【工程数学】复变函数复习重点
复变函数知识点
复变函数知识点
以下是 7 条复变函数知识点：
1. 复数到底是啥玩意儿呀？就好比孙悟空有七十二变，复数就是实数加上虚数这个奇特的组合。
比如说，3+4i 就是一个复数，例子就是在研究交流电信号的时候就会用到复数呀。
2. 复变函数的极限可重要啦！这就好像跑步比赛中朝着终点冲刺的那个瞬间。
例如计算当 z 趋近于某个值时函数值的趋向，这在很多工程问题中可关键了呢！
3. 连续性呀，那可是复变函数的一大特点哦！好比一条顺畅的道路没有任何颠簸。
想想看，一个复变函数在某个区域内连续，多干脆利落呀，比如研究弹性力学中的问题时就能体现出来。
4. 导数呢，就好像汽车的速度表，能告诉我们函数变化的快慢。
例如函数 f(z)=z^2 的导数就是 2z 呀，这在分析信号变化率的时候很有用呢！
5. 积分也是超级有趣的呢！就像是积累财富一样，一点一点地攒起来。
比如说计算沿着一条曲线对复变函数的积分，在电磁学里可常见啦。
6. 解析函数，哇哦，这可是相当厉害的角色呢！好比一个武林高手，有着非凡的能力。
像指数函数就是解析函数呀，在解决电路问题时经常能看到它的身影。
7. 柯西定理，嘿，这可是复变函数里的宝贝呀！就像一把万能钥匙。
比如利用它可以很巧妙地计算一些复杂的积分呢。
我觉得呀，复变函数虽然有点抽象，但真的超级有意思，里面充满了各种奇妙的东西等你去发现呢！。
复变函数与积分变换复习重点
复变函数与积分变换复习重点复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ?≥=+??<=-??；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重要知识点归纳标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
【工程数学】复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数复习(主要知识点)
• Ch6. 留数及应用
1.留数的定义及计算 2.利用留数定理计算复积分 3.利用 点的留数计算复积分 4. 利用留数计算实积分
部分实例
1. ez
|z|3
(
z
i)2
(
z
dz 1)
2. z |z|3(z1)12(z2)(z4)dz
3. I
dx
0 (4 x2)2
4.
I xsin xdx 0 x2 1
• Ch3. 复积分
1. 利用参数方程计算积分：
b
Cf(z)dzaf(z(t))z'(t)dt (C :zz(t),t:a b )
2. Cauchy积分定理、推广的Cauchy积分定理（复 合闭路定理）、Cauchy积分公式、高阶导数公 式
3. 利用原函数计算复积分 4. 调和函数及相关计算
部分实例
• Ch4. 幂级数
1.复数项级数的敛散性（绝对收敛、条件收敛） 2.幂级数收敛半径的计算 3.解析函数的Taylor展开 4. 三大定理
• Ch5. 洛朗级数与孤立奇点
1. 解析函数在圆环域内展开为洛朗级数 2.孤立奇点的定义、分类及判断
部分实例
1.
f(z)1在 1 |z 1 | 内 展 开 为 洛 朗 级 数 z(z 1 )
复数复数的表示复数的模辐角和辐角主值区域与曲线相关概念复变函数概念2复数的化简复数的四则运算2
主要知识点
• Ch1. 复数与复变函数
1. 复数、复数的表示、复数的模辐角和辐角主值、 区域与曲线相关概念、复变函数概念 2. 复数的化简、复数的四则运算、复数的乘方与 开方 Nhomakorabea 部分实例
1. ，求 z 2 2 3i 3 4i
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：，是实数, ..注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：；2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。
3）与之间的关系如下：当；当；4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：，其中。
(二) 复数的运算1.加减法：若，则2.乘除法：1）若，则；。
2）若, 则；3.乘幂与方根1）若，则。
2）若，则（有个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.2．复初等函数1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。
注：是以为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）3）对数函数：（多值函数）；主值：。
（单值函数）的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：；注：在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且。
4）三角函数：在平面内解析，且注：有界性不再成立；（与实函数不同）4）双曲函数；奇函数，是偶函数。
在平面内解析，且。
（四）解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：=；2）区域可导：在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析：在及其的邻域内可导，称在点解析；2）区域解析：在区域内每一点解析，称在区域内解析；3）若在点不解析，称为的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：在可导和在可微，且在处满足条件：此时，有。
2．函数解析的充要条件：在区域内解析和在在内可微，且满足条件：；此时。
注意：若在区域具有一阶连续偏导数，则在区域内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
复变函数复习重点解读
第一章复数与复变函数
1. 复数的四则运算,欧拉公式,复数的n次方根
2. 复平面上的曲线方程,参数方程和直角坐标方程以及与复数之间的互化。
3. 映射的概念
4. 复变函数的连续与极限
第二章解析函数
1. 掌握复变函数的导数与微分,解析函数的概念
2. 掌握函数解析的判断(大题
3. 初等函数,掌握指数函数、对数函数、幂函数、三角函数;了解双曲函数(定义、反三角函数与反双曲函数的定义。
(大题
第三章复变函数的积分
1. 了解复变函数积分的概念和性质
2. 掌握柯西积分定理及其应用:柯西积分定理,原函数,复合闭路定理(大题
3. 掌握柯西积分公式,解析函数的高阶导数(大题
4. 掌握解析函数与调和函数的关系。
(大题
第四章复级数
1. 掌握复数项级数的审敛法
2. 掌握幂级数的敛散性判断及收敛半径
3. 掌握泰勒级数与洛朗级数的展开(大题
第五章留数及其应用
1. 函数的零点与极点及其判断
2. 留数及留数定理(大题
3. 留数在定积分计算中的应用,掌握教材中的1, 2, 3三种类型。
(大题第六章拉普拉斯变换
1. 拉普拉斯变换的概念
2. 拉普拉斯变换的性质
3. 卷积,拉普拉斯逆变换
4. 拉普拉斯变换的应用(大题,求解微分方程
第七章矢量分析
1. 矢量的微分与积分
2. 矢量的标量积、矢量积以及混和积
第八章场论
1. 方向导数与梯度(大题
2. 通量与散度(散度定理(大题
3. 环量与旋度(斯托克斯定理(大题
4. 有势场与调和场。
复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换复习重点总结
复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
(完整版)《复变函数》重点难点
重点难点第一篇 复变函数论本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理.本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力..第一章复数与复变函数本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法；复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断；复变函数的极限和连续。
本章难点：涉及到计算机编程实践, 以培养读者的计算机仿真能力. 读者可以利用Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运算, 详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分本章知识点摘要：1.复数的概念定义形如i x y +的数为复数，记作i z x y =+.其中x 、y 分别称为复数z 的实部、虚部，记作()Re x z=，()Im y z =，i 称为虚数单位，它满足2i 1=-.与实数不同，两个复数之间一般不能比较大小.2.复数的表示法（1）几何表示：对于复数i z x y =+可以用平面上起点在()0,0O ，终点在(),P x y的矢量（或向量）OP u u u r 表示；（2）代数表示：对于平面上的点(),P x y可用代数形式i z x y =+表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；（3）三角表示：当i 0z x y =+≠时，复数可用三角函数()cos isin z r θθ=+形式表示.其中r z ==称为复数z 的模；=Arg arg 2z z k θπ=+（k 取整数）称为z 的辐角.当0k =时，对应于辐角的主值0arg z θ=，在本书中规定为πarg πz -<≤； 3.复数的运算（1）复数满足常规的四则运算规律.（2）若()1111cos isin z r θθ=+，()2222cos isin z r θθ=+，则()()12121212cos isin z z r r θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦()20z ≠（3）方根：设()cos isin z r θθ=+，则()()2π2πcos isink k nnθθ++⎤=+⎥⎦ 0,1,2,,1k n =-L关于复数的模和辐角有以下运算公式1212z z z z =；1122z z z z =()20z ≠ ()1212Arg Arg Arg z z z z =+4.区域和平面曲线本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D ：(i) 全由内点组成；(ii)具有连通性: 即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D 称为区域.连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线: 如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲线.5.复变函数 极限与连续函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 的极限等价于两个二元实函数(),u u x y =和(),x y =v v 的极限.函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 在点000i z x y =+处的连续性等价于两个二元实函数(),u x y 和(),x y v 在该点的连续性.解题思路:例 研究什么原像通过映射2z =w 后变为相互垂直的直线,, (,0)u a b a b ==>v .【解】 由2222(i )i2z x y x y xy ==+=-+w ，可以视为从xy 平面到u v 平面的映射，即为从z 平面(原像)到w 平面（像）的映射，易得22,2u x y xy =-=v我们具体考察在w 平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到22, 2, (,0)u x y a xy b a b =-==>v =即有22,(0)x y a a -=> 显然原像为双曲线，如图1.11(a )实线所示； 即有 2, (0)xy b b =>v = 显然原像为双曲线，如图1.11(a )虚线所示.另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.1.11(a )的双曲线右分支实线上时，由u a =且2xy =v ，得到，2=v .因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式：,2u a ==v()y -∞<<∞很明显，当点(,)x y 沿着右分支实线向上运动时，它的像如图1.11(b )沿直线u a =向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式表示为, 2u a ==-v )(∞<<-∞y 当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线u a=向上运动. 同样地可以分析：另一双曲线0>图1.112xy b = (0)b >映像到直线b =v .变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.重点难点第二章 解析函数重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念； 解析函数的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函数； 解析函数与调和函数的关系 难点：多值函数产生多值性的原因；如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支； 从几何意义上描述解析函数的特征. 特色：（Matlab ，Mathcad ，Mathmatic ）编程计算简单的复数方程本章知识点摘要：1.复变函数的导数与微分复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：()()()limz f z z f z f z z ∆→+∆-'=∆微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，d ()()d f z f z z '=.2.解析函数的概念解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若()f z 在0z 及其一个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 解析.函数在某一点可导，在这点未必解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.3.柯西－黎曼条件方程复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－黎曼方程（即C-R 方程）.函数()i f z u =+v 在区域D 内解析,u ⇔v 在D 内可微，且满足C-R 条件：,x y x yu u ==-v v .4.关于解析函数的求导方法 (1) 利用导数的定义求导数(2) 若已知导数存在，可以利用公式()i i i i x x y y x y y xf z u u u u '=+=-=-=+v v v v求导.5初等复变函数初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.6解析函数与调和函数的关系区域D 内的解析函数()(,)i (,)f z u x y x y =+v 的实部和虚部都是D 内的调和函数.要想使得()i f z u =+v 在区域D 内解析，u 和v 还必须满足C-R 条件. 因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数. 平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现. 解题思路例 已知 等势线的方程为22x y c +=，求复势. 【解】若设22u x y =+，则2, 2 0xx yy xx yy u u u u ==∴+≠，故u 不是调和函数.因而不能构建为复势的实部（或虚部）.若令 222,()x y u F ρρ=+=，采用极坐标有0uϕ∂=∂，故把极坐标系中的拉普拉斯方程 22211()0u u u ρρρρρϕ∂∂∂∆=+=∂∂∂简化为1()0uρρρρ∂∂=∂∂，即为112,ln uC u C C ρρρ∂=∴=+∂根据极坐标C-R 条件的得到 113,u C C ρϕϕρ∂∂==∴+∂∂v v =C ，故复势为1213123123()ln i i (ln i )i ln , (i )f z C C C C C C C C z C C C C ρϕρϕ=+++=+++=+=+我们可以总结出，当,u v 具有22()nx y ±+的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便.重点难点第三章 复变函数的积分重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法；解析函数积分的基本定理−−柯西积分定理； 推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理；由柯西积分定理推导出一个基本公式−−柯西积分公式.难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明；理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广 特色：尝试计算机仿真计算积分的值。
复变函数复习要点
复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。
5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。
第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算（即直接利用这些函数的结构表示来计算）；8、熟练幅角连续改变量的计算公式；熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求终值的公式，并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值；P z是多项式）的单值化方法（包括支点的确定方法，支割线的作法），9、()以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。
工程数学-复变函数与积分变换-总复习
一. 点可导的充要条件
解 析 函 数
且满足柯西黎曼(Cauchy-Riemann )方程：
u v , x y
u v . (简称 C R 方程) y x
5
§2.2 解析函数的充要条件
§解析函数的充要条件
第 二 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 章 P42 定理二 充要条件是： u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在区域 D 内可微，且 解 满足 C R 方程。 析 函 数 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u , u , v , v x y x y 在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，则函数
解析
判别 方法 C-R 方程
指数函数 对数函数 幂 函 数 （反）三角函数 （反）双曲函数
4
初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
§解析函数的充要条件
第 二 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在点 z x i y 处可导 章 P41 的充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在点 ( x, y ) 处可微，
i(
i 2k πi ) 2
(
2k π ) 2 ,
解 析 例 求 1 2 的值。 函 数 解 1 2 e 2 Ln 1 e
2 [ 0 i ( 0 2 k )]
e2
2 k πi
cos ( 2 2 k π ) i sin ( 2 2 k π ) , (k 0, 1, 2,) .
2
例 求解方程 z 3 1 0 . 解 z 3 1 1 e
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数复习资料
复变函数期末复习一知识点1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。
2第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。
3第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。
4第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。
5第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。
6第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。
二例题选讲1求i3的值。
知识点：利用定义bLna be a=。
解i 3=3iLn e=)23(ln πk i i e+=3ln 2i k e +-π=)3ln sin 3ln (cos 2i e k +-π。
2设1||=z ，试证：1_____=++baz a z b 。
知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。
2__2__||||z z z z ==证明：由1||=z 得，1__=z z ，baz zz a z b b az a z b ++=++____________=baz zz a b ++)(_______=1)()(_______________=++=++b az zaz b b az z z a b 3求2sin Arc 的值。
知识点：初等函数的定义，函数值的计算，)1(sin 2z iz iLn z Arc -+-=，)1(cos 2z i z iLn z Arc -+-=解：)32(2sin i i iLn Arc ±-==iiLn )32(±-=i k i i ππ22)32[ln(++±-=)32ln(22±--i k ππ，,...2,1,0±±=k 4证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。
证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。
复变函数 知识点
复变函数知识点一、复数的基本概念。
1. 复数的定义。
- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。
x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。
2. 复数的相等。
- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。
3. 复数的共轭。
- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。
共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。
二、复数的四则运算。
1. 加法与减法。
- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。
2. 乘法。
- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。
3. 除法。
- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。
三、复数的几何表示。
1. 复平面。
- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
2. 复数的模与辐角。
- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。
- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。
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复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()zze e'=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数）；主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z'=； 注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）乘幂与幂函数：(0)b bLna a e a =≠；(0)b bLnz z e z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-（与实函数不同）双曲函数 ,22z z z ze e e e shz chz ---+==； shz 奇函数，chz 是偶函数。
,shz chz 在z 平面内解析()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数1）点可导：()0f z '=()()000lim z f z z f z z∆→+∆-∆；2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析；3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u v u v x yy x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u v f z i x x∂∂'=+∂∂。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：,u v u vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂；此时()u vf z i x x∂∂'=+∂∂。
注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1． 复变函数积分的概念：()()1lim nk k cn k f z dz f z ξ→∞==∆∑⎰，c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质1） ()()1ccf z dz f z dz -=-⎰⎰ （1c -与c 的方向相反）；2） ()()()()[],,cccf zg z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+⎰⎰⎰是常数；3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()12cc c f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰。
3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：()cccf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则 ()0cf z dz =⎰2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的区域全含于D 内，则① ()cf z dz ⎰()1,knk c f z dz ==∑⎰ 其中c 与k c 均取正向；② ()0f z dz Γ=⎰，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -=所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()f z 在B 内的一个原函数，则()()()212112(,)z z f z dz G z G z z z B =-∈⎰说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5. 柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于D ，0z 为c 内任意一点，则()()002c f z dz if z z z π=-⎰6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为()101,2)()n c f z dz z z +=-⎰其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。
7．重要结论：12,010,()n ci n dz n z a π+=⎧=⎨≠-⎩⎰。
（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线） 8．复变函数积分的计算方法1）若()f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法()()()[]cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2）设()f z 在区域D 内解析，c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =⎰ c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有()()()()2121z cz f z dz f z dz F z F z ==-⎰⎰3）设()f z 在区域D 内不解析曲线c 内仅有一个奇点：()()()()()0001022()!cn n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩⎰⎰（()f z 在c 内解析）曲线c 内有多于一个奇点：()cf z dz ⎰()1knk c f z dz ==∑⎰ （ic 内只有一个奇点k z ）或：()12Re [(),]nk k cf z dz i s f z z π==∑⎰（留数基本定理）若被积函数不能表示成()1()n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。
（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ϕ在D 内有二阶连续偏导数且满足22220x yϕϕ∂∂+=∂∂，(,)x y ϕ为D 内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v 为实部u 的共轭调和函数。
两个调和函数u 与v 构成的函数()f z u iv =+不一定是解析函数；但是若,u v 如果满足柯西—黎曼方程，则u iv +一定是解析函数。