6 微积分的创立

光的折射
牛顿是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上 研究微积分的道路
案例
曲线的切线
• 笛卡儿：切线问题“是我所知道的、 甚至也是我一直想要知道的最有用
的、最一般的问题”。
6.1 半个世纪的酝酿
四
费马求极大值与极小值的方法 如果f (x)在x点上有一个普通的极大 值或极小值，并且若e很小，则f（x+e） 的值几乎等于f（x）的值。所以，我们 暂时令f (x+e)= f (x)，然后，令e取值 零，使得等式成为正确的，所得方程的 根就给出使f (x)取极大值或极小值的那 些x的值。这是现代微积分学求函数 f (x)的普通极大值或极小值的常用方法， 然而，费马只是给出了函数极值存在的 必要但不充分的条件。
6 微积分的创立 解析几何出现后不久，微积分也 被发现了。
解析几何的创立是变量数学的 第一个里程碑。 微积分（牛顿、莱布尼兹）的 创立则是变量数学发展中第二个决 定性的步骤。
6 微积分的创立
微积分不仅是数学的伟大发现，也为近 代科学开辟了光明的道路；微积分不仅是 17世纪的伟大发现，而且是世界人类文明 史上最为光辉灿烂的发现。 “在一切理论成就中，未必再有什么像 17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人 类精神的最高胜利了，如果在某个地方我 们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩， 那正是在这里。” ——恩格斯
6.2 牛顿的“流数术” 牛顿微积分理论研究的三个阶段：

第一阶段，像他的前人那样使用静态的无 穷小量观点，凭借二项式定理的推广形式， 使微积分的计算方法变得程序化； 第二阶段，用变量流动生成法，创造了流 数术基本概念体系； 第三阶段则用“最初比与最末比”方法完 善其流数术的思想。在不断的发展和变化 中形成了其特有的微积分理论
六 沃利斯“无穷算术”
沃利斯（Wallis，1616—1703） 著《无穷算术》（1655），用算术 （分析）的途径发展积分法。
孕育
• 巴罗(英, 16301677)的特征三角 形与曲线切线 (1664，1669)
Δy/Δx对于决定切线的重要性
孕育
• 沃利斯(英, 1616-1703) 的分数幂积分(1656)
6.1 半个世纪的酝酿
开普勒与旋转体体积
卡瓦列里不可分量原理
笛卡尔“圆法”
费马求极大值与极小值的方法 巴罗“微分三角形”
沃利斯“无穷算术”
6.1 半个世纪的酝酿
当时几乎所有的科学大师都致力于寻 求解决这些难题的新的数学工具，特别是 描述运动和变化的无穷小算法。
一 开普勒与旋转体体积 开普勒（Kepler，1571—1630）著 《测量酒桶的新立体几何》（1615），论述 了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋 转而成立体体积的积分法，其要旨是用无 数个同维无限小元素之和确定旋转体体积。
案例 曲线的切线
费马的方法
y y=f ( x ) Q P f(x ) e A O B C Q' R f ( x+e ) x T
孕育
费尔马(法, 1601-1665)的极 大极小方法(1629)和曲边梯形 面积(1636)

f(a e) - f(a) 0 e e
增量方法
C
G
A
D
案例
曲线的切线
C F E G A D B
案例
曲线的切线
C
F E G A D B
案例
曲线的切线
C
GE B F A D
案例
C B
曲线的切线
C B
A
A
案例
曲线的切线
案例 曲线的切线
17世纪数学家遇到的三类问题 一是光的反射问题。光的反射和折射在 17 世纪是一个十分盛行的研究课题，洛必达 在其《无穷小分析》中列专章加以讨论。 早在公元1世纪，古希腊数学家海伦 （Heron）就已经证明了光的反射定律：光 射向平面时，入射角等于反射角。海伦还 将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射 光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那 么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这 就需要确定曲线的切线。
牛顿(英，1642-1727年)
• 第一篇微积分文献: 《流数简论》 (1666)（fluxion)
“我把时间看作是连续流动或增长, 其他量则随时间而连续增长, 我 从时间的流动性出发, 把所有其他增长速度称为流数。”

首末比方法: 求函数自变量与因变量变化之比的极限
令o=0
Leabharlann Baidu
yx

(x o) - x 1 n n n(n - 1) n-2 n (x o) - x n -1 nx x o 2
6 微积分的创立
古代萌芽
半个世纪的酝酿
牛顿的“流数术”
莱布尼茨的微积分 牛顿与莱布尼茨 微积分的伟大意义
6 微积分的创立
6.0 古代萌芽
微积分是微分与积分的合称，微分在前积分 在后。然而在历史上，积分思想远远早于微分， 甚至可以上溯到公元前五世纪的古希腊时期。
积分的基本思想是将所求量分割成若干细小 部分找出某种关系后，再把这些细小的部分用便 于计算的形式积累起来，最后求出未知量的和。 其中的关键是积累，严格的积分只是再加上在积 累中求极限的过程。这些步骤古代均有雏形。
曲线与该直线之间不能再插入另
外的直线。”
Apollonius （about 262 BC - about 190 BC）
6.1 半个世纪的酝酿
17世纪上半叶，随着生产、科技的发展， 下列问题急需解决：
己知距离，求速度（瞬时速度）与加
速度 或其逆问题即己知速度求距离 己知曲线求其切线 己知函数求函数的极值 求曲线的长度，平面图形的面积
孕育
1609、1619年行星运动三大定律
• 开普勒(德，1571-1630)的 旋转体体积(1615)
无穷小求和思想
6.1 半个世纪的酝酿
二 卡瓦列里不可分量原理 卡瓦列里（Cavalieri，1598—1647）著 《用新方法促进的连续不可分量的几何学》 （1635），发展了系统的不可分量方法。 卡瓦列里原理： 两个等高的立体，如果它们的平行于底 面而且离开底面有相等距离的截面面积 之间总有给定的比，那么这两个立体的 体积之间也有相应的比。
2013年高考湖北卷理科7题教材背景
微积分的创立
• 孕育
切线问题
(16-17世纪)
极值问题
长度、面积、体积、 重心
孕育
1638年《关于力学和位置运动的两种新科学 的对话与数学证明》
• 伽利略(意, 15641642)的切线构造
运动合速度方向的直线
案例
曲线的切线
• 命题33－34：圆锥曲线的切线作图
2013高考数学湖北卷理科7题
7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车， 25 以速度 v(t ) 7 3t （t 的单位：s，v 的单位：m/s）行驶 1 t 至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是 11 A． 1 25 ln 5 B． 8 25ln 3 C． 4 25 ln 5 D． 4 50 ln 2
案例 曲线的切线

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度 方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运 动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的 难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的 角——牛头角（图10中AB弧与AC构成的角）和弓 形角（图 11 中 AB 与 ACB 弧所构成的角）即有过很 多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是： 如何求两条相交曲线所构成的角呢？这就需要确 定曲线在交点处的切线。
孕育
• 托里切利(意, 1608-1647)关于 高次抛物线和双曲线的切线
n 1 a n x dx n 1 0 a
面积比等于抛物线的幂指数比
案例
笛卡儿的方法
曲线的切线
y y=f ( x ) Q P O A x
RenéDescartes（1596 – 1650）
孕育
• 笛卡儿(法，15961650)的圆法及切线 构造(1637)
牛顿(英，1642-1727年)
Nature and Nature's laws lay hid in night; God said, let Newton be! and all was light.
自然和自然定律隐藏在茫茫 黑夜中。上帝说：让牛顿出 世吧！于是一切都豁然明朗。
牛顿：Isaac Newton 1661 入剑桥大学
圆的切线：与圆相遇、但延长 后不与圆相交的直线。 第3卷命题16推论：“过圆的直 径的端点作和它成直角的直线 与圆相切。”
Euclid（about 325 BC - about 265 BC）
案例 曲线的切线

阿波罗尼斯《圆锥曲线》
命题32称：“从圆锥曲线顶点
作直线与相应纵坐标线平行，则该 直线与圆锥曲线相切，且在圆锥
1667.10三一学院成
员 1669 卢卡斯教授 1696 伦敦造币局 1672 皇家学会会员
1703 皇家学会会长
1705 封爵
44
牛顿(英，1642-1727年)

笛卡儿《几何学》(1637) 沃利斯《无穷算术》(1656)

1669-1701年任卢卡斯教授 1699年伦敦造币局局长
1665年夏至1667年春: 牛顿科学生涯的黄金岁月
6.2 牛顿的“流数术”
牛顿（Newton，1642—1727）在数学、力学、 物理学、化学、天文学和自然哲学方面都有突出 贡献，他的影响是划时代的。仅就数学而言，他 创立的微积分己成为现代数学的主干。
自然和自然的规律 沉浸在一片混沌之中， 上帝说，生出牛顿， 一切都变得明朗。 ——英国著名诗人波普
背景
总之：针对基本问题，微积分的算法技巧成熟。 需要的工作： 将各种算法统一成一种同一的算法——微分与积 分，同时确立二者的互逆关系从而统一起来。
6.1 半个世纪的酝酿 17世纪上半叶的一系列前驱 性工作，沿着不同方向向微积分的 大门逼近，但这些努力还不足以标 志微积分的建立。因为他们的方法 缺乏一般性，微积分的主要特征— 微分与积分的互逆关系也未提出。 这需要巨人出场，完成关键的 一步。
无穷小分析的算术化
q (p q)/q x dx a pq 0
p/q
a
背景
1 解析几何：工具 2 科学问题：
（1）古代：求积、求切线和最值 （2）近代：瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何 求积 （3）酝酿：开普勒与旋转体体积；卡瓦列尼不可分量 原理；笛卡儿“圆法”；费马求极大值与极小值的方法 ；巴罗“微分三角形”；沃利斯“无穷算术”
1 nx n -1
符号:
, y , , , z ,... x x y
6.2 牛顿的“流数术”
孕育
• 卡瓦列里(意, 1598-1647)的不 可分量原理(1635)
无穷小方法计算面积和体积
1 2 xdx a 2 0
a
6.1 半个世纪的酝酿
三 笛卡尔的“圆法”
笛卡尔圆法(重根法)，是采用 代数形式给出了求切线的方法， 它不涉及极限的概念. 圆法在本 质上将切线视为割线的极限位置， 这与现代的切线概念相一致。但 重根的计算过程十分复杂。
第一个创造性成果：二项定 理(1665)及无穷级数(1666)



1703年皇家学会会长
1705年封爵
6.2 牛顿的“流数术”
从世界开始到牛顿生活年代的全部数学 中，牛顿的工作超过了一半。 ——莱布尼兹
如果我看得更远些，那是因为我站在巨 人的肩膀上。我不知道世间把我看成什么 人；但是对我自己来说，就象一个海边玩 耍的小孩有时找到一块比较平滑的卵石或 格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我面前 是未被发现的真理的大海。 ——牛顿
矩形长条分割曲边形并求和
案例
曲线的切线
• 洛必达《无穷小分析》
曲线的切线是曲线的内接
“无穷边形”一边的延长线。
G. L’ Hospital（1661-1704）
6.1 半个世纪的酝酿
五 巴罗“微分三角形”
巴罗（Barrow，1630—1677）著 《几何讲义》（1669），使用几何 法求切线。
6.0 古代萌芽
古希腊德谟克利特创立原子论 阿基米德的平衡法
刘徽割圆
古希腊学者作曲线切线的尝试 古代中国学者在天文历法研究中
涉及极值问题的处理
案例
曲线的切线
阿基米德《论螺线》
O
A1
A2
A3
Archimedes（287 BC - 212 BC）
B1
案例 曲线的切线

欧几里得《几何原本》