正项级数收敛的一个充要条件
11-2正项级数及其审敛法
(方法 比较法 un 方法2) 方法
−n−( −1)n =2
≤ 2−n ⋅ 2 =
1 2n−1
(n ≥ 1)
Q ∑
. 收敛，∴ 原级数收敛 收敛， n−1 n=1 2
∞
1
注 对于∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
, 比值法失效！ 比值法失效！
2, n偶数 −1+2(−1)n = 1 =2 ， n奇数 8
但 p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
判别下列级数的收敛性: 例11 判别下列级数的收敛性 ∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
.
方法1) 方法 解 (方法 根值法
(−1)n −1− n Q lim n un = lim 2 n→∞ n→∞
. = 2−1< 1 ∴ 原级数收敛
−n ⋅ 2( −1)n+1 =2
n=1 n=1 ∞ ∞
(c ≠ 0) 同敛散 同敛散.
(ⅰ) 若 ⅰ 则 (ⅱ) 若 ⅱ 则
收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .
c
(n ≥ N ),
c
(n ≥ N ),
比较法的使用思路： 比较法的使用思路： 欲证收敛(发散 ，则放大(缩小 缩小) 欲证收敛 发散)，则放大 缩小 发散
2 . 的敛散性 例2 判断正项级数 ∑ n=1 n(n + 1)
n
3d x
o
1 2 n −1 n
= 1+ ∫
n
1
1 1 1 1 d x= 1+ (1 − p−1 ) < 1 + (n = 2,3,L) p p −1 p −1 x n
级数收敛. 级数收敛 p -级数部分和 n有上界， 级数部分和 级数部分和S 有上界， 故当p > 1时, p -级数收敛 时
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
常数项
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
(1)判定级数 1 cos 的敛散性.
n1
n
1 cos
解 lim n
n
n
2
1
1
x
0 cos x～
x
2
2
2
p 2的p 级数
而级数
1 2
2
n1 n
12
2 n1
1 n2
收敛
正 项 级
数
故级数 1 cos
n1
n
收敛.
及 其 审 敛 法
11.2 常数项级数的审敛法
正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 小结 思考题
1
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列. 定理1 正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
或(2) 设 p 1, 将p-级数加括号如下:
2
4
8
1
1 2p
^
1 3p
1 4p
1 5p
^1
6p
1 7p
1 8p
^
1 15 p
它的各项均不大于下述正项级数的对应项
1
n1
3 2
n
发散.
~
3n
高等数学-无穷级数简要讲解-2
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
第二节正项级数及其收敛法
(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
S(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数
收敛半径不变.
可推广到任意阶导数
(3) S(x)在(--R,R)内可积,且
x
S(x)dx
0
x
[
0
an xn ]dx
幂级数 各项都是幂函数的函数项级数
一般形式:
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (1)
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
收敛,x0 收敛点
发散, x0发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，
因此其和是x的函数，称为和函数
S(x) un(x)
4.余项:
n1
rn (x) S(x) Sn (x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且
lim
n
rn
(
x)
0
二. 幂级数及其收敛性
注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3. 按基本性质;
4. 充要条件
法 5. 比较法
6. 比值法 7. 根值法
4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理)
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。
关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。
正项级数的审敛法
k 1
即 un收敛. n1
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铃
(2)若 1,取正数 0,使 1, N 0,当n N时有
un1 1,
un
也即un1 un , 从而lim un 0, 故 un发散.
n
n1
(3)当lim un1 时, n un
取M 1 0, 存在N 0,当n N时, 有 un1 M 1, un
2
N,
当n>N时, 有不等式
l 1 l un l 1 l , 2 vn 2
即
1 2
lvn
un
3 2
lvn
,
再根据比较审敛法, 即得所要证的结论.
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铃
❖定理4(比较审敛法的极限形式)
设 un 和 vn 都 是 正 项 级 数 ,
n 1
n 1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
级数∑vn收敛, 由已证结论, 级数∑un也收敛, 矛盾.
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
例
1
讨论
p级
数
n 1
1 np
( p 0) 的 收 敛 性 .
而级
数
n 1
1 n 1
发散
,
故级数 n 1
1 也发散. n(n 1)
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铃
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
收敛函数
(1)
n
的敛散性
2n
解： lim n n
un
lim n n
2 (1)n 2n
lim 1 n 2 (1)n n 2
1 2
所给级数收敛
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 令. rn S Sn , 则所求误差为
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(2) 当 1 时, 级数可能收敛 可能发散; 证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
(1) 当 1时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
n un
n 1 np
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1,或不存在，且不是无穷大 时不能用
比值审敛法;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
即 un (n )
n1
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
级数敛散性总结
摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。
级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。
级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。
基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。
本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。
本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。
最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。
关键词：级数敛散性方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.Key words: Series Convergence Mathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。
数学分析12-2(1)
un+1 即q−ε < < q+ε un
(n > N )
则ε + q < 1,
(1) 当q < 1时, 取0 < ε < 1 − q ,
由比式判别法，得原级数收敛。 由比式判别法，得原级数收敛。
( 2) 当q > 1时, 取0 < ε < q − 1, 则q − ε > 1,
由比式判别法，得原级数发散。 由比式判别法，得原级数发散。
∴ 级数 ∑
n =1 ∞
∞
1 发散 . n( n + 1)
4.比较原则的极限形式: 4.比较原则的极限形式: 比较原则的极限形式
un = l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n→ ∞ v n n =1 n =1
则(1) 当 0 < l < +∞ 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时，若
lim a 2 n
n→ ∞
1 = , 6
lim a 2 n+1
n→ ∞
3 = , 2
un+1 ∴ lim = lim an 不存在. n→ ∞ u n→ ∞ n
定 ： 式 别 (柯 判 法 理 根 判 法 西 别 )
为正项级数， 设 ∑ un为正项级数，且 ∃ N 0 > 0 及常数 l , 使 收敛； （1）∀n > N 0 , n un ≤ l < 1, 则∑ un收敛； （2）∀n > N 0 , n un ≥ 1, 则∑ un发散。 发散。
收敛。 由比较原则的注1, 由比较原则的注 得： vn收敛时，有 ∑ un收敛。 ∑ 收敛时，
（3）l = +∞时： ） 时 un 由 lim = +∞ ， ∀G > 0，∃ N , 当n > N时, n→ ∞ v n un > G , ∴ un > Gvn , 由比较原则的注 得： 由比较原则的注1, vn 发散时， 发散。 ∑ vn发散时，有 ∑ un发散。
关于级数收敛判别准则的一个充要条件
关于级数收敛判别准则的一个充要条件
收敛判别准则是一种应用在数学当中的基本原则，主要用于测试一个级数是否收敛或发散。
因此，关于它的充分条件是非常重要的。
本文将从几个方面来介绍级数收敛判别准则的一个充分条件，即：
一、定义
收敛判别准则是根据级数的前n项的特征，去判断级数是收敛的还是发散的。
其中，n指的是级数中有效项的个数，可以是一个正整数或正无穷。
此外，充分条件还要求级数的前n项满足一定的条件。
二、参考列表
关于级数收敛判别准则的一个充分条件，目前普遍接受的参考列表如下：
1.如果级数的前n项和收敛，则级数收敛；
2.如果级数的前n项和发散，则级数发散；
3.如果级数的前n项和不能判断，则从级数的第n+1项开始考虑；
4.如果级数的前n+1项和的绝对值收敛，则级数收敛；
5.如果级数的前n+1项和的绝对值发散，则级数发散。
三、另外的要求
需要注意的是，上述要求不仅需要级数的前n项或n+1项满足特定的
条件，还需要考虑级数的总体特征。
这就是说，如果级数中出现大量
相同的项，则无法准确判断其是收敛或发散，此时就需要考虑级数的
总体特征。
四、总结
综上所述，级数收敛判别准则的一个充分条件包括：根据级数的前n
项和第n+1项，及级数的总体特征来判断级数是收敛的还是发散的。
只有当所有这些条件都满足时，级数的收敛或发散才能得到准确判断。
第二节正项级数
n1
想.如果猜想所给级数收敛，只需适当放大 un，使
其放大后的表达式 vn ，而正项级数 vn收敛.如果
n1
猜想级数发散，只需适当缩小
un
，使其缩小后的
表达式
vn
，而正项级数
vn发散.
n1
定.
判定正项级数 un 的收敛性应注意以下几点：
n1
1.如果
lim
n
un易求，应先判定是否lim
n
un
0？若
lim
n
un
0
则可知 un 发散.
n1
2.可以先考虑利用比值判别法判定其收敛性.特别是 un中
含有因子n!的情形，利用比值判别法通常比较方便.
3.使用比较判别法时，应先对 un的收敛性作一个猜
4
n
，u
n1
3n1 5n1 4n1
.
3n1
lim un1 n un
lim
5n1 4n1 3n
5n 4n
lim
n
3
1 4 n 5
5
1
4 5
n
1
3 5
1,
所以原级数收敛.
例6
判定级数
n 1
nn a n n!
(a 0,a e)
收敛性.
解 原级数为正项级数，其通项为
un
nn ， an (n)!
n1
n1
若un vn (n 1,2, , n) ，则有
0 Sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
如果vn收敛，可知 n 有上界，从而知{Sn}有上界.
n1
再由正项级数收敛的充分必要条件可知 un 收敛.
n1
高等数学第二节 正项级数审敛法1
1
）;
n 1
n
1
(6)n2 (ln n)2 .
解
(1)因为
sin
n2
1 a2
1 n2
,
级数
n 1
1 n2
收敛，因此该级数收敛；
(2 )因为 n 1 1 , n2 1 n
级数
1发散，因此该级数发散；
n=1 n
1
(3) 因为
lim 3n n 1, n 1
~
k np
(k
0)，那么当p>1时级数
un 是收敛的，当p≤1时级数
n 1
un是发散的．
n 1
例 4 设 an 为正项级数，下列正确的是( )． n1
（A）若
lim
n
nan
0
，则级数
n1
an
收敛
（B）若存在非零常数
，使得
lim
n
nan
，则级数
n1
则则当当rr<<11时时级级数数收收敛敛；；当当rr>>11((或或lnnilnmimnnnuunnn ))时时级级数数发发散散；；当当rr11
k 1
n 1
若ρ>1,则…………
例６ 判别下列级数的敛散性：
(1)
ann!(a 0),并在a e时求极限 lim ann!;
(2) 4 4 7 4 7 10
nn
n1
n n n
2 2 6 2 610
(3)
n 1
n 3n
sin2
正项级数收敛的必要条件
正项级数收敛的必要条件
正项级数是指级数中的所有项都是非负数的级数。
一个正项级数
的收敛性与其项之间的关系密切相关。
下面是正项级数收敛的必要条件：
1. 单调性：如果一个正项级数的项随着索引的增加而单调减少，那么这个级数收敛。
换句话说，如果存在一个极限值L，使得对于所有的n，都有an >= an+1，并且lim(n→∞) an = L，则级数收敛。
2. 项趋于零：如果一个正项级数的项趋近于零，那么这个级数
收敛。
换句话说，如果lim(n→∞) an = 0，则级数收敛。
这两个条件是正项级数收敛的必要条件，但并不充分。
也就是说，即使一个正项级数满足这两个条件，仍然可能是发散的。
这是因为这
两个条件只是级数收敛的必要条件，还需要其他条件来判断是否收敛。
一个著名的反例是调和级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...。
虽
然它的项趋近于零，但它发散，因为它的偏序和没有一个有限的上界。
要判断一个正项级数是否收敛，还需要使用其他测试方法，如比
较判别法、积分判别法、根值判别法等。
这些方法可以进一步考虑级
数的增长速度和项之间的比较关系来确定级数的收敛性。
正项级数的
收敛需要满足单调性和项趋于零的条件，但这只是必要条件，还需要
进一步使用其他测试方法来判断级数的收敛性。
正项级数收敛的充分必要条件
正项级数收敛的充分必要条件
正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。
即，如果正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，那么它的部分和数列
$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$是有界的，反之亦然。
证明：
假设正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则依据级数收敛的定义，其部分和数列$S_n$满足：
$$\lim_{n\rightarrow \infty}
S_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$$。
即$S_n$是有界的。
反之，如果$S_n$是有界的，则存在正常数$M$，使得对于任意的
$n$都有$S_n\leq M$。
考虑级数的部分和与其后一项之间的关系：$$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\geq 0$$。
因为级数是正项级数，所以$a_{n+1}\geq 0$。
结合上面的不等式，得到：
$$S_{n+1}\geq S_n$$。
由此可知，$S_n$是单调不降的序列，而且由于它有界，所以它必定收敛。
这说明正项级数收敛。
综上所述，正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。
正项级数及其敛散性判别
n 有 上 界 , 那 么 S n 也 有 界 .
lnim Sn ,
于 是
ln i m n
故级数 v n 发散.
n1
8
注1 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性 . 故定 理中的不等式不一定从首项就开始面满足.
注2 当级数 v n 发散时, 不一定有级数 u n 发散.
n1
n1
（小发大发）
7
证 设 u n , v n 部分和分别是 S n , n ,
n1
n1
因 u n c v n ( n 1 ,2 , ,c 0 )
于 是 ,S n u 1 u 2 u n c ( v 1 v 2 v n ) c T n
则 (1)当级数 v n 收敛时, n1
即
lnunl1 2lr1
u nrn , n N
因 为 当 0 r 1 时 ,r N r N 1 r N 2
收敛。 所以,级数un 收敛. n1 ( 2 )当 l 1 时 ,对 ( l 1 )/2 0 ,存在自然数N,
使 当 nN时 ,有
25
lnunl1 2lr1
即 u nrn, nN
u n n
n (n 1 )(n 3 )(n 1 )
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
又因为
n1
1
, 而级数
1 发散,
n(n2) n2
n1 n2
故级数
n1 发散.
n1n(n2)
23
3. 根值判别法
定理9.2.5 (柯西根值判别法)
若正项级数 u n 满足 n1
lim
n
n
un