、柱面和锥面

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4.1柱面、锥面

§4.1 柱面与锥面
本节重点：掌握柱面与锥面的直角坐标方程的建立。掌握柱面与锥面的特点：均是有直线构成的曲面。
(一)柱面
4.1.1定义直线沿一定曲线Ｃ平行移动所产生的曲面叫做柱面。Ｃ叫做柱面的导线（或准线），这族平行直线中的每一条都叫做柱面的母线（图4-1）。
图4-1
圆柱面是特殊的柱面。
的柱面。它们依次叫做椭圆柱面（a＝b时，即圆柱面），双曲柱面与抛
物柱面（图4-2）
图4-2 由二次方程表示的柱面叫做二次柱面。此例中的三种柱面都是二次柱面。在§3.5中，我们建立了空间直线的射影式方程，把空间直线看作是它对两个坐标的投影平面的交线。推广到空间曲线，可看作是它对两个坐标面的投影柱面（即以此曲线为导线，母线垂直于该坐标面的柱面）的交线。由4.1.2定理可知，这两个投影柱面的方程可从曲线方程分别消去一个坐标变量而得。但要根据曲线的范围对所得柱面方程给出相应的限制（否则只能说明得到的柱面是通过曲线的，从而包含其投影柱面，但不一定恰好是其投影柱面）。例３、求曲线
虚锥面。例如表示以原点为顶点的虚锥面。 4.1.7定理关于，，的齐次方程总表示顶点在原点的锥面(可能顶点除外)。证：设是关于，，的次齐次方程。若它表示的曲面不是虚锥面，则曲面上就存在与原点不同的点。设是除原点外坐标满足此方程的任一点，则直线的参数方程为
利用方程的齐次性，得到 0
这就表明直线上任意点(＝0时不含原点) 都在曲面上，即曲面是由过原点的直线（可能不含原点）构成的，这动直线可看作是原点与曲面上一曲线（导线）的点的连线，因而它是以原点为顶点的锥面（可能顶点除外）。利用坐标系的平移公式[注]容易看出
2、锥面方程的齐次性例４、例５中的锥面方程都有一个重要的特点：对于任意实数，若用，，分别代替其左边的，，后，等于其左边乘，这种方程叫做关于，，的二次齐次方程。

4.1柱面

AB d

0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22

117 . 3

现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:

与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.

设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.

2 2 (1) 2 22

117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：

《解释几何-第四版》第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1）同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立柱面方程。任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线方程为 xx y y zz
1
0

1
0

1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.

高等代数课件-§3--2 柱面和锥面

x1 x 0 t , y 1 y 0 t , t 0. z z t, 0 1
从而有 F ( x1 , y1 , z1 ) F ( x0 t , y0 t , z 0 t ) t n F ( x0 , y0 , z 0 ) 0. 故M1在S上，从而整条直线OM0均在S上，这说明 S是锥面.
分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱面（分别如图3.11、3.12）.
2.4 锥面方程的建立
1.定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的一个定点 M 0 的连线组成的曲面称为锥面. M 0称为顶点，C称为准线，C上的点与 M 0 的连线称为母线. 平面也是锥面. 锥面的准线不唯一 . 2. 设一个锥面的顶点为
x0 ,y0 ,z0 , 得： x-u =y 2 + z + 2u 2 x-u = 2 z + 2u
4x +25 y +z +4xz-20x-10z =0
2 2 2
x0 =y +z x0 = 2 z0 x =x0 +u y =y 0 z =z0 -2u
§2
柱面和锥面
2.1 柱面方程的建立
1.定义3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线C 平行移动时所形成的曲面称为柱面. l 称为母线，C 称为准线. 按定义，平面也是柱面. 对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一 .与每条母线均相交的曲线均可作为准线。 n) 2.设一个柱面的母线方向为v (l , m,，准线C 的方程为 F ( x , y , z ) 0,
f ( x, y ) 0 z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点 M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线上，从而有： f ( x , y ) 0

柱面锥面和旋转曲面ppt课件

f (y1, z1)=0
.
S
建立旋转曲面的方程：
如图
得方程
规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标.
例3.1.6 将圆
绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程.
解：所求旋转曲面的方程为：
l
M1
S
旋转曲面又可看作以轴 l 为连心线的一族纬圆生成的曲面
特例--- 以直线为母线的旋转面
母线和轴共面时
圆柱面 (母线和轴线平行)
圆锥面 (母线和轴线相交而不垂直)
平面 (母线和轴线正交)
母线和轴线异面且直母线与轴线不垂直呢?
母线不是经线
单叶旋转双曲面
解：设P(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过P的纬圆方程是：
（母线平行于Y轴的椭圆柱面）
（母线平行于x轴的双曲柱面）
（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
1、锥面的概念
定义3.1.3 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。
补充：
曲线 C
C
绕 z 轴
3、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面
曲线 C
C
绕z 轴
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
M(x,y,z)
.
S

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

柱面、锥面、第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面、 2、锥面、 3、旋转曲面、 4、椭球面、 5、双曲面、 6、抛物面、
第一节
柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线准线，这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线母线的方向数为。如果M 为准线上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴；） a c
第三节旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、定义以一条平面曲线绕其平面上的一、定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的转曲面轴. 曲线C称为放置曲面的母线曲线称为放置曲面的母线称为放置曲面的纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程

柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,=(2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为Zz z Y y y X x x 111-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F ，这就是以⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为101111z z y y x x -=-=--, 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x (1) 设t z z y y x x =-=-=--101111,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2)(2)(21)()(222222t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 21211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于轴的平面0322=---z y x 的交线,即准线圆的方程为⎩⎨⎧=---=-+-+032214)1()1(222z y x z y x设),,(111z y x 为准线圆上的点,那么14)1()1(212121=++-+z y x ,0322111=---z y x 且过的),,(111z y x 母线为221111--=--=-z z y y x x .消去参数111,,z y x 即得所求的圆柱面方程 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .解法二将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为{}2,2,1--=v ,轴上的定点为)1,1,0(0-M ,而圆柱面上的点为)1,2,1(1-M ,所以{}2,3,110-=M M ,因此)1,2,1(1-M 到轴的距离为3117==d 再设),,(z y x M 为圆柱上任意点,那么有3117==d 即 3117)2()2(1211121221122222=-+-+--+-++--+-y x x x z y 化简整理得 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。

2-5 旋转面、柱面和锥面

轴距离相等于是51上页下页结束母线是过z轴的坐标平面yz平面xz平面上的一条曲线5129反之形如的方程柱坐标系中形如的方程的图像一定是以上页下页结束51轴的坐标平面上的一条曲线的旋转面的方程为即在该曲线在坐标平面上的方程中保留与旋转轴同名的变量不动而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根
a
y
x
上页
下页
结束
5.1 旋转面
下面求其方程
y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕虚轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转单叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b 2 2 y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕实轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转双叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b
上页下页结束
x
5.1 旋转面
圆 x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴旋转所成曲面（ y
o
r
R
x
上页
下页
结束
5.1 旋转面
y
o
x
z上页下页结束5.1 旋转面y
o
x
环面方程
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
上页下页结束
2
2
5.1 旋转面
抛物线绕它的轴旋转得到的旋转面称为旋转抛物面. 它具有很好的光学性质: 其焦点处射出的光线被它反射为平行光束. 用于探照灯、车灯.
z
yz 平面上的抛物线 y2 = 2pz (p > 0)
y
绕对称轴 z 轴旋转得到旋转抛物面方程为 x2 + y2 = 2pz .

旋转面、柱面和锥面)

M
M
而 M 与 M 到 l 的距离相等 |M0M | = |M0M| .
于是 M S
M , MM u0 = 0,
|M0M| = |M0M| .
上页下页结束
方程
上页下页结束
上页下页结束
例
求直线
x2 0
y 1 0
z 1
绕直线
x 0
y 0
z 1
旋转一周所得旋转曲面的方程。
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
.
z
y
o
a
x
3 旋转单叶双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面 . .
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x
.
4 旋转锥面
两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
x
o
y
4 旋转锥面
两条相交直线
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
Sz
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z) 0.
x
上页下页结束
建立旋转曲面的方程：
如图设 M ( x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周

4.1,4.2柱面和锥面

方程 x
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上它一般表示一条曲线C.
z

M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中一定不含z.
z

o x
y
证设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,

柱面、锥面、二次曲面

以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面) 的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影.
所以方程 H (x, y) = 0所表示的曲线必定包含 z= 0
了空间曲线C在xOy面上的投影.
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.
x2 y2 R2 表示圆柱面
定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面.
这条定曲线叫柱
面的准线，那族
母线
平行直线中的每
一直线，都叫做
叫柱面的母线.
观察柱面的形
准线
成过程:
注
显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确定．但是对于一个柱面，它的准线并不是唯一的．
X
Y
Z
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
(3)
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得 F(x,y,z)=0
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的柱面的方程。
例1、柱面的准线方程为
x2 y 2 z 2 1 2x2 2 y2 z 2 2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程．（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
知识结构:
图形 → 方程
柱面
锥面
旋转曲面
方程 → 图形
椭球面双曲面抛物面

柱面锥面二次曲线

(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值，此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆，它的两半轴为：a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点（± a 1 h2 c2 ，0， h）与
（0， ±b 1 h2 c2 ， h）分别在两条主截线（双
曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
与
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心：坐标原点（1个）;
主轴：x轴、y轴和z轴（3条）;
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。

但是也可以研究一些非二次特殊曲面。

本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。

构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。

特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。

设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。

若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

第二章第五节旋转面、柱面和锥面

第五节旋转面、柱面和锥面
一、旋转面二、柱面三、和锥面
在右手直角坐标系下讨论
§5
旋转面、柱面和锥面
一、球面的普通方程二、球面的参数方程，点的球面方程三、曲面和曲线的普通方程四、旋转面
5.1 旋转曲面定义3.1 一条曲线Γ 绕一条直线l 旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线l 叫旋转曲面的轴， Γ 称为旋转面的母线。．

0
0
0
0
满足的方程，即为所求旋转曲面的方程。
任取l 上的点 M1 , | MM1 || M 0 M1 |
例2. 设旋转面的轴线 l 过点M 0 (1,3, 1) ，平行于向量 u0 (1,1,1) ，准线是过点 M1 (0, 2,1) 平行于向量 u1 (1, 1,1) 的直线求此旋转面方程。 x y 2 z 1 解：先写出准线方程： 1 1 1 旋转轴 l : x 1 y 3 z 1 设旋转面上点 M ( x, y, z ) 由准线上点 M ( t , 2 t , 1 t ) 旋转而得。 M M u0 M M u0＝0
u (1,1,1) 或( 1,1,1)， (1, 1,1)， (1,1, 1)
设点 M ( x , y, z ) 在圆锥面上
cos OM , u cos e1 , u
P91 例2.16
2 2 2 2 | e1 u |( x y z ) x y z | OM v | | e v | | OM | 1 | u | xy yz 2 zx 2 0 | OM || u | | OM u | | OM |
柱面：（准线为坐标面上的线，母线平行于坐标轴）

二次直纹曲面的统一方程及柱面和锥面的判定

二次直纹曲面的统一方程及柱面和锥面的判定二次直纹曲面是指由两个直线族生成的曲面，其中每个直线族都有一个共同的直线，这个共同的直线被称为直纹。

二次直纹曲面在几何学和工程学中都有广泛的应用，因此研究二次直纹曲面的统一方程及柱面和锥面的判定具有重要意义。

二次直纹曲面的统一方程二次直纹曲面可以由以下方程表示：F(x,y,z)=0其中F(x,y,z)是一个二次齐次多项式，其表达式为：F(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2fyz+2gxz+2hxy+2px+2qy+2rz 其中a,b,c,f,g,h,p,q,r都是实数。

柱面的判定柱面是一种二次直纹曲面，其直纹是一组平行于某一直线的直线。

因此，柱面的统一方程可以写成：F(x,y,z)=G(x,y)其中G(x,y)是一个二次非齐次多项式。

为了判定一个曲面是否为柱面，需要满足以下条件：1. 二次齐次多项式F(x,y,z)的系数f,g,h必须为零，即：f=g=h=02. 二次齐次多项式F(x,y,z)的系数a,b,c可以是任意实数，即： a,b,c∈R3. 二次齐次多项式F(x,y,z)的系数p,q,r必须满足以下关系：p=G_x(x,y)q=G_y(x,y)r=0其中G_x和G_y分别表示G(x,y)对x和y的偏导数。

锥面的判定锥面是一种二次直纹曲面，其直纹是一组以同一点为顶点的直线。

因此，锥面的统一方程可以写成：F(x,y,z)=0其中F(x,y,z)是一个二次齐次多项式，其表达式为：F(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2为了判定一个曲面是否为锥面，需要满足以下条件：1. 二次齐次多项式F(x,y,z)的系数a,b,c必须满足以下关系： a,b,c≠02. 二次齐次多项式F(x,y,z)的系数f,g,h,p,q,r必须为零，即： f=g=h=p=q=r=0结论通过对二次直纹曲面的统一方程的研究，可以判定一个曲面是否为柱面或锥面。

这对于几何学和工程学中的应用具有重要意义。

3.2柱面、锥面和旋转曲面

再设过点P的母线交准线圆于P1(x1,y1,z1)点,则过P1(x1,y1,z1)
的母线为 x x1 y y1 z z1
1
2 2 ,
且有

x12

( y1
1)2

( z 2 y1 2z1 3 0.
由上两式消去参数x1,y1,z1,即得所求圆柱面的方程 8x2 5y2 5z2 4xy 4xz 8yz 18y 18z 99 0
上的点(0,1,-1)为球心,点(0,1,-1)到已知点(1,-2,1)的距离 d 14
为半径的球面 x2 ( y 1)2 (z 1)2 14
与过已知点且垂直于轴的平面 x 2y 2z 3 0 的交线,
即准线圆的方程为
x2 ( y 1)2 (z 1)2 14, x 2y 2z 3 0.

2 2 2 1 1 2
13
1 (2)2 (2)2
再设P(x,y,z)为圆柱面上任一点,则由圆柱面的性质可得
d P0P v 13 v
也即
y 1 z 12 z 1 x 2 x y 12

2 2 2 1 1 2
13
1 (2)2 (2)2
解法2 利用圆柱面的特征性质求解.
因为轴的方向向量为v =(1,-2,-2),轴上的定点为 P0 (0,1, 1) ,而圆
柱面上有一个已知点为 P1(1, 2,1) ,所以此点 P1(1, 2,1) 到轴的距离为
P0P1 (1, 3, 2)
,因
d P0P1 v v

3 2 2 2 1 2 1 3 2
3.2.1 柱面 (Cylindrical surfaces)

曲面及其方程柱面、锥面、旋转曲面

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二、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示柱面， l3 母线平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念二、柱面、锥面、旋转曲面三、二次曲面
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一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.

、柱面和锥面解析

f ( x, y ) 0 z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点 M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线上，从而有： f ( x , y ) 0
0 0 z 0 0 x x0 yy 0 z z0 u
z u
消去x0,y0,z0得： f ( x, y ) 0
由于u可取任意值，故柱面方程为：f ( x, y) 0
反过来，任给一个不含z的三元方程g(x,y)=0，我们考虑以曲线C’
g ( x, y ) 0 z0
g ( x, y) 0
为准线，以z轴为母线方向的柱面，由以上讨论知，该柱面的方程为
1
x12
消去参数x0,y0,z0，得
2 2 yu 1 x u 4 zu 5
2 2
再消去参数u，最后得
100 x 25 y 4 z 0
2 2 2
2.5 圆锥面
1. 对于圆锥面，它有一根对称轴 l ，它的每一条母线与轴 l夹的锐角都相等，这个锐角称为圆锥面的半顶角. 2. 如果已知顶点的坐标和轴 l 的方向向量 v 以及半顶角，则点 M ( x , y , z )在圆锥面上的充分必要条件是：
x, y, z 的齐次方程表示的曲面（添 2. 定理3.2 上原点）一定是以原点为顶点的锥面.
证明: 设 F ( x , y , z ) 0 是n次齐次方程，它表示的曲面添上原点后记作S.
M 0 不是原点. 于是在S上任取一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，直线 OM 0上任一点 M1 O 的坐标 ( x1 , y1 , z1 ) 适合

费马原理确定柱面和锥面反射点的解析表示式

费马原理确定柱面和锥面反射点的解析表示式
费尔马原理是在物理学与电磁学中应用最广泛的原理之一，该原理可以提出柱面和锥面反射点的解析表达式，可以用于许多物理方面的计算和模拟。

费尔马原理指出，用两个曲线相交处的两个点作为坐标，在柱面上投射一个线性点，其反射角和投射角是相等的，这个点称为柱面反射点。

同理，也可以投射一个线性点到锥面上，其反射角和投射角均为半折射角，称为锥面反射点。

于是，我们可以得出柱面和锥面反射点的解析表达式：
柱面反射点：Xi 和 Yi 分别为柱面上另外两个点的坐标，Xi+1 和 Yi+1 分别为投射点的坐标，则柱面反射点的坐标为：
Xi+1~ref=2*Xi+1-Xi
Yi+1~ref=2*Yi+1-Yi
锥面反射点：Xc 和 Yc 分别为锥面上另外两个点的坐标，Xc+1 和 Yc+1 分别为投射点的坐标，则锥面反射点的坐标为：
Xc+1~ref=2*Xc+1-Xc
Yc+1~ref=2*Yc+1-Yc+|cosα|*|Xc-Xc+1|
其中α为锥面的半折射角。

以上就是费尔马原理所给出柱面和锥面反射点的解析表达式。

该表达式提供了一种简单的、有用的方法，可以用来模拟物理实验和计算反射点的位置及其他物理属性，因而在物理学
与电磁学方面应用非常广泛。