2016年北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为（ ） A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（ ）A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ） A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到lC 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝_______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-=（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值； （Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。

19．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在 y 轴的右侧．直线PA ，PB 与直线x ＝ 4分别交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ，F ，求点P 横坐标的取值范围及｜EF ｜的最大值． 20．（本小题满分13 分） 给定正整数n(n ≥3)，集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A ，B ，C ，同时满足下列条件：① U n ＝A ∪B ∪C ，且A ∩B ＝ B ∩C ＝A ∩C ＝∅；②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；③集合A ，B ，C 中各元素之和分别记为S A ，S B ，S C ，有S A ＝S B ＝S C ；则称集合 U n 为可分集合． （Ⅰ）已知U 8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ，B ，C ； （Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则U n 不是可分集合； （Ⅲ）若U n 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）DABC海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．解：（Ⅰ） 在ACD ∆中，由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ 在BCD ∆中，由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ 因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα=（Ⅱ）因为π6α=，π2β=, 由（Ⅰ）得πsin32π23sin 6AC BC == 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠代入,得到222π1949223cos 3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =.16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数[23,4]3.64.4 4.4 3.644x +++==则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为 100400S x ==g（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ，结果为21s >22s . （Ⅲ）依题意，随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，，1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ==随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯. 17解:（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥,因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥. 因为ABPA A =，且AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB（Ⅱ）证明：因为BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB , 所以BC PB ⊥在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以MNBC .在正方形ABCD 中，AD BC , 所以MN AD ，所以 MN AD ，可以确定一个平面，记为α所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内（Ⅲ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥,PA AD ⊥.又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, 所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P . 设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =, 设PN PC λ=, [0,1]λ∈，因为(2,2,2)PC =-，所以(2,2,22)AN λλλ=-，又(0,2,0)AD =，所以00AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=, 因为(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，取1a =得, 到(1,1,0)m =-, 因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>==, 所以1|cos ,|2||||2m n m n m n⋅<>=== 解得12λ=, 所以PN = 18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22111'()x f x x x x-=-=当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=， 所以()f x 的最小值为0（Ⅱ）解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，22211ln (1)ln 1()'()ln ln ln x x x f x x x g x xx x--+-=== 由（Ⅰ）得，()0f x ≥，所以'()0g x ≥所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞，无单调减区间. （Ⅲ）证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线.设切点为00(,)x y ，则0'()1g x =，即00201ln 11ln x x x +-=又000001,ln x y y x x -==，则0001ln x x x -=. 所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =，与 0'()1g x =矛盾 所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线 19解：（Ⅰ）由题意可得，1b =，c e a == 得22134a a -=， 解24a =，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-，同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-， 令0y =，则222002016(4)(1)4y xx x -+=-，因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， 所以28(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. 设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12||x x -=0825x <≤） 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法二：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+，直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交， 则004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<， 即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< 因为 220014x y +=，所以 2020114y x -=-,代入得到 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. 该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---， 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-，该圆在x轴上截得的弦长为8,(2)5x =<≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. 方法三：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---， 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， 若该圆与x 轴相交，则 04|1|x ->004||y x ， 即2200044(1)()0y x x -->， 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, 所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈ 该圆在x轴上截得的弦长为=≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法四： 记(20)D ，, (40)H ，，设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -，所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+， 004(1)1y n x +=- ， 所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ，因为EH MN ⊥， 所以2EH HN HM =⋅，200004(1)4(1)(1)(1)y y EH HN HM x x -+=⋅=-+⋅-220002016168()y x x x -+-=- 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, 代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈，所以22EF EH ==≤= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法五：设直线 OP 与4x =交于点T因为//MN y 轴，所以有,,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT ==== 所以AO BO TN TM=，所以TN TM =，所以T 是MN 的中点. 又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP 方程为00y y x x =, 令4x =,得004y y x =, 所以004(4)y T x ， 而041r TN x ==- 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F 则00044||1y d r x x =<=- 所以220016(4)y x <-因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-,代入得到 所以200580x x ->，所以085x >或00x < 因为点002x <≤，所以0825x <≤而EF ==2=≤= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.20解：（I ）依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C =（II ）假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合.设3n k =，则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k k k +++⋅⋅⋅+=， 而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k +<, 矛盾， 所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合(Ⅲ)n =35. 因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数) 所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由（Ⅱ）知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数.当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N .定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成，根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆，此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-， 此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-， 2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =，C ，集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}U是可分集合, 所以n的最小值为35. 检验可知，此时35。