专题15 分子模型-高考物理模型系列之对象模型(解析版)
高考力学试题中的物理模型专题
高考力学试题中的物理模型专题法国科学方法论学者阿雷说：“科学的基本活动就是探索和制定模型”。
为探索和揭示复杂事物的本质和规律，必须根据所研究的对象和问题的特点，从所研究的对象和问题的特点，从所考察的角度出发，撇开问题中个别的、非本质的因素，抽出主要的、本质的因素加以考查研究，利用抽象思维和想象力，采用理想化和纯粹化的方法建立起一个轮廓清晰、主题突出的、易于研究的新对象和新过程。
这个新对象、新过程就叫物理模型。
物理模型是物理学研究问题的基本方法。
物理模型也是物理解题的基本方法。
物理模型从不同角度研究有不同的分类方法，没有严格的定论。
针对高中力学模型的特点，同时体现力学知识结构的内在逻辑，根据中学物理教学的特点及模型的主要教学功能，把高中力学物理模型分为四类：一对象模型，二环境模型，三过程模型，四数学模型。
用来代替由具体物质组成的、代表研究对象的实体系统，叫做对象模型。
力学中的对象模型有质点、刚体、杠杆、轻质弹簧、单摆、弹簧振子、理想流体、点电荷。
高考物理试题中，极少涉及刚体的模型和杠杆模型，分析弹簧问题时往往是以弹簧连接的物体为研究对象，单摆可以看做轻绳和质点的组合，弹簧振子看做弹簧和质点的组合，处理理想的流体时可以取流体中的小部分看成质点来分析，点电荷可以看做带电的质点，所以高考物理力学试题中的对象模型其实只有一个，就是质点。
把研究对象所处的外部环境理想化，排除外部条件中干扰研究对象运动变化的次要因素，突出外部条件的本质特征或最主要方面，从而建立的物理模型称为环境模型。
环境模型可以分为场环境模型和装置模型。
研究在地面上空不高处无初速度下落的物体的运动，把局部空间看成一个重力场强度为g的均匀重力场，这样的重力场称为小尺度空间重力场。
把外部环境抽象成物理模型，往往仅局限于某一个范围内，不能无限延扩。
研究在高空中绕地球转动的卫星的运动，使用小环境重力场就不适合，可以把整个环境看成引力场强度为的引力场，称为大尺度空间的重力场。
专题15机械能+游戏模型-2023年高考物理机械能常用模型最新模拟题精练(解析版)
高考物理《机械能》常用模型最新模拟题精练专题15机械能+游戏模型一、选择题1.（2023湖南岳阳重点高中质检）“打水漂”是人类最古老的游戏之一，游戏者运用手腕的力量让撇出去的石头在水面上弹跳数次。
如图所示，游戏者在地面上以速度0v 抛出质量为m 的石头，抛出后石头落到比抛出点低h 的水平面上。
若以抛出点为零势能点，不计空气阻力，则下列说法正确的是（）A ．抛出后石头落到水平面时的势能为mghB ．抛出后石头落到水平面时重力对石头做的功为－mghC ．抛出后石头落到水平面上的机械能为212mv D ．抛出后石头落到水平面上的动能为2012mv mgh-【参考答案】．C【名师解析】．以抛出点为零势能点，水平面低于抛出点h ，所以石头在水平面上时的重力势能为－mgh ，A 错误；．抛出点与水平面的高度差为h ，并且重力做正功，所以整个过程重力对石头做功为mgh ，B 错误；．整个过程机械能守恒，以抛出点为零势能点，抛出时的机械能为2012mv ，所以石头在水平面时的机械能也为212mv ，C 正确；．根据动能定理得2k2012mgh E =-可得石头在水平面上的动能2k2012E mv mgh=+，D 错误。
2.(2022四川成都三模)如图，游乐园中某海盗船在外力驱动下启动，某时刻撤去驱动力，此后船自由摆动，当悬臂OA 水平时，船的速度恰好为零。
若A 、B 、C 处质量相等的乘客始终相对船静止，且以相同的半径随船摆动，摆动装置（含乘客）的重心位于圆弧AC 的中点B ，∠AOC ＝60°，不计一切阻力，重力加速度大小为g ，则海盗船在自由摆动过程中（）A.水平时，船对C 处乘客的作用力为零B.OA 水平时，B 处乘客的加速度大小为0.5B a g=C.A 处乘客从图示位置运动至最低点的过程中，始终处于失重状态D.A 、B 处乘客分别运动至最低点时，船对乘客竖直方向的作用力大小之比为32A B F F =【参考答案】D【名师解析】设乘客质量为m ，根据力的分解可知，水平时，船对C 处乘客的作用力为cos30F mg =︒故A 错误；OA 水平时，B 处乘客的加速度大小sin 6032B mg a g m ︒==,故B 错误；C ．A 处乘客从图示位置运动至最低点的过程中，当向心加速度在竖直方向的分量大于切向加速在竖直方向分量时，A 处乘客处于超重状态，故C 错误；设整体质量为M ，A 处乘客分别运动至最低点时，根据动能定理得21(cos30cos60)2A MgL Mv ︒-︒=,在最低点，对A 处乘客2AA v F mg m L-=,解得3A F mg=B 处乘客分别运动至最低点时，根据动能定理得21(1cos 60)2MgL Mv -︒=在最低点，对B 处乘客2BB v F mg mL-=,解得2B F mg =,可得32A B F F =,故D 正确。
(完整版)高考常用24个物理模型
Fm 高考常用24个物理模型物理复习和做题时需要注意思考、善于归纳整理，对于例题做到触类旁通，举一反三，把老师的知识和解题能力变成自己的知识和解题能力，下面是物理解题中常见的24个解题模型，从力学、运动、电磁学、振动和波、光学到原子物理，基本涵盖高中物理知识的各个方面。
主要模型归纳整理如下：模型一：超重和失重系统的重心在竖直方向上有向上或向下的加速度(或此方向的分量a y ) 向上超重(加速向上或减速向下)F =m (g +a )； 向下失重(加速向下或减速上升)F =m (g -a ) 难点：一个物体的运动导致系统重心的运动绳剪断后台称示数 铁木球的运动 系统重心向下加速 用同体积的水去补充斜面对地面的压力? 地面对斜面摩擦力? 导致系统重心如何运动？模型二：斜面搞清物体对斜面压力为零的临界条件斜面固定：物体在斜面上情况由倾角和摩擦因素决定μ=tg θ物体沿斜面匀速下滑或静止 μ> tg θ物体静止于斜面 μ< tg θ物体沿斜面加速下滑a=g(sin θ一μcos θ)aθ模型三：连接体是指运动中几个物体或叠放在一起、或并排挤放在一起、或用细绳、细杆联系在一起的物体组。
解决这类问题的基本方法是整体法和隔离法。
整体法：指连接体内的物体间无相对运动时,可以把物体组作为整体，对整体用牛二定律列方程。
隔离法：指在需要求连接体内各部分间的相互作用(如求相互间的压力或相互间的摩擦力等)时，把某物体从连接体中隔离出来进行分析的方法。
连接体的圆周运动：两球有相同的角速度；两球构成的系统机械能守恒(单个球机械能不守恒)与运动方向和有无摩擦(μ相同)无关，及与两物体放置的方式都无关。
平面、斜面、竖直都一样。
只要两物体保持相对静止记住：N=211212m F m F m m ++ (N 为两物体间相互作用力),一起加速运动的物体的分子m 1F 2和m 2F 1两项的规律并能应用⇒F 212m m m N+=讨论：①F 1≠0；F 2=0122F=(m +m )a N=m aN=212m F m m +② F 1≠0；F 2≠0 N= 211212m F m m m F ++(20F =是上面的情况) F=211221m m g)(m m g)(m m ++F=122112m (m )m (m gsin )m mg θ++F=A B B 12m (m )m Fm m g ++F 1>F 2 m 1>m 2 N 1<N 2例如：N 5对6=F Mm (m 为第6个以后的质量) 第12对13的作用力N 12对13=Fnm12)m -(nm 2 m 1 Fm 1 m 2╰ α模型四：轻绳、轻杆绳只能受拉力，杆能沿杆方向的拉、压、横向及任意方向的力。
【2024寒假分层作业】专题15 超重失重、等时圆和动力学两类基本问题(解析版)
2024年高考物理一轮大单元综合复习导学练专题15超重失重、等时圆和动力学两类基本问题导练目标导练内容目标1超重失重目标2动力学两类基本问题目标3等时圆模型【知识导学与典例导练】一、超重失重1．判断超重和失重现象的三个角度(1)从受力的角度判断：当物体受到的向上的拉力(或支持力)大于重力时，物体处于超重状态；小于重力时处于失重状态；等于零时处于完全失重状态。
(2)从加速度的角度判断：当物体具有向上的加速度时处于超重状态；具有向下的加速度时处于失重状态；向下的加速度恰好等于重力加速度时处于完全失重状态。
(3)从速度变化角度判断：物体向上加速或向下减速时，超重；物体向下加速或向上减速时，失重。
2．对超重和失重问题的三点提醒(1)发生超重或失重现象与物体的速度方向无关，只取决于加速度的方向。
(2)并非物体在竖直方向上运动时，才会出现超重或失重现象。
只要加速度具有竖直向上的分量，物体就处于超重状态；同理，只要加速度具有竖直向下的分量，物体就处于失重状态。
(3)发生超重或者失重时，物体的实际重力并没有发生变化，变化的只是物体的视重。
【例1】如图所示，一个圆形水杯底部有一小孔，用手堵住小孔，往杯子里倒半杯水。
现使杯子做以下几种运动，不考虑杯子转动及空气阻力，下列说法正确的是（）A．将杯子竖直向下抛出，小孔中有水漏出B．将杯子斜向上抛出，小孔中有水漏出C．用手握住杯子向下匀速运动，不堵住小孔也没有水漏出D．杯子做自由落体运动，小孔中没有水漏出【答案】D【详解】ABD．杯子跟水做斜抛运动、自由落体运动、下抛运动时都只受重力，处于完全失重状态，杯子与水相对静止，因此不会有水漏出，AB 错误，D 正确；C ．杯子向下做匀速运动，处于平衡状态，水受重力，会漏出，C 错误。
故选D 。
【例2】“笛音雷”是春节期间常放的一种鞭炮，其着火后一段时间内的速度—时间图像如图所示（取竖直向上为正方向），其中0t 时刻为“笛音雷”起飞时刻、DE 段是斜率大小为重力加速度g 的直线。
高考物理模型专题归纳总结
高考物理模型专题归纳总结一、引言高考物理考试中的物理模型是学生们备考的重点内容之一。
物理模型的理解和应用能力是解题的关键。
在高考物理考试中，常见的物理模型包括力学模型、电磁感应模型、光学模型等等。
本文将对这些物理模型进行归纳总结，帮助广大考生更好地掌握和应用这些知识。
二、力学模型1. 牛顿运动定律模型牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律是力学模型中最基础的内容。
牛顿第一定律指出物体如果没有外力作用，将保持匀速直线运动或静止状态。
牛顿第二定律则给出了物体力学模型的数学表达式F=ma，其中F为物体所受合力，m为物体质量，a为物体加速度。
牛顿第三定律则说明了作用力与反作用力相等并方向相反的关系。
2. 弹性模型弹簧弹性模型是高考中常见的题型，通过应用胡克定律和弹簧势能公式进行计算。
胡克定律描述了弹簧伸长或缩短的变形与所受力的关系，F=kx，其中F为作用在弹簧上的力，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长或缩短量。
弹簧势能公式为E=1/2kx²，其中E为弹簧的势能。
3. 圆周运动模型圆周运动模型中，角速度、角加速度、圆周位移与线位移的关系是基础内容。
角速度ω定义为角位移θ与时间t的比值，单位为弧度/秒。
角加速度α定义为角速度的变化率，单位为弧度/秒²。
圆周位移和线位移之间的关系为s=rθ，其中s为圆周位移，r为半径，θ为角位移。
三、电磁感应模型1. 法拉第电磁感应模型法拉第电磁感应模型是高考物理中的重要内容，应用于电磁感应的计算和分析。
法拉第电磁感应定律指出，通过导线的磁通量的变化率产生感应电动势，其大小和方向由导线所围成的回路和磁场变化率决定。
可以通过Faraday公式ε=-dΦ/dt进行计算，其中ε为感应电动势，Φ为磁通量，t为时间。
2. 毕奥-萨伐尔定律毕奥-萨伐尔定律描述了通过导体的电流所产生的磁场与导体所受磁场力的关系。
根据该定律，通过导体的电流所产生的磁场方向垂直于电流方向，其大小与电流强度和导线到磁场中心的距离正比。
专题15 分子模型-高考物理模型系列之对象模型(解析版)
模型界定本模型主要归纳分子大小与排列方式、分子的运动、分子力及其表现以及物体的内能问题. 模型破解 1.分子动理论(i)物质是由大量的分子组成的物质由大量分子组成，而分子具有大小，它的直径数量级是10-10m,一般分子质量的数量级是10-26 kg ．分子间有空隙.阿伏伽德罗常数：l 摩的任何物质含有的微粒数相同，这个数的测量值为N A = 6.02×1023mol -1．阿伏伽德罗常数是个十分巨大的数字，分子的体积、质量都十分小，从而说明物质是由大量分子组成的．①估算分子大小或间距的两种模型.（a ）球体模型：由于固体和液体分子间距离很小，因此可近似看成分子是紧密排列着的球体，若分子直径为d ，则其体积为：336134d R V ππ==.（b ）立方体模型：设想固体和液体分子（原子或离子）是紧密排列着的立方体，那么分子的距离（即分子线度）就是立方体的边长L ，因此一个分子的体积就是3L V=.对固体和液体，可以近似地认为分子是一个挨一个紧密排列在一起的.处理固、液体分子的大小，可应用上术两种模型之一.若考查气体分子间距，由于在一般情况下气体分子不是紧密排列的，所以上述模型无法求分子的直径，但能通过上述模型求分子间的距离.②常见微观量的求解表达式（说明：M 为摩尔质量，ρ为物质密度，V mol 为摩尔体积) （a ）1个分子的质量：m=M/N A .（b ）1个分子的体积或占有的空间体积：V=V mol /N A . （c ）1摩尔物质的体积：V mol =M/ρ. （d ）单位质量中所含分子数：n=N A /M. （e ）单位体积中所含分子数：n′=ρN A /M. （f ）分子间距离（分子直径）：36AmolN V dπ=（球体模型），3AmolN V d =（立方体模型）.(g)计算物质所含的分子数：A molA A mol N V M N M V N V V N M m NAρρ==== "油膜法"估测分子大小用油酸的酒精溶液在平静的水面上形成单分子油膜，将油酸分子看作球形，测出一定体积油酸溶液在水面上形成的油膜面积，用d=V/S 计算出油膜的厚度.这个厚度就近似等于油酸分子的直径,其中V 是油酸酒精溶液中纯油酸的体积.例1.若已知阿伏加德罗常数、物质的摩尔质量、摩尔体积，则可以计算出 A ．固体物质分子的大小和质量 B ．液体物质分子的大小和质量 C ．气体分子的大小和质量D ．气体分子的质量和分子间的平均距离 【答案】ABD例2.在“用油膜法测量分子直径”的实验中，将浓度为η的一滴油酸溶液，轻轻滴入水盆中，稳定后形成了一层单分子油膜．测得一滴油酸溶液的体积为V 0，形成的油膜面积为S ，则油酸分子的直径约为 ▲ ；如果把油酸分子看成是球形的（球的体积公式为316V d π=，d 为球直径），计算该滴油酸溶液所含油酸分子的个数约为多少．【答案】2236V S n πη= 【解析】:油酸分子的直径SV S V d0η==.可认为该滴油酸溶液中纯油酸的体积等于组成它的所有油酸分子体积的总和:300)(61S V n V ηπη=得2236V S n πη=.模型演練1.已知潜水员在岸上和海底吸入空气的密度分别为 1.3kg/3m 和 2.1kg/3m ，空气的摩尔质量为0.029kg/mol ，阿伏伽德罗常数A N =6.0223110mol -⨯。
专题15静电感应-2023年高考物理电场常用模型模拟精练(解析版)
2023年高考物理《静电场》常用物理模型最新模拟题精练专题15.静电感应一．选择题1．（2023湖南岳阳重点高中质检）如图所示，接地的金属板右侧有固定的点电荷Q+，a、b是金属板右侧表面的两点，其中a到Q+的距离较小。
下列说法正确的是（）A．由于静电感应，金属板右侧表面带负电，左侧表面带正电B．由于静电感应，金属板右侧表面带正电，左侧表面带负电C．整个导体，包括表面上的a、b点，是一个等势体，且电势等于零D．a、b两点的电场强度不为零，且a、b两点场强方向相同，但a点的场强比b点的场强要强（大）【参考答案】．CD【名师解析】画出电场线如图所示．根据静电感应的原理可知，同种电荷相斥，异种电荷相吸，又因右侧接地，由于右侧表面右边有正点电荷，金属板右侧表面仍带负电，那么左侧表面多余电荷被中和，因此不带正电，故AB错误；导体在电荷Q的电场中处于静电平衡状态时，在导体内部任意一点，感应电荷产生的附加电场的场强与电荷Q产生的场强与大小相等，方向相反，此时导体的内部场强处处为0，电荷只分布在导体的外表面，且整个导体是一个等势体，故C正确；静电平衡的导体，电荷分布在外表面，则a、b两点的电场强度不为零，根据电场线的分布可知，a、b两点电场强度方向相同，但a点的电场强度比b点的电场强度要强（大）一些，故D正确。
2.（2022山西运城期中）法拉第笼是一个由金属制成的球形状笼子，与大地连通。
当高压电源通过限流电阻将10万伏直流高压输送给放电杆，放电杆尖端靠近笼体时，出现放电火花。
如图所示，体验者进入笼体后关闭笼门，操作员接通电源，用放电杆进行放电演示。
则当放电杆尖端靠近笼体稳定且尚未放电时，下列说法正确的是)A.法拉第笼上的感应电荷均匀分布在笼体外表面上B.法拉第笼内部任意两点间的电势差为零C.法拉第笼上的感应电荷在笼内产生的电场强度为零D.同一带电粒子在法拉第笼外的电势能大于在法拉第笼内部的电势能当放电杆尖端距离笼体很近时，出现放电火花，【参考答案】．B【名师解析】感应电荷在笼体外的分布是不均匀的，靠近放电杆与远离放电杆处的电荷多，中间位置处的电荷少，故A错误；达到静电平衡状态的导体，内部电场强度处处为零，所以法拉第笼内部任意两点间的电势差为零，故B正确；达到静电平衡状态的导体，内部电场强度处处为零，即感应电荷的附加电场与引起电磁感应的电荷的电场的合场强为，所以感应电荷在笼内产生的电场强度不能为零。
高考物理模型知识点总结
高考物理模型知识点总结物理作为一门自然科学，是研究物质、能量和它们之间相互作用的学科。
在高中物理教学中，学生需要掌握和运用多种模型来解释和预测自然现象。
下面将对高考物理模型知识点进行总结，以帮助同学们更好地复习和应对高考。
一、粒子模型粒子模型是描述宏观物质行为的基础，它假设物质由微观的粒子组成，可以看作是一些实际物质在特定条件下简化而得的模型。
在物理学中，常用的粒子模型有质点模型和准质点模型。
质点模型假设物体无限小、没有形状和体积，只有质量和位置。
通过质点模型可以解释机械运动、碰撞、受力等问题。
准质点模型是质点模型的一种延伸，它认为物体在具有分子结构的条件下，可以近似看作由质点组成的。
准质点模型广泛应用于热学问题、电学问题和物态变化等领域。
二、简谐振动模型简谐振动模型是描述周期性振动的一种模型，在物理中有广泛的应用。
简谐振动包括了弹性势能和动能之间的转化。
在动力学平衡位置附近，物体受到的力可以近似表示为与位移成正比的力，即恢复力。
这种情况下，物体的振动可以用简谐振动模型进行描述。
简谐振动模型常用于描述弹簧振子、摆钟等。
三、电路模型电路模型是描述电流和电压分布的一种模型。
在电路中，电流通过导线流动，而电压代表电荷在电路中的移动能力。
电路可以采用电路图的形式来进行表示。
其中，电阻用符号表示，电源和电压表用直线段表示，导线用直线表示。
电路模型常用于解决电阻的并联和串联问题，以及与电阻并联的元件的工作原理等问题。
四、光学模型光学模型是解释光的传播和反射折射的理论依据。
光学模型包括了几何光学模型和波动光学模型。
几何光学模型假设光是由一条直线构成的，用于描述光的透射、反射等现象。
几何光学模型中，光线在光学器件表面的传播方式可以用光的反射和折射规律来描述。
波动光学模型基于光是一种波动现象的假设，用于描述光的干涉、衍射等现象。
波动光学模型常用于解决光的单缝、双缝干涉问题，以及杨氏双缝实验等。
五、力学模型力学模型是描述力学运动的一种模型，其中包含了牛顿力学模型和相对论力学模型。
专题15 动力学图像、超重失重、等时圆、临界极值问题(解析版)
2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题15 动力学图像、超重失重、等时圆、临界极值问题 特训目标特训内容 目标1动力学图像问题（1T —4T ） 目标2超重失重问题（5T —8T ） 目标3等时圆问题（9T —12T ） 目标4 临界极值问题（13T —16T ）一、动力学图像问题1．如图甲所示，一质量为1kg m =的物体在水平拉力F 的作用下沿水平面做匀速直线运动，从某时刻开始，拉力F 随时间均匀减小，物体所受摩擦力随时间变化的规律如图乙所示。
则下列说法中正确的是（ ）A ．1s t =时物体开始做匀减速运动B ．物体匀速运动时的速度大小为2m /sC ．物体与接触面间的动摩擦因数为0.2D ．2s =t 时物体的加速度大小为22m /s【答案】B【详解】A ．物体在开始在F 作用下做匀速直线运动，由图可知，滑动摩擦力的大小为4N ，拉力随时间均匀减小后，物体开始做减速运动，3s t =时，滑动摩擦力突变成静摩擦力，说明3s t =时物体刚好减速到速度为零，之后静摩擦力与拉力F 平衡，由图可知静摩擦力图线与滑动摩擦力图线交于1s t =时，可知在1s t =时，拉力F 开始均匀减小，物体开始做减速运动，合力逐渐增大，加速度逐渐增大，物体做加速度逐渐增大的减速运动，直到3s t =时停下，处于静止状态，A 错误；B ．从1~3s 过程，根据动量定理可得0Ft ft mv -=-解得物体匀速运动时的速度大小为424222m /s 2m /s 1ft Ft v m +⨯-⨯-===，B 正确； C ．由图可知滑动摩擦力大小为4N f mg μ==解得物体与接触面间的动摩擦因数为40.4110f mg μ===⨯，C 错误； D ．2s =t ，由图可知拉力23N F =，根据牛顿第二定律可得，物体的加速度大小22243m /s 1m /s 1f F a m --=== D 错误。
故选B 。
高考物理专题15曲线运动运动的合成与分解(含解析)(2021年整理)
2．分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
4．合运动与分运动的关系
（1）等时性 合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止.
（2）独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行,不受其他运动的影响.
【参考答案】AB
1．一物体由静止开始自由下落,一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响,但着地前一段时间内风力突然停止,则其运动的轨迹可能是
【答案】C
【解析】当有水平向右的风时,会产生水平向右的加速度，轨迹向右弯曲,风力停止时,合力向下。且轨迹不能急折,故C项正确.
2．如图所示的曲线为运动员抛出的铅球运动轨迹（铅球视为质点），A、B、C为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向，下列说法正确的是
②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时,物体的速率减小；
③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变.
3．做曲线运动的规律小结：
（1）合外力或加速度指向轨迹的“凹”(内）侧。（2）曲线的轨迹不会出现急来自，只能平滑变化，且与速度方向相切。
二、运动的合成与分解
1．基本概念
（1)运动的合成:已知分运动求合运动。
专题15 曲线运动 运动的合成与分解
一、曲线运动
1．曲线运动
（1）速度的方向：质点在某一点的速度方向,沿曲线在这一点的切线方向。
（2）运动的性质:做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
（3）曲线运动的条件:物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。
2023届浙江高三物理高考复习微专题模型精讲精练第15讲 多体平抛运动模型(解析版)
第15讲多体平抛运动模型1．（2021·江苏）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（）A．A比B先落入篮筐B．A、B运动的最大高度相同C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同【解答】解：AB、将A、B篮球的运动过程逆向看作是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜抛运动，落到同一高度上的两点，因A水平位移较大，可知A的抛射速度较大，竖直初速度较大，最大高度较大，运动时间较长，即B先落入篮筐中，故AB错误；C、因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速度大，故C错误；D、由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故D正确。
故选：D。
一.知识总结1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．4. 平抛运动基本规律如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．图1(1)位移关系(2)速度关系（3）飞行时间由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关． （4）水平射程 x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关． （5）落地速度v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2ghv 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关． （6）速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．图4（7）两个重要推论①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即x B ＝x A2.图5推导：⎭⎬⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v yv 0＝2y AxA→x B＝x A2②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α. 推导：⎭⎬⎫tan θ＝v y v 0＝gt v 0tan α＝y x ＝gt 2v→tan θ＝2tan α5.多体平抛模型（1）模型特点：涉及到两个或两个以上物体做平抛运动的模型 （2）模型运动规律①若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
广东版高考物理复习专题十五热学教学课件
解析 力平衡法:题图甲中,以高为h的液柱为研究对象,由平衡条件有p甲S+ρghS=p0S, 所以p甲=p0-ρgh。 液片法:题图乙中,以B液面为研究对象,由平衡条件有p乙S+ρghS=p0S,故p乙=p0-ρgh。 液片法:题图丙中,以B液面为研究对象,由平衡条件有p丙S+ρgh sin 60°·S=p0S,所以p丙=p0-
当左边活塞到达B位置时汽缸内气体的压强最大,最大压强p=mg +p0,所以外界对气体
S1
做的功小于p0S1h+mgh,由于内能不变,由热力学第一定律ΔU=W+Q知,理想气体向外界 释放的热量小于p0S1h+mgh,D正确。
答案 BD
模型一 玻璃管-液柱模型
力平衡法 等压面法 液片法
选取与气体接触的液柱为研究对象进行受力分析,得到液柱的受力平衡方程,求得 气体的压强
①分子质量:m0= M = ρVmol 。
NA NA
②分子体积:V0=Vmol = M (适用于固体和液体)。
NA ρNA
③物体所含的分子数:N= V NA= m NA或N= m NA= ρV NA。
Vmol
ρVmol
MM
二、分子热运动 1.分子热运动:分子在做永不停息的无规则运动。 2.扩散现象:相互接触的不同物质彼此进入对方的现象。温度越高,扩散越快。 3.布朗运动:悬浮在液体或气体中的微粒的无规则运动。微粒越小,温度越高,布朗运 动越明显。 4.分子热运动、扩散现象与布朗运动的比较
三、能量守恒定律 能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为其他形式,或者 从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中,能量的总量保持不变。 点拨拓展 永动机辨析 1.第一类永动机不能制成的原因是违背了能量守恒定律。 2.第二类永动机不能制成的原因是违背了热力学第二定律。
专题16 气体模型-高考物理模型系列之对象模型(解析版)
模型界定本模型主要是理想气体模型，涉及气体分子动理论、气体定律以及热力学定律与气体状态方程相结合的问题。
模型破解1.气体分子动理论:人们从分子运动的微观模型出发，给出某些简化的假定，结合概率和统计力学的知识，提出了气体分子动理论，其主要如下：（i）气体是由分子组成的，分子是很小的粒子，彼此间的距离比分子的直径(10-10m)大许多，分子体积与气体体积相比可以略而不计。
（ii）气体分子以不同的速度在各个方向上处于永恒的无规则运动之中。
（iii）气体分子运动的速度按一定的规律分布，速度太大或速度太小的分子数目都很少.（iv）温度升高，分子运动的平均速率增大，且速率大的分子数增多，速率小的分子数减小，仍是“中间多，两头少”的分布规律.（v）除了在相互碰撞时，气体分子间相互作用是很微弱的，甚至是可以忽略的。
（vi）气体分子相互碰撞或对器壁的碰撞都是弹性碰撞。
(vii)分子的平均动能与热力学温度成正比。
(viii)分子间同时存在着相互作用力。
分子间同时存在着引力和斥力，引力和斥力都随分子间距离的增大而减小（分子间距越大，引力和斥力都越小；分子间距越小，引力和斥力都越大）。
但斥力的变化比引力快，实际表现出来的是引力和斥力的合力。
合力在0~r0时表现为斥力，在大于r0时表现为引力（r0为引力等于斥力的临界点）例1 1859年麦克斯韦从理论上推导出了气体分子速率的分布规律，后来有许多实验验证了这一规律。
fυ表示各速率区间的分子数占总分子数的百分比。
下面国幅图中能若以横坐标υ表示分子速率，纵坐标()正确表示某一温度下气体分子速率分布规律的是。
（填选项前的字母）【答案】D【解析】: 分子数的百分比不能小于零,AB错误.速率分布规律是"中间多两边少",由此特点可知答案为D。
模型演练1.下列叙述正确的是（）A．只要知道气体的摩尔体积和阿伏伽德罗常数，就可以算出气体分子的体积B．物体的内能越大，分子热运动就越剧烈，分子平均动能也就越大C．由于气体分子做无规则运动，所以气体分子速率分布没有规律D．分子间的距离r存在某一值r0，当r<r0时，斥力大于引力；当r>r0时，斥力小于引力【答案】D2.气体的三个状态参量(i)热力学参量——温度:表示物体的冷热程度，是分子平均动能的标志(ii)几何参量——体积:气体所充满的容器的容积.①气体的体积V是指大量气体分子所能达到的整个空间的体积.封闭在容器内的气体，其体积等于容器的容积②在标准状态下，1 mol的任何气体的体积均为22.4 L③气体的体积不是气体分子自身体积的总和.(iii).力学参量——压强:气体作用在器壁单位面积上的压力，叫做气体的压强.①压强在数值上等于单位时间内器壁的单位面积上受到气体分子的总冲量.②产生原因：大量气体分子无规则运动碰撞器壁，形成对器壁各处均匀的持续的压力而产生.③决定因素：一定气体的压强大小，微观上取决于分子的运动速度和分子密度；宏观上取决于气体的温度T、体积V.在温度不变时,分子运动平均率不变,气体分子每次与器壁发生碰撞产生的平均冲击力不变,单位时间内与单位面积的器壁发生碰撞的分子次数越多,气体压强越大.在单位时间内与单位面积器壁发生碰撞的分子次数不变时,分子无规则运动越剧烈,每次与器壁碰撞时产生的平均冲击力越大,压强越大.④决定气体分子在单位时间内对单位面积的器壁碰撞次数的因素:单位体积内的分子数与分子无规则运动剧烈程度.例2.关于气体的压强，下列说法中正确的是A．气体的压强是由气体分子间的排斥作用产生的B．温度升高，气体分子的平均速率增大，气体的压强一定增大C．气体的压强等于器壁单位面积上、单位时间内所受气体分子冲量的大小D．当某一密闭容器自由下落时，容器中气体的压强将变为零【答案】C例3.如图所示，质量为M的绝热活塞把一定质量的理想气体（不考虑分子势能）密封在竖直放置的绝热气缸内。
高三物理模型知识点总结
高三物理模型知识点总结在物理学中，模型是描述现象和解释规律的一种工具。
它通过抽象和简化现实世界的复杂问题，使其易于理解和计算。
在高三物理学习中，我们经常会接触到各种物理模型，掌握这些模型的知识对理解和解决物理问题非常重要。
本文将对高三物理模型的知识点进行总结，帮助同学们更好地学习和应用这些模型。
第一部分：力学模型1. 质点模型质点模型是最基本的物理模型之一。
在质点模型中，物体被视为没有大小和形状的粒子，只考虑其质量和受力情况。
质点模型适用于描述质量集中在一个点上的物体的运动状态和受力情况。
2. 刚体模型刚体模型是一种理想化的物理模型，假设物体不受形变，保持其原有的大小和形状。
刚体模型适用于描述物体整体的运动状态和受力情况。
3. 弹簧模型弹簧模型用于描述弹性体的力学性质。
弹簧模型中，假设弹簧受力与其变形程度成正比。
弹簧模型可以应用于解决弹簧在拉伸或压缩过程中的变形量、弹性系数等问题。
第二部分：电磁模型1. 电场模型电场模型是描述电荷间作用力的模型。
根据库仑定律，电荷之间的作用力与它们之间的距离和电荷量成正比。
电场模型可以用于计算电荷分布情况下的电场强度、电势能等问题。
2. 磁场模型磁场模型用于描述磁力产生的模型。
根据洛伦兹力公式，磁场对带电粒子的作用力与带电粒子的速度和磁场强度成正比。
磁场模型可用于计算磁场对带电粒子的力和轨道的影响。
3. 电磁感应模型电磁感应模型用于描述电磁感应现象。
根据法拉第电磁感应定律，导线中的磁通量变化会引起感应电动势。
电磁感应模型可以应用于计算感应电动势、电磁感应现象的产生等问题。
第三部分：热力学模型1. 理想气体模型理想气体模型是对气体行为的一种理想化描述。
在理想气体模型中，假设气体分子之间没有相互作用力，体积可以忽略不计。
理想气体模型可以用于计算气体的状态方程、温度、压强、体积、摩尔等问题。
2. 热传导模型热传导模型用于描述热量在物体内部的传导过程。
根据傅里叶热传导定律，物体内部的温度变化率与热传导系数和温度梯度成正比。
高中物理常见的解析模型
高中物理常见的解析模型
高中物理常见的解析模型
在高中物理中，解析模型是一种常见的工具，它用于解决各种物理问题并推导出相应的数学关系。
以下是几个常见的解析模型：
1. 力学中的运动模型：在力学中，常见的运动模型包括匀速直线运动、匀加速直线运动和抛体运动等。
这些模型可以通过使用速度、加速度和位移之间的数学关系来描述物体在空间中的运动。
2. 波动中的传播模型：波动是物理中的一个重要分支，常见的波动模型包括机械波和电磁波等。
这些模型可以通过波的速度、频率和波长之间的数学关系来解释波的传播特性。
3. 热力学中的热传导模型：热力学涉及热量传递和能量转换等过程，而热传导模型用于描述热量的传递方式。
常见的热传导模型包括热传导定律和傅里叶定律等，通过这些定律可以推导出物体内部温度分布和传热速率等相关参数。
4. 电学中的电路模型：电学是物理学中的重要分支，电路模型用于描述电流、电压和电阻等之间的关系。
常见的电路模型包括欧姆定律、基尔霍夫定律和电容、电感等模型，通过这些模型可以解析电
路中的电流分布和电压变化等情况。
5. 光学中的光传播模型：光学研究光的传播、反射和折射等现象，常见的光传播模型包括光速、光线和光程等概念。
通过这些模型可以解析光在不同介质中的传播路径和光的折射、反射等现象。
这些解析模型在高中物理中广泛应用，帮助学生理解物理现象并解决相应的物理问题。
同时，这些模型也为后续的物理学习打下了坚实的基础，为更深入的研究奠定了基础。
专题15北斗导航模型-2023年高考物理万有引力与航天常用模型最新模拟题精练(解析版)
高考物理《万有引力与航天》常用模型最新模拟题精练专题15.北斗导航模型一．选择题1（2022江苏第二次百校大联考）.“北斗”第49颗卫星绕地球做圆周运动,该卫星的运转周期与地球自转周期相同,轨道平面与赤道平面成一定角度。
该卫星A .相对地面是静止的B .运行速度等于第一宇宙速度C .轨道半径与地球同步卫星相同D .向心加速度大于地面的重力加速度【参考答案】C【名师解析】卫星运转周期与地球自转周期相同,但轨道平面与赤道平面成一定角度,所以卫星不是同步卫星,但轨道半径与同步卫星相同,A 错误。
运行速度小于第一宇宙速度,B 错误。
向心加速度小于地面重力加速度,D 错误。
所以选C 。
2.（2022山东枣庄二模）我国北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成。
空间段由若干地球静止轨道卫星()GEO A 、倾斜地球同步轨道卫星()IGSO B 和中圆地球轨道卫星()MEO C 组成，如图所示。
设三类卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径关系为A B C 223r r r ==。
下列说法正确的是（）A.A 的线速度比B 的小B.A 的角速度比C 的小C.B 和C 827D.B 和C 23【参考答案】BD【名师解析】根据万有引力提供向心力可得22GMm v m r r=解得1GM v r r=∝可得B 和C 的线速度之比为C B C B 23r v v r ==由于A 与B 的轨道半径相等，所以A 与B 的线速度大小相等，A 错误，D 正确；根据万有引力提供向心力可得22GMm m r rω=解得331GM r r ω=∝由于A 的轨道半径大于C 的轨道半径，所以A 的角速度比C 的小，B 正确；根据万有引力提供向心力可得2224GMm m r r Tπ=解得2334r T r GM π=可得B 和C 的周期之比为3B B 3C C 278T r T r ==，C 错误。
2.（2022河南南阳一中质检）如图所示，a b c 、、是北斗卫星导航系统中的3颗卫星，它们的绕行方向相同，周期分别为a b c T T T 、、，下列说法中正确的是（）A.a T 大于bT B.b 加速可以追上cC.b 与c 的向心力大小相等D.每隔()2a b b a T T T T -时间a b 、与地球球心三点共线【参考答案】D【名师解析】由开普勒第三定律32r k T=可知a b T T <，故A 错误；b 加速后会做离心运动，故B 错误；因卫星质量未知，向心力大小无法判断，故C 错误；根据角度关系有22a b t T T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭可求出共线周期()2a b b a T T t T T =-，故D 正确。
专题01 质点模型-高考物理模型系列之对象模型(解析版)
(ii).置换质点
若物体不能看作质点,但作为参考系的静止物体可看作质点时,可通过转换参考系将问题转化为质点的运动.
例2.一辆汽车匀加速通过路边一线杆,若车头通过线杆时的速度为V1=1m/s,车尾通过线杆时的速度为v2=7m/s,则车身中点通过线杆时的速度为.
【答案】5m/s
【解析】:本题中汽车不能看作质点,但路边线杆的宽度相对汽车长度可以忽略,可将线杆看作质点.以汽车为参考系,线杆从车头向车尾匀加速通过汽车,设经过车身中点时的速度为v,加速度为a,车身长度为2x,则由车头到车身中点 ,由车身中点到车尾 ,两式联立有
,即车身中点经过线杆时的速度为5m/s.
模型演练
1.如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），绕它的轴在光滑的桌面上以角速度 快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从桌子的边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，速度v至少应等于（设回转器的高为H，底面半径为R，不计空气对回转器的作用）（）
(ii)物体上的各点运动情况都相同的，所以研究它上面某一点运动规律就可以代替整体运动情况，这种情况下物体也可当质点处理，不过是取该物体上的一点来研究，并不一定是不计物体大小，如火车过桥。
(iii)转动的物体只要不要研究它的转动，也可以看成质点。例如一个乒乓球运动员发出一个弧圈球，如果另一个运动员要确定回球时拍子触球位置就不能把乒乓球看成质点，但是如果研究它在空中运动的时间仍可以把它质点。
(iv).划分质点
在连续体上划分出一块适当的部分作为质点,通过类比，再研究等效模型。
例4.如图所示，在水平地面上有一辆运动的平板小车，车上固定一个盛水的杯子，杯子的直径为R。当小车做匀加速运动时，水面呈如图所示状态，左右液面的高度差为 ，则小车的加速度方向指向何处？加速度的大小为多少？
专题15已知核心方程(显性)之直线过定点模型2022高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破 (解析版)
专题15 已知核心方程(显性)之直线过定点模型定点问题——确定方程定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线(曲线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出x ，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线(曲线)所过的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系．【方法总结】 (1)单参数法①设动直线PM 方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0；②联立直线与椭圆(抛物线)，解出点M 的坐标为(A (k )，B (k ))，同理(由核心方程代换)，得出点N 的坐标为(C (k )，D (k ))；③写出动直线MN 方程，并整理成kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0；④根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0；⑤方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．图1图2图3图4(2)双参数法①设动直线MN 方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ； ②由核心方程得到f (k ，t )＝0(常用韦达定理)；③把t 用k 表示或把k 用t 表示，即kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0(或tf (x ，y )＋g (x ，y )＝0)；④根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0；⑤方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点． 【例题选讲】[例1] 如图所示，设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，中心为O ，若椭圆M 过点P ⎝⎛⎭⎫－12，12，且AP ⊥OP ．(1)求椭圆M 的方程；(2)若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；(3)过点A 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线交椭圆M 于D ，E 两点，且k 1k 2＝1，求证：直线DE 过定点．[规范解答] (1)由AP ⊥OP ，可知k AP ·k OP ＝－1．又点A 的坐标为(－a ，0)，所以12－12＋a ·12－12＝－1，解得a ＝1．又因为椭圆M 过点P ，所以14＋14b 2＝1，解得b 2＝13，所以椭圆M 的方程为x 2＋y 213＝1． (2)由题意易求直线AP 的方程为y －012－0＝x ＋1－12＋1，即x －y ＋1＝0．因为点Q 在椭圆M 上，故可设Q ⎝⎛⎭⎫cos θ，33sin θ，又|AP |＝22，所以S △AP Q ＝12×22×⎪⎪⎪⎪cos θ－33sin θ＋12＝14× 233cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋1． 当θ＋π6＝2k π(k ∈Z )，即θ＝2k π－π6(k ∈Z )时，S △AP Q 取得最大值36＋14．(3)法一：单参数法由题意易得，直线AD 的方程为y ＝k 1(x ＋1)，代入x 2＋3y 2＝1，消去y ，得(3k 21＋1)x 2＋6k 21x ＋3k 21－1＝0．设D (x D ，y D )，则(－1)·x D ＝3k 21－13k 21＋1，即x D ＝1－3k 211＋3k 21，y D ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3k 211＋3k 21＋1＝2k 11＋3k 21． 设E (x E ，y E )，同理可得x E ＝1－3k 221＋3k 22，y E ＝2k 21＋3k 22．又k 1k 2＝1且k 1≠k 2，可得k 2＝1k 1且k 1≠±1， 所以x E ＝k 21－3k 21＋3，y E ＝2k 1k 21＋3，所以k DE ＝y E －y D x E －x D ＝2k 1k 21＋3－2k 11＋3k 21k 21－3k 21＋3－1－3k 211＋3k 21＝2k 13(k 21＋1)， 故直线DE 的方程为y －2k 11＋3k 21＝2k 13(k 21＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1－3k 211＋3k 21． 令y ＝0，可得x ＝1－3k 211＋3k 21－3(k 21＋1)1＋3k 21＝－2．故直线DE 过定点(－2，0)．法二：双参数法设D (x D ，y D )，E (x E ，y E )．若直线DE 垂直于y 轴，则x E ＝－x D ，y E ＝y D ， 此时k 1k 2＝y D x D ＋1·y E x E ＋1＝y 2D 1－x 2D＝y 2D3y 2D ＝13与题设矛盾，若DE 不垂直于y 轴，可设直线DE 的方程为x ＝ty ＋s ，将其代入x 2＋3y 2＝1，消去x ， 得(t 2＋3)y 2＋2tsy ＋s 2－1＝0，则y D ＋y E ＝－2ts t 2＋3，y D y E ＝s 2－1t 2＋3．又k 1k 2＝y D x D ＋1·y E x E ＋1＝y D y E(ty D ＋s ＋1)(ty E ＋s ＋1)＝1，可得(t 2－1)y D y E ＋t (s ＋1)(y D ＋y E )＋(s ＋1)2＝0，所以(t 2－1)·s 2－1t 2＋3＋t (s ＋1)·－2ts t 2＋3＋(s ＋1)2＝0，可得s ＝－2或s ＝－1．又DE 不过点A ，即s ≠－1，所以s ＝－2． 所以DE 的方程为x ＝ty －2．故直线DE 过定点(－2，0)． [例2] 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．[规范解答] (1)由题意知椭圆的一个焦点为F (1，0)，则c ＝1．由e ＝c a ＝22得a ＝2，∴b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)双参数法由(1)知A (0，1)，当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0，设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)，k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x20x 20＝12≠14，不合题意．故直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为：y ＝kx ＋m (m ≠1)，并代入椭圆方程，得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0，得2k 2－m 2＋1>0．②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－1)1＋2k 2，由k AB ·k AC＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得：4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2， 即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0，整理得(m －1)(m －3)＝0，又因为m ≠1，所以m ＝3，此时直线BC 的方程为y ＝kx ＋3． 所以直线BC 恒过一定点(0，3)．[例3] 已知P 是抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，P 到直线x －y ＋4＝0的距离为d 1，P 到E 的准线的距离为d 2，且d 1＋d 2的最小值为32．(1)求抛物线E 的方程；(2)直线l 1：y ＝k 1(x －1)交E 于点A ，B ，直线l 2：y ＝k 2(x －1)交E 于点C ，D ，线段AB ，C D 的中点分别为M ，N ，若k 1k 2＝－2，直线MN 的斜率为k ，求证：直线l ：kx －y －kk 1－kk 2＝0恒过定点．[规范解答] (1)抛物线E 的焦点为F (p2，0)，由抛物线的定义可得d 2＝|PF |，则d 1＋d 2＝d 1＋|PF |，其最小值为点F 到直线x －y ＋4＝0的距离，∴|p 2＋4|2＝32，解得p ＝4或p ＝－20(舍去)，∴抛物线E 的方程为y 2＝8x ． (2)单参数法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k 1(x －1)可得k 21x 2－(2k 21＋8)x ＋k 21＝0，则x 1＋x 2＝2k 21＋8k 21，所以y 1＋y 2＝k 1(x 1－1)＋k 1(x 2－1)＝k 1(x 1＋x 2)－2k 1＝2k 21＋8k 1－2k 1＝2k 21＋8－2k 21k 1＝8k 1，∴线段AB 的中点M 的坐标为(k 21＋4k 21，4k 1)，同理可得点N 的坐标为(k 22＋4k 22，4k 2)，∴直线MN 的斜率k ＝4k 1－4k 2k 21＋4k 21－k 22＋4k 22＝－2k 1＋k 2，则k (k 1＋k 2)＝－2， ∴直线l 的方程kx －y －kk 1－kk 2＝0可化为y ＝kx －k (k 1＋k 2)，即y ＝kx ＋2，令x ＝0，可得y ＝2， ∴直线l 恒过定点(0，2)．[例4] (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[规范解答] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)双参数法设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2．如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22．则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得，(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1．而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2．由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0，即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0．解得k ＝－m ＋12．当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．[例5] 如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的点A (2，1)作斜率分别为k 1，k 2的直线，分别交抛物线E 于B ，C 两点．(1)求抛物线E 的标准方程和准线方程； (2)若k 1＋k 2＝k 1k 2，证明：直线BC 恒过定点．[规范解答] (1)设抛物线E 的标准方程为x 2＝ay ，a >0，将A (2，1)代入得，a ＝4． 所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1． (2)单参数法由题意得，直线AB 的方程为y ＝k 1x ＋1－2k 1，直线AC 的方程为y ＝k 2x ＋1－2k 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k 1x ＋1－2k 1，消去y 得x 2－4k 1x －4(1－2k 1)＝0，解得x ＝2或x ＝4k 1－2，因此点B (4k 1－2，(2k 1－1)2)，同理可得C (4k 2－2，(2k 2－1)2)． 于是直线BC 的斜率k ＝(2k 1－1)2－(2k 2－1)2(4k 1－2)－(4k 2－2)＝4(k 1－k 2)(k 1＋k 2－1)4(k 1－k 2)＝k 1＋k 2－1，又k 1＋k 2＝k 1k 2，所以直线BC 的方程为y －(2k 2－1)2＝(k 1k 2－1)·[x －(4k 2－2)]，即y ＝(k 1k 2－1)x －2k 1k 2－1＝(k 1k 2－1)(x －2)－3．故直线BC 恒过定点(2，－3)． [例6] (2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点．[规范解答] (1)由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2．所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)双参数法设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1．又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1．同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2．所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k (t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k 2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k (t －1)·⎝⎛⎭⎫－4kt 1＋2k 2＋(t －1)2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ． 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2．解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0)．[例7] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32，PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2．证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．[规范解答] (1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得⎩⎨⎧x 20＋y 20＝94，(x 0＋c )(x 0－c )＋y 2＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝3．又e ＝c a ＝32，∴a ＝2．∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)双参数法设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0．∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1．又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2．∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0， ∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)⎝⎛⎭⎫－8km 4k 2＋1＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0， 解得m ＝2k ，或m ＝103k ．当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2，0)，不合题意(舍去)． 当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k ，过定点⎝⎛⎭⎫－103，0， ∴直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫－103，0．【对点训练】1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于 O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．1．解析 (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ． (2)双参数法①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t ． 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32．所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8．②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0．所以y A y B ＝4bk， 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，整理得x A x B ＋2y A y B ＝0．即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32．所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8，0)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．2．解析 (1)圆M 的圆心为(3，1)，半径r ＝3．由题意知A (0，1)，F (c ，0)，直线AF 的方程为xc ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0，由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1＝3，解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．(2)单参数法由AP →·AQ →＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1kx ＋1．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－6k1＋3k2， 故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋3k 2，1－3k 21＋3k 2，同理，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3．所以直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 21＋3k 26kk 2＋3－－6k 1＋3k 2＝k 2－14k ，所以直线l 的方程为y ＝k 2－14k ⎝⎛⎭⎫x －6k k 2＋3＋k 2－3k 2＋3，即y ＝k 2－14k x －12．所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫0，－12． 3．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点． (1)求C 的方程；(2)若点B (1，－2)在C 上，过B 作C 的两弦BP 与BQ ，若k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点． 3．解析 (1)当焦点在x 轴时，设C 的方程y 2＝2px ，代入点A (1，2)，得2p ＝4，即y 2＝4x ，当焦点在y 轴时，设C 的方程为x 2＝2py ，代入点A (1，2)得2p ＝12，即x 2＝12y ，综上可知，C 的方程为y 2＝4x 或x 2＝12y ．(2)双参数法因为点B (1，－2)在C 上，所以曲线C 的方程为y 2＝4x ， 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，设直线PQ ：x ＝my ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4b ＝0，Δ＝16(m 2＋b )，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4b ． ∵k BP ·k BQ ＝－2，∴y 1＋2x 1－1·y 2＋2x 2－1＝－2，∵x 1＝y 214，x 2＝y 224，∴4y 1－2·4y 2－2＝－2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋12＝0，∴－4b －8m ＋12＝0，即b ＝3－2m ，满足Δ>0， 直线PQ ：x ＝my ＋b ＝my ＋3－2m ，即x －3＝m (y －2)， ∴直线PQ 过定点(3，2)．4．已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作两条直线分别交轨迹C 于点G ，H 和M ，N ，且k GH k MN ＝－1，E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．4．解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，∴点Q 的坐标为(0，y )．∵2P A →·PB →＝|PQ →|2，P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，|PQ →|＝|x |， ∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2，化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1．(2)单参数法当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－1k(x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k (x －1)，消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0．则Δ>0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1，∴GH 中点E 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1．同理，MN 中点E 2的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2＋2，k k 2＋2，∴k E 1E 2＝－3k2(k 2－1)，∴l E 1E 2的方程为y －kk 2＋2＝－3k 2(k 2－1)⎝⎛⎭⎫x －2k 2＋2，即y ＝－3k 2(k 2－1)⎝⎛⎭⎫x －23， ∴直线E 1E 2恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0；当两直线的斜率分别为0和不存在时，l E 1E 2的方程为y ＝0，也过点⎝⎛⎭⎫23，0． 综上所述，l E 1E 2过定点⎝⎛⎭⎫23，0．5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，半焦距c ＝2，点F 到直线x ＝a 2c 的距离为12，过点F作双曲线C 的两条弦AB ，CD ，且k AB k CD ＝－1，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)证明直线MN 必过定点，并求出此定点的坐标．5．解析 (1)由题意可得c ＝2，c －a 2c ＝12，b 2＝c 2－a 2，解得a 2＝3，b 2＝1，所以双曲线C 的标准方程为x 23－y 2＝1．(2)单参数法由题意知F (2，0)，设过F 的弦AB 所在的直线方程为x ＝ky ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有中点M ⎝⎛⎭⎫k (y 1＋y 2)2＋2，y 1＋y 22，联立直线AB 与双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋2，x 23－y 2＝1，整理可得(k 2－3)y 2＋4ky ＋1＝0，因为弦AB 与双曲线有两个交点，所以k 2－3≠0， y 1＋y 2＝4k 3－k 2，所以x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)＋4＝123－k 2，所以M ⎝⎛⎭⎫63－k 2，2k 3－k 2． (ⅰ)当k ＝0时，点M 即为点F ，此时直线MN 为x 轴；(ⅰ)当k ≠0时，将点M 坐标中的k 换成－1k ，同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫6k 23k 2－1，－2k 3k 2－1，①当直线MN 不垂直于x 轴时，直线MN 的斜率k MN ＝2k 3－k 2＋2k3k 2－163－k 2－6k 23k 2－1＝2k3k 2－1，将M 代入方程可得直线MN ：y －2k 3－k 2＝2k 3(k 2－1)⎝⎛⎭⎫x －63－k 2，化简可得y ＝2k3k 2－1(x －3)，所以直线MN 恒过定点P (3，0)；②当直线MN 垂直于x 轴时，由63－k 2＝6k 23k 2－1，可得k ＝±1，直线MN 也过定点P (3，0)．综上所述，直线MN 恒过定点P (3，0)．6．已知P (0，2)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 的离心率e ＝33．(1)求椭圆的方程；(2)过点P 的两条直线l 1，l 2分别与C 相交于不同于点P 的A ，B 两点，若l 1与l 2的斜率之和为－4，则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 6．解析 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝2，c ＝2，∴椭圆的方程为x 26＋y 24＝1．(2)双参数法当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 26＋y 24＝1，消去y 并整理，可得(3k 2＋2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0，∴Δ＝36(kt )2－4×(3k 2＋2)(3t 2－12)>0，即24(6k 2－t 2＋4)>0， 则x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋2，x 1x 2＝3t 2－123k 2＋2，由l 1与l 2的斜率之和为－4，可得y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝－4，又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，∴y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝kx 1＋t －2x 1＋kx 2＋t －2x 2＝2k ＋(t －2)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋(t －2)·－6kt3k 2＋23t 2－123k 2＋2＝－4，∵t ≠2，化简可得t ＝－k －2，∴y ＝kx －k －2＝k (x －1)－2，∴直线AB 经过定点(1，－2)． 当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝m ，A (m ，y 1)，B (m ，y 2)， ∴y 1－2m ＋y 2－2m ＝y 1＋y 2－4m＝－4， 又点A ，B 均在椭圆上，∴A ，B 关于x 轴对称，∴y 1＋y 2＝0，∴m ＝1， 故直线AB 的方程为x ＝1，也过点(1，－2)， 综上直线AB 经过定点，定点为(1，－2)．7．已知倾斜角为π4的直线经过抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，且|AB |＝8．(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点P (12，8)的两条直线l 1，l 2分别交抛物线Γ于点C ，D 和E ，F ，线段CD 和EF 的中点分别为M ，N ．如果直线l 1与l 2的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2，求证：直线MN 经过一定点． 7．解析 (1)由题意可设直线AB 的方程为y ＝x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0， Δ＝9p 2－4×p 24＝8p 2>0，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ．(2)单参数法由题意知，α，β≠π2．直线l 1的斜率为k ，则k ＝tan α，∵α＋β＝π2， ∴tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝1sin αcos α＝1tan α，∴直线l 2的斜率为1k ． ∴直线CD 的方程为y －8＝k (x －12)，即y ＝k (x －12)＋8，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －12)＋8，y 2＝4x ， 消去x 整理得ky 2－4y ＋32－48k ＝0，设C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，∴y C ＋y D ＝4k ，∴x C ＋x D ＝24＋4k 2－16k， ∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12＋2k 2－8k ，2k ，以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标为(12＋2k 2－8k ，2k )， ∴k MN ＝2⎝⎛⎭⎫1k －k 2⎝⎛⎭⎫1k 2－k 2－8⎝⎛⎭⎫1k －k ＝11k ＋k －4． ∴直线MN 的方程为y －2k ＝11k ＋k －4[x －(12＋2k 2－8k )]，即⎝⎛⎭⎫1k ＋k －4y ＝x －10， 显然当x ＝10时，y ＝0，故直线MN 经过定点()10，0．8．(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →．(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．8．解析 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y ．因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1． 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2．(2)由题意知F (－1，0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1．又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0． 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
模型界定本模型主要归纳分子大小与排列方式、分子的运动、分子力及其表现以及物体的内能问题. 模型破解 1.分子动理论(i)物质是由大量的分子组成的物质由大量分子组成，而分子具有大小，它的直径数量级是10-10m,一般分子质量的数量级是10-26 kg ．分子间有空隙.阿伏伽德罗常数：l 摩的任何物质含有的微粒数相同，这个数的测量值为N A = 6.02×1023mol -1．阿伏伽德罗常数是个十分巨大的数字，分子的体积、质量都十分小，从而说明物质是由大量分子组成的．①估算分子大小或间距的两种模型.（a ）球体模型：由于固体和液体分子间距离很小，因此可近似看成分子是紧密排列着的球体，若分子直径为d ，则其体积为：336134d R V ππ==.（b ）立方体模型：设想固体和液体分子（原子或离子）是紧密排列着的立方体，那么分子的距离（即分子线度）就是立方体的边长L ，因此一个分子的体积就是3L V=.对固体和液体，可以近似地认为分子是一个挨一个紧密排列在一起的.处理固、液体分子的大小，可应用上术两种模型之一.若考查气体分子间距，由于在一般情况下气体分子不是紧密排列的，所以上述模型无法求分子的直径，但能通过上述模型求分子间的距离.②常见微观量的求解表达式（说明：M 为摩尔质量，ρ为物质密度，V mol 为摩尔体积) （a ）1个分子的质量：m=M/N A .（b ）1个分子的体积或占有的空间体积：V=V mol /N A . （c ）1摩尔物质的体积：V mol =M/ρ. （d ）单位质量中所含分子数：n=N A /M. （e ）单位体积中所含分子数：n′=ρN A /M. （f ）分子间距离（分子直径）：36AmolN V dπ=（球体模型），3AmolN V d =（立方体模型）."油膜法"估测分子大小用油酸的酒精溶液在平静的水面上形成单分子油膜，将油酸分子看作球形，测出一定体积油酸溶液在水面上形成的油膜面积，用d=V/S 计算出油膜的厚度.这个厚度就近似等于油酸分子的直径,其中V 是油酸酒精溶液中纯油酸的体积.例1.若已知阿伏加德罗常数、物质的摩尔质量、摩尔体积，则可以计算出 A ．固体物质分子的大小和质量 B ．液体物质分子的大小和质量 C ．气体分子的大小和质量D ．气体分子的质量和分子间的平均距离 【答案】ABD例2.在“用油膜法测量分子直径”的实验中，将浓度为η的一滴油酸溶液，轻轻滴入水盆中，稳定后形成了一层单分子油膜．测得一滴油酸溶液的体积为V 0，形成的油膜面积为S ，则油酸分子的直径约为 ▲ ；如果把油酸分子看成是球形的（球的体积公式为316V d π=，d 为球直径），计算该滴油酸溶液所含油酸分子的个数约为多少．【答案】2236V S n πη= 【解析】:油酸分子的直径SV S V d0η==.可认为该滴油酸溶液中纯油酸的体积等于组成它的所有油酸分子体积的总和:300)(61S V n V ηπη=得2236V S n πη=.模型演練1.已知潜水员在岸上和海底吸入空气的密度分别为 1.3kg/3m 和2.1kg/3m ，空气的摩尔质量为0.029kg/mol ，阿伏伽德罗常数A N =6.0223110mol -⨯。
若潜水员呼吸一次吸入2L 空气，试估算潜水员在海底比在岸上每呼吸一次多吸入空气的分子数。
（结果保留一位有效数字）【答案】3×1022【解析】:设空气的摩尔质量为M ，在海底和岸上的密度分别为ρ海和ρ岸，一次吸入空气的体积为V ，则有∆n ＝()VMρρ-海岸N A ，代入数据得∆n ＝3×10222.某同学在进行“用油膜法估测分子的大小”的实验前，查阅数据手册得知：油酸的摩尔质量M=0.283kg·mol -1，密度ρ=0.895×103kg·m -3.若100滴油酸的体积为1ml ，则1滴油酸所能形成的单分子油膜的面积约是多少？(取N A =6.02×1023mol -1.球的体积V 与直径D 的关系为316V D π=，结果保留一位有效数字)【答案】21101m S⨯=2.已知气泡内气体的密度为1.29kg/3m ，平均摩尔质量为0.29kg/mol 。
阿伏加德罗常数A 23-1N =6.0210mol ⨯，取气体分子的平均直径为-10210m ⨯，若气泡内的气体能完全变为液体，请估算液体体积与原来气体体积的比值。
（结果保留以为有效数字） 【答案】401101-⨯=V V (45102~109--⨯⨯都算对) 【解析】:设气体体积为0V ，液体体积为1V气体分子数A N mV n 0ρ=, 631d nV π=(或31nd V =)则A N d m V V 3016πρ= （或A N d mV V 301ρ=） 解得401101-⨯=V V (45102~109--⨯⨯都算对) 4.设想将1 g 水均分布在地球表面上，估算1 cm 2的表面上有多少个水分子？（已知1 mol 水的质量为18 g ，地球的表面积约为142510m ⨯，结果保留一位有效数字）【答案】3710⨯ (6×103—7×103都算对)(ii)分子永不停息地做无规则运动 ①两个实验基础 （a ）扩散现象扩散现象是分子的运动,自发进行时总是从浓度大向浓度小处扩散,而且扩散快慢与物质的状态、温度有关.（b ）布朗运动布朗运动是悬浮的固体颗粒的运动，不是单个分子的运动，但是布朗运动反映了液体分子的无规则运动.②分子热运动分子永不停息的无规则运动叫做热运动.温度越高，分子的热运动越剧烈，温度是分子热运动的剧烈程度的标志.(iii)分子间存在着相互作用力①分子间同时存在着相互作用的引力和斥力，这两个力的合力就是分子力.②分子间的引力和斥力总是随分子间距离的变化而变化，但斥力变化得更快些. ③当分子间距离r=r 0时（r 0的数量级为10-10m ）引力和斥力相等，分子力为0当分子间距离r<r0时，随分子间距离的减小，分子间的引力和斥力同时增大，但斥力增大得快，故斥力大于引力，分子间距离的减小伴随着表现出越来越大的斥力.当分子间距离r>r0时，随着分子间距离的增大，引力和斥力均减小，但斥力减小得更快，故随着分子距离的增大，分子力表现为引力.当分子间距离超过分子直径10倍时，可以认为分子间作用力为0.④分子力与物质“三态”的关系固体分子间的距离小，分子之间的作用力表现明显，其分子只能在平衡位置附近做范围很小的无规则振动.因此，固体不但具有一定的体积，还具有一定的形状.液体分子间的距离也很小，分子之间的作用力也能体现得比较明显，但与固体分子相比，液体分子可以在平衡位置附近做范围较大的无规则振动，而且液体分子的平衡位置不是固定的，是在不断地移动，因而液体虽然具有一定的体积，却没有固定的形状.气体分子间距离较大，彼此间的作用力极微小，可认为分子除了与其他分子或器壁碰撞时有相互作用力外，分子力可忽略.因而气体分子总是做匀速直线运动，直到碰撞时才改变方向.所以气体没有一定的体积，也没有一定的形状，总是充满整个空间.例3.下列说法中正确的是____________A.当分子间的距离增大时,分子间的引力变大而斥力变小B. 布朗运动反映了悬浮在液体中固体颗粒分子的无规则运动C. 气体对器壁的压强是由大量气体分子对器壁频繁碰撞而产生的D. 随着低温技术的发展,我们可以使温度逐渐降低,并最终达到绝对零度【答案】C2.分子与物体的内能 (i)分子动能分子做热运动所具有的动能，叫做分子动能. ①无论温度高低，分子的动能不会为零. ②温度是分子平均动能的标志.③物体所含分子的总动能由两个因素决定：一是分子的平均动能（即物体的温度），二是物体所含分子的数目A N MmN. (ii)分子势能因分子间存在着相互作用力而具有由分子间相对位置所决定的能量，叫做分子势能.①微观上,分子势能与分子间距离有关.②宏观上，分子势能与物体的体积有关.大多数物质是体积越大，分子势能也越大；也有少数反常物质（如冰、铸铁等），体积大，可能分子势能反而小.③分子力做功与分子势能变化的关系分子力做功是分子势能变化的量度，分子力做正功分子势能减小，分子力做负功分子势能增加，分子势能变化量就等于分子力所做的功的量.(a).当r<r 0时，分子间的作用力表现为斥力. r 增大，斥力做正功，分子势能减小； r 减小，斥力做负功，分子势能增加. (b).当r>r 0时，分子间的作用力表现为引力. r 增大，引力做负功，分子势能增加； r 减小，引力做正功，分子势能减少.(c).当r=r 0时，分子间作用力合力为零，但此时分子势能不为零而为最小值.(iii)物体的内能物体内所有分子的热运动动能与分子势能的总和，叫做物体的内能. ①物体的内能跟物体的温度和体积有关，还跟物体所含的分子数有关.②物体做机械运动具有的机械能对物体的内能没有贡献.③一切物体都具有内能.④改变物体内能的方式有两种:(a)做功:体现了其他形式的能和内能之间的转化.功是能量转化的量度.(b)热传递:自发进行的热传递,其条件是要有温度差，其规律是高温物体放出热量，低温物体吸收热量，最终达到温度相等，热传递过程结束.例4.分子甲和乙相距较远（此时它们的分子力近似为零），如果甲固定不动，乙逐渐向甲靠近越过平衡位置直到不能再靠近.在整个过程中（）A.先是乙克服分子力做功，然后分子力对乙做正功B.先是分子力对乙做正功，然后乙克服分子力做功C.两分子间的斥力不断减小D.两分子间的引力不断减小【答案】B例5.（1）远古时代，取火是一件困难的事，火一般产生于雷击或磷的自燃.随着人类文明的进步，出现了“钻木取火”等方法.“钻木取火”是通过方式改变物体的内能，把转变成内能.（2）某同学做了一个小实验：先把空的烧瓶放入冰箱冷冻，一小时后取出烧瓶，并迅速把一个气球紧密地套在瓶颈上，然后将烧瓶放进盛满热水的烧杯里，气球逐渐膨胀起来，如图所示.这是因为烧瓶里的气体吸收了水的，温度，体积.【解析】:（1）“钻木”的过程是做功的过程，是把机械能转化为内能的过程：要想“取到火”，必须使温度升高到木头的燃点.（2）烧瓶里的气体吸收热量后，由热力学第一定律知，气体的内能增加，因而温度升高，体积增大.模型演練5.以下说法正确的是A ．当分子间距离增大时，分子间作用力减小，分子势能增大B ．已知某物质的摩尔质量为M ，密度为ρ，阿伏加德罗常数为N A ，则该种物质的分子体积为0AMV N ρ＝ C ．自然界发生的一切过程能量都是守恒的，符合能量守恒定律的宏观过程都能自然发生 D ．液体表面层分子间距离大于液体内部分子间距离，液体表面存在张力 【答案】D6.下列说法中正确的有____。