、柱面和锥面

g ( x, y) 0
2.例如方程
x2 a
2

y2 b
2
1 0 表示母线平行于z轴的
柱面，它与xoy平面的交线为
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
这条交线是椭圆.这个柱面称为椭圆柱面（如图 3.10）. 类似地，方程
x2 a2 y2 b2 1 0, x 2 2 py 0
M 0M v v
r
y z 3.例 求半径为2，对称轴为 x 的圆柱面 2 3
的方程.
解： 直线l0过点M 0 (0, 0, 0), 其方向向量为 v(1, 2,3)
设M(x,y,z)为柱面上任一点，则柱面方程为：
M 0M v v
2
化简得： x 2 10 y 2 5 z 2 4 xy 12 yz 6 zx 56 0 13 特别地，若圆柱面的半径为r，对称轴为z轴， 则这个圆柱面的方程为
4. 例
求准线为
x y2 z2 , x 2z,
母线垂直于准线所在平面的柱面方程. 解：由于准线所在的平面为x-2z=0，其法向量为 (1,0,-2)，而母线垂直于准线所在平面，故母线的方 向向量可取为(1,0,-2)，点M(x,y,z)在柱面上的充要 条件为：
消去参数
x, y, z 的齐次方程表示的曲面（添 2. 定理3.2 上原点）一定是以原点为顶点的锥面.
证明: 设 F ( x, y, z ) 0 是n次齐次方程， 它表示的曲面添上原点后记作S.
M 在S上任取一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ， 0 不是原点. 于是 直线 OM 0上任一点 M 1 O 的坐标 ( x1 , y1 , z1 ) 适合
分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱 面（分别如图3.11、3.12）.
2.4 锥面方程的建立
1.定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的 一个定点 M 0 的连线组成的曲面称为锥面. M 0称为 顶点，C称为准线，C上的点与 M 0 的连线称为母线. 平面也是锥面. 锥面的准线不唯一 . 2. 设一个锥面的顶点为
消去x0,y0,z0得： f ( x, y ) 0 z u 由于u可取任意值，故柱面方程为：f ( x, y ) 0
反过来，任给一个不含z的三元方程g(x,y)=0，我们 考虑以曲线C’
g ( x, y ) 0 z0
为准线，以z轴为母线方向的柱面，由以上讨论知， 该柱面的方程为
f ( x, y ) 0 z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点 M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线 上，从而有： f ( x , y ) 0
0 0 z 0 0 x x0 yy 0 z z0 u
x1 x 0 t , y1 y 0 t , t 0. z z t, 0 1
从而有 F ( x1 , y1 , z1 ) F ( x 0 t , y 0 t , z 0 t ) t n F ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0. 这说明S是锥面.
3 定理3.3 在以锥面顶点为原点的直角坐标系 里，锥面可以用x,y,z的齐次方程表示.
面的方程.
3. 例
求顶点为原点，准线为
2 y2 1, x 4 z 5.
的锥面方程. 解：设M(x,y,z)为锥面上一点，则存在准线上的一点 2 M1(x1,y1,z1)，使得 y
1 4 z1 5 x 0 ( x 0)u 1 y1 0 ( y 0)u z1 0 ( z 0)u
2 0
2 0
消去u得：
2.2 圆柱面，点的柱面坐标
1.圆柱面的准线可取成一个圆C ，它的母线方向 与准线圆垂直. 2. 圆柱面有一条对称轴 l ，圆柱面上每一个点 到轴 l 的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半 径. 3. 若圆柱面的半径为r，母线方向v(l,m,n)，以及圆ห้องสมุดไป่ตู้柱面的对称轴l0经过 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 此时柱面方程为：
F ( x1 , y1 , z1 ) 0, G ( x , y , z ) 0, 1 1 1 因此，有 x1 x0 ( x x0 )u , y y ( y y )u , 0 0 1 z1 z0 ( z z0 )u. x1 , y1 , z 1 得 消去 F ( x0 ( x x0 )u , y0 ( y y0 )u , z0 ( z z0 )u ) 0, (c ) G ( x0 ( x x0 )u , y0 ( y y0 )u , z0 ( z z0 )u ) 0. 再消去u，得到 x, y, z 的一个方程，就是所求锥
因此，有
再消去参数 u ，得到 x, y, z 的一个方程，就是所求 柱面的方程. 3. 如果给的是准线C 的参数方程
x f (t ), y g (t ), a t b.(3.8) z h(t ),
则同理可得柱面的参数方程为
x f (t ) lu, a t b, (3.9) y g (t ) mu , z h(t ) nu, u .
证明：从略。
作业：第90页，2，4(1)(2)，6，9(1)(3)，11；
x2 y2 r 2.
4.点M 的柱面坐标与它的直角坐标的关系是:
x r cos , r 0, (3.11) y r sin , 0 2 , z u, u .
2.3 柱面方程的特点
1. 定理3.1 若一个柱面的母线平行于z轴（或x 轴，或y轴），则它的方程中不含z（或x，或y）； 反之，一个三元方程如果不含z（或x，或y）， 则它一定表示一个母线平行于z轴（或x轴，或轴 y）的柱面. 证明： 柱面的母线平行于z轴，故 柱面的每条母线必与xOy平面相 交，从而准线C方程可设为：
| cos M 0 M , v | cos
3.例 求顶点为(0,0,0) ，轴与平面 2 x 2 y z 1 0
垂直，母线与轴夹角为 的圆锥面的方程. 6
解：设M(x,y,z)为所求锥面上一点，由于轴与平面
2 x 2 y z 1 0 垂直，从而知轴的方向向量v为 (2, 2, 1), 由题意，锥的顶点M0坐标为(0,0,0)，故有 cos M 0 M , v cos 6 | 2x 2 y z | 3 即：
x0 ,y0 ,z0 , 得： x-u =y 2 + z +2u 2 x-u =2 z +2u
4 x +25 y +z +4 xz -20 x-10 z =0
2 2 2
x0 =y +z x0 = 2 z0 x =x0 +u y =y 0 z =z0 - 2u
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，准线C的方程为
F ( x , y , z ) 0, G ( x , y , z ) 0.
求这个锥面的方程.
点 M ( x, y, z ) 在此锥面上的充分必要条件是：M 在一条母线上，即，准线上有一点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 使 得 M 1 在直线 M 0 M 上.
§2
柱面和锥面
2.1 柱面方程的建立
1.定义3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线C 平行移 动时所形成的曲面称为柱面. l 称为母线，C 称为 准线. 按定义，平面也是柱面. 对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一 .与每 条母线均相交的曲线均可作为准线。 n 2.设一个柱面的母线方向为v (l , m,，) 准线C 的 方程为 F ( x , y , z ) 0,
x y z
2 2
2
2 2 (1)
2 2
2
2
化简得
11x 2 11y 2 23z 2 32 xy 16 xz 16 yz 0
2.6 锥面方程的特点
1. 定义3.4 : F ( x, y, z ) 称为是 x, y, z 的n次齐次函 数（n是正实数），如果 F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z ) 对 于定义域中一切 x, y, z 以及对于任意非零实数 t 都 成立. 此时，方程 F ( x, y, z ) 0称为 x, y, z 的n次齐次 方程.
1
x12
消去参数x0,y0,z0，得
2 2 yu 1 x u 4 zu 5
2 2
再消去参数u，最后得
100 x 25 y 4 z 0
2 2 2
2.5 圆锥面
1. 对于圆锥面，它有一根对称轴 l ，它的每一 条母线与轴 l夹的锐角都相等，这个锐角称为圆 锥面的半顶角. 2. 如果已知顶点的坐标和轴 l 的方向向量 v 以 及半顶角 ，则点 M ( x, y, z )在圆锥面上的充分 必要条件是：
G ( x , y , z ) 0.
求这个柱面的方程.
点 M ( x, y, z ) 在此柱面上的充分必要条件是 M在某 一条母线上，即，有准线C 上一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 使得 M 在过 M 0 且方向为 v 的直线上（如图3.7）.
F ( x0 , y0 , z0 ) 0, G ( x , y , z ) 0, 0 0 0 x x0 lu, y y mu , 0 z z0 nu. 消去 x 0 , y 0 , z 0 ，得 F ( x lu , y mu, z nu ) 0, ( A) G ( x lu , y mu , z nu ) 0.