数学物理方法2012-2013年考试卷答案

1. 已知方程22cos (3sin )0xx xy yy y U xU x U U +-++=，判断方程类型，并且用ε和η对
自变量x ，y 进行代换（不用化简方程）。

（10分）
解：根据方程变形得特征方程为：
22()2cos (3sin )0dy dy x x dx dx
--+= 22cos 3sin 40x x ∆=++=> 所以方程为双曲型
解特征方程得：
cos 2cos 2dy x dx dy x dx
=+=- 化简得 12sin 2sin 2y x x c y x x c =++=-+ 令 12sin 2sin 2c y x x c y x x
εη==+-==++ 则此式即为方程自变量变幻式。

2. 用简要语言描述一下方程表示的物理过程（不用解方程）。

（10分）
2000(,)0;0
();()
tt xx x x x l t t t U a U f x t U U U x U x ϕψ====⎧-=⎪==⎨⎪==⎩ 解：方程表示弦的受迫振动方程。

其中方程非齐次项(,)f x t 表示力密度，表示t 时刻作用于x 处单位质量上的横向外力。

00x U
==为第一类边界条件，表示在x=0处弦振动的纵向位移为0； 0x
x l U ==为第二类边界条件，表示在x=l 处弦振动的纵向受力为0； 0()t U
x ϕ==为初始条件，表示在t=0时刻，弦上对应x 各点竖直方向位移为()x ϕ； 0
()t
t U x ψ==为初始条件，表示在t=0时刻，弦上对应x 各点竖直方向速度为()x ψ；
3. 已知方程如下，求V （x,t ）使方程得以边界齐次化，同时方程自身保持齐次（不用解方程）。

（10分）
200000,sin 0,0
tt xx x x x l t t t a U U U A wt U U ====⎧-=⎪==⎨⎪==⎩U
解：
由于求解的是弦在x=l 端受迫作谐振动sin A wt 情况下的振动，它一定有一个特解V （x,t ），满足齐次方程、非齐次边界条件，且跟x=l 处同步振动，特解具有分离变数形式如下：
()sin X x wt =V （x,t ） 带入边界条件得方程为：2''()0(0)0,'()w X X a X X l A
⎧+=⎪⎨⎪==⎩ 得常微分方程的解为()cos()sin()wx wx X x C D a a
=+，带入边界条件 ()sin()cos A wx X x a a
a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 最终得所求函数：
sin()sin cos A wx wt w wl a a
a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦V （x,t ） 4 已知拉普拉斯方程30u ∆=在球坐标系下表达式如下：
2222222111()(sin )0sin sin u u u r r r r r r θθθθθϕ
∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂ 对上式进行分离变量，并对分离出的各式求通解。

（10分）
解：
令(,,)()(,)u r R r Y θϕθϕ=
则代入得 2222222
()(sin )0sin sin Y d dR R Y R Y r r dr dr r r θθθθθϕ∂∂∂++=∂∂∂ 方程两边同乘以2r RY 得 2222
111()(sin )sin sin d dR Y Y r R dr dr Y Y θθθθθϕ∂∂∂=--∂∂∂
令2222
111()(sin )(1)sin sin d dR Y Y r l l R dr dr Y Y θθθθθϕ∂∂∂=--=+∂∂∂得 2222()(1)0(1)11(sin )(1)0(2)sin sin d dR r l l R dr dr
Y Y l l Y θθθθθϕ
-+=∂∂∂+++=∂∂∂ 对（1）分析，方程为欧拉型方程，2222(1)0d R dR r r l l R dr dr
+-+= 通解为 (1)()l l R r Cr Dr -+=+
对（2）分析，令(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ
222(sin )(1)0sin sin d d d l l d d d θθθθθϕ
ΦΘΘΦ+++ΘΦ= 方程两边同乘以2sin θΘΦ得222sin 1(sin )(1)sin d d d l l d d d θθθθθϕ
ΘΦ++=-ΘΦ 令222sin 1(sin )(1)sin d d d l l d d d θθθλθθϕ
ΘΦ++=-=ΘΦ得 2''0(3)
sin (sin )(1)sin 0(4)d d l l d d λθθθλθθ
Φ+Φ=Θ⎡⎤++-Θ=⎣⎦ 解方程（3），由条件 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+得
2(0,1,2,3,...)()cos sin m m A m B m λϕϕϕ
==Φ=+ 解方程（4）变形得221(sin )(1)0sin sin d d m l l d d θθθθθ⎡⎤Θ++-Θ=⎢⎥⎣
⎦ 令 cos ,arccos x x θθ==则 222(1)(1)01d d m x l l dx dx x ⎡⎤Θ⎡⎤-++-Θ=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
即 222
22(1)2(1)01d d m x x l l dx dx x ⎡⎤ΘΘ--++-Θ=⎢⎥-⎣⎦ l 阶连带勒让德方程 通解()()()
()(cos )(cos )m m m m x CP x DQ x CP DQ θθθΘ=+Θ=+
5． 用分离变量法解方程。

（15分）
20000,03sin t xx x x l t a U U U x
U l π===⎧⎪-=⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩
U
6. 用行波法解方程。

（15分）
200000,0cos ,0tt xx x t t t a U x t U A
U A U θ===⎧-=<<+∞>⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩
U
7. 用傅里叶变换法解方程。

（15分）
20(,)()
t xx t a U f x t x U x ϕ=⎧-=-∞<<+∞⎪⎨⎪=⎩U
8. 解下列方程。

（15分） 222222
1x y a xy x y a U +=⎧∆=+<⎪⎨⎪=⎩
U。