿童读物两类图书套装优惠力度较大，其中每一类套装里含有线装本，精装本，平装本三种不同材质的图书，两类图书套装中相同材质图书的售价相同，且每一类套装中数量均为44本，其中名著套装内线装本，精装本，平装本数量之比为4：3：4，儿童读物套装内线装本，精装本，平装本数量之比为3：6：2．已知一套名著套装和一套儿童读物套装的售价之和与62本精装本图书的售价相同，一本精装本图书售价是一本线装本图书售价的2倍，每套名著套装的利润率为20%，每套儿童读物套装的利润率为36%，则当销售名著套装与儿童读物套装的数量之比为9：14时，该书店销售这两类套装的总利润率为______．三、解答题16．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN 是基座，AB 是主臂，BC 是伸展臂），若主臂AB 长为4米，主臂伸展角∠MAB 的范围是：30°≤∠MAB ≤60°，伸展臂伸展角∠ABC 的范围是：45°≤∠ABC ≤105°．（1）如图③，当∠MAB ＝45°，伸展臂BC 恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC 的长（结果保留根号）；（2）若（1）中BC 长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A 水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）17．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB AD <．(1)用尺规完成以下基本作图：作BAD ∠的角平分线AE ，交BC 于点E ，在AD 上截取DF DC =，连接CF ；（保留作图痕迹，不写作法和结论）(2)在（1）所作的图形中，求证：AE CF =．18．如图，直线123l l l ，点A ，C 分别在直线1l ，3l 上，连接AC 交直线2l 于E 点，AE EC =.（1）尺规作图：在直线2l 上从左到右依次确定B ，D 两点，使得四边形ABCD 是矩形(保留作图痕迹，不必写作法及证明)；（2）在（1）的情况下，若4AE =，60AEB ∠=︒，求矩形ABCD 的周长.19．为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y （包）与每包售价x （元）满足y ＝﹣5x +80，且10≤x ≤16．(1)每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？(2)当进价提高了a 元，且每包售价为13元时，日均利润达到最大，求a 的值．20．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡全体贫困中学生进行资助，每学期资助初中生1200元/人，高中生1800元/人．已知该乡受资助的初中生人数是受资助的高中生人数的2倍，且该企业在2019-2020学年上学期共资助这些学生105000元．（1）该乡分别有多少名初中生和高中生获得了资助？（2）2019-2020学年上学期结束时，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生．为了激励学生，该企业宣布将给下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生每人分别增加%a ，2%a 的资助．在该措施的激励下，下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生人数分别比上学期增加了3%a ，%a ．这样，下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生所获得资助的总金额达64800元，求a 的值．21．某厂承接了一项加工业务，加工出来的产品（位件）按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级，加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，25元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为27元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，绘制成如下统计图：甲、乙两分厂产品等级的数分布直方图：（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？22．在数轴上有一动点M ，其平移的方向和距离由以下规则决定：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“5”、“－3”、“－3”，它们除数字不同外没有任何区别．试验者先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，并将两球标注的数字之和m 作为本次试验的结果．当0m >时，动点M 沿数轴正方向平移m 个单位；当0m <时，动点M 沿数轴负方向平移m 个单位．（1）试用画树状图或列表法，求每次试验时动点M 平移的方向为数轴正方向的概率；（2）若动点M 从原点出发，按以上规则连续平移，且以每次平移结束的位置作为下一次平移的起始位置．当试验次数足够多时，请以试验结果m 的平均数为依据判断：动点M 更可能位于原点的左恻或右侧？并说明理由．23．鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．2018年年底小张的“熟客”们共向小张采购了5000箱鱼卷，到2020年底“熟客”们采购了7200箱．(1)求小张的“熟客"们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率；(2)2020年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的45，由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为15元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下4至5元，且每下调1元销售量可增加1000箱，求小张在今年年底能获得的最大利润是多少元？24．如图，在四边形ABCD 中，,60,120AB AD A C ︒=∠=∠=︒．(1)求作点E，使得四边形ABED为菱形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；(2)在（1）的作图条件下，延长DC、AB交于点F，求证：直线EF、AD、BC相交于同一点．25．如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E．点D，点F关于AC对称，连接AF并延长交⊙O于点G．(1)连接OB，求证：∠ABD＝∠OBC；(2)求证：点F，点G关于BC对称；(3)若BF＝OB＝2，求△ABC面积的最大值．参考答案：1．D【分析】根据函数图象分析，当2x =时，函数图象有交点，即可判断A 选项；根据最大距离为360即可判断B 选项，根据A 选项可得两车的速度进而判断C ，根据时间乘以速度求得两车的路程，进而求得两车的距离即可判断D 选项．【详解】解：根据函数图象可知，当2x =时，200y =，总路程为360km ，所以，轿车的速度为2002100km/h ÷=，货车的速度为：()360200280km/h -÷=故A,B,C 正确3h 时，轿车的路程为3100300⨯=km ，货车的路程为380240⨯=km ,则两车的距离为3602300240180⨯--=km故D 选项不正确故选D【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图象上获取信息是解题的关键．2．B【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF =5，由三角形中位线的性质得到DE =8，最后由线段的和差解题即可．【详解】解：∵∠AFB =90°，点D 是AB 的中点，∴DF =12AB =5，∵BC =16，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE =12BC =8，∴EF=DE -DF =3，故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．3．C【分析】先求出第一轮传染后得病的人数，进而可求出第二轮被传染上流感的人数．【详解】解：∵平均一个人传染了m 个人，∴第一轮传染后得病的人数为(m+1)人，∴第二轮被传染上流感的人数是()1m m +．故选C ．【点睛】本题考查了列代数式，正确得出第一轮传染后得病的人数是解答本题的关键．4．C【分析】根据题意可得OA=30海里，OB=40海里，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠AOB=90°，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得，31030OA=⨯=海里，41040OB=⨯=海里，∴OA2+OB2=302+402=2500，AB2=502=2500，∴OA2+OB2=AB2，∴∠AOB=90°，分两种情况：如图1，∴BOC∠=180°-30°-90°=60°，∴乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60°，如图2，∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30°=60°，乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西60°，综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60或北偏西60°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．5．D【分析】设y′=（x-x1）（x-x2），而y=（x-x1）（x-x2）+1=y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．【详解】设y′=（x-x1）（x-x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，而y=（x-x1）（x-x2）+1=y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），从图象看，x1＜m＜n＜x2，故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键．6．C【分析】连接CE，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE的长，由三角形中位线定理可求FG的长；【详解】连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠CBE=∠AEB ，∵BE 平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt △CDE 中=∵点F 、G 分别为BC 、BE 的中点,∴FG 是△CBE 的中位线，FG=12故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC 的长度是解题的关键.7．C【分析】根据题意，分3b =-、1b =、3b =三种情况，结合二次函数、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵点(),M a b ，当3b =-时，则()32a a -=-，整理得2230a a --=，∵()4430∆=-⨯->，∴有两个不相等的值，∴点M 的个数为2；当1b =时，则()12a a =-，整理得2210a a -+=，∵4410∆=-⨯=，∴a 有两个相同的值，∴点M 的个数为1；当3b =时，则()32a a =-，整理得2230a a -+=，∵4430∆=-⨯<，∴点M 的个数为0；∴小明错，小云对，小朵错故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．8．B【分析】先根据旅游大巴2小时行2×50=100千米，出租车1小时行驶100千米，出租车速度可判断A 正确；设小南t 小时追上小开，利用两者距离相等列方程50（2+1+0.5+t ）=100t ，解得t =3.5，可判断B 不正确；利用到旅游区两者距离相等列方程50（2+1+0.5+t +0.5）=100t ，解得t =4，可判断C 正确；利用自驾车行驶速度×时间=100×4=400千米，可求出家距离景区共400千米，可判断D 正确．【详解】解：旅游大巴2小时行2×50=100千米，出租车1小时行驶100千米，出租车速度为100÷1=100千米/时，故选项A 正确；设小南t 小时追上小开，50（2+1+0.5+t ）=100t ，解得t =3.5，∴100×3.5=350千米，故选项B 不正确；50（2+1+0.5+t +0.5）=100t ，解得t =4，∴小南到达景区时共用2+1+0.5+4=7.5小时，故选项C 正确；∵100×4=400千米，∴家距离景区共400千米，故选项D 正确．故选B ．【点睛】本题考查函数图像信息获取与处理，掌握函数图像信息获取与处理方法是解题关键．9．C【分析】根据函数图象结合题意，可知AC 两地的距离为350270-80km =，此时甲行驶了1小时，进而求得甲的速度，即可判断A 、D 选项，根据总路程除以速度即可求得甲行驶到B 地所需要的时间，根据货车行驶的时间和路程结合图像可得第4小时时货车与甲相遇，据此判断B 选项，求得相遇时，甲距离B 地的距离，进而根据货车行驶的路程除以时间即可求得货车的速度，进而求得货车到达B 地所需要的时间．【详解】解：AC 两地的距离为350270-80km =，80180km /h÷=故A 选项正确，不符合题意；35350808÷=h 故D 选项正确，不符合题意；根据货车行驶的时间和路程结合图像可得第4小时时货车与甲相遇，则353488-=即货车返回途中与甲相遇后又经过3h 8甲到B 地故B 选项正确，相遇时为第4小时，此时甲行驶了480320km ⨯=，货车行驶了()270350320300+-=km则货车的速度为300(41)100km/h÷-=则货车到达B 地所需的时间为270100 2.7h÷=即第2.71+ 3.7=小时故甲行驶3.7小时时货车到达B 地故C 选项不正确故选C【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清楚函数图象中各拐点的意义是解题的关键．10．454【分析】如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图：根据题意可知，点A 的坐标为（3，10），点C 的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x =3.5，设抛物线的的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把上面信息代入得，931025503.52a b c a b c b a ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪=-⎩，解得，53550a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，抛物线解析式为：253550y x x =-+-，把 3.5x =代入得，454y =；故答案为：454【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次函数解析式的性质求解．11．11【分析】已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m 与n 的值，代入F （x ，y ），再把x =3，y =-2代入计算即可求出值．【详解】解：∵F （1，-3）=6，F （2，5）=1，∴根据题中的新定义化简得：36251m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得：31m n =⎧⎨=-⎩，即F （x ，y ）=3x -y ，则F （3，-2）=9+2=11．故答案为：11．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．12．4或6【分析】设经过x 秒后，使BPD △与CQP V 全等，分BPD CPQ △≌△和BPD CQP V V ≌两种情况进行讨论，利用对应边相等，进行求解即可．【详解】设经过x 秒后，使BPD △与CQP V 全等，∵24cm AB AC ==，D 为AB 的中点，∴12cm BD =，A ABC CB =∠∠，①当BPD CPQ △≌△时，则：BP CP =，即：4164x x =-，解得：2x =，此时：12BD CQ ==，1226÷=；②当BPD CQP V V ≌时，则：BD CP =，即：12164x =-，解得：1x =，此时：4BP CQ ==，414÷=；综上：当点Q 的运动速度是4cm/秒或6cm/秒时，能够在某一时刻使BPD △与CQP V 全等．故答案为：4或6．【点睛】本题考查三角形的动点问题．熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．解题时，要注意分类讨论．13．4300【分析】设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的销售数量分别是x 、y 、z （x 、y 、z 均为正整数）袋，则三天的销售数量如下表：单位（袋）腊排骨腊香肠腊肉元月1号x y z 元月2号3x 2y 4z 元月3号x 4y 2z再列方程组，解方程组即可得到答案.【详解】解：设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的销售数量分别是x 、y 、z （x 、y 、z 均为正整数）袋，则4032016005054072079350y z x y z ⋅+=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，整理得680252814935y z x y z +=⎧⎨++=⎩，利用代入消元，得5625185y x -=，61027,25y x y -\=-+所有当10y =，则15,x =20z =，680,y <Q 即40,3y <所有10y =，15x =，20z =，所有总利润为93505153071020720104300-创-创-创=（元）．故答案为：4300【点睛】本题考查的是三元一次方程组的应用，方程组的正整数解问题，设出适当的未知数表示需要的量再确定相等关系列方程是解本题的关键.14．643π-【分析】求出半圆半径、OC 、CD 长，根据AD ∥BO ，得到ABD AOD S S =△△，根据=OCD AOE S S S -△阴影扇形即可求解．【详解】解：连接OA ，∵60ABO ∠=︒，OA=OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OA=AB=8，∠AOB=60°∵AD ∥BO ，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD ，∴△OAD 是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOE=60°，∴在Rt △OCD 中，sin 60cos 604CD OD OC OD =︒==︒= ，∵AD ∥BO ，∴ABD AOD S S =△△，∴21208164=436023OCD AOE S S S ππ-=-⨯⨯=- △阴影扇形．故答案为：643π-【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD ∥BO ，得到ABD AOD S S =△△，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．15．30%【分析】根据一套内的书本总数，以及各类型图书之间的比例，计算出个类型图书的数量，再根据套名著套装和一套儿童读物套装的售价之和与62本精装本图书的售价相同，设线装本，精装本，平装本，分别为x 元，y 元，z 元，可列方程16121612248622x y z x y z y y x +++++=⎧⎨=⎩，解方程可得到售价之间的关系，进而用x 表示出一套名著套装的售价与一套儿童读物套装的售价是，根据利润率和售价反推利润，根据成本和单套图书利润率算总利润即可．【详解】解：设线装本，精装本，平装本三种不同材质的图书的价格分别为：a 元，b 元，c 元，∵每一类套装中数量均为44本，名著套装内线装本，精装本，平装本数量之比为4：3：4，儿童读物套装内线装本，精装本，平装本数量之比为3：6：2，则：名著套装内线装本有44416434⨯=++，精装本有34412434⨯=++，平装本有44416434⨯=++；儿童读物套装内线装本有34412362⨯=++，精装本有64424362⨯=++，平装本有2448362⨯=++；设线装本，精装本，平装本，分别为x 元，y 元，z 元，由题意可列方程：16121612248622x y z x y z y y x+++++=⎧⎨=⎩由方程得：2y x =，x z =，故一套名著售价为：16121616241656x y z x x x x ++=++=，故一套儿童读物售价为：122481248868x y z x x x x ++=++=，由于每套名著套装的利润率为20％，每套儿童读物套装的利润率为36％，则每套名著套装的成本为：()14056120=3x x ÷+％（元），则每套儿童读物套装的成本为：()68136=50x x ÷+％（元），当销售名著套装与儿童读物套装的数量之比为9：14时，该书店销售这两类套装的总利润率为：140920+1450363100140914503x x x x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯％％％，84252100420700x x x x +=⨯+％，3361001120x x=％，30=％，故答案是：30%．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，列方程解应用题，利润率的计算等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．16．（1）2）（2＋【分析】（1）根据题意画出图形，可得△ABC 是等腰直角三角形，即可得出BC 的长；（2）根据主臂伸展角∠MAB 和伸展臂伸展角∠ABC 的范围求出伸展到最远时AC 的长度即可得出结果．【详解】解：（1）如图：由题意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m，∴BC＝AB•sin45°＝2＝（m），答：伸展臂BC的长为（2）如图：由题意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，过点B作BD⊥MN交NM 的延长线于D，在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m，m），∴AD＝AB•cos30°＝∵∠MAB＝30°，BD⊥MN，∴∠ABD＝60°，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝45°，在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝，∴CD＝BC•cos45°＝×2＝2（m），∴AC＝CD＋AD＝2＋∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2＋【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确解直角三角形是解题的关键．17．(1)作图见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）根据角平分线的作法和作一条线段等于已知线段的作法作图即可；（2）根据四边形ABCD 为平行四边形，可得//AD BC ，AB CD =，AD BC =，再根据AE 平分BAD ∠，可证得23∠∠=，即有AB BE =，再根据DF DC =，AB CD =，可得BE DF =，即有AF EC =，可证四边形AFCE 为平行四边形，从而得到AE CF =．（1）解：（1）如图所示，（2）（2）如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，AB CD =，AD BC =，AE 平分BAD ∠，12∴∠=∠，∵//AD BC ，13∠∠∴=，∴23∠∠=AB BE ∴=，又∵DF DC =，AB CD=∴BE DF =，DA DF BC BE ∴-=-，即AF EC =，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴AE CF =．【点睛】本题考查了角平分线的作法，作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定与性质，熟悉相关作法和性质是解题的关键．18．（1）详见解析；（2）8【分析】（1）以点E 为圆心，AE 为半径画圆，与2l 的两个交点即为B 、D ，顺次连接四点即可；（2）先利用等边三角形的性质求出AB 的长，再利用勾股定理求出AD 的长，最后根据矩形的周长公式即可得.【详解】（1）以点E 为圆心，AE 为半径画圆，与2l 的两个交点即为B 、D ，顺次连接四点可得矩形ABCD ，画图结果如下所示：（理由：对角线相等且互相平分的四边形是矩形）（2）AE BE = ，60AEB ∠=︒ABE ∴∆是等边三角形4AB AE ∴==又90,28BAD BD BE ∠=︒==QAD ∴==故矩形ABCD 的周长为：2()8AB AD +=+.【点睛】本题考查了利用尺规作图：矩形、等边三角形的性质、勾股定理，掌握矩形的判定定理是尺规作图的关键.19．(1)每包售价定为11元时，日均利润最大为125元；(2) 4.a =【分析】(1)根据公式“总利润=单个利润×数量”列出利润的表达式，然后再根据二次函数的性质求出最大值即可．(2)同(1)中思路，列出日均利润的表达式，然后再由日均利润最大时，每包售价为13元即可求解．【详解】（1）解：设日均利润为w ，由题意可知：w =(x -6)(-5x +80)，整理得到：w =-5x 2+110x -480=-5(x -11)2+125，当x =11时，w 有最大值为125，故：每包售价为11元时，药店的日均利润最大为125元．（2）解：设日均利润为w 元，由题意可知：w =(x -a -6)(-5x +80)，整理得到：w =-5x 2+(110+5a )x -80a -480，∴w 是关于x 的二次函数，其对称轴为x=b 11051112102a a a +-=-=+-，∵每包售价为13元时，日均利润达到最大，∴1112a +=13，解得：a =4．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，从中找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．20．（1）分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助；（2）20【分析】（1）设该乡有x 名高中生获得了资助，有2x 名初中生获得了资助，由题意列方程120021*********x x ⨯+=求解即可；（2）根据题意列得5030%(13%)1200(1%)2540%a a ⨯⨯+⨯++⨯(1%)1800(12%)64800a a ⨯+⨯+=解方程即可．【详解】解：（1）设该乡有x 名高中生获得了资助，有2x 名初中生获得了资助，由题意得120021*********x x ⨯+=解得：25x =．250x ∴=．∴该乡分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助．（2）由题意，得5030%(13%)1200(1%)2540%a a ⨯⨯+⨯++⨯(1%)1800(12%)64800a a ⨯+⨯+=，18000(13%)(1%)18000a a ⨯+⨯++(1%)(12%)64800a a ⨯+⨯+=，(1%)[(13%)(12%)] 3.6a a a ++++=，(1%)(25%) 3.6a a ++=，(100)(2005)36000a a ++=，214032000a a +-=，解得120a =，或2160a =-（舍去）．20a ∴=．【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．21．（1）25，725；（2）14元，11.7元，应选甲分厂承接加工业务【分析】（1）根据A 级品的数量利用概率公式直接计算即可；（2）方法一：分别求出甲、乙分厂加工出来的100件产品的平均利润，比较即可；方法二：由数据列表表示甲、乙分厂加工出来的100个产品各等级的利润及频数如下，根据加权平均数计算比较即可．【详解】解：（1）由试加工出来的产品等级的频数分布直方图可得：P （甲分厂加工产品为A 等级）4021005==．P （乙分厂加工产品为A 等级）10028257==．（2）方法一：甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为：(409020502025205027100)10014⨯+⨯+⨯-⨯-⨯÷=(元)．乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为：(289017503425215020100)10011.7⨯+⨯+⨯-⨯-⨯÷=(元),因为1411.7>，所以厂家应选甲分厂承接加工业务．方法二：由数据可得甲、乙分厂加工出来的100个产品各等级的利润及频数如下：等级A B C D 甲分厂利润63232-77-甲分厂频数40202020因此，甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为。

【必刷题】2024九年级数学上册数学思维拓展专项专题训练(含答案)

【必刷题】2024九年级数学上册数学思维拓展专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 若a+b=5，ab=1，则a²+b²的值为（）A. 10B. 17C. 26D. 302. 下列各数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √3D. π3. 已知一组数据的方差是9，那么这组数据每个数据都加5后，方差变为（）A. 4B. 9C. 14D. 244. 下列函数中，是正比例函数的是（）A. y=2x+1B. y=x²C. y=3xD. y=x15. 在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于原点对称的点是（）A. (a,b)B. (a,b)C. (a,b)D. (b,a)6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 矩形C. 正五边形D. 半圆7. 下列方程中，是一元一次方程的是（）A. 2x+3y=6B. x²+3x+2=0C. 3x5=0D. xy=38. 若平行线l1：2x+3y+1=0，l2：2x+3y+c=0，则l1与l2的距离是（）A. |c|/√13B. c/√13C. √13/|c|D. √13/c9. 已知一组数据的平均数是50，那么这组数据的中位数可能是（）A. 45B. 50C. 55D. 6010. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x²<0B. x²=0C. x²>0D. x²≤0二、判断题：1. 互为相反数的两个数的和为0。

（）2. 一组数据的众数只有一个。

（）3. 两条平行线上的任意两点到第三条直线的距离相等。

（）4. 中心对称图形一定是轴对称图形。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、计算题：1. 已知一组数据：2，3，5，7，x，求x的值，使得这组数据的平均数为5。

2. 若一个正方形的边长为a，求其面积。

3. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

2023-2024学年苏科版数学九年级中考拓展试题

2023-2024学年苏科版数学九年级中考拓展试题1.2的相反数是（）A．2B．－2C．D．2.下列计算正确的是（）A．a2＋a2＝a4B．(a2)3＝a5C．a＋2＝2a D．(ab)3＝a3b3 3.函数中x的取值范围是（）A．x≤2B．x≥2C．x＜2D．x＞24.一组数据11，12，13，13，15，16，17，18的中位数和众数分别为（）A．15，13B．13，14C．14，13D．13，135.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.小明从某一角度看一个立体图形，看到的形状为三角形，则这一立体图形一定不是（）A．圆柱B．圆锥C．棱柱D．棱锥7.下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直8.如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（）A．或B．或C．或D．或9.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．D．10.如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（）A．B．C．20D．2411.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．12.年无锡市总量为万元，这个数据用科学记数法可表示为______．13.分解因式：______．14.命题“如果，那么”，则它的逆命题是________命题（填“真”或“假”）．15.等边△AOB的边长为4，如图所示地放置在平面直角坐标系中，点B绕点A旋转30°，恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝_____．16.如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．17.已知函数，且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是__．18.如图，在正方形中，点E，F分别在，上，且，分别交，于点M，N．设和的面积分别为和，若，则的值为______．19.计算：(1)；(2)．20.（1）解方程：；（2）解不等式组：21.如图，在中，点是对角线中点，过点作的垂线，分别与边、交于点、．(1)求证：；(2)连接、，求证：四边形是菱形．22..在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．23.如图，在中，为钝角．(1)尺规作图：在边上确定一点，使（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；(2)在（1）的条件下，若，，，求的面积．24.是的外接圆，，过点A作，交射线于点E，过点C作于点H，交直线于点D．(1)求证：是的切线．(2)已知，，求的长度．25.已知中，，，，点E、F分别在边AC、边BC上（点E不与点A重合，点F不与点B重合），连接EF，将沿着直线EF翻折后，点C 恰好落在边AB上的点D处，过点D作，交射线AC于点M．设，．(1)如图1，当点M与点C重合时，求的值；(2)如图2，当点M在线段AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)当时，求AD的长．26.某数学兴趣小组，开展项目式学习，问题如下：如图，抛物线与x轴正半轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C，点P为抛物线上位于第一象限内的一动点（P在B的右侧），过点A、P的直线交y轴于点M，过点B、P的直线交y轴于点N．试探究之间的数量关系．为研究该问题，小组拟采用问题研究的一般路径一一从特殊到一般的研究方法：(1)设，，．①若点P的横坐标为3，请计算______；比较大小：______（填“<”，“>”或“=”）．②若点P的横坐标为m，上述与之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)小明在研究时发现：当A、B两点的横坐标为时，将抛物线变形为，研究此问题更加方便，请借助小明的发现再次探究与之间的数量关系．(3)连接请利用上述经验，解决项目式问题，若，请直接写出k的取值范围______．。

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