第二章 贝叶斯状态估计与粒子滤波

第二章 贝叶斯状态估计与粒子滤波

视觉跟踪可视为状态估计问题[16,54]，即根据视觉目标在先前帧的状态信息估计其在当前帧的状态，从而实现视觉跟踪。状态估计一直都是自动控制、通讯、航空与航天等领域的经典研究主题之一[69,70]。贝叶斯状态估计是处理不确定性条件下状态估计问题的有力理论工具[21,22,71]。为了有效处理非高斯、非线性状态估计问题，二十世纪九十年代人们提出了粒子滤波[19-22,71]，粒子滤波是基于Monte Carlo 随机模拟的贝叶斯滤波方法。本章将简单介绍贝叶斯状态估计和粒子滤波相关理论问题。首先，通过介绍贝叶斯状态估计相关理论，引出贝叶斯状态滤波问题及实现贝叶斯状态滤波的两大理论工具：卡尔曼系滤波器和粒子滤波。然后，简单介绍了卡尔曼系滤波器的相关理论和算法。最后，详细介绍了粒子滤波理论框架、收敛性问题及经典采样策略。

2.1 贝叶斯状态估计

估计理论是概率论和数理统计的一个分支，所研究的对象是随机现象。它是根据受干扰的观测数据来估计关于随机变量、随机过程或系统的某些特性的一种数学方法[70]。所谓估计，就是从带随机噪声干扰的观测信号中提取有用信息，可定义如下：

定义 2.1 如果假设被估计量为n 维向量()t X ，而其观测量为m 维向量()t Z ，且观测量与被估计量之间具有如下关系

()()(),t h t t =⎡⎤⎣⎦Z X V (2.1)

其中，[]h ⋅是已知的m 维向量函数，由观测方法决定；()t V 是观测误差向量，通常为一个随机过程。那么，所谓估计问题，就是在时间区间[]0,t t 内对()t X 进行观测，从而在得到观测数据(){}0,t t ττ=≤≤Z Z 的情况下，要求构造一个观测数据的函数()ˆX Z 去估计()t X 的问题，并称()ˆX

Z 是()t X 的一个估计量，或称()t X 的估计为()ˆX Z [69,70]。 一般地，估计问题可以分为两类：状态估计和参数估计。状态和参数的基本差别在于，前者是随时间变化的随机过程，后者是不随时间变化或随时间缓慢变化的随机变量。因此，

可以说状态估计是动态估计，而参数估计是静态估计。在此，主要讨论系统状态估计问题。下面首先介绍最优估计和估计准则，然后在贝叶斯意义下描述状态估计问题。

2.1.1 最优估计与估计准则

一般地，在实际工程应用中总希望估计出来的参数或状态愈接近真实值愈好，即如何最优地利用系统观测数据得到一个最优估计量，这就是最优估计问题。所谓最优状态估计，是指在某一确定的估计准则条件下，按照某种统计意义，使系统状态估计达到最优[70]。因此，最优状态估计是针对某一估计准则而言的。估计准则是衡量估计的好坏的，选择合理的估计准则是极其重要的。可以说，估计准则在很大程度上决定了估计的性能、求解估计问题所使用的估计方法及估计量的性质等。估计准则是多种多样的，但在贝叶斯意义下，统计估计准则可分为：贝叶斯估计准则与非贝叶斯估计准则[69,70]。非贝叶斯估计准则常见的有最小二乘准则和极大似然准则；而贝叶斯估计准则常见的有极大后验准则和最小方差准则。估计准则和估计方法是紧密相关的，选择不同的估计准则就对应不同的估计方法。下面将简要介绍基于这几种估计准则的统计估计方法： 1. 最小二乘估计

最小二乘估计是法国数学家高斯（Gauss ）于1809年提出的，是一种使用最广泛的估计方法之一。最小二乘估计可定义如下：

定义 2.2 设被估计量X 是非时变的n 维随机向量，如果对其进行k 次线性观测，则有

() 1,2,,i i i i k =+=Z H X V (2.2)

其中i Z 是m 维观测向量，i Η是m n ⨯观测矩阵，i V 是m 维的零均值观测误差向量。如果将k 次线性观测简写成，

=+Z H X V (2.3)

其中12k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z Z Z Z ，12k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦H H H H ，12k ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

V V V V 则Z 是一个km 维向量，H 是km n ⨯矩阵，V 是km 维的零均值观测误差向量。当km n ≥时，

可根据Z 来估计X 。如果要求选择X 的一个估计ˆX

，使得性能指标 ()()()

ˆˆˆJ T

=--X

Z HX Z HX (2.4)

或更一般形式的二次型性能指标

()()

()

ˆˆˆJ T

W =--X

Z HX W Z HX

(2.5) 达到极小，那么称这个估计ˆX

为X 的最小二乘估计或加权最小二乘估计，并记为或(

)ˆL S W X Z 。其中W 为km km ⨯对称正定加权矩阵[69,70]。 对于最小二乘估计，作如下几点说明：

（1）Z 是所有观测数据的全体，因此最小二乘估计要求把所有观测数据都储存起来作统一处理，很难实现实时处理。

（2）最小二乘估计或加权最小二乘估计都是无偏估计。

（3）设观测误差的方差阵为{}Var =R V ，则可以证明，当选择加权矩阵1-=W R 时，能使加权最小二乘估计的方差阵达到最小[70]。 2. 极大似然估计

极大似然估计是以观测值出现的概率最大作为准则的，是应用非常广泛的参数估计方法。1906年费希尔（Fisher ）首先使用这种估计方法，它是以似然函数概念为基础的。极大似然估计可定义如下[69,70,72,73]：

定义 2.3 设X 为n 维被估计量，{};1,2,,i i k ==Z Z 为X 的k 次观测数据集，它是从同一个分布()p Z X 独立采样得到的（即独立同分布的）。记

()()1

k

i

i L p ==

∏X Z

X (2.6)

称为样本{};1,2,,i i k ==Z Z

的似然函数。如果样本集Z 的一个函数()1ˆˆ,,ML ML k =X X Z Z 满足：()

()ˆsup M L X L L =X X ，则成ˆML

X 为X 的极大似然估计[70]。 对于极大似然估计，可以证明，当观测次数k 趋于无限大时，极大似然估计量ˆML

X 是一种无偏估计量。因此，极大似然估计是渐近无偏的。此外，极大似然估计量可以是随机量，