《物理场论》标量位矢量位和波动方程
标量位与矢量位
2
A
(
A)
2 A t 2
t
J
2 ( A)
t
已定义了矢量场 A 的旋度， A B ， 必须再规定其散度。
为了简化计算，令
A Φ
t
洛伦兹条件
则前两式可以简化为
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ
t 2
仅与电流 J 有 关
仅与电荷 有关
原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。
Jr,t r r
A(r,t)
v dV
4π V
r r
式中， V ' 为电流 J 的分布区域。
r2 v2 t2 0
式中 v 1
0 r
上式为函数 ( r) 的齐次波动方程，其通解为
r
f 1t
r v
f
2 t
r v
式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍
去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电
位为
Φ(r,t)
f 1t
r v
r
已知位于原点的静止点电荷 q 产dV生的电位为
4. 标量位与矢量位 设介质是线性均匀且各向同性的，那么由麦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
克斯韦方程可得
E 2 E J
t 2
t
H 2H J
t 2
利用矢量恒等式 A ，同 A时考2虑A 到
及 ，那 么B 上 0述两式 D变为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
原来电磁场的矢量方程为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
t 2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量
《物理场论》矢量场基本定理
算子
'
x'
ex
y '
ey
z
'
ez
，是对源点坐标微分，
积分是对源点坐标积分。
5、亥姆霍兹定理
证明：利用反证法，
设在无界空间有两个矢量函数
F
和
G
，有相同的
散度和旋度，即，
F G
F G
设
F
G
，令，
F
G
4、唯一性定理
定理描述：设 A 为定义在空间区域V内的一个矢
量场，S表示区域V内的边界闭合曲面。若在区域
V内
A
的散度
A
、旋度
A
以及在边界S上
A
的
切向分量
A（t 或
A
的法向
An 分 量 ） 已给 定 ， 则 矢
量场 A在V内将被唯一地确定。
证明：利用反证法， 假V内设散在度区相域同V内 同A1时 存在A2、两旋个度矢相量同场A1A和1 A2，A2 以在
区域V内存在一个标量函数
u
，使得
A
u，代
入（1）式，可以得到：
A u 2u 0
((u)2 u2u)dV (uu) dS
V
S
(u)2 dV (uu) dS
V
S
（3） （4） （5）
4、唯一性定理
矢量 A在边界面S上的切向分量为
《物理场论》第1篇：物理场论基础
第4节 矢量场基本定理
张元中
弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xx σ，yy σ，zz σ剪切应力xy σ，xz σ，yx σ，yz σ，zx σ，zy σ。
《物理场论》时变电磁场
第2节 完备的 Maxwell方程组
说明：Maxwell方程组中7个方程是独立的 ， 本构方程中9个方程是独立的，共16个方程，16 个未知数，因此理论上可以求解。
Maxwell方程组的积分形式
B
l E dl S t dS
B
l H dl S (J t ) dS
电磁感应定律应用举例 涡流与电磁炉原理！
有一半径为a、高度为h的圆盘，电导率为。
把圆盘放在磁感应强度为B的磁场中, 其方向垂直
盘面。设磁场随时间变化，且dB/dt=k，k为一常
量。求盘内的感应电流。
r dr
h
a
h
B
r dr
已知
R,
h,
, B , dB
dt
k
求： I
r dr
h
解： 如图取一半径为 r ,宽度 为dr ,高度为h 的圆环。
A
2
A
(
A
)
J
t 2
t
引入附加条件—洛伦兹规范
：
A
0
t
可得 A 形式的波动方程：
2 2
t 2
2
A
场论的名词解释
场论的名词解释引言：场论（Field Theory），是物理学中的一个重要分支。
它被广泛应用于粒子物理学、相对论、统计力学等领域，为我们理解自然界的基本原理提供了一种深入的思考方式。
本文将对场论进行详细解释和探讨，带领读者进入这个神秘而美妙的世界。
1. 场的概念与特性在物理学中，场是一种描述物质或物质运动的物理量分布的数学对象。
它可以是标量场（Scalar Field）、矢量场（Vector Field）、张量场（Tensor Field）等。
场具有局部性、连续性和相对性等基本特性。
局部性意味着场的值在空间中的任意一点都是独立的；连续性表示场的取值在空间中任意两点之间是连续变化的；相对性则是指场的取值与观察者的参考系有关。
2. 场的基本描述场论采用数学上的场方程来描述和推导物理现象。
典型的场方程包括著名的波动方程、麦克斯韦方程组和薛定谔方程等。
这些方程可以通过变分原理和作用量原理来推导，从而获得代表系统演化的微分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到描述场的物理量和它们随时间和空间的变化而变化的解。
3. 场与粒子的关系场论的一个重要概念是“场粒子二重性”。
根据量子力学的观点，场与粒子是密不可分的。
简单来说，场是描述粒子的数学对象，而粒子则是场的激发或扰动。
例如，在量子场论中，电子场和正电子场可以相互作用，从而产生电子-正电子对。
这种相互作用过程可以通过费曼图等图形进行描述，使我们对粒子的产生和湮灭有更直观的理解。
4. 场的量子化场论的量子化是将经典场论转化为量子场论的过程。
在经典场论中，场是连续的，而在量子场论中，场被量子化成离散的粒子。
量子场论采用了量子力学和量子统计的框架，引入了算符和正则量子化方法等技巧，从而使得场可以像粒子一样被描述。
量子场论的发展为我们理解基本粒子和宇宙微观结构提供了理论基础。
5. 场论的应用和发展场论的应用广泛涉及微观和宏观世界的各个领域。
在粒子物理学中，场论为我们理解基本粒子的相互作用提供了框架。
矢量场与标量场以及计算方法PPT课件
换句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示 一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电 位的分布确定了一个电位场。（物理量的值可相等）
场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间
•终点一般称为矢性函数A(t)的矢端曲线。
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z
Z
P(X, Y, Z)
r
Aazz Aaxx O
Y Aayy
y
X
x
图1-1 直角坐标系中一点的投影
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02. 矢量的乘积
•矢量的乘积包括标量积和矢量积。
1） 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
(Scalar Product)是一个标量，
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2. 旋度
设 A ex Ax ey Ay ez Az dl exdx eydy ezdz
得
A dl
L
L ( Axdx Aydy Azdz)
s
(
Az y
Ay z
)dydz
(Ax z
Az x
)dzdx (Ay x
Ax y
)dxdy
•上式右面的积分可以看成是矢量
M为S中的某一点，令 向S p点收缩，则
有旋度定义的极限形式：
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rotn
A
=
lim
S 0
l A dl lim d
S
S0 S ds
由此可见， rotnA表示矢量场A在P点的环量密度，它与该 点的曲面元的法线方向有关。当旋度rotA与n的方向相同时， 环量密度取得最大值。
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
第四章 矢量位与标量位
E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数
E x x E y y E z z
直角坐标系
E e x ey ez x y z
◇ E在任意方向上的分量
El
l
1 q eR q dR q 1 1 q d l C 2 4 0 R R 4 0 R R 4 0 R Rp 4 0 R
RP RP
若取 RP 处的电位为零，则
q 4 0 R
● 体电荷 d 、面电荷 d S 、线电荷 l d l产生的电位分别为
t
（洛仑兹条件)
所以
2A A 2 J t
2
同理
2 2 t
2
• 以上二方程称为达朗贝尔方程。 • 此方程表明矢位 A 的源是 J ，而标位 的源是 。时变场中J 和 是相互连系的
4.4 求解位函数
● 对于点电荷的电场，其电位为
洛伦兹规范库仑规范41矢量磁位矢量位的泊松方程规定其散度直角坐标系42标量位因为若选取为电位参考点则任意点的电位为43用位函数表示非均匀波动方程由麦氏第一方程体电荷面电荷线电荷44求解位函数在直角坐标系中体电流面电流线电流idl产生的矢量位分别为解
第 4章
矢量位与标量位
相对于电场与磁场的研究来说，有时先去研究 一个位函数可能会容易很多，当然这个位函数一定 是与场有关的，比如对这个位函数的微分即可得到 场。下面我们将要来寻找这种适合于电场和磁场的 位函数，本章所得到的结果将成为我们分析电场和 磁场时的基本方法。
B A El d l
A
B
El d l
标量波和矢量波
提出四个基本名词：1，标量波；2，矢量波；3，标量波方法；4，矢量波方法。
以光波来举例（为了简要说明，约定该光波为平面波，光波的能量方向为z轴。
坐标系为传统的xyz坐标系）。
光波的波动方程，含有振幅（常用电场矢量来表示）和相位。
上述四个名词，都是通过光波的振幅来定义的。
显然，通性的描述一个光波，由于振幅是矢量，显然是矢量波。
分析这个光波在波导中运动的特性，我们也称之为矢量波方法。
有时，比如说（线偏振光），振幅这个矢量只有一个方向（x或者y轴）上的分量，于是我们就可以用标量来简化描述振幅，称此时的光波为标量波。
又有时，虽然振幅是矢量，但是可以将振幅分解成在相互正交上的两个矢量的叠加(x轴和y轴)，则此时就可以用两个标量波表示原来的矢量波。
综上所述，可以对标量波和矢量波做总结如下：所有的光波，都是矢量波。
所有的矢量波，都可以分解成不同方向上的标量波的叠加。
引入矢量波和标量波的概念，是为了更好的说明标量波方法和矢量波方法。
在实际的处理光波时，我们考虑的是光波的运动，是光波的振幅的变化。
如果由于波导的作用，光波的某个方向上的标量波动方程，在运动过程中不会与其他方向上的光波发生联系，那么我们可以单独的研究这个方向上的光波的运动情况，可以在整个波导范围内，一直用标量波来表示这个运动的光波，这样的研究方法，也叫做标量波方法。
所以，标量波方法是矢量波方法在特殊情况下的简化。
在很多时候，我们无法运用标量波方法，便使用矢量波方法。
在光子晶体这种波导中，分析光的运动，人们采用过标量波方法，认为两种偏振可以分开处理，导致在很多情况下，理论结果和实验结果差别很大，所以，在光子晶体的这种拨到中，很多情况下，两种偏振是不可以分开处理的，它们是有着联系的。
所以，后来人们采用矢量波方法，取得了很好的分析结果。
《物理场论》弹性波的反射和透射
从能量角度看，能流反射系数：
RP
RS
( A')2 A
( B )2 VS A VP
cos cos
自由界面反射
当 0 时（垂直入射），A’ A, B 0
若用标量位和矢量位表示波场：
u
y
;w
y
联立解得弹性横波在自由界面上的弹性位移反射系数：
反射横波：
B' B
VS2 VS2
sin sin
2 2
sin sin
2 2
VP2 VP2
cos2 cos2
2 2
反射纵波：
A B
VS2
2VPVS sin 2 cos sin 2 sin 2 VP2
2
cos2
2
第2节 弹性波在介质分界面上的反射和透射
cos
)
Bei
(
k
'' x
x
''t
)
0
(10)
该方程对于x，t的任意值均成立，则只能是：
' '',
kx
k
' x
kx'' ,
即
sin sin ' sin
VP
VP
VS
则有：
'
sin
sin
VP VS
（Snell定律）
场论基本公式
场论中重要的公式梯度123123123111=h h h u u u u a a a q q q∂∂∂∇++∂∂∂散度()()()1232313121231231=h h h h h h h h h A q q q A A A q q q ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∇++⎢⎥∂∂∂⎣⎦算子22313121231231122331u=h h h h h h h h h h h h u u u q q q q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∇旋度1231231231231231231=h h h h h hh h h A q q qaaaqqqA A A ∂∂∂∇⨯∂∂∂直角坐标：1231h h =h==柱坐标：1321,h h h r ===球坐标：1231,,sin hh h r r θ===电场33'00'()44q R q r r E r R r rπεπε-==-电场的高斯定理0/SE dS Q ε⋅=⎰对应微分0/E ρε∇⋅=介质中D ρ∇⋅=，S D dS Q ⋅=⎰ ，其它的一样。
载流导电媒质中恒定电场基本方程：0lE dl ⋅=⎰ 对应微分0E ∇⨯=0SJ dS ⋅=⎰对应微分0J ∇⋅=pE dl ϕ∞=⎰ ，有时也写成这样0()p p pr E dl ϕ=⋅⎰，对应微分E ϕ=-∇泊松方程20/ϕϕρε∇⋅∇=∇=- 拉普拉斯方程20φ∇=极化体密度(')'(')p r P r ρ=-∇⋅极化面密度(')SP P r n ρ=⋅磁场毕奥萨弗尔定理011134I dl RdB Rμπ⨯=真空中的安培环路定理0CB dl I μ⋅=⎰ 对应微分0B J μ∇⨯=介质中CH dl I ⋅=⎰，H J ∇⨯=磁场的高斯定理0SB dS ⋅=⎰对应微分0B ∇⋅=由恒定磁场的基本方程，在无自由电流(J=0)的区域里有0H ∇⨯=所以可假设的标量磁位mH ϕ=-∇ （因为0ϕ∇⨯∇≡）泊松方程2m m φρ∇=- 拉普拉斯方程20m ϕ∇=边界条件2121212121m m n n t t m m B B n n H H ϕϕμμϕϕ∂∂→=∂∂==→=对引入矢量磁位A0B ∇⋅= ，根据()0A ∇⋅∇⨯≡，所以可以定义B A =∇⨯AE tϕ∂=-∇-∂磁矢位的泊松方程20A J μ∇=-拉普拉斯方程20A ∇=在推导过程中，令0B H M μ=- ，M为磁化强度磁化体电流密度m J M =∇⨯ 磁化面电流密度mS J M n =⨯00(1)m r B x H H H μμμμ=+== 位移电流D D SSd d D I D d s d s dt dt tΦ∂==⋅=⋅∂⎰⎰⎰⎰它的表达式说明位移电流的实质是时变电场位移电流密度0eD DE P J t t tε∂∂∂==+∂∂∂ ， 全电流密度/D J J J J D t =+=+∂∂全麦克斯韦方程组：积分形式 0l S l S SSVD H dl J dS t BE dl dS tB dS D dS dV Qρ⎛⎫∂⋅=+⋅ ⎪∂⎝⎭∂⋅=-⋅∂⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰微分形式0D H J t B E t B D ρ∂∇⨯=+∂∂∇⨯=-∂∇⋅=∇⋅=表征媒质宏观电磁特性的本构关系为 00()D E P B H M J E εμσ⎫=+⎪⎪=+⎬⎪=⎪⎭对于各向同性的线性媒质， 上式可以写为D EB H J E εμσ===电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为21()(1)S n D D ρ⋅-=21n n S D D ρ-=若分界面上没有自由面电荷， 则有 12n n D D =磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为21()0(2)n B B ⋅-=21n n B B = 磁场强度矢量的切向分量的矢量形式的边界条件为21()(3)Sn H H J ⨯-=电场强度矢量的切向分量的矢量形式的边界条件为21()0(4)n E E ⨯-=定义坡印廷矢量S E H =⨯，坡印廷矢量表示某时刻单位时间垂直通过曲面上单位面积的电磁能量——电磁功率流密度。
波动方程
无界域内波动方程，等…
2 2u 2 u , x , t 0 2 a 2 t x u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), x t 2 2 x at x at 2 2 u 1 u 1 t 2 2 0 2 2 2 u 0 2 x x x a t a t 2 2a 2 2 1 x t u 0 x a t x t 1 1 1 1 u 0 x a t x a t 2 x a t 1 1 x t x a t x a t x t 2u u 1 1 0 2 x a t u f ( ) u f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) F ( x at ) G( x at )
2 2u 2 u , x , t 0 2 a 2 t x u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), x t f2 u F ( x at ) G( x at ) 通解 t
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) u ( x) t t 0
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
u (a, t ) 0
第一类边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u u( x x, t ) u( x, t )
矢量分析与场论
3
矢量
一.矢量的概念
模
什么是矢量？
既有数值大小又有方向的量称为矢量
什么是常矢量？
数值大小与方向均不变的矢量称为常矢量
什么是变矢量？
数值大小与方向至少有一个变化的矢量称为变矢量
什么是矢量相等？
矢量的数值大小与方向均相同
4
有向线段 A
M2 方向
M1
v A
=
M1M
2
直角坐标中的矢量
v A
=
Axevx
+
Ay evy
+
Az evz
evx, y,z
z
～单位矢量 Az
A
单位矢量 模等于一的矢量
v A
=
v A
av
A
av
=
v A
v A
矢量的模
o
Ax
x
A=
v A
y Ay
a
A的单位矢量
= Ax2 + Ay2 + Az2
5
二.矢量的运算
标量与矢量相乘
v cA
=
c
v A
= dAx (t ) evx + dAy (t ) evy + dAz (t ) evz
15
导数公式 Cv′ = 0
(kAv)′ = kAv′
(uAv )′ = u′Av + uAv′
(
v A
±
v B
)′
=
Av′
±
Bv′
( ) r
A⋅
v B
′
=
Ar′ ⋅
v B
+
场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和旋度
通过闭合面S的通量的物理意义： a) 若 ψ 0，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量， 闭合面内有产生矢量线的正发射源；例如，静电场 中的正电荷就是发出电力线的发射源；
b) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量， 闭合面内有吸收矢量线的负吸收源；静电场中的负 电荷就是接受电力线的吸收源；
这个方向的投影，梯度方向是等值面的法线方向。
梯度 (Gradient)定理
积分结果与路径无关。Fra bibliotek通量与散度, 散度(高斯)定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的通量(Flux of a vector field)
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
A dS
S
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。 若S 为闭合曲面
A dS
S
矢量场的通量
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ A dS Ax dydz Ay dzdx Az dxdy
S S
物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。 在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
矢量场的例子
(a) 有发射源 (Source)的场 (b) 有漏(Sink)或有吸收源的场 (c) 旋转 (Circulation)场 Videos are from: MIT online Open Course Resources
麦克斯韦方程组
静电学方程
E
B E t
Q
《物理场论》弹性波的波动方程求解
1[ 2
f1(x Vt)
f1(x Vt)]
1 2V
xVt
xVt f2 (x ')dx '
此为无限大介质中，一维波动方程在满足给定初始条
件时的定解。
均匀介质弹性波
2. 平面正弦波、波矢量的定义及波的分解
波矢量：k N 2 N
V
弹性波传播方向上的单位矢量：N lex mey nez
— 代表标位 ; 或代表矢量位 的一个分量； — 和体力场分布有关的函数，又称源函数。
在波源不存在的地方，位函数满足波动方程：
2
1 V2
2
t 2
0
（齐次方程）
为二阶常系数线性微分方程。
第2节 无限大均匀各向同性介质中的弹性波
1. 一维波动方程求解
（1）波动方程的简化
《物理场论》第2篇：弹性波场
第3章 弹性波的波动方程求解
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
第1节 波动方程总体描述 第2节 无限大均匀各向同性介质中 的弹性波
第1节 波动方程总体描述
弹性波场的达郎贝尔方程为：
2 1 2 （非齐次方程）
V 2 t2
此为一维波动方程的通解，前一项为正向平面波，后 一项为反向平面波。
（3）一维波动方程的定解
由初始条件：
(x, 0)
f1( x)
( t ) |t0 f2 ( x)
则 (x,0) 1(x) 2(x) f1(x)
（1）
均匀介质弹性波
t
|t0
2 (x)
7. 数学物理方法与位场理论
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、课程介绍1.课程描述（中英文）：数学物理方法与位场理论是地球信息科学与技术专业的学科基础必修课。
主要内容分为三大部分，第一部分是数学物理基础内容，主要讲述复数与复变函数、解析函数等及偏微分方程概念、分类，引出几种典型偏微分方程和定解问题，为后续电磁场论及弹性波动力学内容的学习储备知识。
第二部分是电磁场论内容，主要讲述矢量分析与场论、静电场、恒定电流场、磁场及时变电磁场等，推导得出麦克斯韦方程组，介绍求解静态场的几种方法。
第三部分为弹性波动力学内容，主要讲述位移与应力、应变与位移及应力与应变间基本关系，推导建立弹性波位移运动微分方程（拉梅方程），并介绍利用克希霍夫积分、格林函数求解波动方程的积分方法。
通过本课程学习，要求学生掌握运用数学物理方法及矢量分析推导电磁场及弹性力学基本方程的思路和方法，为后续专业课程学习打好基础。
Mathematical physics and potential field theory are the compulsory courses for the major of Earth information science and technology. The main content is divided into three parts: The first one is the mathematical physics, mainly about complex numbers and complex- 1 -variable functions, analytic functions. The concept and classifications of partial differential equations (PDEs), as well as the concepts of definite solutions are included, which provides basic knowledge for studying potential field theory and elastic wave dynamics. The second part introduces the electromagnetic field theory, including vector analysis and field theory, electrostatic field, steady electric currents, magnetostatics and time-varying electromagnetic fields, and also solutions of the static fields. The third part mainly introduces the elastic wave dynamics, including basic relations between displacement and stress, strain and displacement, and stress and strain, and the establishment of elastic displacement equations (Lame equation). This part also introduces the solutions of the wave equation using Kirchhoff integral and Green functions. Students are required to understand the methods of using mathematical physics and vector analysis to derive the basic equations of conductive magnetic fields and elastic mechanics, which can establish a solid foundation for subsequent professional courses.2.设计思路：基于数学物理方法，结合场论知识，研究电磁波和地震波在地球介质中的产生和传播规律，是本课程的核心，可为解决地球信息科学领域中的复杂地球物理问题储备所需的数学、物理学基础。
矢量波动方程
矢量波动方程矢量波动方程是一种重要的物理学理论，它可以用来描述空间中的矢量波，尤其是电磁场和重力场。
该方程可以用来解释一些基本物理现象，如折射、衍射和关于电磁场的动力学。
矢量波动方程也被广泛应用于仿真计算，并为经典力学、量子力学和量子场论等基础理论提供了有力的支持。
矢量波动方程可以用一般的技术方法表达，这里简要介绍一下。
矢量波动方程的基本形式是：$$square^2boldsymbol{A}(boldsymbol{r},t)=mu_0dfrac{partial boldsymbol{J}(boldsymbol{r},t)}{partial t}$$ 其中，$boldsymbol{A}(boldsymbol{r},t)$是波动介质中的矢量场，$boldsymbol{J}(boldsymbol{r},t)$是源项。
$square^2$是拉普拉斯算符，它表示求导的数学运算，可以用来求解空间中的波动场。
$mu_0$是磁导率的倒数，它是可以定义的固定值。
矢量波动方程的定义及其表达式提出后，人们开始研究各种类型的矢量波动方程及其解析解的形式，以获得更多的知识和实际的结论。
首先，相关的矢量波动方程被分为两类，即定常型矢量波动方程和非定常型矢量波动方程。
定常型矢量波动方程是由$square^2boldsymbol{A}(boldsymbol{r})=boldsymbol{0}$来描述的，其中$boldsymbol{A}(boldsymbol{r})$是空间中的矢量场。
非定常型矢量波动方程是由$square^2boldsymbol{A}(boldsymbol{r},t)=dfrac{partialboldsymbol{J}(boldsymbol{r},t)}{partial t}$来描述的，其中$boldsymbol{J}(boldsymbol{r},t)$是源项。
下面简要介绍一下定常型的矢量波动方程和非定常型的矢量波动方程的解析解。
弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xxσ，yyσ，zzσ剪切应力xyσ，xzσ，yxσ，yzσ，zxσ，zyσ。
矢量波动方程
矢量波动方程矢量波动方程是物理学中重要的基础理论之一，它是描述物质在真空或物质环境中的运动的基本方程。
这个数学方程可以用来描述电力在真空中的传播，电磁波在物体内的传播，电磁场的产生，以及对空间结构的影响等等。
这个方程也被用来计算物质的加速度，以及真空和各种物理量的影响，以及一些其他的技术和应用问题。
矢量波动方程的历史可以追溯到1865年，当时英国物理学家James Clerk Maxwell发表了他的电磁场理论，他在其中提出了一组电磁场方程，这就是未来被称为Maxwell equations的方程。
他的理论提出了电磁场和电磁波的概念，并指出它们是相互作用的，电磁波可以在真空中运动，也可以在具体的物质环境中传播。
在20世纪60年代，物理学家里普利和费米发展了矢量波动方程，即从Maxwell equations中分离出来的一组方程。
里普利和费米认为，Maxwell equations可以被分解为两个独立的方程，一个描述电磁场的变化，另一个描述电磁波传播的运动。
这两个方程就是我们今天所说的矢量波动方程。
矢量波动方程可以用来研究电磁场的传播，以及物质的变化。
它也可以用来研究电磁波和电磁场之间的相互作用，以及电磁场对物质的影响。
这些都是非常重要的研究内容，因为它们有助于我们了解物理世界的本质，并且可以用来解决许多实际问题和技术应用。
矢量波动方程用来研究物体在各种物理量场（比如电场、磁场、重力场等）的影响下所发生的变化也是很有用的。
比如，它可以用来计算物体的能量变化和加速度，可以用来探索物体在物理量场中的行为，也可以用来解决许多现实中的应用问题。
矢量波动方程是一个相当重要的数学方程，它的应用被广泛用于物理学的研究中，它对空间结构的影响也得到了深入的研究。
矢量波动方程可以用来描述电磁场的传播，以及对物体、物理量和物理现象的影响，从而为物理学的研究提供了强大的数学工具，从而有助于我们更好地了解物理学，以及它在实际应用中的重要性。
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第3节 标量位、矢量位和波动方程
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
1. 矢量场的分类 2. 标量位 3. 矢量位 4. 波动方程
1、矢量场的分类
无源场：若
A
0
，则
A
为无源场，又称
无散场，涡旋场，如磁感应强度场。
无旋场：若
3、矢量位
矢量位：若场
B是无源场，
B
0
，则可找到
一个矢量场
(x,
y,
z,
t)
，使其满足
B
，称
为
场
B
的矢量位(矢位，矢势)。
散度是对源的精细描述，散度为0必定无源。
如果一个矢量场散度处处为零，即
A
0
，
则矢量场中的每条矢线都将闭合。
典型的例子是磁力线
矢量场
A
与势函数
v
的关系是
A
v
。
有势场是一个梯度场。
有势场的势函数有无穷多个，相互之间差一个
常数。
定理：矢量场
A
为有势场的充要条件是
A
为无
旋场。即
A 0。
有势场也称为保守场或无旋场。
(u) 0的物理意义是：对应有梯度的矢量场 必无旋。简言之：有势必无旋。
y,
z)，使其满足
A
，
称为
标量位（标位，标势）。 此为无旋场叫有位
（势）场的原因。
定义
：设有矢量场
A(M
)
，若存在单
值数性
函
数（数量场）u(M ) 满足：
A u
则称此矢量场为位场（有势场）；令 v u ，并
称 v 为这个场的位函数（势函数，标量位）。
2、标量位
位函数的规范化条件。如洛伦兹规范条件、库 仑规范条件等。
4、波动方程 场：发生物理现象的空间称为场；场是物理量 的空间函数。
波：在空间以特定形式传播的物理量或物理量 的扰动，形成波；分机械波和电磁波两大类。
波的共同特征：周期(频率)；相位；幅度；反 射和折射；叠加；干涉；衍射；偏振等。
波动方程：波在空间传播的物理规律用数学形 式表示出来，即物理量满足的偏微分方程组。
若方程的解是无源的非稳矢量场，则这样的场 是横波场；
否则是混合波场。
A
0
，则
A
为无旋场，通常
又叫有位场或有势场。
无旋无源场：若
A
0，
A0，则源自A 为无旋无源场，均匀矢量场为无旋无源场：如稳
恒电流场。
一般矢量场：不一定满足上述条件的矢量场 。
2、标量位
标量位：若场
A
是无旋场，
A
0，则可找
到一个标量场
(x,
4、波动方程
波函数：波动方程在特定边界条件下的解，也
是物理量在空间的分布规律。
如果矢量场
A
中恒有
A
0与
A
0 ，则称此
矢量场为调和场（无源无旋场），比如静电场。
设矢量场
A
为调和场，按照定义有
A
0
，因
此存在函数 u 满足
A u
。
矢量场
A
同时满足
A
0，于是有
(u)
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
4、波动方程
Laplace方程： 2u 2u 2u u 0
x2 y 2 z 2
Poisson方程： u
达朗伯方程（d’Alembert Equation），非齐次 波动方程）：
B
,磁力线是无头无尾的闭
合曲线，B
上任何一点散度为零，即
B
0
。
3、矢量位
矢量场
A
，若其散度
A 0
，则称此矢量场
为管形场。管形场就是无源场。
矢量场 A为管形场的充要条件是：它为另外一个
矢量场
B
的旋度场。即
A B
矢量场
B
称为矢量场
A
2
1 v2
2
t 2
表示一个标量场或矢量场；v通常表示波速。
(x, y, z,t) 表示一个已知的函数。
4、波动方程
(x, y, z,t) 0 达朗伯方程变成为齐次波动方程，
也是通常所说的波动方程：
2
1 v2
2
t 2
0
若方程的解是无旋的非稳矢量场，则这样的场 是纵波场；
的矢量位（矢量势）。
( A) 0
的物理意义是：对应旋度场的矢量
场必无源。简言之：有旋必无源。
3、矢量位 引入标量位和矢量位的好处：减少运算；简化
运算；简化波动方程求解。 “规范不变性”：标量位和矢量位的不确定性
并不影响场函数的唯一性。 满足某种条件的位函数是确定的，该条件叫做