2.5 圆锥曲线的共同性质

c
图形
l l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 px
2
( (
p 2 p 2
,0 ) ,0 )
x
x p 2
p 2
y 2 px
2
x 2 py
2
(0,
p 2
)
y
p 2
l l
x 2 py
2
( 0，
p 2
)
y
p 2
例1 求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x y （1） 1 25 9 x y （ 3） 1 25 9
2 2 2 2
（ 2） x y 1 6 4
2 2
（ 4） y x 1 6 4
2 2
（ 5） y 1 6 x
2
（ 6） x 1 6 y
2
焦点与准线的求解: 1．判断曲线的性质 .
2．确定焦点的位置．
3．确定a，c，p的值．
4．得出焦点坐标与准线方程．
例2
已知椭圆
x
2

y
2
列式 化简 代入 建系 设点
椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a，则2a>2c
| P F 1 |= | P F 2 |=
2
x x
+ c + y
2
y
2
2
P（ x , y ）
2
- c + y
2
0 则： x + c F+ - c , 0+ O x -Fc2c ,+ y = 2 a x 1 y
x
x
x
a
2
c
常数
c a
就是椭圆的离心率
e ( 0 ,1 ).
变题：若（
a c 0）改为（
c a 0）呢？
已知点P（x，y）到定点F（c，0）
x 的距离与它到定直线l： a
2
比是常数
c a
c
的距离的
(c a 0) ，求点P的轨迹．
(x c) y
2
2
|
a
2

c a
（1）当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆．
（2）当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线． （3）当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线．
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率 定点F叫做圆锥曲线的焦点
定直线l就是该圆锥曲线的准线
标准方程
x a
2 2
图形
2 2
焦点坐标
准线方程

y b
1
( c, 0)
2 2

x
+ c + y
2 2 2
2
= 2a 2
x
- c + y
2 2
2
x + c + y = 4a - 4a
2
x - c + y
2

x - c + y
2
2
a － c x＝ a
x－ c
2
＋y
2
在推导椭圆的标准方程时，我们 曾经得到这样一个式子:
a cx a
1
64
36
上一点P到左焦点的
16 7 7
距离为4 ，求P点到左准线的距离 变题：求P点到右准线的距离
l1 y l2
48 7
7
M1 F1
P
M2
．O
．
F2
变题:已知双曲线
x
2

y
2
64
百度文库
36
1上一点到左焦点的
距离为14，求P点到右准线的距离
y M1 P M2
．
F1
． （-8,0） O
（8,0）． F2
x
a
2
(a b 0)
c
y a
2 2

x b
2 2
1
(0, c )
y
a
2
(a b 0)
c a
2
x a
2 2

y b
2 2
1
( c, 0)
x
(a 0, b 0)
c
y a
2 2

x b
2 2
1
(0, c ) y
a
2
(a 0, b 0)
2
(x c) y
2
2
将其变形为
(x c) y
2
2
a
2

c a
x
c
你能解释这个式子的几何意义吗?
结论 已知点P（x，y）到定点F （ c ，0）的
x 距离与它到定直线l ： a
2
数
c a
c
的距离的比是常
l
(a c 0)
，点P的轨迹是 椭圆
y
P（x,y）
O
· F （c，0）
x |
c
变题：若（
a c 0）改为（
c a 0）
结论:已知点P（x，y）到定点F（c，0） 的距离与它到定直线l：x 比是常数
常数 c a
a
2
的距离的
c a
c
(c a 0)
，点P的轨迹双曲线 ．
e (1， ).
就是双曲线的离心率
圆锥曲线共同性质:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比 为常数 e 的点的轨迹．（ 点F 不在直线l 上）
高中数学 选修1-1
姓名：宋锦芳 单位：江苏省靖江第一高级中学
复习回顾
1．椭圆的定义： 平面内到两定点 F1，F2 距离之和等于常数 2a （2a>F1F2）的点的轨迹： 表达式 PF1+PF2=2a（2a>F1F2）
2．双曲线的定义： 平面内到两定点 F1，F2距离之差的绝对值等于 常数 2a （2a<F1F2）的点的轨迹： 表达式 |PF1－PF2 |=2a（2a<F1F2） 3．抛物线的定义： 平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的 点的轨迹 ：表达式PF=d （d为动点到定直线距离）